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合情推理与演绎推理课件(1)


内容结构
“推理与证明”是数学的基本思维过程, 也是人们学习和生活中经常使用的思维方 式.推理一般包括合情推理和演绎推理.在本 章中,我们将通过对已学知识的回顾,进一步 体会合情推理、演绎推理以及二者之间的联系 与差异;体会数学证明的特点,了解数学证明 的基本方法,包括直接证明的方法(如分析法、 综合法、数学归纳法)和间接证明的方法(如 反证法);感受逻辑证明在数学以及日常生活 中的作用,养成言之有理、论证有据的习惯。

本节知识结构

推 理
合情推理
(或然性推理)

演绎推理 (必然性推理)

归纳
(部分到整体、 特殊到一般)

类比 三段论 (特殊到特殊) (一般到特殊)

归纳推理
歌德巴赫猜想的提出过程:
3+7=10,3+17=20,13+17=30,
10=3+7,20=3+17,30=13+17.

偶数=奇质数+奇质数
6=3+3, 8=3+5,10=5+5,12=5+7,14=7+7,16=5+11,…, 1 000=29+971,…

⑴ 一个偶数(不小于6)总可以表示成两个 奇质数之和; ⑵ 没有发现反例 。

归纳推理的定义:
由某类事物的部分对象具有某些特征,推
出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,

或者由个别事实概括出一般结论的推理,称为
归纳推理(简称归纳).

简言之,归纳推理是由部分到整体、由个别
到一般的推理。

例如: 金受热后体积膨胀, 银受热后体积膨胀, 铜受热后体积膨胀, 铁受热后体积膨胀, 金、银、铜、铁是金属的部分小类对象,它们受热 后分子的凝聚力减弱,分子运动加速,分子彼此 距离加大,从而导致体积膨胀 所以,所有的金属受热后都体积膨胀。

例如: 磨擦双手(S )能产生热(P), 敲击石头(S )能产生热(P) , 锤击铁块(S )能产生热(P) , 磨擦双手、敲击石头、锤击铁块都是物质运动; 所以,物质运动能产生热。
1
2 3

例:观察下图,可以发现
1+3=4=22, 1+3+5=9=32, 1+3+5+7=16=42, 1+3+5+7+9=25=52, ??
2. 1+3+?+(2n-1)=n

归纳推理的一般步骤:
⑴ 对有限的资料进行观察、分析、 归纳整理; ⑵ 提出带有规律性的结论,即猜想; ⑶ 检验猜想。

类比推理
“火星上是否有生命”

【例2】如图,利用类比推测球的有关性质
圆 圆心与弦(非直径) 中点的连线垂直于弦 与圆心距离相等的 两条弦长相等 球 球心与截面圆(不经过 球心的截面圆)圆心的 连线垂直于截面圆。 与球心距离相等的两个截面 圆面积相等;与球心距离不 等的两个截面圆面积不等; 与球心距离较近的截面圆面 积较大。 球的表面积 S
2

圆的周长C= 圆的面积S=

?d
?r

? 4?r 4 3 球的体积 V ? ?r 3

2

类比推理的定义:
由两类对象具有某些类似特征,和其

中一类对象的某些已知特征,推出另一类
对象也具有这些特征的推理称为类比推理

(简称类比).
简言之,类比推理是由特殊到特殊的推理.

发明行星三大运动定律的开普勒曾说类比 数学家波利亚曾指出“类比是一个伟大的 推理是「自然奧妙的参与者」和自己「最好 引路人,求解立体几何往往有赖于平面几何的类 的老师」 比问题.”

类比推理的一般步骤:
⑴ 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征;
⑵ 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征, 从而得出一个猜想; ⑶ 检验猜想。

? 类比推理举例

例3 类比平面内直角三角形的勾股定理,试 给出空间 中四面体性质的猜想.

例3 类比平面内直角三角形的勾股定理,试 给出空间中四面体性质的猜想.

直角三角形
∠C=90° 3个边的长度a,b,c 2条直角边a,b和1条斜边c

3个面两两垂直的四面体
∠PDF=∠PDE=∠EDF=90°

4个面的面积S1,S2,S3和S 3个“直角面” S1,S2,S3 和1个“斜面” S

合情推理
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过 观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比,然后提 出猜想的推理,我们把它们统称为合情推理。 通俗地说,合情推理是指“合乎情理”的推理。

合情推理的应用
数学研究中,得到一个新结论之前,合情推理常常 能帮助我们猜测和发现结论。 证明一个数学结论之前,合情推理常常能为我们提 供证明的思路和方向

1.复习:
前面学习了归纳推理和类比推理这两种 合情推理,归纳推理是由特殊到一般的推理; 类比推理是由特殊到特殊的推理.

2.判断下列推理是否是合情推理
1.所有的金属都能导电, 因为铜是金属, 所以铜能够导电. 2.一切奇数都不能被2整除, 因为(2100+1)是奇数, 所以(2100+1)不能被2整除. 3.三角函数都是周期函数, 因为tan ? 是三角函数, ? 所以tan ? 是周期函数 4.全等的三角形面积相等 如果三角形ABC与三角形A1B1C1全等, 那么三角形ABC与三角形A1B1C1面积相等.

从一般性的命题推演出特殊性命题的推理 方法,称为演绎推理.
注: 1.演绎推理是由一般到特殊的推理;

1.所有的金属都能导电, 因为铜是金属, 所以铜能够导电. 2.三角函数都是周期函数, 因为tan ? 是三角函数, 所以tan ? 是周期函数

大前提 小前提 结论 大前提 小前提 结论

2.“三段论”是演绎推理的一般模式;包 括 ⑴大前提---已知的一般原理; ⑵小前提---所研究的特殊情况;

⑶结论-----据一般原理,对特殊情况做出的判断.

2.三段论是演绎推理的一般模式,包括:
(1)大前提 (2)小前提 (3)结论 已知的一般原理;

M是P,

所研究的特殊情况; S是M, 根据一般原理,对特 所以,S是P。 殊情况做出的判断.

☆用集合论的观点看,三段论的依据是:若集 合M的所有元素都具有性质P,S是M的一个子 集,那么S中所有元素也都具有性质P. M
?

a

S

1.所有的金属都能导电, 铜是金属, 所以,铜能够导电.

2.个位数字是0或5的正整数必是5的倍数 2375的个位数是5 所以,2375是5的倍数

例1.已知lg2=m,计算lg0.8

解 (1) lgan=nlga(a>0) lg8=lg23 所以lg8=3lg2
(2)lg(a/b)=lga-lgb(a>0,b>0)

大前提 小前提 结论 大前提 小前提 结论

lg0.8=lg(8/10)

所以,lg0.8=lg8-lg10=3lg2-1

练习:1. 把下列推理恢复成完全的三段论: 1 (1)因为 tan ? ? ,所以 cot ? ? 2 2 (2)函数 y ? 2 x ? 5的图象是一条直线.

练习2. 如图,D,E,F分别是BC,CA,AB上的点, ∠BFD= ∠A,DE∥BA,求证:ED=AF. A
证: (1)同位角相等,两直线平行,(大前提) ∠BFD与∠A是同位角,且∠BFD= B C ∠A , (小前提) D 所以, DF∥EA. (结 论) (2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形, (大前提) DE∥BA且DF∥EA, (小前提) 所以,四边形AFDE是平行四边形. (结 论) (3)平行四边形的对边相等, (大前提) ED和AF为平行四边形的对边, (小前提) 所以,ED=AF. (结 论)
F E

练习3. 指出下列推理中的错误,并分析产生错误的原因;

(1)整数是自然数, -3是整数,

-3是自然数;
(2)无理数是无限小数,

1 (? 0.333?)是无限小数, 3 1 是无理数. 3

演绎推理错误的主要原因
(1)大前提不成立;

(2)小前提不符合大前提的条件

4.演绎推理具有如下特点: (1)演绎的前提是一般性原理,演绎所得的结论 是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实,结论完 全蕴涵于前提之中。 (2)在演绎推理中,前提与结论之间存在必然的联 系.只要前提是真实的,推理的形式是正确的, 那么结论也必定是正确的。因而演绎推理是数 学中严格证明的工具。 (3)演绎推理是一种收敛性的思维方法,它较少 创造性,但却具有条理清晰、令人信服的论证 作用,有助于科学的理论化和系统化。


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