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【问酷网解析版】浙江省杭州市普通高中2013年高三1月会考模拟数学试卷


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2013 年浙江省杭州市普通高中高三 1 月会考模拟数学试卷
一、选择题(本题有 26 小题,1—20 每题 2 分,21-26 每题 3 分,共 58 分.选出各题中一个符合题意的正 确选项,不选、多选、错选均不给分) 1. (2 分) (2013?杭州模拟)已知全集 U={1,2,3,4,5},集合 A={1,3,5},则?UA=( ) ? A.{2,4} B.{1,3,5} C.{1,2,3,4,5} D. 考点: 补集及其运算. 专题: 计算题. 分析: 数一下不属于集合 A 的元素即可得解 解答: 解:∵ 全集 U={1,2,3,4,5},集合 A={1,3,5} ∴ ?UA={2,4} 故选 A 点评: 本题考查集合运算, 当集合是用列举法表示的且元素个数比较少时, 可数一下元素, 用观察法做题. 属 简单题 2. (2 分) (2013?杭州模拟)函数 A.[1,+∞) B.(0,+∞) 的定义域是( ) C.[0,+∞)

D.(﹣∞,+∞)

考点: 函数的定义域及其求法. 分析: 给出的函数是无理函数,只要保证根式内部的代数式大于等于 0 即可. 解答: 解:要使原函数 有意义,则需要 x≥0, 所以函数 的定义域是[0,+∞) . 故选 C. 点评: 本题考查了函数定义域及其求法,函数的定义域,就是使函数解析式有意义的自变量的取值集合, 此题是基础题. 3. (2 分) (2013?杭州模拟)直线 x+2y+3=0 的斜率是( ) A. B. C.﹣2 ﹣

D.2

考点: 直线的一般式方程. 专题: 直线与圆. 分析: 将直线方程变形后,即可求出直线的斜率. 解答: 解:直线变形得:y=﹣ x﹣ , 则直线斜率为﹣ . 故选 A 点评: 此题考查了直线的一般式方程,是一道基本题型. 4. (2 分) (2013?杭州模拟)以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其余三边旋转一周形成的面所围成的旋 转体是( ) A.球 B.圆锥 C.圆柱 D.圆台 考点: 旋转体(圆柱、圆锥、圆台) .

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专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 根据圆柱的定义,以矩形一边所在直线为旋转轴,其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆 柱.据此解答. 解答: 解:根据圆柱的定义, 在矩形中,以矩形的一边所在的直线为旋转轴, 其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆柱. 故选 C. 点评: 此题主要根据圆柱的定义来解决问题,考查了点、线、面、体的知识,熟记常见的平面图形转动所 成的几何体是解题的关键,此类题目主要考查同学们的空间想象能力.

5. (2 分) (2013?杭州模拟)已知角 a 的终边与单位圆相交于点 P( A. B. C.

)则 sina 等于( D.



考点: 任意角的三角函数的定义. 专题: 计算题. 分析: 先计算|OP|,再利用正弦函数的定义即可得到结论. 解答: 解:由题意,|OP|=1 ∵ 角 a 的终边与单位圆相交于点 P( ∴ sina= 故选 C. 点评: 本题考查任意角的三角函数的定义,解题的关键是正确运用正弦函数的定义. ,g(x)=x +1,则 f[g(0)]的值等于( C.1 D.2
2



6. (2 分) (2013?杭州模拟)已知函数 A.0 B.



考点: 函数的值. 专题: 计算题. 分析: 由题意求出 g(0) ,然后求解 f[g(0)]即可. 解答: 2 解:因为函数 ,g(x)=x +1,g(0)=1, 所以 f[g(0)]= = .

故选 B. 点评: 本题考查函数值的求法,复合函数的值的计算,基础知识的考查.

7. (2 分) (2013?杭州模拟)椭圆

的焦点坐标是(



A.(﹣3,0) , (3,0) B.(﹣4,0) , (4,0) C.(0,﹣4) , (0,4) D.(0,﹣3) , (0,3)

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考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 椭圆 解答: 解:椭圆 ∴ =4 的焦点在 x 轴上,且 a=5,b=3

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的焦点在 x 轴上,且 a=5,b=,由此可求焦点坐标.

∴ 椭圆

的焦点坐标是(﹣4,0) , (4,0)

故选 B. 点评: 本题考查椭圆的标准方程与几何性质,考查学生的计算能力,属于基础题. 8. (2 分) (2013?杭州模拟)在等差数列{an}中,首项 a1=2,公差 d=2,则它的通项公式是( A.an=2n B.an=n+1 C.an=n+2 D.an=2n﹣2 考点: 等差数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 利用等差数列的通项公式即可求出. 解答: 解:在等差数列{an}中,首项 a1=2,公差 d=2,则它的通项公式 an=2+2(n﹣1)=2n. 故选 A. 点评: 熟练掌握等差数列的通项公式是解题的关键. ,x∈R 的最小正周期为( C.π D.2π )

9. (2 分) (2013?杭州模拟)函数 A. B.



考点: 三角函数的周期性及其求法. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 找出函数解析式中 ω 的值,代入周期公式即可求出函数 f(x)的最小正周期. 解答: 解:f(x)=cos(2x﹣ ) , ∵ ω=2, ∴ T= =π.

故选 C 点评: 此题考查了三角函数的周期性及其求法,熟练掌握周期公式是解本题的关键.

10. (2 分) (2013?杭州模拟)函数 A.是奇函数,但不是偶函数 C. 既是奇函数,又是偶函数



) B. 是偶函数,但不是奇函数 D.既不是奇函数,又不是偶函数

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考点: 函数奇偶性的判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数奇偶性的定义即可判断. 解答: 解:f(x)=x+ 的定义域为{x|x≠0},关于原点对称, 且 f(﹣x)=﹣x﹣ =﹣(x+ )=﹣f(x) . 所以 f(x)为奇函数, 故选 A. 点评: 本题考查函数奇偶性的定义,属基础题,定义是解决相关问题的基本方法. 11. (2 分) (2013?杭州模拟)如图是某职业篮球运动员在连续 11 场比赛中得分的茎叶统计图,则该数据 的中位数是( )

A.31

B.32

C.35

D.36

考点: 茎叶图. 专题: 阅读型. 分析: 根据茎叶图写出这组数据,把数据按照从小到大排列,最中间的一个或最中间两个数字的平均数就 是中位数. 解答: 解:由茎叶图可知:这组数据为 12,15,25,24,36,35,31,39,37,47,51 按照从小到大的顺序是 12,15,24,25,31,35,36,37,39,47,51 所以其中位数为 35. 故选 C. 点评: 本题考查茎叶图的基础知识,以及中位数的求法,同时考查同学们的识图能力,属于基础题.

12. (2 分) (2013?杭州模拟)已知向量 A.﹣2 B .2 C.8

,且

,则实数 x 的值是( D.﹣8



考点: 数量积判断两个平面向量的垂直关系. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由题意可得 x+2×4=0,解之即可. 解答: 解:∵ 向量 ,且



∴ x+2×4=0,解得 x=﹣8 故选 D 点评: 本题考查向量的垂直,转化为向量的数量积为 0 是解决问题的关键,属基础题. 13. (2 分) (2013?杭州模拟)若非零实数 a,b 满足 a>b,则( )

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A. B.

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D.a3>b3

C.a2>b2

考点: 不等关系与不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 对于 A、B、C 取特殊值即可否定,对于 D 利用不等式的基本性质即可证明. 解答: 解:A.虽然 3>﹣2,但是 ,故 A 不成立; B.虽然 3>﹣2,但是
2 2

,故 B 不成立;

C.虽然 2>﹣3,但是 2 <(﹣3) ,故 C 不成立; D.∵ a>b, ∴ a ﹣b =(a﹣b) (a +ab+b )=(a﹣b)
3 3 3 3 2 2

>0,

∴ a >b .因此正确. 故选 D. 点评: 熟练掌握不等式的基本性质和利用特殊值否定答案是解题的关键. 14. (2 分) (2013?杭州模拟)同时抛掷两枚质地均匀的硬币,则出现两个正面朝上的概率是( A. B. C. D. )

考点: 相互独立事件的概率乘法公式. 专题: 计算题. 分析: 本题是一个相互独立事件同时发生的概率,一枚硬币掷一次出现正面的概率是 ,另一枚硬币掷一 次出现正面的概率是 根据相互独立事件的概率公式得到结果. 解答: 解:由题意知本题是一个相互独立事件同时发生的概率, 一枚硬币掷一次出现正面的概率是 另一枚硬币掷一次出现正面的概率是 ∴ 出现两个正面朝上的概率是 故选 B. 点评: 本题考查相互独立事件的概率,本题解题的关键是看出概率的性质,本题也可以按照等可能事件的 概率来解决,可以列举出所有的事件,再求出概率. 15. (2 分) (2013?杭州模拟)函数 f(x)=lnx+2x 的零点个数是( A.0 B .1 C.2 ) D.3

考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据一次函数的对数函数的单调性,结合增函数的性质,可判断出函数 f(x)=lnx+2x 在(0,+∞)

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上为增函数,故函数 f(x)至多有一个零点,进而根据 f( )?f(1)<0,可得函数 f(x)在区间 ( ,1)上有一个零点 解答: 解:∵ y=lnx 与 y=2x 均在(0,+∞)上为增函数 故函数 f(x)=lnx+2x 在(0,+∞)上为增函数 故函数 f(x)至多有一个零点 又∵ f( )=﹣1+ <0,f(1)=2>0 ∴ f( )?f(1)<0, 即函数 f(x)在区间( ,1)上有一个零点 故选 B 点评: 本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断,熟练掌握零点存在定理是解答的关键.

16. (2 分) (2013?杭州模拟)已知 A.﹣7 B. ﹣ C. D.7

等于(



考点: 两角和与差的正切函数;同角三角函数间的基本关系. 专题: 计算题;三角函数的求值. 分析: 依题意,可求得 tanα 的值,利用两角和的正切公式即可求得 tan(α+ 解答: 解:∵ α∈(﹣ ∴ cosα= , ∴ tanα=﹣ . ,0) ,sinα=﹣ ,

)的值.

∴ tan(α+

)=

=﹣ .

故选 B. 点评: 本题考查两角和与差的正切函数,考查同角三角函数间的基本关系,求得 tanα 的值是关键,属于中 档题. 17. (2 分) (2013?杭州模拟)在空间直角坐标系中,设 A(1,2,a) ,B(2,3,4) ,若|AB|= 数 a 的值是( ) A.3 或 5 B.﹣3 或﹣5 C.3 或﹣5 D.﹣3 或 5 考点: 空间两点间的距离公式. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 根据所给的两个点的坐标,代入空间中两点之间的距离的公式,利用|AB|= ,则实

,建立方程,即可求

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实数 a 的值. 解答: 解:∵ A(1,2,a) ,B(2,3,4) ,|AB|= ∴ =

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, ,

解得 a=3 或 5 故选 A. 点评: 本题考查空间两点之间的距离公式,考查学生的计算能力,是一个基础题. 18. (2 分) (2013?杭州模拟)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( )

A.

B.2π

C.

D.

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题. 分析: 由已知中几何体的三视图,我们可以判断出几何体的形状及底面直径,母线长,进而求出底面半径 和高后,代入圆锥体积公式进行计算,此图圆锥下面放一个半球,把二者的体积进行相加即可; 解答: 解:如图所示:俯视图为一个圆,说明图形底面是一个圆,再根据正视图和俯视图一样, 可知上面是一个圆锥,高为 2,直径为 2,下面是一个半径为 1 的半球, 可得该几何体的体积是 V 圆锥+V 半球= ×π×1 ×2+
2

=



故选 A. 点评: 本题考查由三视图求几何体的体积,考查由三视图还原直观图,考查球和圆锥的体积,本题是一个 基础题,运算量比较小. 19. (2 分) (2013?杭州模拟)空间中,设 m,n 表示直线,α,β,γ 表示平面,则下列命题正确的是( A.若 α⊥ γ,β⊥ γ,则 α∥ β B. 若 m⊥ α,m⊥ β,则 α∥ β C. m⊥ β,α⊥ β,则 m∥ α D.n⊥ m,n⊥ α,则 m∥ α )

考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 本题研究线线、线面、面面之间的位置关系,A,B 两个选项研究面面之间的位置关系,B、D 选项 研究线面之间的位置关系,对四个选项依次用相关的知识判断其正误即可. 解答: 解:对于 A 选项,若 α⊥ γ,β⊥ γ,则 α∥ β,不正确,在此条件下,两平面 α,β 可以相交, 对于 B 选项,若 m⊥ α,m⊥ β,则 α∥ β,根据垂直于同一条直线的两个平面平行,正确, 对于 C 选项,m⊥ β,α⊥ β,则 m∥ α,同时垂直于一个平面的直线和平面的位置关系可以是直线在平 面内或平行,故 C 不正确,

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对于 D 选项,n⊥ m,n⊥ α,则 m∥ α,由同时垂直于一条直线的直线和平面的位置关系可以是直线在 平面内或平行,故 D 不正确. 故选 B. 点评: 本题考点是命题的真假判断与应用,考查综合利用平面的基本性质来判断线线之间,线面之间,面 面之间的位置关系,属于基本题型. 20. (2 分) (2013?杭州模拟)函数 f(x)=log2(1﹣x)的图象为( A. B. C. ) D.

考点: 对数函数的图像与性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由题中函数知,当 x=0 时,y=0,图象过原点,又依据对数函数的性质知,此函数是减函数,根据此 两点可得答案. 解答: 解:观察四个图的不同发现,A、C 图中的图象过原点, 而当 x=0 时,y=0,故排除 B、D;剩下 A 和 C. 又由函数的单调性知,原函数是减函数,排除 C. 故选 A. 点评: 本题考查对数函数的图象与性质,对于选择题,排除法是一种找出正确选项的很好的方式 21. (3 分) (2013?杭州模拟)如图,在三棱锥 S﹣ABC 中,SA=SC=AB=BC,则直线 SB 与 AC 所成角的 大小是( )

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

考点: 异面直线及其所成的角. 专题: 计算题;空间角. 分析: 取 AC 的中点 O,连接 SO,BO,由题设条件推导出 AC⊥ 平面 SOB,由此能求出直线 SB 与 AC 所 成角的大小. 解答: 解:取 AC 的中点 O,连接 SO,BO, ∵ 在三棱锥 S﹣ABC 中,SA=SC=AB=BC, ∴ AC⊥ SO,AC⊥ BO, ∵ SO∩ BO=O, ∴ AC⊥ 平面 SOB, ∵ SB?平面 SOB,

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∴ AC⊥ SB, ∴ 直线 SB 与 AC 所成角的大小是 90°. 故选 D.

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点评: 本题考查异面直线所成角的大小的求法,解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地化空间问题为 平面问题.

22. (3 分) (2013?杭州模拟)数列{an}中, a5+a6 等于( A. ) B. C. D.

,则

考点: 数列的概念及简单表示法. 专题: 计算题. 分析: 把 n=1 代入 an+an+2+an.an+2=1 可得 a3= ;把 n=2 代入可得 a4= ;把 n=3 代入可得 a5= ;把 n=4 代入可得 a6= ,然后相加即可. 解答: 解:把 n=1 代入 an+an+2+an.an+2=1 可得 a1+a3+a1.a3=1,即 同理把 n=2 代入可得 同理把 n=3 代入可得 同理把 n=4 代入可得 故 a5+a6= , ,解得 a3= ; ,解得 a4= ; ,解得 a5= ; ,解得 a6= ,

故选 A 点评: 本题考查数列的概念即表示,属基础题. 23. (3 分) (2013?杭州模拟)若 log2x+log2y=3,则 x+2y 的最小值是( A. B .8 C.10 ) D.12

考点: 基本不等式;对数的运算性质. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 利用对数的运算性质即可得到 xy 的关系,再使用基本不等式的性质即可得出.

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=8,当且仅当 x>0,y>0,

3 解答: 解:∵ log2x+log2y=3,∴ x>0,y>0,xy=2 =8,∴ x+2y = xy=8,x=2y 即 x=4,y=2 时取等号. ∴ x+2y 的最小值是 8. 故选 B. 点评: 熟练掌握对数的运算性质、基本不等式的性质是解题的关键.

24. (3 分) (2013?杭州模拟)如图是某同学用于计算 S=sin1+sin2+sin3+…+sin2012 值的程序框图,则在判 断框中填写( )

A.k<2011?

B.k<2012?

C.k>2011?

D.k>2012?

考点: 数列的求和;循环结构. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是输出满足判 断框中条件时,计算数列 S=sin1+sin2+sin3+…+sin2012 值,分析计算可得答案. 解答: 解:分析程序中各变量、各语句的作用, 再根据流程图所示的顺序,可知: 该计算 S=sin1+sin2+sin3+…+sin2012 值的程序框图是直到型循环结构, 故最后一次进行循环时 k 的值为 2012. 故判断框中的条件应为 k>2012? 故选 D. 点评: 算法是新课程中的新增加的内容,也必然是新高考中的一个热点,应高度重视.程序填空也是重要 的考试题型,这种题考试的重点有:① 分支的条件② 循环的条件③ 变量的赋值④ 变量的输出.其中前两 点考试的概率更大.此种题型的易忽略点是:不能准确理解流程图的含义而导致错误. 25. (3 分) (2013?杭州模拟)设圆 C: (x﹣5) +(y﹣3) =5,过圆心 C 作直线 l 与圆交于 A,B 两点, 与 x 轴交于 P 点,若 A 恰为线段 BP 的中点,则直线 l 的方程为( ) A.x﹣3y+4=0,x+3y﹣14=0 B. 2x﹣y﹣7=0,2x+y﹣13=0 C. x﹣2y+1=0,x+2y﹣11=0 D.3x﹣y﹣12=0,3x+y﹣18=0 考点: 直线与圆相交的性质. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: 由题意可设直线 l 的方程为 y﹣3=k(x﹣5) ,P(0,3﹣5k) ,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,联立
2 2

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,然后由方程的根与系数关系可得,x1+x2,x1x2,由 A 为 BP 的中点 可得 x2=2x1,联立可求 x1,x2,进而可求 k,即可求解直线方程. 2 2 解答: 解:∵ 圆 C: (x﹣5) +(y﹣3) =5,∴ C(5,3) , ∵ 过圆心 C 作直线 l 与圆交于 A,B 两点, ∴ 设直线 l 的方程为 y﹣3=k(x﹣5) , 令 y=0,得 x=5﹣ ,即 P(5﹣ ,0) ,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2)
2

联立

,消去 x 可得(1+

)y ﹣6(1+

)x+

+4=0,

由方程的根与系数关系可得,y1+y2=6,y1y2=

=

,①

∵ A 为 BP 的中点 ∴ =y1,即 y2=2y1,②

把② 代入① 可得 y2=4,y1=2,y1y2=

=8,

∴ k=± , ∴ 直线 l 的方程为 y﹣3=± (x﹣5) , 即 x﹣2y+1=0,或 x+2y﹣11=0. 故选 C. 点评: 本题主要考查直线和圆的位置关系,方程的根与系数关系的应用,体现了方程的数学思想,属于中 档题.

26. (3 分) (2013?杭州模拟)在平面直角坐标系中,不等式组

,所围成的平面区域面积为

,则实数 a 的值是( A.3

) B .1 C.﹣1 D.﹣3

考点: 二元一次不等式(组)与平面区域. 专题: 不等式的解法及应用.

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分析:

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本题主要考查线性规划的基本知识,先画出约束条件

的可行域,根据已知条件中,

表示的平面区域的面积等于 ,构造关于 a 的方程,解方程即可得到答案. 解答: 解:不等式组 所围成的区域如图深色阴影所示.

由于 A(﹣1,﹣1) ,故其中四边形 ACOB 的面积为 1,

根据题意,不等式组

,所围成的平面区域面积为 ,

∴ 深色阴影中除去四边形 ACOB 之外的部分的面积为 ∴ C 的坐标为(1,0) , 代入 x+y+a=0, 得 a=﹣1. 故选 C.



点评: 平面区域的面积问题是线性规划问题中一类重要题型,在解题时,关键是正确地画出平面区域,然 后结合有关面积公式求解. 二、选择题(本题分 A、B 两组,任选一组完成,每组各 4 小题,选做 B 组的考生,填涂时注意第 27-30 题留空;若两组都做,以 27-30 题记分.每小题 3 分,共 12 分,选出各题中一个符合题意的正确选项,不 选、多选、错选均不给分) (27--30 为 A 组,31--34 为 B 组) 27. (3 分) (2013?杭州模拟)在复平面内,设复数 3﹣ Zi 对应点关于实轴、虚轴的对称点分别是 A,B, 则点 A,B 对应的复数和是( ) A.0 B .6 C. D.6 i i 考点: 复数的代数表示法及其几何意义. 专题: 计算题. 分析: 由对称可得 A,B 的坐标,进而可得 A,B 对应的复数,相加即可. 解答: 解:由题意可知:复数 3﹣ Zi 对应点为(3,﹣ ) , 故其关于实轴的对称点 A(3, ) ,

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关于虚轴的对称点 B(﹣3, ) , 故点 A,B 对应的复数分别为:3+ ,﹣3﹣ , 故其和为: (3+ )+(﹣3﹣ )=0, 故选 A 点评: 本题考查复数的代数形式的运算及几何意义,属基础题. 28. (3 分) (2007?浙江)“x>1”是“x >x”的( A.充分而不必要条件 C. 充分必要条件
2

) B. 必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 计算题. 分析: 由题意解不等式 x2>x,提出公因式 x,根据因式分解法,解出不等式的解,再判断是不是必要条件, 判断此解和 x>1 的关系. 2 解答: 解:由 x >x, 可得 x>1 或 x<0, ∴ x>1, 可得到 x >x, 2 但 x >x 得不到 x>1. 故选 A. 点评: 注意必要条件、充分条件与充要条件的判断.
2

29. (3 分) (2013?杭州模拟) 直线 y=kx+1 与双曲线 A. 或 B. 或 C. 或

的一条渐近线垂直, 则实数 k 的值是 ( D. 或



考点: 双曲线的简单性质;直线的一般式方程与直线的垂直关系. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 先求双曲线的渐近线方程,再利用两直线垂直的充要条件列方程即可解得 k 的值 解答: 解:双曲线 的渐近线方程为 y= x

∵ 直线 y=kx+1 与双曲线 ∴ ( ∴ k= )×k=﹣1

的一条渐近线垂直,

故选 D. 点评: 本题考查了双曲线的标准方程及其几何性质,双曲线渐近线方程的求法,两直线垂直的充要条件及 其应用

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30. (3 分) (2013?杭州模拟)已知函数

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(a,b∈R)的图象在点(1,f(1) )处的切线在

y 轴上的截距为 3,若 f(x)>x 在(1,+∞)上恒成立,则 a 的取值范围是( ) A.(0,1] B. C. D.[1,+∞)

考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 综合题;导数的概念及应用. 分析: 先根据图象在点(1,f(1) )处得切线在 y 轴上的截距为 3,求得 b=3﹣2a,再将 f(x)>x 在(1, +∞)上恒成立,转化为 f(x)﹣x>0 在(1,+∞)上恒成立,构造新函数,再进行分类讨论,即可 确定 a 的取值范围. 解答: 解:由题意,f(1)=2a+b∵ 函数 f(x)=ax+ +b(a,b∈R) ∴ f′ (x)=a﹣ ,

∴ f′ (1)=0; 所以图象在点(1,f(1) )处的切线为:y=f(1)=2a+b=3, ∴ b=3﹣2a 若 f(x)>x 在(1,+∞)上恒成立,即:f(x)﹣x>0 在(1,+∞)上恒成立; 设 g(x)=f(x)﹣x=(a﹣1)x+ +3﹣2a, ∴ g′ (x)=a﹣1﹣ ,a≤0 时,x >1,0< <0,∴ a﹣1﹣
2

<1,∴ 0< <0;

﹣<﹣a,∴ a﹣1﹣

<﹣1<0;

0<a<1 时,a﹣1<0,∴ ﹣

所以 a<1 时,g′ (x)<0,g(x)在(1,+∞)上是减函数, ∴ g(x)>0 不会恒成立,不满足题意; 把 a=1 代入可得:g(x)= +1>0 在(1,+∞) 上恒成立,符合条件; a>1 时,g′ (x)=0 得:x= 当 x> ; 时,g′ (x)<0,

时,g′ (x)>0;1<x< )>0 即可, + +3﹣2a>0

所以 g(x)min=g( 即: (a﹣1)

∴ 2

>2a﹣3.

① 当 1<a≤ 时,上式恒成立; ② 当 a> 时,平方得:4a ﹣4a>4a ﹣12a+9 即:a> ; ∴ a> 时,符合题意;综上可知:a 的取值范围是:[1,+∞) , 故答案为:[1,+∞) .
2 2

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点评: 本题重点考查导数知识的运用,考查恒成立问题,解题时正确分类,利用导数确定函数的单调性是 关键 31. (2013?杭州模拟)若随机变量 X 分布如右表所示,X 的数学期望 EX=2,则实数 a 的值是( X a 2 3 4 P b )

A.0

B.

C.1

D.

考点: 离散型随机变量的期望与方差. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 离散型随机变量的分布列中,概率之和为 1,由此能求出 b,再由数学期望的计算公式根据 EX=2 能 求出 a. 解答: 解:∵ X 的数学期望 EX=2,

∴ 由随机变量 X 分布列,知



解得 b= ,a=0. 故选 A. 点评: 本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的应用,是基础题.解题时要认真审题,注意分布列 中概率之和为 1. 32. (2013?杭州模拟)函数 y=xsin2x 的导数是( A.y′ =sin2x﹣xcos2x y ′ C. =sin2x+xcos2x ) B. y′ =sin2x﹣2xcos2x y ′ D. =sin2x+2xcos2x

考点: 导数的乘法与除法法则. 专题: 计算题. 分析: 运用导数的乘法法则展开,然后对 sin2x 进行简单的复合函数求导运算. 解答: 解:由 y=xsin2x, ′ ′ ′ ′ ′ 则 y =(xsin2x) =x sin2x+x(sin2x) =sin2x+xcos2x?(2x) =sin2x+2xcos2x. 故选 D. 点评: 本题考查了导数的乘法与除法法则,考查了简单的复合函数求导运算,此题虽是基础题题型,但求 解时极易忽略对复合函数 sin2x 的内层求导.是易错题. 33. (2013?杭州模拟)二项式 A.﹣240 B.160 展开式中的常数项为( C.﹣160 ) D.240

考点: 二项式定理. 专题: 计算题. 分析: 先求出二项式展开式的通项公式,再令 x 的幂指数等于零,求得 r 的值,即可求得展开式中的常数

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项. 解答: 解:二项式

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展开式的通项公式为 Tr+1=

?x

6﹣r

?

=(﹣2)

r

?

?

, =0,解得 r=4,故展开式中的常数项为 =240,

令 6﹣

故选 D. 点评: 本题主要考查二项式定理的应用,二项式展开式的通项公式,求展开式中某项的系数,属于中档题. 34. (2013?杭州模拟)在棱长为 1 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,M 是 BC 的中点,P,Q 是正方体内部 及面上的两个动点,则 A. 的最大值是( B .1 ) C. D.

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 以 A 为原点,分别以 AB、AD、AA1 为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系,设 P(x1,y1,z1) ,Q(x2, y2,z2) ,可得 =(x2﹣x1)+ .分析可得,当 P 在 AA1 上,Q 在 CC1 上, 有

最大值,此时,x2﹣x1=1,y2﹣y1,由此求得

的最大值.

解答: 解:以 A 为原点,分别以 AB、AD、AA1 为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系, 则 A(0,0,0) ,B(1,0,0) ,C(1,1,0) ,D(0,1,0) , A1(0,0,1) ,B1(1,0,1) ,C1(1,1,1) ,D1(0,1,1) . 由题意可得,M(1, ,0) ,设 P(x1,y1,z1) ,Q(x2,y2,z2) , 则有 0≤x1≤1,0≤y1≤1,0≤z1≤1,0≤x2≤1,0≤y2≤1,0≤z2≤1. ∴ 向量 =(1, ,0) ,向量 =( x2﹣x1,y2﹣y1,z2﹣z1) ,

可得

=(x2﹣x1)+



当 Q 在 BCCB1 平面,P 在 ADDA1 平面时,x2﹣x1=1﹣0=1,为最大值, 当 Q 在 DCCD1 平面,P 在 ABBA1 平面时,y2﹣y1=1﹣0=1,为最大值, 故当 P 在 AA1 上,Q 在 CC1 上, 有最大值,此时, =1+ = ,

故选 C. 点评: 本题主要考查两个向量的数量积公式的应用,建立空间坐标系,求得有关点及向量的坐标,是解题 的关键,属于中档题. 三、填空题(本题有 5 小题,每小题 2 分,共 10 分)

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2

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35. (2 分) (2013?杭州模拟)不等式 x +x﹣6<0 的解集是 (﹣3,2) . 考点: 一元二次不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 先求出相应的一元二次方程的实数根,进而即可得出一元二次不等式的解集. 解答: 解:由 x2+x﹣6=0,解得 x=2,﹣3. 2 ∴ 不等式 x +x﹣6<0 的解集是(﹣3,2) . 故答案为(﹣3,2) . 点评: 熟练掌握一元二次不等式的解法是解题的关键. 36. (2 分) (2013?杭州模拟)某校对学生在一周中参加社会实践活动时间进行调查,现从中抽取一个容量 为 n 的样本加以分析, 其频率分布直方图如图所示, 已知时间不超过 2 小时的人数为 12 人, 则 n= 150 .

考点: 频率分布直方图. 专题: 概率与统计. 分析: 根据已知中的频率分布直方图,结合频率=矩形高×组距=

,得到答案.

解答: 解:由已知中的频率分布直方图可得时间不超过 2 小时的频率为 0.04×2=0.08 故个容量 n= 故答案为:150 点评: 本题考查的知识点是频率分布直方图,熟练掌握频率的两个公式频率=矩形高×组距= 答的关键. 是解 =150

37. (2 分) (2013?杭州模拟)已知非零向量 则| |= 1 .

满足|

|=1,





的夹角为 120°,

考点: 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角. 专题: 平面向量及应用. 分析: 把 平方,并代入已知数据易得 解答: 解:由题意可得 = =

+

﹣2=0,解之即可.

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=1+ + =3,即 ﹣1) ( + ﹣2=0, +2)=0,

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分解因式可得( 解得 =1,或

=﹣2(舍去)

故答案为:1 点评: 本题考查向量的数量积的应用,涉及模长的求解,属基础题.

38. (2 分) (2013?杭州模拟)已知函数

,则 f(x)的值域是 [﹣1,+∞) .

考点: 函数的值域. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用一次函数、二次函数的单调性分别求出不同区间上的值域,再求出其并集即可. 解答: 解:当 x>0 时,f(x)=x>0; 当 x≤0 时,f(x)=x ﹣1≥f(0)=﹣1. 综上可知:f(x)的值域[﹣1,+∞) . 故答案为[﹣1,+∞) . 点评: 熟练掌握函数的单调性和分段函数的意义是解题的关键. 39. (2 分) (2013?杭州模拟)把椭圆 C 的短轴和焦点连线段中较长者、较短者分别作为椭圆 C′ 的长轴、 短轴,使椭圆 C 变换成椭圆 C′ ,称之为椭圆的一次“压缩”.按上述定义把椭圆 Ci(i=0,1,2,…)“压缩” 成椭圆 Ci+1,得到一系列椭圆 C1,C2,C3,…,当短轴长与截距相等时终止“压缩”.经研究发现,某个椭 圆 C0 经过 n(n≥3)次“压缩”后能终止,则椭圆 Cn﹣2 的离心率可能是:① ,② (填写所有正确结论的序号) 考点: 椭圆的简单性质. 专题: 分类讨论;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 分类讨论,确定压缩数为 n﹣2 时,半长轴、半短轴、半焦距,利用离心率公式,即可求得结论. 解答: 解:依题意, 若原椭圆,短轴>焦距,则压缩数为 n 时,半长轴为 a,半短轴为 c,半焦距为 c 所以压缩数为 n﹣1 时,半长轴为 压缩数为 n﹣2 时,半长轴为 ∵ 压缩数为 n 时,a =c +c =2c ∴ Cn﹣2 的离心率= =
2 2 2 2 2

,③ ,④ 中的 ① ②

,半短轴为 a,半焦距为 c; ,半短轴为 ,半焦距为 a

同理,若原椭圆,短轴<焦距,则压缩数为 n 时,半长轴为 a,半短轴为 c,半焦距为 c 所以压缩数为 n﹣1 时,半长轴为 ,半短轴为 c,半焦距为 a;

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压缩数为 n﹣2 时,半长轴为 ∵ 压缩数为 n 时,a =c +c =2c ∴ Cn﹣2 的离心率= =
2 2 2 2

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,半短轴为 c,半焦距为

故答案为:① ② 点评: 本题考查新定义,考查学生的计算能力,考查分类讨论的数学思想,考查学生分析解决问题的能力, 属于中档题. 四、解答题(本题有 3 小题,共 20 分) 40. (6 分) (2013?杭州模拟) 在锐角△ ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c. 已知 b=2, c=3, sinA= △ ABC 的面积及 a 的值. 考点: 余弦定理. 专题: 计算题;解三角形. 分析: 利用三角形的面积公式 S△ABC= bcsinA,可求面积,利用余弦定理可求 a 的值. 解答: 解:∵ b=2,c=3,sinA= ∴ S△ABC= bcsinA= ∵ △ ABC 为锐角三角形,sinA= ∴ cosA=
2

. 求

, = , ,

=
2 2

∴ 根据余弦定理 a =b +c ﹣2bccosA=4+9﹣2×2×3× =9 ∴ a=3. 点评: 本题考查了同角三角函数间的基本关系,三角形的面积公式及余弦定理.熟练掌握这些公式及定理 是解本题的关键. 41. (6 分) (2013?杭州模拟)如图,由半圆 x +y =1(y≤0)和部分抛物线 y=a(x ﹣1) (y≥0,a>0)合成 的曲线 C 称为“羽毛球形线”,且曲线 C 经过点(2,3) . (1)求 a 的值; (2)设 A(1,0) ,B(﹣1,0) ,过 A 且斜率为 k 的直线 l 与“羽毛球形”相交于 P,A,Q 三点,问是否存 在实数 k 使得∠ QBA=∠ PBA?若存在,求出 k 的值;若不存在,请说明理由.
2 2 2

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考点: 圆与圆锥曲线的综合. 专题: 计算题;圆锥曲线中的最值与范围问题. 2 分析: (1)把点(2,3)代入 y=a(x ﹣1) ,可求 a 的值; (2)由题意可知 kQB?kQA=1,利用斜率公式,即可求得结论. 2 2 解答: 解: (1)把点(2,3)代入 y=a(x ﹣1) ,可得 3=a(2 ﹣1) ,∴ a=1; (2)由题意可知∠ QBA=∠ PBA,∠ APB=90° ∴ ∠ QBA+∠ BAP=90° ∴ kQB?kQA=1 设 Q(x0, ) ,其中 x0>0

∴ ∴ kQB?kQA= ∵ x0>0,∴ ∴ k=

=x0﹣1, =1

=x0+1,

∴ 存在实数 k=1+ ,使得∠ QBA=∠ PBA. 点评: 本题考查直线斜率的计算,考查学生的计算能力,属于中档题. 42. (8 分) (2013?杭州模拟)已知函数 f(x)=(x +ax+a)?e (a∈R) . (1)求 f(x)的单调区间与极值; (2)设 g(x)=f(x)﹣t(t∈R,a>2) ,若函数 g(x)在[﹣3,+∞)上有三个零点,求实数 t 的取值范 围. 考点: 利用导数研究函数的极值;根的存在性及根的个数判断;利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)先求导,通过对 a 与 2 比较讨论即可得出其单调区间及极值; (2)利用(1)画出图象,通过对 a 分类讨论及比较 f(﹣3)与 f(﹣2)的大小即可求出 t 的取值 范围. ′ 2 x x 解答: 解: (1)f (x)=[x +(2+a)x+2a]e =(x+2) (x+a)e . ′ ① 当 a=2 时,f (x)≥0,∴ f(x)在 R 上单调递增; ′ ② 当 a≠2 时,令 f (x)=0,解得 x=﹣2 或﹣a. 不妨令 x1<x2, (x1 是﹣2 与﹣a 两个数中较小的一个,x2 是另一个) .列表如下: ﹣2 当 a<2 时,﹣a>﹣2,取 x1=﹣2,x2=﹣a,其单调区间如表格,其极大值为 f(﹣2)=(4﹣a)e , ﹣a 极小值为 f(﹣a)=ae . ﹣2 当 a>2 时,﹣a<﹣2,取 x1=﹣a,x2=﹣2,其单调区间如表格,其极小值为 f(﹣2)=(4﹣a)e , ﹣a 极大值为 f(﹣a)=ae . (2)当 a>2 时,利用(1)的结论画出图象: (﹣ f 3) = (9﹣2a) e , 又 (﹣ f 3) ﹣(﹣ f 2) = ∴ ① 当 2<a≤
﹣3

2

x

, 由于 a>2, 且



时,f(﹣3)≤f(﹣2) ,∴ f(﹣2)<t<f(﹣a)时,函数 y=f(x) (x∈[﹣3,+∞) )

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的图象与 y=t 的图象有三个交点,即函数 y=g(x)有三个零点; ② 当 时,f(﹣3)>f(﹣2) ,∴ f(﹣3)≤t<f(﹣a)时,函数 y=f(x) (x∈[﹣3,+∞) )

的图象与 y=t 的图象有三个交点,即函数 y=g(x)有三个零点; ③ 当 a≥3 时,函数 y=f(x) (x∈[﹣3,+∞) )的图象与 y=t 的图象至多有三个交点,即函数 y=g(x) 至多有两个零点. 综上可知:① 当 2<a≤ ② 当 时,t∈( (4﹣a)e ,ae )时,函数 g(x)有三个零点;
﹣3 ﹣a ﹣2 ﹣a

时,t∈( (9﹣2a)e ,ae )时,函数 g(x)有三个零点;

③ 当 a≥3 时,则不存在满足题意的实数 t.

点评: 熟练利用导数得出其单调区间与极值并画出图象和应用分类讨论的思想方法是解题的关键.


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