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江苏省镇江市2012-2013学年高三上学期期末考试数学试卷


江苏省镇江市 2012-2013 学年高三上学期期末考试 数学试卷
2013.1 注意事项: 1. 本试卷共 4 页, 包括填空题 (第 1 题~第 14 题) 解答题 、 (第 15 题~第 20 题) 两部分. 本 试卷满分 160 分,考试时间 120 分钟. 2.答题前,请您务必将自己的姓名、考试号用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷的指 定位置. 3.答

题时,必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在试卷的指定位置,在其它位置作答 一律无效. 4.如有作图需要,可用 2B 铅笔作答,并请加黑加粗,描写清楚.

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.不需要写出解答过程,请把答案直 接填在答题卡相应位置上. ........ 1.已知集合 M={1 ,2,3, 4,5},N={2,4,6,8,10},则 M∩N= ▲ . ▲ . ▲ .

? ? ? ? 2.已知向量 a ? (1 ? 2 x,2) , b = ? 2, ?1? ,若 a ? b ,则实数 x ?

3.直线 l1 : x ? 2 y ? 4 ? 0 与 l2 : mx ? (2 ? m) y ? 1 ? 0 平行,则实数 m ? 4.方程 x lg( x ? 2) ? 1 有 ▲ 个不同的实数根.

5. 已知 ? ? 0 ,函数 y ? 3sin(?? x ?

?
4

) 的周期比振幅小 1,则 ? ?


▲ .



6. 在△ABC 中, sin A : sin B : sin C ? 2 : 3: 4 ,则 cos C =

7. 在等比数列 {an } 中, S n 为其前 n 项和,已知 a5 ? 2S4 ? 3 , a6 ? 2S5 ? 3 ,则此数列的 公比 q 为 ▲ . 3 1 1 3 1 4 1 1 3 1 4 1 × =1- 2, × + × 2=1- × + × 2 2, 2 1×2 2 1×2 2 2×3 2 3×2 1×2 2 2×3 2

8. 观察下列等式:

5 1 1 + × 3=1- ,…,由以上等式推测到一个一般的结论:对于 n∈N*, 2 3×4 4×23 n+2 3 1 4 1 1 × + × +…+ × n= 2 2×3 22 2 1×2 n?n+1? ▲ .

9. 圆心在抛物线 x2 ? 2 y 上,并且和抛物线的准线及 y 轴都相切的圆的标准方程 为 ▲ .

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10. 在菱形 ABCD 中, AB ? 2 3 , ?B ? 则 EF ? AC ?

? ??? ??? ? ? ???? 2? ??? , BC ? 3BE , DA ? 3DF , 3

??? ??? ? ?





11.设双曲线

x2 y2 ? ? 1 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,点 P 在双曲线的右支上, a 2 b2
▲ .

且 PF1 ? 4PF2 ,则此双曲线离心率的最大值为

12. 从直线 3x ? 4 y ? 8 ? 0 上一点 P 向圆 C : x2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 引切线 PA, PB , A, B 为 切点,则四边形 PACB 的周长最小值为 ▲ .

13. 每年的 1 月 1 日是元旦节,7 月 1 日是建党节,而 2013 年的春节是 2 月 10 日,祝同学 们新年梦想成真! 因为 2sin11? sin71? sin[( ▲ 新年将 )? ? 30? ] ? sin2013? sin210? ,

注定不平凡,请在括号内填写一个由月份和日期构成的正整数,使得等式成立,也正好 组成我国另外一个重要节日. 14. 已知 x,y 为正数,则

x y ? 的最大值为 2x ? y x ? 2 y





二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文 ....... 字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 14 分)
2 已知 p : 1 ? 2 x ? 8 ; q : 不等式 x ? mx ? 4 ? 0 恒成立,

若 ? p 是 ? q 的必要条件,求实数 m 的取值范围.

16.(本小题满分 14 分)

??? ??? ? ? 已知△ ABC 的面积为 S ,且 AB ? AC ? S .
(1)求 tan 2 A 的值; ??? ??? ? ? ? (2)若 B ? , CB ? CA ? 3 ,求△ABC 的面积 S .

4

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17.(本小题满分 14 分) 已知 a ? 0 ,函数 f ( x) ? ax 3 ? bx(x ? R)图象上相异两点 A, B 处的切线分别为 l1 , l2 , 且 l1 ∥ l2 . (1)判断函数 f ( x ) 的奇偶性;并判断 A, B 是否关于原点对称; (2)若直线 l1 , l2 都与 AB 垂直,求实数 b 的取值范围.

18.(本小题满分 16 分) 一位幼儿园老师给班上 k (k ? 3) 个小朋友分糖果.她发现糖果盒中原有糖果数为 a0 ,就 先从别处抓 2 块糖加入盒中,然后把盒内糖果的

1 分给第一个小朋友;再从别处抓 2 块 2

糖加入盒中, 然后把盒内糖果的 分给第二个小朋友;…,以后她总是在分给一个小朋友 后,就从别处抓 2 块糖放入盒中,然后把盒内糖果的

1 3

1 分给第 n(n ? 1,2,3,?k ) 个小 n ?1

朋友.如果设分给第 n 个小朋友后(未加入 2 块糖果前)盒内剩下的糖果数为 an . (1)当 k ? 3 , a0 ? 12 时,分别求 a1 , a2 , a3 ; (2)请用 an ?1 表示 an ;令 bn ? (n ? 1)an ,求数列 {bn } 的通项公式; (3)是否存在正整数 k ( k ? 3) 和非负整数 a 0 ,使得数列 {an } ( n ? k ) 成等差数列,如果存 在,请求出所有的 k 和 a 0 ,如果不存在,请说明理由.

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19.(本小题满分 16 分) 已知椭圆 O 的中心在原点,长轴在 x 轴上,右顶点 A(2,0) 到右焦点的距离与它到右准 线的距离之比为

3 1 . 不过 A 点的动直线 y ? x ? m 交椭圆 O 于 P,Q 两点. 2 2

(1)求椭圆的标准方程; (2)证明 P,Q 两点的横坐标的平方和为定值; (3)过点 A,P,Q 的动圆记为圆 C,动圆 C 过不同于 A 的定点,请求出该定点坐标.

20.(本小题满分 16 分)

x2 1 已知函数 f ( x ) ? 2 ,对一切正整数 n ,数列 {an } 定义如下: a1 ? , x ? x ?1 2
且 an?1 ? f (an ) ,前 n 项和为 Sn . (1)求函数 f ( x ) 的单调区间,并求值域; (2)证明 x f ( x ) ? x ? x f ( f ( x )) ? x ; (3)对一切正整数 n ,证明:○ an?1 ? an ;○ Sn ? 1 . 1 2

?

? ?

?

数学Ⅱ(附加题)
注意事项: 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷只有解答题,供理工方向考生使用.本试卷第 21 题有 4 个小题供选做,每位考生 在 4 个选做题中选答 2 题,3 题或 4 题均答的按选做题中的前 2 题计分.第 22、23 题为 必答题.每小题 10 分,共 40 分.考试用时 30 分钟. 2.答题前,考生务必将自己的学校、姓名、考试号填写在试卷及答题卡的规定位置. 3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答,在其他位置作答一律无效.作答必须 用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整,笔迹清楚.本卷考试结束后,上交答
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题卡. 4.如需作图,须用 2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗. 5.请保持答题卡卡面清洁,不要折叠、破损.一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆 珠笔. 21. 【选做题】本题包括 A 、 B 、 C 、 D 四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内 ...... .......... 作答,若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算 .. 步骤. A. (选修 4-1 几何证明选讲) 如图,⊙ 的直径 AB 的延长线与弦 CD 的延长线相交于点 P,E 为⊙ 上一点,AE=AC, O O DE 交 AB 于点 F.求证:△PDF∽△POC. E A · O C
(第 21-A 题)

F

B D

P

B. (选修 4—2:矩阵与变换)

? ? 求曲线 C : xy ? 1 在矩阵 A ? ? ? ?? ?

2 2 ?    ? 2 2 ? 对应的变换下得到的曲线 C ? 的方程. 2 2?     ? 2 2 ?

C. (选修 4—4:坐标系与参数方程) 求圆 ? ? 3cos ? 被直线 ?

? x ? 2 ? 2t , ( t 是参数 ) 截得的弦长. y ? 1 ? 4t ?

D.(选修 4—5:不等式选讲) 设函数 f ( x) ?

x ?1 ? x ? 2 ? a .

(1)当 a ? ?5 时,求函数 f ( x ) 的定义域; (2)若函数 f ( x ) 的定义域为 R,试求 a 的取值范围.
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[必做题] 第 22、23 题,每小题 10 分,计 20 分.请把答案写在答题纸的指定区域内. 22. (本小题满分 10 分) 斜率为 1 的直线与抛物线 y 2 ? 2 x 交于不同两点 A, B ,求线段 AB 中点 M 的轨迹方程. .

23. (本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x ) ? ln(2 ? x ) ? ax 在区间 (0,1) 上是增函数. (1)求实数 a 的取值范围; (2)若数列 ?an ? 满足 a1 ? (0,1) , an?1 ? ln(2 ? an ) ? an , n ? N* ,证明 0 ? an ? an ?1 ? 1

高三数学期末检测答案及评分标准
2013.01 一、填空题(每题 5 分) 1. ?2,4? ; 2. 0; 6. ? 3.

2 ; 3

4. 2; 8. 1 ?

5. 1 ;

1 ; 4

7. 3;

1 ?n ? 1? ? 2 n

1 9. ?x ? 1?2 ? ? y ? ? ? 1 ; ? ? 2? ?
13. 101; 【说明】

2

10. ? 12 ; 14. 2 .

11.

5 ; 3

12. 4 2 ? 2 ;

3
13. (10 月 1 日国庆节)本题的一般结论是 4 sin x ? sin 600 ? x ? sin 600 ? x ? sin 3x ,可以应用 课本习题中结论 sin(? ? ? )sin(? ? ? ) ? sin2 ? ? sin2 ? 证得. 14. 本题可以进一步推广为:是否存在实数 k ,使得
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?

? ?

?

x y x y ? ?k ? ? 当 2x ? y x ? 2 y x ? 2 y 2 x? y

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xy ? 0 时恒成立?
二、解答题: 15.解: p : 1 ? 2 x ? 8 ,即 0 ? x ? 3 ,……3 分 ? ? p 是 ? q 的必要条件,
2 ? p 是 q 的充分条件,……5 分?不等式 x ? mx ? 4 ? 0 对 ?x ? ?0,3? 恒成立,……7 分

?m ?

x2 ? 4 4 ? x ? 对 ?x ? ?0,3? 恒成立,……10 分 x x

?x ?

4 4 ? 2 x ? ? 4 ,当且仅当 x ? 2 时,等号成立.……13 分 ?m ? 4 .……14 分 x x

【说明】本题考查简易逻辑、命题真假判断、简单指数不等式的解法、函数的最值、基本不 等式应用;考查不等式恒成立问题;考查转化思想. 16.解: (1)设△ ABC 的角 A, B, C 所对应的边分别为 a , b, c . ??? ??? ? ? 1 ? AB ? AC ? S ,?bc cos A ? bc sin A ,……2 分

2

2t a n A 4 1 ?cos A ? sin A , ? tan A ? 2 .……4 分 ? t a n A ? 2 ? ? .……5 分 2 2 3 1? t a n A ??? ??? ? ? ? (2) CB ? CA ? 3 ,即 AB ? c ? 3 ,……6 分 ? t a n ? 2,0 ? A ? ,……7 分 A 2 2 5 5 ? sin A ? , cos A ? . ……9 分 5 5

?sin C ? sin ? A ? B ? ? sin A cos B ? cos Asin B
2 5 2 5 2 3 10 ? ? ? ? . ……11 分 5 2 5 2 10 c b c 由正弦定理知: ? ?b ? ? sin B ? 5 ,……13 分 sin C sin B sin C ? 1 1 2 5 S ? bc sin A ? 5 ?3? ? 3 .……14 分 2 2 5 【说明】本题主要考查和差三角函数、倍角公式、正弦定理的应用、平面向量的运算;考查 运算变形和求解能力.
17.解: (1)? f ?? x? ? a?? x? ? b?? x? ? ? ax3 ? bx ? ? f ?x? ,……2 分
3

?

?

? f ?x ? 为奇函数.……3 分
设 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y2 ? 且 x1 ? x2 ,又 f ??x ? ? 3ax 2 ? b ,……5 分

? f ?x ? 在两个相异点 A, B 处的切线分别为 l1 , l2 ,且 l1 ∥ l2 ,
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2 2 ? k1 ? f ? ? x1 ? ? 3ax1 ? b ? k2 ? f ? ? x2 ? ? 3ax2 ? b ?a ? 0? ,

2 2 ? x1 ? x2 又 x1 ? x2 ,? x1 ? ? x2 ,……6 分

又? f ( x ) 为奇函数,

?点 A, B 关于原点对称.……7 分
(2)由(1)知 A?x1 , y1 ?, B?? x1 ,? y1 ? ,

? k AB ?

y1 2 ? ax1 ? b ,……8 分 x1

2 又 f ?x ? 在 A 处的切线的斜率 k ? f ??x1 ? ? 3ax1 ? b , ? 直线 l1 , l2 都与 AB 垂直,

? k AB ? k ? ?1,
2

?ax

2 1 ?b

? ? ?3ax

2 1 ?b

? ? ?1,……9 分

令 t ? ax1 ? 0 ,即方程 3t 2 ? 4bt ? b 2 ? 1 ? 0 有非负实根,……10 分

? ? ? 0 ? b 2 ? 3 ,又 t1t2 ?

b2 ? 1 4b ?0 , ? ? 0 ? b ? 0 .综上 b ? 3 .……14 分 3 3

【说明】本题考查函数性质和导数的运算与应用、一元二次方程根的分布;考查换元法考查 推理论证能力. 21. 解: (1)当 k ? 3 , a0 ? 12 时, a1 ? ?a0 ? 2? ?

1 ?a0 ? 2? ? 7 , 2 1 1 a2 ? ?a1 ? 2? ? ?a1 ? 2? ? 6 , a3 ? ?a2 ? 2? ? ?a2 ? 2? ? 6 .……3 分 3 4 1 (2)由题意知: an ? ?an?1 ? 2? ? ?an?1 ? 2? ? n ?an?1 ? 2? ,……6 分 n ?1 n ?1
即 ?n ? 1?an ? n?an?1 ? 2? ? nan?1 ? 2n , ? bn ? (n ? 1)an ,?bn ? bn ?1 ? 2n, ……7 分

? bn ? bn ?1 ? 2n, bn ?1 ? bn ?2 ? 2n ? 2, ? b1 ? b0 ? 2.
累加得 bn ? b0 ?

?2 ? 2n? n ? n?n ? 1? ,……9 分
2

又 b0 ? a0 ,? bn ? n?n ? 1? ? a0 .……10 分

(3)由 bn ? n?n ? 1? ? a0 ,得 an ? n ?

a0 ,……12 分 n ?1

若存在正整数 k ( k ? 3) 和非负整数 a 0 ,使得数列 {an } ( n ? k ) 成等差数列, 则 a1 ? a3 ? 2a2 ,……14 分

1 a ? a ? 即 (1 ? a0 ) ? 3 ? 0 ? 2 ? 2 ? 0 ? ? a0 ? 0 ,……15 分 2 4 3? ?

当 a0 ? 0 时, an ? n ,对任意正整数 k ( k ? 3) ,有 {an } ( n ? k ) 成等差数列. ……16 分

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[注:如果验证 a0 , a1 , a2 不能成等差数列,不扣分] 【说明】本题主要考查数列的定义、通项求法;考查反证法;考查递推思想;考查推理论证 能力;考查阅读理解能力、建模能力、应用数学解决问题能力.本题还可以设计:如果班上 有 5 名小朋友,每个小朋友都分到糖果,求 a0 的最小值.

19.解: (1)设椭圆的标准方程为

3 x2 y2 ? 2 ? 1?a ? b ? 0? .由题意得 a ? 2, e ? .……2 分 2 2 a b

?c ? 3 , b ? 1 , ……2 分
(2)证明:设点 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) 将y?

?椭圆的标准方程为

x2 ? y 2 ? 1 .……4 分 4

1 1 x ? m 带入椭圆,化简得: x 2 ? 2mx ? 2(m2 ? 1) ? 0 ○ 2
2 2 x1 x2 ? 2(m2 ? 1) ,……6 分 ? x1 ? x2 ?( x1 ? x) 2 ?2 x1 x2 ?,4 2

? x1 ? x2 ? ?2m,

?P,Q 两点的横坐标的平方和为定值 4.……7 分
2 2 (3)(法一)设圆的一般方程为: x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,则圆心为( ?

D 2

,?

E 2

),

PQ 中点 M( ? m, 圆心( ?

m 3 ), PQ 的垂直平分线的方程为: y ? ?2x ? m , ……8 分 2 2

E 3 D E 3 2 ,? )满足 y ? ?2x ? m ,所以 ? ? D ? m ○,……9 分 2 2 2 2 2
3 ? 0 ○,……10 分 两式相加得:

圆过定点(2,0),所以 4 ? 2D ? F 圆过 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) , 则 ?

? x12 ? y12 ? Dx1 ? Ey1 ? F ? 0,
2 2 ? x2 ? y2 ? Dx2 ? Ey2 ? F ? 0,

x12 ? x2 2 ? y12 ? y2 2 ? Dx1 ? Dx2 ? Ey1 ? Ey2 ? 2F ? 0,
x12 ? x2 2 ? (1 ? x1 4
2

) ? (1 ?

x2 4

2

) ? D( x1 ? x2 ) ? E ( y1 ? y2 ) ? 2 F ? 0 ,……11 分

? y1 ? y2 ? m ,
因为动直线 y ?

4 ?5 ? 2mD ? mE ? 2F ? 0 ○.……12 分

1 2

x ? m 与椭圆 C 交与 P,Q(均不与 A 点重合)所以 m ? ?1 ,
3(m ? 1) 4 , E? 3 m? , 2 2 3 3 5 F ? ? m ? , ……13 分 2 2

由○○○解得: D ? 2 3 4

3 3 3 5 x ? ( m ? )y ? m ? ? 0 , 4 2 2 2 2 3 3 5 3 3 3 整理得: ( x 2 ? y 2 ? x ? y ? ) ? m( x ? y ? ) ? 0 ,……14 分 4 2 2 4 2 2
代入圆的方程为: x 2 ? y 2 ?
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3(m ? 1)

3 3 5 ? 2 2 ? x ? y ? 4 x ? 2 y ? 2 ? 0, ? 所以: ? ……15 分 3 3 3 ? x ? y ? ? 0, ? ? 4 2 2

? x ? 0, ? x ? 2, 解得: ? 或? (舍). ? y ? 1, ? y ? 0

所以圆过定点(0,1).……16 分
2 2 (法二) 设圆的一般方程为: x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,将 y ?

1 x ? m 代入的圆的方程: 2

5 2 ? E? x ? ? m ? D ? ? x ? m 2 ? mE ? F ? 0 ○.……8 分 5 4 2? ?

1 2m 2(m2 ? 1) , ……11 分 ? ? 2 5 E m ? mE ? F m?D? 4 2 圆过定点(2,0),所以 4 ? 2 D ? F ? 0 , ……12 分
方程○与方程○为同解方程. 1 5 因为动直线 y ? 解得: D ?

1 x ? m 与椭圆 C 交与 P,Q(均不与 A 点重合)所以 m ? ?1 . 2

3(m ? 1) 3 3 3 5 , E ? m ? , F ? ? m ? ,……13 分 (以下相同) 4 2 2 2 2

【说明】本题考查圆锥曲线的基本量间关系、直线与圆锥曲线的位置关系;考查定点定值问 题;考查运算求解能力和推理论证能力. 20.解: (1)定义域 x ?R,

f ??x ? ?

2 x x 2 ? x ? 1 ? x 2 ?2 x ? 1?

?

?x

?

2

? x ?1

?

2

?

?x

? x2 ? 2x
2

? x ?1

?

2

,……1 分

f ??x ? ? 0 ? 0 ? x ? 2 , f ??x ? ? 0 ? x ? 0或x ? 2 .……2 分 ? 函数 f ( x ) 的单调增区间为 ?0,2? ,单调减区间为 ?? ?,0?和?2, ? ? .……3 分
(法一) f ?0? ? 0 , f (2) ?

4 ,当 x ?? 时, f ? x ? ? 3

1 1 ?1? 1? ? ? ? x ?x?
2

? 1 ,……4 分

x ? ( ??,0] 时, f ( x ) 为减函数, f ( x ) ? [0,1) ;

4 ? 4? 当 x ? [0, ??) 时, f ( x) ? [0, ] ;函数 f ( x ) 的值域为 ? 0, ? .……5 分 3 ? 3?
(法二)当 x ? 0 时, f ?0? ? 0 ,当 x ? 0 时, f ? x ? ?

1 1? 1 ?1? ?? ? x ?x?
2

?

1 4 ? , 1 1 3 3 ( ? )2 ? x 2 4

且 f ( x ) ? 0 , f (2) ?

4 ? 4? ,?函数 f ( x ) 的值域为 ? 0, ? .……5 分 3 ? 3?
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(法三)判别式法(略) (2)设 A ? ?x f (x ) ? x?, B ? ?x f ( f (x )) ? x ? , 设 x0 ? A ,则 f ( f ( x0 )) ? f ( x0 ) ? x0 ,则 x0 ? B ,? A ? B .……6 分 当 x ? 0 时, ? ( x ? 1) 2 ? 0 ?

x x2 ?1? 2 ? x ? f ( x ) ? x 恒成立. x2 ? x ? 1 x ? x ?1

当且仅当 x ? 0,1 时, f ( x ) ? x. ……7 分 令 t ? f ( x ) ,当且仅当 x ? 1 时, t ? f ( x ) ? 1. 当 x ? 0 时,由(1) f ( f ( x )) ? f (t ) ? 0 ,

?当 x ? 0 时, f ( f ( x )) ? x 无解……8 分

当 0 ? x ? 1 时, ? f ( f ( x )) ? f (t ) ? t ? f ( x ) ? x ,

?当 0 ? x ? 1 时, f ( f ( x )) ? x 在无解.……9 分
综上,除 x ? 0,1 外,方程 f ( f ( x )) ? x 无解,
? A ? B.

? ?x f ( x ) ? x? ? ?x f ( f ( x )) ? x? .……10 分
n 1 ○显然 an ?1 ? a 2 ?a n

(3)

a

2

n

?1

?

an 2 1 ,又 a1 ? ,?an ? 0 , 1 3 2 ( an ? ) 2 ? 2 4

?

an ?1 a 1 1 ? 2 n ? ? ? 1 ,……11 分 an a n ? an ? 1 a ? 1 ? 1 2 ? 1 n an

所以, an?1 ? an . 若 an ?1 ? an ,则 a n ? 1 矛盾.所以 an?1 ? an .……12 分 2 ○(法一) an ?

a n?2 1 1 1 1 1 1 1 , ? ? 1? ? , ? ?1 ? ? ? , 2 2 an?1 ? an?1 ? 1 an an?1 an?1 an an ?1 an ?12
1 ? 1 1 ? an ?1 an ?12 ? ( 1 1 1 ? 1) an ?1 an ?1 ? 1 1 ?1 an ?1 ? 1 , 1 an ?1

?

1 1 ?1 an

?

? an ?1 ?

1 1 ? (n ? 2), ……14 分 1 1 ?1 ?1 an ?1 an
n ?1 i ?2

? S ? ? ai ?1 ? ? (
i ?2

n ?1

1 1 1 1 a ? )? ? ? 1 ? n?1 , ……15 分 1 1 1 1 1 ? an ?1 ?1 ?1 ?1 ?1 ai ?1 ai a1 an?1
?S ? 1?
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? 0 ? an?1 ? an ?

1 2

an ?1 ? 1. ……16 分 1 ? an ?1
第 11 页(共 4 页)

(法二)? an ?

a n ?2 1 1 1 ……13 分 ? ? 2 1 1 an ?1 ? an ?1 ? 1 1 ? 1 ? 1 ? ? 2 2 an ?1 an ?1 an ?1 an ?1

?

1 1 1 1 ? ? an ?1 ? ? ? ……14 分 1 1 1 1 1 1 ( ? 1) ?1 ? ? 2 an ?1 an ?1 an ?1 an ?1 an ? 2 an ? 2

? ? an ?1 ? an ? 2 ?

1 ? 1 an ?3 ? 1
2 an ?3

? ? ? ?an ?1 ? an ? 2 ? ? ? a1 ?

1 1 ?1 a1

……15 分

? 1 ? an?1 ? an?2 ? ? ? a1 ,

? Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an ? 1.……16 分

【说明】本题以高等数学中不动点、函数迭代等理论为背景,考查函数的图象与性质、导数 的运算与应用;考查函数思想;考查推理论证能力、运算能力. 其中第 2 问证法较多. 本题 可以进一步设计证明

an ?1 1 1 ? n . 如令 bn ? ,可证明对任意正整数 m, n 有 bm , bn 互素. 1 ? an ?1 2 an

理 科 附 加 题 答 案
21. 【选做题】 A.证明:∵AE=AC,∠CDE=∠AOC,……2 分 又∠CDE=∠P+∠PFD,∠AOC=∠P+∠OCP,……6 分 从而∠PFD=∠OCP. ……7 分 故△PDF∽△POC.……10 分 在△PDF 与△POC 中, ∠P=∠P, ∠PFD=∠OCP,

? ? B.解:设 P( x0 , y0 ) 为曲线 xy ? 1 上的任意一点,在矩阵 A 变换下得到另一点 P?( x0 , y0 ) ,

? 2 2? ?    ? ? ? x0 ? ? x0 ? ? 2 x0 ? ? ? 2 ?? ? 则有 ? ? ? ? ? ,……4 分 即 ? ?? ? y? ? ? y0   ? 2 2 ? ? y0  ?     ? 0 ?? ? ? ? 2 2 ?
? ? x0 ? ? 所以 ? ?y ? ? 0 ? 2 ? ? ( x0 ? y0 ), 2 ……8 分 2 ? ? ( x0 ? y0 ), 2
高三数学

2 ( x0 ? y0 ), 2 2 ( y0 ? x0 ), 2

……6 分

又因为点 P 在曲线 xy ? 1 上,所以 x0 y0 ? 1 ,

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? ? 故有 x0 2 ? y0 2 ? 2

即所得曲线方程 x2 ? y 2 ? 2 .…… 10 分

C. 解:将极坐标方程转化成直角坐标方程:

? ? 3cos ? 即: x2 ? y 2 ? 3x ,即 ( x ? ) 2 ? y 2 ?
? x ? 2 ? 2t, 即: 2 x ? y ? 3 ,…… 6 分 ? ? y ? 1 ? 4t,

3 2

9 ;……4 分 4

d?

3 2? ? 0 ? 3 2 22 ? (?1)2

? 0 ,…… 8 分

即直线经过圆心,所以直线截得的弦长为 3 .…… 10 分
y y= x+1 + x-2

D. 解: (1)由题设知: x ? 1 ? x ? 2 ? 5 ? 0 , 如图,在同一坐标系中作出函数 y ? x ? 1 ? x ? 2 和 y ? 5 的图象(如图所示), 知定义域为 ? ??, ?2? ? ?3, ?? ? .……5 分 (2)由题设知,当 x ? R 时,恒有 x ? 1 ? x ? 2 ? a ? 0 ,
-3 -2 -1

5 y=5 4 3 2 1 O 1 2 3 x

即 x ? 1 ? x ? 2 ? ?a 由(1) x ? 1 ? x ? 2 ? 3 ,∴ ?a ? 3, ?a ? ?3 .……10 分 [必做题] 22.解:设直线方程: y ? x ? m , A?x1 , y1 ?, B?x2 , y2 ?, M ?x, y ?
2 2 将 y ? x ? m 代入 y 2 ? 2 x ,得 x ? ?2m ? 2?x ? m ? 0 ,……2 分

? ? ? ? 2m ? 2 ?2 ? 4m 2 ? 0, ? ? 所以 ? x1 ? x2 ? 2 ? 2m, ……6 分 ? x x ? m2 , ? 1 2 ?

?m?

1 x ? x2 1 ,x? 1 ? 1 ? m ? , y ? x ? m ? 1 ,……9 分 2 2 2

1? ? 线段 AB 中点 M 的轨迹方程为: y ? 1? x ? ? .……10 分 2? ?
23.解: (1)? 函数 f ( x ) ? ln(2 ? x ) ? ax 在区间 (0,1) 上是增函数.

? f ??x? ?

?1 ? a ? 0 在区间 (0,1) 上恒成立,……2 分 2? x

?a ?

1 1 ,又 g ?x? ? 在区间 (0,1) 上是增函数 2? x 2? x
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? a ? g ?1? ? 1 即实数 a 的取值范围为 a ?1 .……3 分
(2)先用数学归纳法证明 0 ? an ? 1 . 当 n ?1 时, a1 ? (0,1) 成立, ……4 分 假设 n ? k 时, 0 ? ak ? 1 成立,……5 分 当 n ? k ? 1 时,由(1)知 a ? 1 时,函数 f ?x ? ? ln?2 ? x ? ? x 在区间 (0,1) 上是增函数

? ak ?1 ? f ?ak ? ? ln?2 ? ak ? ? ak
即 0 ? ak ?1 ? 1 成立, 下证 a n ? an?1 .

? 0 ? ln 2 ? f ?0? ? f ?ak ? ? f ?1? ? 1 ,……7 分

?当 n ? N ? 时, 0 ? an ? 1 成立.……8 分

?0 ? an ? 1, ?an?1 ? an ? ln ? 2 ? an ? ? ln1 ? 0. ……9 分

?a n ? an ?1 .

综上 0 ? an ? an ?1 ? 1 .……10 分

高三数学

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