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3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式-matt


3.1.2

两角和与差的正弦、 余弦、正切公式
宁晋一中·毕朋飞

复习回顾
差角的余弦公式的内容是什么?

cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ?

探究1
由C(α -β)公式出发,你能推导出两 角和的余弦公式吗?

>
cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ?
换元

cos[? ? (?? )] ? cos? cos(?? ) ? sin ? sin(?? )

cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ?
上式称为和角的余弦公式,简记为C(α +β).

探究2
你能根据C(α +β),C(α -β)及诱导公式,推导
出用任意角α, β的正弦、余弦值表示
sin( ? ? ? ), sin( ? ? ? ) 的公式吗?

cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ?
换元

cos[(

?
2

? ? ) ? ? ] ? cos(

?
2

? ? ) cos ? ? sin(

?
2

? ? ) sin ?

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ?
上式称为差角的正弦公式,简记为Sα -β.

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ?
上式称为和角的正弦公式,简记为Sα +β.

探究3
你能根据正切函数与正弦、余弦函数 的关系,从 C(α ±β),S(α ±β)出发,推导 出用任意角α, β 的正切表示出tan(α+β ) , tan(α-β) 的公式吗?

sin ? cos ? ? cos? sin ? sin(? ? ? ) ? tan( ? ? ?) ? cos(? ? ? ) cos? cos ? ? sin ? sin ?
弦化切

tan? ? tan ? tan( ? ? ?) ? 1 ? tan? tan ?

上式称为和角的正切公式, 简记为Tα +β.
tan? ? tan ? tan( ? ? ?) ? 1 ? tan? tan ?

上式称为和角的正切公式, 简记为Tα +β.

公式推导过程
诱导

S (α-β)

公式

C(α+β)
弦切关系

换元

C

诱导 (α-β) 公式

S (α+β)

弦切关系

T (α-β)

T (α+β)

转化贯穿始终,换元灵活运用

公式汇总
1、两角和、差角的余弦公式

cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ?
2、两角和、差角的正弦公式

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ?
3、两角和、差的正切公式
tan? ? tan ? tan( ? ? ?) ? 1 ? tan? tan ?

典型例题
3 例1 已 知si n? ? ? , ?是 第 四 象 限 角 , 5 求 si n ( ? ? ), cos( ? ? ), tan ( ? ? )的 值. 4 4 4

?

?

?

注意解题步骤

练习1
3 ? 1.已知cos?= ? 5 ,? ∈( 2 ,?), ? 求 sin(?+ 3 )的值. 12 ? 2.已知sin?= 13 ,?是第三象限角, ? 求cos( +?)的值.
6

? 3.已知tan α+ 4 α=3,求tan(

)的值.

公式汇总
1、两角和、差角的余弦公式

cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ?
2、两角和、差角的正弦公式

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ?
3、两角和、差的正切公式
tan? ? tan ? tan( ? ? ?) ? 1 ? tan? tan ?

公式的逆用
1、两角和、差角的余弦公式

cos? cos ? ? sin ? sin ? ? cos(? ? ? )
2、两角和、差角的正弦公式

sin ? cos ? ? cos? sin ? ? sin(? ? ? )
3、两角和、差的正切公式
tan? ? tan ? ? tan( ? ? ?) 1 ? tan? tan ?

典型例题
例2 利用和(差)角 公式计算下列各式的值: ① sin72° cos42° - cos72° sin42° ②cos20° cos70° - sin20° sin70° ③ 1+tan15° 1-tan15 °

典型例题
教材 P137: 7, 8题

谢谢大家!


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