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第43讲 数学归纳法 1.(改编)下列命题能利用数学归纳法证明的是( B ) → =(3 ,-1),n A.在平面直角坐标系中,若向量 AB → =7,求证:n· → =2 =(2,1),且 n· AC BC 1 B.求证:对一切大于 1 的自然数 n,不等式(1+ )(1 3 2n+1 1 1 + )…(1+ )> 成立 5 2 2n-1 C.若 n>0,则 1 1 n +

2- 2≥n+ -2 n n 2 D.求证:log2(-n)<n+1 成立的 n 的取值范围是 n∈ (-1,0) 解析: 因为 A 中的 n 为向量, C 中的 n 取大于 0 的正数, D 中的 n 为实数,故 A、C、D 命题均不利用数学归纳法证 明,故选 B. 2.用数学归纳法证明 1+2+22+…+2n 1=2n 2-1(n∈ + + N*)的过程中, 在验证 n=1 时, 左端计算所得的式子应为( C ) A.1 C.1+2+22 B.1+2 D.1+2+22+23 解析:当 n=1 时,左边=1+2+22,故选 C. 3.用数学归纳法证明:凸多边形的内角和 f(n)=(n- 2)×180° (n≥3),第一步应验证 ;假设 n 边形内角 ,从而再 和 f(n)=(n-2)×180° ,则 f(n+1)=f(n)+ 用假设. 解析:由 n≥3,故初值 n0=3,即三角形内角和为 180° . 由凸 n 边形变为凸 n+1 边形时,相当于增加了一个三 角形,故 f(n+1)=f(n)+180° . 一 利用数学归纳法证明等式 1 1 1 【例 1】设 f(n)=1+ + +…+ (n∈N*),求证:n+ 2 3 n f(1)+f(2)+…+f(n-1)=nf(n)(n∈N*,n≥2). 分析:第一步:验证 n=2 时命题成立; 第二步:假设 n=k(k≥2,k∈N*)时成立,推证 n=k+1 时成立. 证明:(1)当 n=2 时,左边=2+f(1)=2+1=3, 1 右边=2×(1+ )=3,结论成立. 2 (2)假设 n=k(k≥2,k∈N*)时结论成立, 即 k+f(1)+f(2)+…+f(k-1)=kf(k), 则当 n=k+1 时, 左边=(k+1)+f(1)+f(2)+…+f(k-1)+f(k) =kf(k)+1+f(k) 1 1 =(k+1)[f(k)+ - ]+ 1 k+1 k+1 1 =(k+1)f(k+1)-(k+1)· +1 k+1 =(k+1)f(k+1). 即当 n=k+1 时,命题也成立. 由(1)(2)可知,对 n∈N*且 n≥2 时,结论成立. 【拓展演练 1】 1 1 1 1 n 证明: + + +…+ = . 2×4 4×6 6×8 2n?2n+2? 4?n+1? 1 1 证明:(1)当 n=1 时,等式左边= = , 2×4 8 1 1 等式右边= = ,所以等式成立. 4×?1+1? 8 (2)假设当 n=k(k≥1,k∈N*)时等式成立, 1 1 1 k 即 + +…+ = 成立. 2×4 4×6 2k?2k+2? 4?k+1? 那么当 n=k+1 时, 1 1 1 1 + + + … + + 2×4 4 ×6 6×8 2k?2k+2? 1 2?k+1?[2?k+1?+2] k 1 = + 4?k+1? 4?k+1??k+2? k?k+2?+1 = 4?k+1??k+2? ?k+1?2 k+1 = = , 4?k+1??k+2? 4[?k+1?+1] 即 n=k+

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