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汕尾市2015届高三学生调研考试(理数)


汕尾市 2015 届高三学生调研考试 数学(理科)
本试卷分选择题和非选择题两部分,共 4 页,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必用 2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。用黑色字迹的钢笔或签字笔 将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答 题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型填涂在答题卡相应位置上。

2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑; 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定 区域内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不 准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点,再作答。漏 涂、错涂、多涂的,答案无效。 5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。 参考公式:锥体的体积公式为 V ?

1 Sh ,其中 S 为底面面积, h 为高 3

第Ⅰ部分选择题(共 50 分)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A ? {1, 2}, B ? {x | ( x ? 2)( x ? 3) ? 0} ,则 A ? B ? ( A. {2} B. {1, 2,3} C. {1,3} ) D. 第四象限 ) D. {2,3} )

2.复平面内表示复数 i(1 ? 2i) 的点位于(

A .第一象限 B.第二象限 C.第三象限

3. 已知 {an } 为等差数列,且 a3 ? a8 ? 8 ,则 S10 的值为( A.40 B.45
x

C.50

D.55 )

4.以下四个函数 y ? 3 , y ? A.4 B.3

1 , y ? x 2 ? 1, y ? 2sin x 中,奇函数的个数是( x
C .2 D.1

5.中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线的一条渐近线与直线 y ? 率为( ) B. 6 C.

1 x ? 1 平行,则它的离心 2

A. 5

6 2

D.

5 2


6. 已知向量 a ? (k ,3), b ? (1, 4), c ? (2,1) ,且 (2a ? 3b) ? c , 则实数 k ? (

1

15 D. 0 2 7. 已知直线 l ? 平面 ? ,直线 m ? 平面 ? ,则下列四个结论:
A. ? B. 3 C. ①若 ? / / ? ,则 l ? m ③若 l / / m ,则 ? ? ? A.①④ B.②④ ②若 ? ? ? ,则 l / / m ④若 l ? m , 则 ? / / ? 。 其中正确的结论的序号是 ( C.①③ D.②③ )

9 2

8. G 是一个非空集合,“o”为定义 G 中任意两个元素之间的二元代数运算,若 G 及其运算满 足对于任意的 a, b ? G, aob ? c ,则 c ? G ,那么就说 G 关于这个“o”运算作成一个封闭集 合,如集合 A ? {x | x2 ? 1}, A 对于数的乘法作成一个封闭集合。以下四个结论: ①集合{0}对于数的加法作成一个封闭集合 ②集合 B ? {x | x ? 2n, n 为整数},B 对于数的减法作成一个封闭集合 ③令 R 是全体大于零的实数所成的集合, R 对于数的乘法作成一个封闭集合; ④若集合 A、B 都对于某个“o”运算作成一个封闭集合,则 A ? B 对于这个“o” 运算作成 一个封闭集合。 其中,正确结论的个数是( A.41 B.2 ) C.3 D.4
* *

二、填空题(本大题共 7 小题,分为必做题和选做题两部分,每小题 5 分,满分 30 分) (一) (必做题) :第 9 至 13 题为必做题,每道试题考生都必须作答 9 . 在 ?ABC 中 , 角 A 、 B 、 C 的 对 边 分 别 为 a, b, c , 若 的面积 S ? 2 ,则 b 边长 a ? 1, ?B ? 4 5 ,? ABC .

10. 如图(1)所示的程序框图表示求算式 “ 2 ? 4 ? 8 ?16 ? 32 ”的值, 则判断框内可以填入 ( )

?x ? y ?1 ? 0 ? 11. 若变量 x, y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 8 ? 0 ,则 z ? 3x ? y 的最小 ?x ? 0 ?
值为 12. 不等式 x ? 3 ? x ? 3 ? a 恒成立,则实数 a 的取值范围是 13. 直线 y ? 4 x 与曲线 y ? x 在第一象限内围成的封闭图形的面积为
3

(二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生只选做其中一题,两题全答的,只计前一题的 得分。

2

14. 已知圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2cos ? ,直线 L 的极坐标方程为

??

?
3

,则圆心到直线 L 的距离等于

15. 如图( 2 )所示,圆 O 上一点 C 在直径 AB 上的射影为 D ,

CD ? 4, BD ? 8 ,则圆 O 的半径 r ?

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin( x ? (1) 求 f ( ?

?
12

), x ? R

?
4

) 的值 4 ? ? , ? ? (0, ) ,求 f (2? ? ) 。 5 2 3

(2) 若 cos ? ?

17.(本小题满分 12 分) 某 工 厂 招 聘 工 人 , 在 一 次 大 型 的 招 聘 中 , 其 中 1000 人 的 笔 试 成 绩 的 频 率 分 布 直 方 图 如图( 3 ) 所 示 , 按 厂 方 规 定 85 分 以 上 ( 含 85 分 ) 可 以 直 接 录 用 。

( 1 ) 下 表 是 这 次 笔 试 成 绩 的 频 数 分 布 表 , 求 正 整 数 a, b 的 值 ; 区间 人数

[75,80)
50

[80,85)

[85,90)
350

[90,95)
300

[95,100]
b

a

( 2 )现 在 用 分 层 抽 样 的 方 法 从 这 1000 人 中 抽 取 40 人 的 笔 试 成 绩 进 行 分 析 , 求可以直接录用的人数; ( 3 ) 在 ( 2 ) 中 抽 取 的 40 名 招 聘 的 人 中 , 随 机 选 取 2 名 参 加 面 试 , 记 “ 可 以 直 接 录 用 的 人 数 ”为 X, 求 X 的 分 布 列 与 数 学 期 望 。

3

18. (本小题满分 14 分) 如图(4) , 在 三 棱 柱 ABC ? A1B1C1 中 , 侧 面 ABB1 A 1 , ACC1 A 1 均为正方形,

AB ? AC ? 1,

?BAC ? 90 ,点 D 是棱 B1C1 的中点。
(1) 求证: AD1 ? 平面 BB1C1C ; (2) 求证: AB / / 平面 A 1 DC ; (3) 求二面角 D ? AC 1 ? A 的余弦值。 19.(本小题满分 14 分) 已知各项均为正数的数列 {an } 的前项 n 和为 Sn 满足 4Sn ? an 2 ? 2an . (1)求 a1 的值; (2)求 {an } 的通项公式; (3)求证:

1 1 1 1 ? 2 ? ??? ? 2 ? , n ? N * 。 2 a1 a2 an 2

20.(本小题满分 14 分) 椭圆

x2 y 2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 过 点 (1, ), F1 , F2 分 别 为 椭 圆 的 左 右 焦 点 , 且 2 a b 2

| F1F2 |? 2 。
(1)求该椭圆的标准方程; (2) 是否存在圆心在 y 轴上的圆, 使圆在 x 轴的上方与椭圆交于 P (P 1, P 2 两点 1在 P 2的 左侧) , PF 1 1 ?P 2F 2 ?若存在,求出圆的方程;若不存在,请 1 1和 P 2 F2 都是圆的切线且 PF 说明理由。 21.(本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ( x ? bx ? b)e 。
2 x

(1)当 b ? 1 时,求函数 f ( x ) 的单调增区间 (2)当 0 ? b ? 2 时,求函数 f ( x ) 在 [?2b, b] 上的最大值 M 。

4

6、B 8、A

9、5

5

6

7

8

9

10


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