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专题 利用空间向量解立几(学生用)


利用空间向量解立几 1.异面直线所成的角 .
异面直线 a,b 的方向向量分别是 m,n。则异面直线 a,b 所成的角是 θ = arccos | m? n | , 。 mn 1. 已知直棱柱 ABC-A1B1C1,在 ? ABC 中,CA=CB=1, ∠BCA = 900 ,棱 AA1=2, 求异面直线 BA1,CB1 所成的角。 2. 在棱长为 a 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,求:异面直线 BA1 与 AC 所成的角. 3 答案:60°

正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F 分别是 BB1、DC 的中点.,求 AE 与 D1F 所成的角; 答案 90

(1)

(2)

(3 )

4.在棱长为 1 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,BD1 交平面 ACB1 于点 E,求证:BD1⊥平面 ACB1; 5. 在三棱锥 S—ABC 中,∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°,AC=2,BC= 13 ,SB= 29 . (1)求证:SC⊥BC; (2)求 SC 与 AB 所成角的余弦值. 6、如图,在四棱锥 p--ABCD 中,底面 ABCD 是直角梯形,∠BAD=90°,AD∥BC, AB=BC=a,AD=2a,且 PA⊥底面 ABCD,PD 与底面成 30°角,AE⊥PD,垂足为 E. (1)证明;BE⊥PD;(2)求异面直线 AE 与 CD 所成的角.

D1 A1 B1

C1

S G

D A M

E C B

A F

E C

B

A B (6) C

D

(4)

(5)

2.线面所成的角 .
已知直线 a 的方向向量为 m,平面 α 的法向量为 n,则直线 a 与平面 α 成的角为 θ = arcsin | m ? n | mn n
v
v

θ α

ω
α

θ ω l
n

l

1.棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别为 C1D1、B1C1 的中点, (1) 求证:E、F、B、D 共面; (2) 求点 A1D 与平面 EFBD 所成的角。 2.已知正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F 分别为 BC、A1D1 的中点. (1)求直线 CA1 与 DE 所成的角的余弦值; (2)求直线 AD 与平面 B1EF 所成角正弦值; (3)求二面角 B1—EF—B 的余弦值; (4*)若 AA1=2,求点 B 到平面 B1EF 的距离.

3.正三棱柱 ABC—A1B1C1 的各棱长都是 2,M 是 BC 的中点,P 是侧棱 BB1 上一点,且 A1P⊥B1M ⑴试求 A1P 与平面 APC 所成角的正弦; ⑵求点 A1 到平面 APC 的距离. D
D1 A1 E F B1 D A B C C1

C B C E B

F A

D A (2)

(1)

(3)

4.已知正四棱锥 S-ABCD 的底边长为 4,高为 6,点 M 是高 SO 的中点,点 G 是侧面 SBC 的重心,求直线 MG 与 底面 ABCD 所成的角。

5.在三棱椎 P-ABC 中, PA ⊥ 平面 ABC, ∠BAC = 90o , D,E,F 是棱 AB、BC、CP 的中点,AB=AC=1,PA=2, (Ⅰ)求直线 PA 与平面 DEF 所成角的大小; (Ⅱ)求点 P 到平面 DEF 的距离。

(5)

(6)

3.二面角的求法 .
二面角 α ? l ? β ,平面 α 的法向量 m ,平面 β 的法向量 n 。 ⑴当二面角 α ? l ? β 大于 90 时, θ =π- arccos
α θ l

n

ω n

| m? n | mn

β
n

ω

⑵当二面角 α ? l ? β 小于 90 时, θ = arccos | m? n | mn

α θ l β
n

1 在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AB=2,BC=BB1=1,E 为 D1C1 的中点,求二面角 E—BD—C.

2 在底面是直角梯形的四棱锥 S-ABCD 中,∠ABC=90°,SA⊥平面 ABCD,SA=AB=BC=1,AD= 求面 SCD 与面 SBA 所成的二面角 3
新新新 新新新 源源源源源源源源 源 源th源/:w w kj.x源gty源m /w cx/ 源 源源 o.c源源 p 特 特特特特特 特王新王王特王 特特特 特 新 王kc@ 1王o.c王 王 新新 x t 2 6 m w 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源/:w w kj.x源gty源m /w cx/ 源 源源 o.c源源 p 特 特特特特特 特王特特特特王 新王王 特 新 王kc新王c王 新 x t 2 .6 m 王 w @ 1 o

1 , 2

面 F G ABCD,? ADE 是等边三角形, ADE ⊥ 面 ABCD,ABCD 是矩形, 是 AB 的中点, 是 AD 的中点, EC 与平面 ABCD 成 300 的角。 (1)求证:EG ⊥ 平面 ABCD;(2)若 AD=2,求二面角 E-FG-C 的度数;

z
D1 A1 D A M F B E B1 C C1

z
S B

y
C

E

A

G

D

y

x
(1)

A

D

x

F
B C

(2)

(3)

4 P—ABCD 底面为平行四边形,AB⊥AC,PA⊥平面 ABCD,且 PA=AB, E 是 PD 的中点. (Ⅰ)求证:AC⊥PB; (Ⅱ)求证:PB//平面 AEC; (Ⅲ)求二面角 E—AC—B 的大小. 5 在正三棱柱 A1B1C1—ABC 中,D,E 分别是棱 BC、 CC1 的中点, AB = AA1 = 2, (Ⅰ)证明: BE ⊥ AB1 ; (Ⅱ)求二面角 B ? AB1 ? D 的大小; (Ⅲ)求直线 AB1 与 BE 的距离。
P

E A B D C

(4)

(5)

空间距离
1.点到面的距离 .
的方向上的射影的长度。 点 P 到面 α 的距离 d 可以看成 AP 在平面 α 的法向量 n 的方向上的射影的长度。

d=

AP ? n n

v n
α
A O

P

2. 异面直线间的距离
的方向上的射影的长度。 异面直线 a,b 之间的距离可以看成 EF ( E ∈ a , F ∈ b ) 在 a,b 的公垂向量 n 的方向上的射影的长度。 E b

d=
z A1 B1

EF ? n n
D1 C1

v n
a F 1. 长方体 ABCD-A1B1C1D1 中 AB=2,AD=4,AA1=6,E 是 BC 的中点,F 是 CC1 的中点,建立空间坐标系,求 (1)异面直线 D1F 与 B1E 所成角的大小;(2)二面角 D1-AE-D 的大小; (3)异面直线 B1E 与 D1F 的距离。

A B E x

F

D

y

C

3. 线面距离

平行时, 之间的距离。 直线 a 与平面 α 平行时,直线上任意一点 A 到平面 α 的距离就是直线 a 与平面 α 之间的距离。其求法与 点到面的距离求法相同。 点到面的距离求法相同。

A

A1

2.侧棱长为

3 3 ,D 是 CB 延长线上一点,且 BD=BC。 2
C B D

C1 B1

(1)求直线 BC1 与平面 AB1D 之间的距离; (2)求二面角 B1-AD-B 的大小;(3)求三棱锥 C1-ABB1 的体积。

4. 平面与平面间的距离
平行时, 平面 α 与平面 β 平行时,其中一个平面 α 上任意一点到平面 β 的距 间的距离。其求法与点到面的距离求法相同。 离就是平面 α 与平面 β 间的距离。其求法与点到面的距离求法相同。

z

y

x

3.如图所示,在直三棱锥 ABC-A1B1C1 中, ∠ABC = 90 ,
0

BC=2,CC1=4,点 E 在线段 BB1 上,且 EB1=1,D、F、G 分别为 CC1、C1B1、C1A1 的中点。 (1)求证:B1D ⊥ 平面 ABD; (2)求证;平面 EGF∥平面 ABD; (3)求平面 EGF 与平面 ABD 的距离。


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