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2016-2017学年河北省邢台市高一上学期第一次月考数学试题


数学试卷
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 14 个小题,每小题 6 分,共 84 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项 是符合题目要求的.
1.若集合 A ? {?2, 0,1,3} , B ? {?1,1,3} ,则 A ? B 元素的个数为( A.2 B.4 C.5 D.7 ) C. ( , ??) )

2.函数 f

( x) ? 3 x ? 1 的定义域为( A. (? , ??) 3.已知函数 f (

1 3

B. [? , ??)

1 3

1 3

D. [ , ??)

1 3

4 ) ? 2 x 2 ? 3 x ,则 f (2) 等于( ) x ?1 4 A.0 B. ? C.-1 D. 2 3 1 y 4.已知集合 M ? {( x, y ) | 27 x ? ? 3 } ,则下列说法正确的是( 9
A. (3,5) ? M B. (1,5) ? M C. (?1,1) ? M

) D. ?1,? M )

5.设 f : x ? 2 x ? 1 是集合 A 到集合 B 的映射, 若 A ? {?2,1,3, m} ,B ? {?9, n, ?1,5} , 则 m ? n 等于 ( A.-4 B.-1 C.0 D.10

6.已知集合 A ? {x |1 ? 2 x ? 5 ? 13} , B ? { y | y ? A. ? B. [?1, 4] C. [?2, 4] )

3 x ? 2, x ? A} ,则 A ? B 等于( 2
D. [?4, 2]



7.已知 2a ? m , 3a ? n ,则 72a 等于( A. m3 n 2 8.若函数 f ( x) ? ? A.0 B. mn 2

C. m 4 n

D. m 2 n 3

? x ? 3, x ? 1, ?? x ? 2 x ? 3, x ? 1,
2

,则函数 f ( x) 与函数 g ( x) ? D.3
2

2 的图象交点的个数为( x



B.1

C. 2

9.已知集合 U ? {?5, ?3,1, 2,3, 4,5, 6} ,集合 A ? {x | x ? 7 x ? 12 ? 0} ,集合 B ? {a , 2a ? 1, 6} .若
2

A ? B ? {4} ,且 B ? U ,则 a 等于(



第页

1

A.2 或

5 2

B. ?2

C.2

D.-2

10.已知函数 f ( x) 为奇函数,且当 x ? [0, ??) 时, f ( x) ? x 2 ? 4 x ,则 f ( x) 在区间 [?4,1] 上的最大值为 ( A.-3 ) B.0 C. 4 D.32 )

11.已知函数 f ( x) ? ax ? A. (2, ??)
b

2a ? 1 (a ? 0) ,若 f (m 2 ? 1) ? f (m 2 ? m ? 3) ,则实数 m 的取值范围是( x
C. (?2, ??) ) D. (??, ?2)

B. (??, 2)
?b

12.若 b ? 0 ,且 3 ? 3 A. ?3

? 13 ,则 3b ? 3? b 等于(
C. -3
2

B.-2

D.9 )

13.当 x ? [0, 2] 时,函数 f ( x) ? ax ? 4(a ? 1) x ? 3 在 x ? 2 时取得最大值,则 a 的取值范围是( A. [?

1 , ??) 2

B. [0, ??)

C. [1, ??)

D. [ , ??)
2

2 3

14.设 min{ p, q, r} 为表示 p, q, r 三者中较小的一个, 若函数 f ( x) ? min{x ? 1, ?2 x ? 7, x ? x ? 1} ,则不 等式 f ( x) ? 1 的解集为( A. (0, 2) ) C. (1, ??) D. (1,3)

B. (??, 0)

第Ⅱ卷
二、填空题(每题 5 分,满分 30 分,将答案填在答题纸上)
15.已知全集 U ? R ,集合 A ? [?4,1] , B ? (0,3) ,则右图中阴影部分所表示的集合为________.

16. (?8) 3 ?

1

( ab ?1 )3
?2 1 3 ?3 2

? ________.

(0.2) (a b )

17.已知定义域为 R 的函数 f ( x) 满足: f ( x ? 3) ? 2 f ( x ? 2) ? x .若 f (1) ? 2 ,则 f (3) ? ________, 18.方程 3? x ? 2 ? 3x ?1 的解为_________. 19.已知函数 f ( x) ? ? __________.
第页 2

?1, x ? 0, ,若 x1 , x2 均满足不等式 x ? ( x ? 1) f ( x ? 1) ? 5 ,则 x1 ? x2 的最大值为 ??2, x ? 0,

20.若函数 f ( x) 为偶函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ?

2x ? 3 ,则不等式 f (3 x ? 1) ? 1 的解集为__________. x ?1

三、解答题 (本大题共 3 小题,共 36 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
21.(本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ?

2x ? 3 3 ? a 在 [0, ] 的值域为集合 A ,函数 g ( x) ? x ? 2 ? 2 ? x 的定义域为集合 B . 2x ?1 2

(1)若 a ? 0 ,求 CR ( A ? B ) ; (2)若 A ? B ? A ,求实数 a 的取值范围. 22.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ?

? x 2 , x ? 0, ? 2 ? ?? x , x ? 0.

(1)求 f [ f (2)] 并判断函数 f ( x) 的奇偶性; (2)若对任意 t ? [1, 2] , f (t ? 2t ) ? f (k ? 2t ) ? 0 恒成立,求实数 k 的取值范围.
2 2

23. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ax ?

1 1 1 ,且 f (? ) ? 4 f ( ) . 2 x 3 2

(1)用定义法证明:函数 f ( x) 在区间 (0, ??) 上单调递增; (2)若存在 x ? [1,3] ,使得 f ( x) ?| x ? 2 | ? m ,求实数 m 的取值范围.

邢台市高一上学期第一次月考 数学试卷参考答案
一、选择题 1.C
第页

由集合元素的互异性得 A ? B ? {?2, ?1, 0,1,3} .
3

2.B 3.C 4.B 5.D 6.B 7.A 8.D 9.D

由题意得 3 x ? 1 ? 0 ,即 x ? ? . 由

1 3

4 ? 2 得 x ? 1 ,∴ f (2) ? ?1 . x ?1 1 y M ? {( x, y ) | 27 x ? ? 3 } ? {( x, y ) | 3 x ? y ? 2 ? 0} ,经验得 (1,5) ? M . 9

由题意得 ?2m ? 1 ? ?9 , ?2 ? 3 ? 1 ? n ,得 m ? 5 , n ? ?5 ,则 m ? n ? 10 . ∵ A ? [?2, 4] ,∴ B ? [?1,8] ,则 A ? B ? [?1, 4] .

72a ? (8 ? 9) a ? 8a ? 9a ? (2a )3 ?(3a ) 2 ? m3 n 2 .
作图可得函数 y ? f ( x) 与 g ( x) ?

2 的图象有 3 个交点. x

∵ A ? {3, 4} , A ? B ? {4} ,∴ 4 ? B .当 a 2 ? 4 时,得 a ? ?2 ,若 a ? 2 ,则 2a ? 1 ? 3 ,∴

A ? B ? {3, 4} ,不合题意;若 a ? ?2 ,则 2a ? 1 ? ?5 ,∴ A ? B ? {4} ,符合题意;当 2a ? 1 ? 4 时,得

a?

5 , B? ? U ,不合题意.综上, a 的值为-2. 2
当 x ? [0, ??) 时, f ( x) ? x ? 4 x ? ( x ? 2) ? 4 ? ?4 ,又 f ( x) 为奇函数,则 f ( x) 在区间 [?4,1]
2 2

10.C

上的最大值为 4. 11.A ∵ a ? 0 ,∴函数 f ( x) 在 (0, ??) 上单调递增.∵ f (m ? 1) ? f (m ? m ? 3) ,
2 2

∴ m 2 ? 1 ? m 2 ? m ? 3 ,解得 m ? 2 . 12.C 由3 ?3
b ?b

? 13 两边平方得 (3b ) 2 ? (3? b ) 2 ? 11 ,则 (3b ? 3? b ) 2 ? (3b ) 2 ? (3?b ) 2 ? 2 ? 9 .∵

b ? 0 ,∴ 3b ? 3? b ? 0 ,则 3b ? 3? b ? ?3 .
13.D 当 a ? 0 时, f ( x) ? ?4 x ? 3 在 [0, 2] 上为减函数,不合题意;当 a ? 0 时,此时 f ( x) 为二次函数,

?a ? 0 ?a ? 0 2 2 2 ? ? 其对称轴为 x ? ? 2 .由题意知: ? 2 或?2 ,解得 a ? .也可取特值 0 与 验证. a 3 3 ? 2 ?1 ? ? 2 ?1 ? ?a ?a

14.D

? x ? 1, x ? 0, ? 由题意得 ? x 2 ? x ? 1, 0 ? x ? 2, ,作出函数 f ( x) 的图象如图所示,则 f ( x) ? 1 的解集为 (1,3) . ??2 x ? 7, x ? 2, ?

第页

4

二、填空题 15. [?4, 0] 图中阴影部分所表示的集合为 A ? (CU B ) ? [ ?4, 0] .
3

2 16. ? 25
17.10 18.-1

原式 ? ?2?

a 2b
3 2

?

3 2 3 ? 2

??

25a b

2 . 25

令 x ? ?1 ,则 f (2) ? 2 f (1) ? 1 ? 5 ;令 x ? 0 ,则 f (3) ? 2 f (2) ? 10 .

3? x ? 2 ? 3x ?1 ? 3?(3x ) 2 ? 2? 3x ? 1 ? 0 ? (3? 3x ? 1)(3x ? 1) ? 0 .∵ 3x ? 1 ? 0 ,∴ 3? 3x ? 1 ? 0 ,

解得 x ? ?1 . 19.6 原不等式 ? ?

? x ? 1 ? 0, ? x ? 1 ? 0, 或? 解得 ?1 ? x ? 3 或 ?3 ? x ? 1 ,∴原不等式的解集为 ? x ? x ? 1 ? 5 ? x ? 2( x ? 1) ? 5,

[?3,3] ,则 ( x1 ? x2 ) max ? 3 ? (?3) ? 6 .
20. (??, ?1) ? ( , ??)

5 3

当 x ? 0 时,由 f ( x) ?

2x ? 3 ? 1 得 x ? 4 ,∵函数 f ( x) 为偶函数,∴ x ?1

5 3x ? 1 ? ?4 或 3x ? 1 ? 4 ,即 x ? ?1 或 x ? . 3
三、解答题 21.解:∵ f ( x) ?

2x ? 3 4 3 在区间 [0, ] 上单调递增,…………………………………2 分 ? a ? 1? a ? 2x ?1 2x ?1 2

∴ f ( x) max ? f ( ) ? a , f ( x) min ? f (0) ? a ? 3 ,∴ A ? [a ? 3, a ] .……………………………………3 分 由?

3 2

? x ? 2 ? 0, 得 ?2 ? x ? 2 , ∴ B ? [?2, 2] .…………………………………………………………………5 分 ?2 ? x ? 0

第页

5

则实数 a 的取值范围是 [1, 2] .………………………………………………………………………………12 分 22.解: (1) f [ f (2)] ? f ( ?22 ) ? f ( ?4) ? ( ?4) 2 ? 16 .……………………………………………………1 分 设 x ? 0 ,则 f ( x) ? ? x 2 且 ? x ? 0 ,…………………………………………………………………………2 分 ∴ f (? x) ? x ? ? f ( x) .………………………………………………………………………………………3 分
2

当 x ? 0 ,同理有 f (? x) ? ? f ( x) ,又 f (0) ? 0 , x ? R , ∴函数 f ( x) 是奇函数.…………………………………………………………………………………………5 分 (2)∵函数 f ( x) 在 (0, ??) 上为减函数,且函数 f ( x) 是奇函数,………………………………………6 分 ∴函数 f ( x) 在 R 上为减函数,………………………………………………………………………………7 分 ∵ f ( x) 是奇函数,∴由 f (t ? 2t ) ? f (k ? 2t ) ? 0 得 f (t ? 2t ) ? f (2t ? k ) ,………………………8 分
2 2 2 2

则对任意 t ? [1, 2] , t 2 ? 2t ? 2t 2 ? k 恒成立,………………………………………………………………9 分 即 k ? t 2 ? 2t 对任意 t ? [1, 2] 恒成立,………………………………………………………………………10 分 当 t ? 2 时, t 2 ? 2t 取最大值 8,∴ k ? 8 ,…………………………………………………………………11 分 故实数 k 的取值范围是 (8, ??) .………………………………………………………………………………12 分 23.解: (1)∵ f (? ) ? 4 f ( ) , ∴ ? a ? 9 ? 2a ? 16 ,解得 a ? 3 ,…………………………………………………………………………2 分 ∴ f ( x) ? 3x ?

1 3

1 2

1 3

1 ,设 0 ? x1 ? x2 ,则 x2

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 3 x1 ?

x12 ? x2 2 x ?x 1 1 ? 3 x ? ? 3( x ? x ) ? ? ( x1 ? x2 )(3 ? 1 2 22 ) .…………………4 分 2 1 2 2 2 2 2 x1 x2 x1 x2 x1 x2

第页

6



x1 ? x2 ? 0 , x1 ? x2 ? 0 ,∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , x12 x2 2

∴函数 f ( x) 在区间 (0, ??) 上单调递增.………………………………………………………………………6 分 (2)设 g ( x) ?| x ? 2 | ? m , x ? [1,3] , 则当 x ? 1 或 3 时, g ( x) max ? 1 ? m ,…………………………………………………………………………8 分 由(1)知函数 y ? f ( x) 在 [1,3] 上单调递增, ∴ x ? 1 时, f ( x) 取最小值 2, y ? f ( x) ? g ( x) 在 [1,3] 上的最小值为 f (1) ? g (1) ? 1 ? m .……………9 分 若存在 x ? [1,3] ,使得 f ( x) ?| x ? 2 | ? m , ∴ 1 ? m ? 0 ,即 m ? 1 , ∴ m 的取值范围是 (1, ??) .……………………………………………………………………………………12 分

=

第页

7


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