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立体几何中的向量方法----空间角


立体几何中的向量方法----空间角
一、异面直线所成角的求法:
 异面直线AB与CD所成的角为?,则cos? ?| cos? AB ,  CD? |? | AB ?   CD | | AB | ? |   CD |        

  例1. 正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,E、F 分别是 A1 D1、A1C1 的中点. 求异面直线 AE 与 CF 所成的角的余弦值.
D1 E A1 F B1 D A B C C1

二、直线与平面所成角的求法:
  设斜线PA与平面?所成的角为?,平面?的一个法向量是  n ,则 | PA?   n|    sin? ?| cos? PA ,  n? |   ?         | PA | ? |   n|
 例  2. 如图,在正方体ABCD ? A1 B1C1 D1中,求A1 B与平面A1 B1CD所成的角. 

 解:如图建立空间直角坐标系D ? xyz, 这正方体的棱长为2,则 D( 0,  0,  0 ),C( 0,  2,  0 ),B( 2,, 2,  0 ),A ( ,  0,  2 ), 1 2 DC ? ( 0,  2,  0 ),  DA1 ? ( 2,  0,  2 )            设平面A1 B1CD的法向量为  n? (x,y,z) ? ?2 y ? 0 ?y ? 0 ?n ? DC ? 0  则   即?  得 ?  取 n ? ( 1 ,  0,  ?1 ) ? ?2 x ? 2 z ? 0 ?z ? ? x ? ?n ? DA1 ? 0 又 A1 B ? ( 0,  ? 2,  2 ) ? cos? A1 B,  n? ? A1 B ? n | A1 B | ? | n | ? ?2 8? 2 ?? 1 2
A A1

D1 B1

C1

O D B C

  ? 直线A1 B与平面A1 B1CD所成的角为  30?.  

二面角的求法:
  设二面角? ? l ? ?为?,平面?的一个法向量是  n1,平面?的一个法向量是n2, 则 cos? ? cos?n1,  n2 ?  或 cos? ? ? cos? n1,  n2 ?      
 例3. 已知正方体ABCD ? A1 B1C1 D1,P是AD的中点,求二面角P ? BD1 ? A的大小.
A1 B1 C1

 解:如图建立空间直角坐标系A ? xyz, 这正方体的棱长为2,则

D1

A( 0,  0,  0 ),B( 0,  2,  0 ),C( 2,  2,  0 ),D( ,  0,  2 ),P( 1 ,  0,  0 ) 1 2 PB ? (? 1 ,  2,  0 ),  PD1 ? ( 1 ,  0,  2 )            设平面PBD1的法向量为  n? (x,y,z) ? ?? x ? 2 y ? 0 ?x ? 2 y ?n ? PB ? 0  则   即?  得?  取n ? ( 2,  1 ,  ?1 ) ? ?x ? 2z ? 0 ?z ? ? y ? ?n ? PD1 ? 0 又 AD1 ? ( 2,  0,  2 ),  AB ? ( 0,  2,  0 ) 设平面ABD1的法向量为  m? (x,y,z) ? ?2 y ? 0 ?y ? 0 ?m ? BC ? 0  则   即?  得?  取n ? ( 1 ,  0,  ?1 ) ? ?2 x ? 2 z ? 0 ?z ? ? x ? ?m ? AD1 ? 0 ? cos? m ,  n? ? m?n 6? 2 | m|?| n |   ? 二面角P ? BD1 ? A的大小为  30?.   ? 2 ? 0 ?1 ? 3 2
D P

A C

B

练习:    1. 如图,正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,E 是 CC1 的中点,求 BE 与平面 B1 BD 所成的角的余弦值. 
D1 A1 B1 C1 E C B

D A

   2. 在以边长为  1 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1中,E、F 分别是 BC 和 1 C1 D1 的上的点,BE ? C1 F ? ,试求 EF 与平面 A1 BD 所成的角的余弦值. 3
D1 A1 F B1 D A B E C C1

   3. PA ? 平面 ABC,AC ? BC,PA ? AC ? 1 ,BC ? 2, 求二面角 A ? PB ? C 的余弦值.

P

A P B

C

A B

C

   4. 如图,三棱柱 OAB ? O' A' B' 中,平面 OBB' O' ? 平面 OAB, ?O' OB ? 60??AOB ? 90?,且OB ? OO' ? 2,OA ? 3. 求  ( 1 )二面角O'? AB ? O的大小  ( 2 )异面直线A' B与AO' 所成角的大小  .

O'
A'
O A

B'

B


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