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北京市朝阳区2017届高三(上)期中数学试卷(理科)(解析版)


2016-2017 学年北京市朝阳区高三(上)期中数学试卷(理科)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项. 1.已知全集 U=R,集合 A={x|x2﹣2x<0},B={x|x﹣1≥0},那么 A∩?UB=( ) A.{x|0<x<1} B.{x|x<0} C.{x|x>2} D.{x|1<x<

2} 2.下列函数中,在其定义域上既是偶函数又在(0,+∞)上单调递减的是( ) 2 x A.y=x B.y=x+1 C.y=﹣lg|x| D.y=﹣2 3.若 a=log2.10.6,b=2.10.6,c=log0.50.6,则 a,b,c 的大小关系是( ) A.a>b>c B.b>c>a C.c>b>a D.b>a>c 4. =ax2﹣x, x2∈[2, 已知函数 f (x) 若对任意 x1, +∞) , 且 x1≠x2, 不等式 >0 恒成立,则实数 a 的取值范围是( A. B. C. ) D. )

5.设 m∈R 且 m≠0,“不等式 m+ >4”成立的一个充分不必要条件是( A.m>0 B.m>1 C.m>2 D.m≥2 6.已知三角形 ABC 外接圆 O 的半径为 1(O 为圆心) ,且 2 则 ? 等于( ) A. B. C. D.

+

+

=0,|

|=2|

|,

7.已知函数 f(x)=

则函数 g(x)=f(f(x) )﹣ 的零点个数是(



A.4 B.3 C.2 D.1 8.5 个黑球和 4 个白球从左到右任意排成一排,下列说法正确的是( A.总存在一个黑球,它右侧的白球和黑球一样多 B.总存在一个白球,它右侧的白球和黑球一样多 C.总存在一个黑球,它右侧的白球比黑球少一个 D.总存在一个白球,它右侧的白球比黑球少一个



二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卡上. 9.设平面向量 =(1,2) , =(﹣2,y) ,若 ∥ ,则 y= . 2 2 10.函数 f(x)=cos x﹣sin x 的单调递减区间为 . 11.各项均为正数的等比数列{{an}的前 n 项和为 Sn,若 a3=2,S4=5S2,则 a1 的值为 S4 的值为 . 12.已知角 A 为三角形的一个内角,且 ,则 tanA= ,tan(A+ )= .



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13.已知函数 f(x)=

在(﹣∞,+∞)上是具有单调性,则实数 m

的取值范围 . 14. 《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作,书中有如下问题:“今有良马与驽马发长 安,至齐.齐去长安三千里,良马初日行一百九十三里,日增一十三里,驽马初日行九十七 里,日减半里.良马先至齐,复还迎驽马,问几何日相逢.”其大意为:“现在有良马和驽马 同时从长安出发到齐去,已知长安和齐的距离是 3000 里,良马第一天行 193 里,之后每天 比前一天多行 13 里,驽马第一天行 97 里,之后每天比前一天少行 0.5 里.良马到齐后,立 刻返回去迎驽马,多少天后两马相遇.”试确定离开长安后的第 天,两马相逢. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.已知数列{an}(n∈N*)是公差不为 0 的等差数列,a1=1,且 (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设数列{ }的前 n 项和为 Tn,求证:Tn<1. cosx(a∈R)的图象经过点( ,0) . , , 成等比数列.

16.已知函数 f(x)=asinx﹣ (Ⅰ)求 f(x)的最小正周期; (Ⅱ)若 x∈[ ,

],求 f(x)的取值范围. .

17. B, C, D 四点共面, BC=2, AB=4, cos∠BDC= 如图, 已知 A, 且 CD=1, ∠ABC=120°, (Ⅰ)求 sin∠DBC; (Ⅱ)求 AD.

18.已知函数 f(x)=

﹣ax+cosx(a∈R) ,x∈[﹣



].

(Ⅰ)若函数 f(x)是偶函数,试求 a 的值; (Ⅱ)当 a>0 时,求证:函数 f(x)在(0, )上单调递减.

19.已知函数 f(x)=ex(x2﹣a) ,a∈R. a=1 y=f x (Ⅰ)当 时,求曲线 ( )在点(0,f(0) )处的切线方程; (Ⅱ)若函数 f(x)在(﹣3,0)上单调递减,试求 a 的取值范围; (Ⅲ)若函数 f(x)的最小值为﹣2e,试求 a 的值. 20.设 a,b 是正奇数,数列{cn}(n∈N*)定义如下:c1=a,c2=b,对任意 n≥3,cn 是 cn﹣ 1+cn﹣2 的最大奇约数.数列{cn}中的所有项构成集合 A.
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(Ⅰ)若 a=9,b=15,写出集合 A; (Ⅱ)对 k≥1,令 dk=max{c2k,c2k﹣1}(max{p,q}表示 p,q 中的较大值) ,求证:dk+1≤ dk; (Ⅲ)证明集合 A 是有限集,并写出集合 A 中的最小数.

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2016-2017 学年北京市朝阳区高三 (上) 期中数学试卷 (理 科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项. 1.已知全集 U=R,集合 A={x|x2﹣2x<0},B={x|x﹣1≥0},那么 A∩?UB=( ) A.{x|0<x<1} B.{x|x<0} C.{x|x>2} D.{x|1<x<2} 【考点】交、并、补集的混合运算. 【分析】分别求出 A 与 B 中不等式的解集,确定出 A 与 B,找出 A 与 B 补集的交集即可. 【解答】解:由 A 中的不等式变形得:x(x﹣2)<0, 解得:0<x<2,即 A={x|0<x<2}, 由 B 中的不等式解得:x≥1,即 B={x|x≥1}, ∵全集 U=R, ∴?UB={x|x<1}, 则 A∩(?UB)={x|0<x<1}. 故选:A. 2.下列函数中,在其定义域上既是偶函数又在(0,+∞)上单调递减的是( ) 2 x A.y=x B.y=x+1 C.y=﹣lg|x| D.y=﹣2 【考点】函数单调性的判断与证明;函数奇偶性的判断. 【分析】选项 A:y=x2 在(0,+∞)上单调递增,不符合条件; 选项 B:代入特殊值 x=±1,可知 f(﹣1)≠f(1) ,且 f(﹣1)≠﹣f(1) ,故 y=x+1 是非 奇非偶函数,不符合条件; x>0 时, y=﹣lg|x|= 选项 C: 先求出定义域, 再根据奇偶性的定义, 确定 y=﹣lg|x|是偶函数, ﹣lgx 单调递减,故符合条件; 选项 D:代入特殊值 x=±1,可知 f(﹣1)≠f(1) ,且 f(﹣1)≠﹣f(1) ,故 y=x+1 是非 奇非偶函数,不符合条件; 【解答】解:选项 A:f(x)=x2 的定义域为 R,又∵f(﹣x)=(﹣x)2=x2,∴f(﹣x)=f (x) ,即 f(x)是偶函数.但 y=x2 在(0,+∞)上单调递增,故 A 不正确; 选项 B:记 f(x)=x+1,则 f(1)=2,f(﹣1)=0,∵f(﹣1)≠f(1) ,且 f(﹣1)≠﹣f (1) ,∴y=x+1 是非奇非偶函数,故 B 不正确; 选项 C:定义域为(﹣∞,0)∪(0,+∞) ,记 f(x)=﹣lg|x|, ∵f(﹣x)=﹣lg|﹣x|=﹣lg|x|,∴f(﹣x)=f(x) ,即 f(x)是偶函数 当 x∈(0,+∞)时,y=﹣lgx.∵y=lgx 在(0,+∞)上单调递增,∴y=﹣lgx 在(0,+∞) 上单调递减故 C 正确; 选项 D:记 f(x)=﹣2x,则 f(1)=﹣ ,f(﹣1)=﹣2,∵f(﹣1)≠f(1) ,且 f(﹣1) ≠﹣f(1) ,∴y=﹣2x 是非奇非偶函数,故 D 不正确. 故选:C.

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3.若 a=log2.10.6,b=2.10.6,c=log0.50.6,则 a,b,c 的大小关系是( A.a>b>c B.b>c>a C.c>b>a D.b>a>c 【考点】对数值大小的比较. 【分析】直接利用中间量“0”,“1”判断三个数的大小即可. 【解答】解:a=log2.10.6<0,b=2.10.6>1,0<c=log0.50.6<1 ∴b>c>a, 故选:B.



4. =ax2﹣x, x2∈[2, 已知函数 f (x) 若对任意 x1, +∞) , 且 x1≠x2, 不等式 >0 恒成立,则实数 a 的取值范围是( A. B. C. ) D.

【考点】函数单调性的判断与证明. 【分析】对 进行化简,转化为 a(x1+x2)﹣1>0 恒成立,再将不等式变 ,从而将恒成立问题转变成求 的最大值,即可求出 a 的取值范

形,得到 a>

围 【解答】解:不妨设 x2>x1≥2, = =

=

=a(x1+x2)﹣1,

∵对任意 x1,x2∈[2,+∞) ,且 x1≠x2, ∴x2>x1≥2 时,a(x1+x2)﹣1>0,即 a> ∵x2>x1≥2 ∴ ∴a ,即 a 的取值范围为[ ,+∞) 恒成立

>0 恒成立,

故本题选 D

5.设 m∈R 且 m≠0,“不等式 m+ >4”成立的一个充分不必要条件是( A.m>0 B.m>1 C.m>2 D.m≥2



【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.
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【分析】根据基本不等式的性质,结合充分不必要条件的定义进行判断即可. 【解答】解:当 m<0 时,不等式 m+ >4 不成立, 当 m>0 时,m+ ≥2 =4,当且仅当 m= ,即 m=2 时,取等号,

A.当 m=2 时,满足 m>0,但不等式 m+ >4 不成立,不是充分条件, B.当 m=2 时,满足 m>1,但不等式 m+ >4 不成立,不是充分条件, C.当 m>2 时,不等式 m+ >4 成立,反之不一定成立,是充分不必要条件,满足条件. D.当 m=2 时,满足 m≥2,但不等式 m+ >4 不成立,不是充分条件, 故选:C. 6.已知三角形 ABC 外接圆 O 的半径为 1(O 为圆心) ,且 2 则 ? 等于( ) A. B. C. D. + + =0,| |=2| |,

【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】由题意可得三角形是以角 A 为直角的直角三角形,解直角三角形求出相应的边和 角,代入数量积公式得答案. 【解答】解:三角形 ABC 外接圆 O 的半径为 1(O 为圆心) ,2 + + =0, ∴O 为 BC 的中点,故△ABC 是直角三角形,∠A 为直角. 又| |=2| |, ∴| ∴| |= ,| |= , |=2,

∴cosC=

=

=





?

=﹣

?

=﹣

×2×

=﹣

故选:A

7.已知函数 f(x)= A.4 B.3 C.2 D.1

则函数 g(x)=f(f(x) )﹣ 的零点个数是(



【考点】函数零点的判定定理.

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【分析】作出函数的图象,先求出 f(x)= 的根,然后利用数形结合转化为两个函数的交 点个数即可. 【解答】解:作出函数 f(x)的图象如图: 当 x≤0 时,由 f(x)= 得 x+1= ,即 x= ﹣1=﹣ , 当 x>0 时,由 f(x)= 得 log2x= ,即 x= = ,

由 g(x)=f(f(x) )﹣ =0 得 f(f(x) )= , 则 f(x)=﹣ 或 f(x)= ,

若 f(x)=﹣ ,此时方程 f(x)=﹣ 有两个交点, 若 f(x)= ,此时方程 f(x)= 只有一个交点,

则数 g(x)=f(f(x) )﹣ 的零点个数是 3 个, 故选:B

8.5 个黑球和 4 个白球从左到右任意排成一排,下列说法正确的是( A.总存在一个黑球,它右侧的白球和黑球一样多 B.总存在一个白球,它右侧的白球和黑球一样多 C.总存在一个黑球,它右侧的白球比黑球少一个 D.总存在一个白球,它右侧的白球比黑球少一个



【考点】进行简单的合情推理. 【分析】5 个黑球和 4 个白球,5 为奇数,4 为偶数,分析即可得到答案. 【解答】解:5 为奇数,4 为偶数,故总存在一个黑球,它右侧的白球和黑球一样多, 故选:A 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卡上. 9.设平面向量 =(1,2) , =(﹣2,y) ,若 ∥ ,则 y= ﹣4 . 【考点】平行向量与共线向量. 【分析】直接利用向量共线的坐标表示列式计算 【解答】解:∵ =(1,2) , =(﹣2,y) , ∥ , ∴1×y=2×(﹣2)
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∴y=﹣4 故答案为:﹣4 10.函数 f(x)=cos2x﹣sin2x 的单调递减区间为



【考点】二倍角的余弦;余弦函数的图象. 【分析】 由条件利用二倍角的余弦函数公式化简函数的解析式, 再根据余弦函数的单调性求 得函数的单调递减区间. 【解答】解:对于函数 y=cos2x﹣sin2x=cos2x, 令 2kπ≤2x≤2kπ+π,k∈Z, 求得:kπ≤x≤kπ+ ,k∈Z, . .

可得函数的单调递减区间是: 故答案为:

11.各项均为正数的等比数列{{an}的前 n 项和为 Sn,若 a3=2,S4=5S2,则 a1 的值为 S4 的值为 .



【考点】等比数列的前 n 项和. 【分析】经分析等比数列为非常数列,设出等比数列的公比,有给出的条件列方程组求出 a1 和 q 的值,则 S4 的值可求. 【解答】解:若等比数列的公比等于 1,由 a3=2,则 S4=4a3=4×2=8,5S2=5×2S3=5×2× 2=20,与题意不符. 设等比数列的公比为 q(q≠1) ,

由 a3=2,S4=5S2,得:



整理得

,解得

,q=±2.因为数列{an}的各项均为正数,所以 q=2.





故答案为 ;



12.已知角 A 为三角形的一个内角,且

,则 tanA=

,tan(A+

)=

﹣7



【考点】两角和与差的正切函数;同角三角函数间的基本关系.

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【分析】利用同角三角函数的基本关系求得 sinA 的值,可得 tanA 的值,再利用两角和的正 切公式求得 tan(A+ )的值. ,则 sinA= ,∴tanA= = .

【解答】解:已知角 A 为三角形的一个内角,且

∴tan(A+

)=

=

=﹣7,

故答案为 ,﹣7.

13.已知函数 f(x)=

在(﹣∞,+∞)上是具有单调性,则实数 m

的取值范围 (1, ] . 【考点】函数单调性的性质. 【分析】函数 f(x)在(﹣∞,+∞)上是具有单调性,需要对 m 分类讨论,当 m>1,m< ﹣1,m=±1、0,﹣1<m<0,0<m<1 分别判断分段函数的单调性. 【解答】解:令 h(x)=mx2+1,x≥0;g(x)=(m2﹣1)2x,x<0; ①当 m>1 时,要使得 f(x)在(﹣∞,+∞)上是具有单调性, 即要满足 m2﹣1≤1? ﹣ ≤m≤ 故:1<m≤ ; ②当 m<﹣1 时,h(x)在 x≥0 上递减,g(x)在 x<0 上递增, 所以,f(x)在 R 上不具有单调性,不符合题意; ③当 m=±1 时,g(x)=0;当 m=0 时,h(x)=1; 所以,f(x)在 R 上不具有单调性,不符合题意; ④当﹣1<m<0 时,h(x)在 x≥0 上递减,g(x)在 x<0 上递减, 对于任意的 x≥0,g(x)<0;当 x→0 时,h(x)>0; 所以,f(x)在 R 上不具有单调性,不符合题意; ⑤当 0<m<1 时,h(x)在 x≥0 上递增,g(x)在 x<0 上递减; 所以,f(x)在 R 上不具有单调性,不符合题意; 故答案为: (1, ] 14. 《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作,书中有如下问题:“今有良马与驽马发长 安,至齐.齐去长安三千里,良马初日行一百九十三里,日增一十三里,驽马初日行九十七 里,日减半里.良马先至齐,复还迎驽马,问几何日相逢.”其大意为:“现在有良马和驽马 同时从长安出发到齐去,已知长安和齐的距离是 3000 里,良马第一天行 193 里,之后每天 比前一天多行 13 里,驽马第一天行 97 里,之后每天比前一天少行 0.5 里.良马到齐后,立 刻返回去迎驽马,多少天后两马相遇.”试确定离开长安后的第 20 天,两马相逢. 【考点】等差数列的前 n 项和. 【分析】利用等差数列的求和公式与不等式的解法即可得出. 【解答】解:由题意知,良马每日行的距离成等差数列, 记为{an},其中 a1=103,d=13;
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驽马每日行的距离成等差数列, 记为{bn},其中 b1=97,d=﹣0.5; 设第 m 天相逢,则 a1+a2+…+am+b1+b2+…+bm =103m+ =200m+ +97m+ ×12.5≥2×3000,

化为 m2+31m﹣960≥0, 解得 m 故答案为:20. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.已知数列{an}(n∈N*)是公差不为 0 的等差数列,a1=1,且 (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设数列{ }的前 n 项和为 Tn,求证:Tn<1. , , 成等比数列. ,取 m=20.

【考点】数列的求和;数列递推式. 【分析】 (Ⅰ)利用已知列出关于工程师了公差方程求出公差;得到通项公式; (Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论,将通项公式代入,利用裂项求和证明即可. 【解答】解: (Ⅰ)设{an}的公差为 d. 因为 即 化简得 又 a1=1,且 d≠0,解得 d=1. 所以有 an=a1+(n﹣1)d=n. (Ⅱ)由(Ⅰ)得: 所以 因此,Tn<1. 16.已知函数 f(x)=asinx﹣ (Ⅰ)求 f(x)的最小正周期; (Ⅱ)若 x∈[ , ],求 f(x)的取值范围. 成等比数列,所以 . ,即 d2=a1d. .

… . . …

cosx(a∈R)的图象经过点(

,0) .

【考点】三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象.

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【分析】 (Ⅰ)根据函数 f(x)的图象过点

,代入函数解析式求出 a 的值,从而

写出函数解析式并求出最小正周期; (Ⅱ)根据 x 的取值范围,计算 f(x)的最值,从而求出它的取值范围. 【解答】解: (Ⅰ)因为函数 所以 解得 a=1; 所以 所以 f(x)最小正周期为 T=2π; (Ⅱ)因为 所以当 当 ,即 ,即 ,所以 … ; … , , 的图象经过点 ,

时,f(x)取得最大值,最大值是 2; 时,f(x)取得最小值,最小值是﹣1; …

所以 f(x)的取值范围是[﹣1,2].

17. B, C, D 四点共面, BC=2, AB=4, cos∠BDC= 如图, 已知 A, 且 CD=1, ∠ABC=120°, (Ⅰ)求 sin∠DBC; (Ⅱ)求 AD.



【考点】余弦定理;正弦定理. 【分析】 (Ⅰ)利用已知及同角三角函数基本关系式可求 ,进而利用正弦定

理即可求得 sin∠DBC 的值. (Ⅱ)在△BDC 中,由余弦定理可求 DB 的值,利用同角三角函数基本关系式可求 ,进而利用两角差的余弦函数公式可求 cos∠ABD 的值,在△ABD 中,由 余弦定理可求 AD 的值. 【解答】 (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)在△BDC 中,因为 所以 .
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由正弦定理

得,

. …

(Ⅱ)在△BDC 中,由 BC2=DC2+DB2﹣2DC?DBcos∠BDC, 得, 所以 解得 或 . . (舍) . ,

由已知得∠DBC 是锐角,又 所以 .

所以 cos∠ABD=cos=cos120°?cos∠DBC+sin120°?sin∠DBC= = .

在△ABD 中,因为 AD2=AB2+BD2﹣2AB?BDcos∠ ABD= 所以 . … ,

18.已知函数 f(x)=

﹣ax+cosx(a∈R) ,x∈[﹣



].

(Ⅰ)若函数 f(x)是偶函数,试求 a 的值; (Ⅱ)当 a>0 时,求证:函数 f(x)在(0, )上单调递减.

【考点】函数单调性的判断与证明;函数奇偶性的性质. 【分析】 (Ⅰ)根据偶函数的定义,f(﹣x)=f(x)恒成立,求出 a 的值; (Ⅱ)利用导数大于 0 或小于 0,判断函数 f(x)是单调增函数单调减函数即可. 【解答】解: (Ⅰ)因为函数 f(x)是偶函数, 所以 f(﹣x)= ﹣a(﹣x)+cos(﹣x)

=

+ax+cosx

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=f(x)= 所以 a=0;

﹣ax+cosx 恒成立, … , , ;注意到 ,解得 ,解得 上单调递减, ,g(x)<g(0)=0﹣a<0, 单调递减, , 单调递减, 上单调递减.… , ,a>0; ; ; 上单调递增;

(Ⅱ)由题意可知 设 则 由 g'(x)<0,即 由 g'(x)>0,即 所以 g(x)在 所以当 所以 f(x)在 当 所以 f(x)在

所以当 a>0 时,函数 f(x)在

19.已知函数 f(x)=ex(x2﹣a) ,a∈R. (Ⅰ)当 a=1 时,求曲线 y=f(x)在点(0,f(0) )处的切线方程; (Ⅱ)若函数 f(x)在(﹣3,0)上单调递减,试求 a 的取值范围; (Ⅲ)若函数 f(x)的最小值为﹣2e,试求 a 的值. 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线 上某点切线方程. 【分析】 (1)利用导数求出 x=0 处的切线斜率,根据点斜式写出切线方程; (2)函数 f(x)在(﹣3,0)上单调递减,即当 x∈(﹣3,0)时,x2+2x﹣a≤0 恒成立.要 使得“当 x∈(﹣3,0)时,x2+2x﹣a≤0 恒成立”,等价于 即 所以 a≥3.

(3)根据函数的单调性,得出函数 f(x)的最小值只能在

处取得.

【解答】解:由题意可知 f'(x)=ex(x2+2x﹣a) . (Ⅰ)因为 a=1,则 f(0)=﹣1,f'(0)=﹣1, 所以函数 f(x)在点(0,f(0) )处的切线方程为 y﹣(﹣1)=﹣(x﹣0) . 即 x+y+1=0. (Ⅱ)因为函数 f(x)在(﹣3,0)上单调递减,
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所以当 x∈(﹣3,0)时,f'(x)=ex(x2+2x﹣a)≤0 恒成立. 即当 x∈(﹣3,0)时,x2+2x﹣a≤0 恒成立. 显然,当 x∈(﹣3,﹣1)时,函数 g(x)=x2+2x﹣a 单调递减, 当 x∈(﹣1,0)时,函数 g(x)=x2+2x﹣a 单调递增. 所以要使得“当 x∈(﹣3,0)时,x2+2x﹣a≤0 恒成立”, 等价于 即 所以 a≥3.

(Ⅲ)设 g(x)=x2+2x﹣a,则△=4+4a. ①当△=4+4a≤0,即 a≤﹣1 时,g(x)≥0,所以 f'(x)≥0. 所以函数 f(x)在(﹣∞,+∞)单增,所以函数 f(x)没有最小值. ②当△=4+4a>0,即 a>﹣1 时,令 f'(x)=ex(x2+2x﹣a)=0 得 x2+2x﹣a=0, 解得 随着 x 变化时,f(x)和 f'(x)的变化情况如下: x f' 0 + ﹣ (x ) f (x) 当 x∈ 所以 ↗ 极大值 时, . ↘

0

+

极小值 .



所以 f(x)=ex(x2﹣a)>0. 又因为函数 f(x)的最小值为﹣2e<0, 所以函数 f(x)的最小值只能在 所以 所以 . 处取得. .

易得 . 解得 a=3. 以下证明解的唯一性,仅供参考: 设 因为 a>0,所以 , . 设 ,则 . x x 设 h(x)=﹣xe ,则 h'(x)=﹣e (x+1) . x 0 h' x 0 g a 当 > 时, ( )< ,从而易知 ( )为减函数. 当 a∈(0,3) ,g(a)>0;当 a∈(3,+∞) ,g(a)<0. 所以方程 只有唯一解 a=3.
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20.设 a,b 是正奇数,数列{cn}(n∈N*)定义如下:c1=a,c2=b,对任意 n≥3,cn 是 cn﹣ 1+cn﹣2 的最大奇约数.数列{cn}中的所有项构成集合 A. (Ⅰ)若 a=9,b=15,写出集合 A; (Ⅱ)对 k≥1,令 dk=max{c2k,c2k﹣1}(max{p,q}表示 p,q 中的较大值) ,求证:dk+1≤ dk; (Ⅲ)证明集合 A 是有限集,并写出集合 A 中的最小数. 【考点】集合的表示法. 【分析】 (Ⅰ)利用列举法写出数列{cn},易得集合 A; (Ⅱ)由题设,对 n≥3,cn﹣2,cn﹣1 都是奇数,所以 cn﹣1+cn﹣2 是偶数.从而 cn﹣1+cn﹣2 的最 大奇约数 ,结合不等式的性质进行解答;

(Ⅲ)有限集是指元素的个数是有限个的集合,从而确定答案. 【解答】解: (Ⅰ)数列{cn}为:9,15,3,9,3,3,3,…. 故集合 A={9,15,3}. (Ⅱ)证明:由题设,对 n≥3,cn﹣2,cn﹣1 都是奇数,所以 cn﹣1+cn﹣2 是偶数. 从而 cn﹣1+cn﹣2 的最大奇约数 ,

所以 cn≤max{cn﹣1,cn﹣2},当且仅当 cn﹣1=cn﹣2 时等号成立. 所以,对 k≥1 有 c2k+1≤max{c2k,c2k﹣1}=dk, 且 c2k+2≤max{c2k+1,c2k}≤max{dk,dk}=dk. 所以 dk+1=max{c2k+2,c2k+1}≤dk,当且仅当 c2k=c2k﹣1 时等号成立. (Ⅲ)由(Ⅱ)知,当 n≥3 时,有 cn≤max{cn﹣1,cn﹣2}. 所以对 n≥3,有 cn≤max{c1,c2}=max{a,b}. 又 cn 是正奇数,且不超过 max{a,b}的正奇数是有限的, 所以数列{cn}中的不同项是有限的. 所以集合 A 是有限集. 集合 A 中的最小数是 a,b 的最大公约数.

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