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浙江省杭州地区重点中学2015-2016学年高一上学期期中联考数学答案


2015 学年第一学期期中杭州地区(含周边)重点中学 高一年级数学学科参考答案
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分). 题号 答案 30 分.) 11. 14. 1 A 2 D 3 C 4 B 5 D 6 B 7 A 8 C 9 A 10 D

二、填空题(本大题共 6 小题,第 11、12、13 小题每空 3 分,第 1

4、15、16 小题每空 4 分,共

?6 ,9

12. 17 , 11 15. a ? 0 或 a ? 1

13 .

? ??,0? ??1, ???

? ??,1? , ? 0,3?

16. ①②④

三、解答题: (本大题共 4 小题,共 50 分.解答应在相应的答题框内写出文字说明、证明过程或演 算步骤.) 17. (本小题满分 12 分)设全集是实数集 R,函数 y ?

2x ?1 ?

B ? x x2 ? a ? 0 .
(1)当 a ? ?4 时,求 A∩B 和 A∪B; (2)若(?RA)∩B=B,求实数 a 的取值范围. 解: (1)∵ A ? ? x

?

?

2 的定义域为 A, 3? x

? 1 ? ? x ? 3? ,当 a ? ?4 时,B={x|﹣2<x<2},…………3 分 ? 2 ?

∴A∩B={x| ≤x<2},A∪B={x|﹣2<x<3}.…………6 分 (2)?RA={x|x< 或 x ? 3},当(?RA)∩B=B 时,B? ?RA, ①当 B ? ? ,即 a ? 0 时,满足 B? ?RA;…………8 分 ②当 B ? ? ,即 a ? 0 时, B ? x ? ?a ? x ? ?a ,

?

?

1 ?a?0. 4 1 综上可得,实数 a 的取值范围是 a ? ? .…………12 分 4
要使 B? ?RA,需 ?a ≤ ,解得 ?

? 1 x? , ( x ? 1) ? ? x 18. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ? ? 1 ? x, (0 ? x ? 1) ? ?x (1) 求证: f ( x ) 在 [1,??) 上为增函数; (2) 当 0 ? a ? b, 且 f (a) ? f (b) 时,求 ab 的值.
1

解: (1)设 1 ? x1 ? x2 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( x1 ?

?1 ? x1 ? x2

1 1 1 ) ? ( x2 ? ) ? ( x1 ? x2 )(1 ? ) …………3 分 x1 x2 x1 x2 1 ? x1 ? x2 ? 0,?1 ? ? 0 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 x1 x2
……………5 分

即 f ( x1 ) ? f ( x2 )

……………6 分 ? f ( x) 在 [1,??) 上为增函数 (2)? 0 ? a ? b ,且 f (a) ? f (b) 由图(略)可知 0 ? a ? 1 ? b ……………8 分 1 1 ∴ f (a ) ? ? a, f (b) ? b ? a b 1 1 由f (a) ? f (b)得 ? a ? b ? ……………10 分 a b ∴ ab ? 1 ……………12 分 4 (a ? 0且a ? 1) 是定义在 (??, ??) 上的奇函 19.(本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? 1 ? x 2a ? a 数. (1)求 a 的值; (2)求函数 f ( x ) 的值域; (3)当 x ? ? 0,1? 时, t f ( x) ? 2x ? 2 恒成立,求实数 t 的取值范围. 解: (1)∵ f ( x ) 是定义在 (??, ??) 上的奇函数. ∴由 f (? x) ? f ( x) ? 0 得 a ? 2 ……………3 分 (2)由(1)知 f ( x) ? 1 ?

2 1? y 1? y x ? 0 得 ?1 ? y ? 1 ,∴ 2 ? ,由 2 ?1 1? y 1? y
x

故函数 f ( x ) 的值域为 ? ?1,1? ……………8 分(其他方法同样给分) (3)当 x ? ? 0,1? 时, t f ( x) ? 2 ? 2 恒成立,
x

6 2x ? 1 ? 5 在 x ? ? 0,1? 上恒成立。 ? 2x ? 2 ? t ? 2x ?1 ? x x 2 ?1 2 ?1 6 x ? 5 在 x ? ? 0,1? 上单调递减,其最小值为 12, 而函数 y ? 2 ? 1 ? x 2 ?1 ∴实数 t 的取值范围为 ? ??,12? ……………13 分
即t ?

20. (本小题满分 13 分)已知 a ? R ,函数 f ( x) ? x x ? 2a . (1)当 a ? 1 时,写出函数 y ? f ( x) 的单调增区间; (2) 当 a ? 1 时,求函数 y ? f ( x) 在区间[1,2]上的最小值; (3) 设 a ? 0 ,若函数 y ? f ( x) 在 ? m, n ? 上既有最大值又有最小值,请分别求出 m, n 的取值范 围.(用 a 表示)
2

解: (1)当 a ? 1 时, f ( x) ? x x ? 2 ? ?

? x 2 ? 2 x, x ? 2

2 ?? x ? 2 x , x ? 2 ∴ y ? f ( x) 的单调增区间是 (??,1) , (2, ??) ……………3 分 (2)∵ a ? 1 ,x∈[1,2],∴ f ( x) ? x x ? 2a ? ?x2 ? 2ax ? ?( x ? a)2 ? a2

当1 ? a ? 当a ?

3 时, f ( x)min ? f (2) ? 4a ? 4 2

3 时, f ( x)min ? f (1) ? 2a ?1 ……………7 分 2 ? x 2 ? 2ax, x ? 2a (3) a ? 0 , f ( x) ? x x ? 2a ? ? 2 ?? x ? 2ax , x ? 2a ①当 a ? 0 时, y ? f ( x) 的图象如图 1 所示:显然函数 y ? f ( x) 在(—∞,2 a )上的最大值为

? y ? a2 ,解得 x ? ( 2 ? 1)a f ( a) ? a , 由 ? ? y ? x ( x ? 2a ) 由于函数 y ? f ( x) 在 ? m, n ? 上既有最大值又有最小值,∴0≤m< a ,2 a <n≤ ( 2 ? 1)a .
2

……………10 分 ②当 a ? 0 时, y ? f ( x) 的图象如图 2 所示:显然函数 y ? f ( x) 在(2 a ,+∞)上的最小值为

f (a) ? ?a2 .
由?

? y ? ?a 2 ? y ? x(2a ? x)

,解得 x ? ( 2 ? 1)a

由于函数 y ? f ( x) 在(m,n)上既有最大值又有最小值,故有 ( 2 ? 1)a ≤m<2 a , a <n≤0. ……………13 分

3


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