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关于针对2006高考数学模拟试卷


HR Planning System Integration and Upgrading Research of

A Suzhou Institution

2006 高考数学模拟试卷
第 I 卷(选择题
一、选择题 得分 小题, 在每小题给出的四个选项中, 本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题

给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的。 符合题目要求的。 1.已知集合 A={x|a-2≤x≤a+1},B={x|2<x<4},能使 A B 成立的实数 a 的取值范围是 ( ) A.{a|3<a<4} B.{a|3≤a<4} C.{a|3<a≤4} D.{a|3≤a≤4} 2. 已知 f(x+2)是偶函数,则 y=f(2x)的图像的对称轴是 ( ) A.x=-1 B.x=1 C.x=2 D.x=-2 3.如果方程 x 2 + ky 2 = 2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则实数 k 的取值范围是 A. (0,1) B. (0,2) 4.关于等比数列{an}给出下述命题: (1)数列 an =10 是公比 q=1 的等比数列; (2) n ∈ N , 则a n + a n + 4 = a
+
+ 2 n+2

共 60 分)

( )

C. (0,+ ∞ )

D. (1,+ ∞ )

;

(3) m, n, p, q ∈ N , m + n = p + q, 则am ? an = a p ? aq ; (4) n 是等比数列的前 n 项和, Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 成等比数列, S 则 其中的真命题是 ( A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ )

? x ? y ? 1 ≥ 0, ? 5. 已知 x,y 满足不等式组 ? x + y ? 1 ≤ 0, 则 z=20-2y+x 的最大值是 ? x + 2 y + 1 ≥ 0, ?

( )

A.21 B.23 C.25 D.27 6.已知长方体 ABCD—A1B1C1D1 的底面 ABCD 是边长为 4 的正方形,长方体的高 AA1=3, 则 BC1 与对角面 BB1D1D 所角的正弦值等于 ( ) A.

4 5

B.

3 5

C.

2 2 5

D.

3 2 5

7.一组数据 8,12,x,11,9 的平均数是 10,则这样数据的方差是 A.2 B. 2 C.2 2 D.





2 2
( )

8.函数 f(x)=4x4-2x2+6 的单调递增区间是 A. (?∞,?1]和[0,1] 9.复数 z = A. B. (?1,0) C. [ ?1,0] ∪ [1,+∞] D.[0,1]

π
4

1 的辐角主值是 1+ i 3π B. 4

( C.



5π 4

D.

7π 4

10.已知 a = ( 3 sin ωx, cos ωx), b = (cos ωx, cos ωx ) ,记函数 f(x)=a·b,且 f(x)的最小 正周期是 π ,则 ω =( ) A. ω =1 B. ω =2 C. ω =

1 2

D. ω =

2 3

11.给出三个条件: ①xt >yt ;
2 2



x y > ; t t

③x >y

2

2

其中能分别成为 x>y 的充分条件的是 A.①②③ B.②③ 12.双曲线 A.k<3

( ) C.③ D.① ( ) D.-57<k<3

x2 y2 + = 1 的离心率 e<2,则 k 的取值范围是 k ?3 4
B.-9<k<3 C.-3<k<3 共 90 分)

第 II 卷(非选择题
得分

二、填空题 小题, 把答案填在题中横线上。 本大题共 4 小题,共 16 分,把答案填在题中横线上。 13.已知等差数列{an}中, a1 = 14.已知 sin α + cos α =
4 4

1 , a 2 + a8 = 2, a n = 12 ,则 Sn= 5




17 , α ∈ III , 则 sin 2α的值等于 25

15.一个四面体所有的棱长都是 6 2 ,四个顶点在同一个球面上,则此球的体积等于 。 16.已知 ? 得分 三、解答题 本大题共 6 小题,共 74 分,17~21 题,每小题 12 分,第 22 题 14 分,解答应写出文 字说明、证明过程或演算步骤。

π
3

≤x≤

π
6

, 要使 cos x =

6m ? 1 成立,则实数 m 的取值范围是 6m + 5



17.已知集合 A = {( x, y ) | ax + y = 1, x, y ∈ R}, B = {( x, y ) | x + ay = 1, x, y ∈ R}, C= {( x, y ) | x 2 + y 2 = 1, x, y ∈ R} (1)若( A ∪ B ) ∩ C 为两个元素的集合,求实数 a; (2) A ∪ B ) ∩ C 为含三个元素的集合,求实数 a。 (

18.已知函数 f(x)=(k+1)x3-3(k+2)x2-k2-2k(k>-1). (1)若 f(x)的单调递减区间为(0,4) ,求 k 的值; (2)当 k 的值满足(1)时,求过 M(1,-5)作曲线 f(x)的切线的方程。

19.一批零件有 9 个合格品,3 个不合格品,组装机器时,从中任取一个零件,若取出不合 格品不再放回,求在取得合格品前已取出的不合格品数的分布列。

20.已知四棱锥 P-ABCD 中,底面四边形为正方形,侧面 PDC 为正三角形,且平面 PDC⊥ 底面 ABCD,E 为 PC 的中点。 (1)求证:PA//平面 EDB; (2)求证:平面 EDB⊥平面 PBC; (3)求二面角 D-PB-C 的正切值。

21.已知双曲线 x ?
2

y2 = 1 ,过点 P(2,1)作一条直线交双曲线于 A,B,并使 P 为 AB 3

的中点,求 AB 所在直线的方程和弦 AB 的长。

22.已知二次函数 y = f ( x )在x =

t+2 t2 处取得最小值 ? (t > 0), f (1) = 0 2 4

(1)求 y=f(x)的表达式;

(2)若任意实数 x 都满足 f(x)·g(x)+anx+bn=xn+1(g(x)为多项式,
n ∈ N + ) ,试用 t 表示 an 和 bn;
(3)设圆 Cn 的方程 ( x ? a n ) + ( y ? bn ) = rn ,圆 Cn 与 Cn+1 外切(n=1,2,3,…),{rn}是各
2 2 2

项都是正数的等比数列,记 Sn 为前 n 个圆的面积之和,求 rn,Sn.

2006 高考数学模拟试卷


一、选择题 1 题号 答案 D 2 B 3 A 4 C 5 D 6 C


7 B 8 C 9 D 10 A 11 D 12 B

第I卷

第 II 卷
二、填空题 13.由 a1 = ∴d =

1 , a 2 + a8 = 2, 有 2 a1 + 8d = 2, 5

1 5

∵ a1 + ( n ? 1) d = 12, ∴ n = 60, S60=366 14.由 sin α + cos α =
4 4

17 17 , 有 (sin 2 α + cos 2 α ) 2 ? 2 sin 2 α cos 2 α = 25 25

8 (α ∈ III ) 25 16 4 2 ∴ sin 2α = .从而 sin 2α = 25 5
∴ 2 sin α cos α =
2 2

15.如图,将四面体补成正方体,则正方体的棱长是 6。

4 ∴V球 = π × (3 3 ) 3 3 4 = π × 27 × 3 3 3 = 108 3π

16.∵ ? ∴

π
3

≤x≤

π
6

,

1 ≤ cos x ≤ 1 2 1 6m ? 1 ≤1 ∴ ≤ 2 6m + 5 6 m ? 1 1 6m ? 1 ? 1) ≤ 0 即( ? )( 6 m + 5 2 6m + 5


6m ? 7 ?6 ? ≤0 2(6m + 5) 6m + 5 7 6

∴6m-7≥0,即 m≥

三、解答题 17. (A∪B)∩C 含两个元素。 (1) 2 2 ①直线 ax+y=1 和 x+ay=1 与圆 x +y =1 各有一个交点且不重合,则满足条件,此时 a=0,如 图(1)所示。 2 2 ②直线 ax+y=1 和 x+ay=1 重合,且与圆 x +y =1 有两个不同的交点,则满足条件,此时 a=1, 如图(2)所示。 综上,a=0 或 a=1 时, (A∪B)∩C 为含两个元素的集合。 (2) (A∪B)∩C 含三个元素。 显然 a≠0,a≠1. 2 2 2 2 直线 ax+y=1 和 x+ay=1 与圆 x +y =1 必须交于三个点,即两直线有一个交点在圆 x +y =1 上, 且两直线与圆还各有一个交点。 ∵直线 ax+y=1 和 x+ay=1 关于直线 y=x 对称。 ∴三个交点为(0,1)(1,0)( , , 如图(3) (4)所示。 此时 a = ?1 ±

2 2 2 2 , )或(0,1)(1,0)(- , , ,? ) 2 2 2 2

2

18.(1) ∵ f ( x) = ( k + 1) x ? 3( k + 2) x ? k ? 2k ,
3 2 2 2 ∴ f ' ( x) = 3( k + 1) x ? 6( k + 2) x

又 f ' ( x) < 0的解集为(0,4) , ∴

2( k + 2) =4 k +1

∴k=0 3 2 (2) ∵M(1,-5)在曲线 f(x)=x -6x 上, ∴斜率 t=f’(x) | x = ?1 = 3 x ? 12 x | x = ?1 = 3 + 12 = 15
2

∴所求切线方程为 y+5=15(x-1),即为 15x-y-20=0 19.设在取得合格品前取出的不合格品数为 ξ ,则 ξ 是一个随机变量,且取值 0,1,2,3

ξ =0 表示从 12 个零件中取 1 件,取到合格品,其概率为
p (ξ = 0) =
1 A9 9 3 = = , 1 A12 12 4

ξ =1 表示从 12 个零件中取 2 件,第 1 次取到不合格品,第 2 次取到合格品,其概率为
p (ξ = 1) =
1 1 A3 A9 3× 9 9 = = . 2 12 × 11 44 A12 1 A32 A9 3× 2 × 9 9 = = . 3 12 × 11 × 10 220 A12

同理,有 p (ξ = 2) =

3 1 A3 A9 3 × 2 ×1× 9 1 p (ξ = 3) = = = . 4 12 × 11 × 10 × 9 220 A12

∴所求分布列为

ξ
P

0

1

2

3

3 4

9 44

9 220

1 220

20. (1)证:连 AC 交 BD 于 O,连 EO。由四边形 ABCD 为正方形,得 O 为 AC 的中点。 在△PAC 中,由中位线定理得 EO//PA。 又 EO ? 平面 EDB,PA ? 平面 EDB;

∴PA//平面 EDB。 (2)证:由平面 PDC⊥平面 ABCD,BC⊥DC,得 BC⊥平面 PDC,又 DE ? 平面 PDC, 则 BC⊥DE。E 为 PC 的中点,△PDC 为正三角形, ∴DE⊥PC。 BC∩PC=C, ∴DE⊥平面 PBC, 又 DE ? 平面 EDB, ∴平面 EDB⊥平面 PBC (3)作 EF⊥PB 于 F,连 DF,由 DE⊥平面 PBC 及三垂线定理,得 DF⊥PB。∠DFE 是所 求二面角的平面角。 设 BC=4,则 PC=4。 在等边△PDC 中求出 DE=2 3 在 Rt△PFE 中,∠EPF=45°,PE=2,可求出 FE= 2 ∴tan∠DFE=

DE FE

=

2 3 2

= 6 21.易知直线 AB 不与 y 轴平行,设其方程为 y-1=k(x-2) 由?

? y ? 1 = k ( x ? 2),
2 2 ?3x ? y = 3,

得 (3 ? k 2 ) x 2 + 2k (2k ? 1) x ? 4(k 2 ? k + 1) = 0 设此方程两实根为 x1,x2, 则 x1 + x 2 =

2k (2k ? 1) k2 ?3

又 P(2,1)为 AB 的中点, 所以

2k (2k ? 1) =4 k2 ?3

解得,k=6 当 k=6 时 , 直 线 与 双 曲 线 相 交 , 即 上 述 二 次 方 程 的 △ >0 。 所 求 直 线 AB 的 方 程 为

y ? 1 = 6( x ? 2), 化成一般式为 6x-y-11=0.
∴ | AB |= 1 + k ? ( x1 ? x 2 )
2 2

= 37 × 16 ? 4 ×

31 × 4 4 2442 = 33 33

22. (1) 设 f ( x) = a ( x ? ∵f(1)=0, ∴ a (1 ?

t + 2 2 t2 ) ? . 2 4

t + 2 2 t2 ) ? = 0, 从而a = 1 2 4

∴f(x)=x2-(t+2)x+(t+1). (2) f(x)=x2-(t+2)x+(t+1)=(x-1)(x-t-1) ∴(x-1)(x-t-1)g(x)+anx+bn=xn+1. 将 x=1,x=t+1 分别代入上式,得

? a n + bn = 1 ? n +1 ?(t + 1)a n + bn = (t + 1)
∵t≠0, ∴ a n = [(t + 1)

1 n +1 ] t t +1 bn = [1 ? (t + 1) n ] t

(3) ∵ a n + bn = 1 , ∴圆 Cn 的圆心 On 在直线 x+y=1 上。 ∴ | On On +1 |=

2 | a n +1 ? a n |= 2 (t + 1) n +1 2 (t + 1) n +1

又圆 Cn 与 Cn+1 外切,故 rn + rn +1 = 设{rn}的公比为 q,则

?rn + qrn = 2 (t + 1) n +1 ? ? ?rn +1 + qrn +1 = 2 (t + 1) n+ 2 ?
(2)÷(1) ,得 q =

(1) ( 2)

rn +1 = t +1 rn

于是 rn =

2 (t + 1) n+1 t+2

∴ S n = π (r12 + r22 + … + rn2 ) =

πr12 (q 2 n ? 1)
q2 ?1 2π (t + 1) 4 [(t + 1) 2 n ? 1] t (t + 2) 3

=


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