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浙江省嘉兴一中2015届高三第一次模拟试卷数学(文)


浙江省嘉兴一中 2015 届高三第一次模拟试卷 数学试卷(文科)
本卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。考试时间为 120 分钟,试卷总分为 150 分。请考生将所有试 题的答案涂、写在答题纸上。 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的。 1、已知集合 A={1,3, m },B={1,m},A∪B=A,则 m= A.0 或 3 B.0 或 3 C.1 或 3 D.1 或 3 ( C. 4 ) ( )

2、已知角 θ 的终边过点(4,-3),则 cos(π-θ)= A. 3

5

B.- 3

5

5

D.- 4

5

3、两条不重合的直线 m,n 及两个不重合的平面 α,β,下列命题正确的是 ( ) A.若 α⊥β,α∩β=n,m⊥n,则 m⊥α B.若 m?α,n?β,m∥n,则 α∥ β C. 若 m∥α,n∥β,m⊥n,则 α⊥ β D. 若 n⊥α,n⊥β,m⊥β,则 m⊥α -x 2> 2 x 4、命题① “a>b”是“ac bc ”的充要条件;② y=2 -2 是奇函数;③ 若“p?q”为真,则“p?q”为真; ④ 若集合 A∩B=A,则 A?B。其中真命题的个数有 ( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 2 2 5、已知直线 a x+y-2=0 与直线 bx-(a +1)y-1=0 互相垂直,则|ab|的最小值为 ( ) A.5 B.4 C.2 D.1 6、已知直线 Ax+By+C=0(A2+B2=C2)与圆 x2+y2=4 交于 M,N 两点,O 为坐标原点,则 OM ? ON 等于 A.-2 7、已知函数 f(x)= A.[-2,2) ( B.-1 C.0 D.1 ) )

?

x ? 1, x ? 0 ,若函数 y=f[f(x)+a]有四个零点,则实数 a 的取值范围为( 2 x ? 4, x ? 0
B.[1,5)
2

C.[1,2)

D.[-2,5)

2 y 8、如图,已知双曲线 x 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 上有一点 A,它关于原点

a

b

的对称点为 B,点 F 为双曲线的右焦点,且满足 AF⊥ BF,设∠ ABF=α, 且 α∈[ ? , ? ] ,则该双曲线离心率 e 的取值范围为

12 6



) D. [ 3, 3 ? 1]

A. [ 3, 2 ? 3]

B. [ 2, 3 ? 1]

C. [ 2, 2 ? 3]

第Ⅱ 卷 二、填空题:本大题共 7 小题,前 4 小题每题 6 分,后 3 小题每题 4 分,共 36 分。 9、已知函数 f(x)=

?

log 2 (? x), x ? 0 ,则 f(1)= 2 x ?1 , x ? 0
.



若 f(a)=2,则 a=

10、如图是一个几何体的三视图,若它的体积是 3 3 ,则 a=



该几何体的表面积为 11、已知等差数列{an}的公差 d≠0,首项 a1=4,且 a1,a5,a13 依次成等比数列,则该数列的通项 公式 an= ,数列{ 2 n }的前 6 项和为
a

12、若实数 x,y 满足不等式组 ? x ? y ? a ,若 a=4,则 z=2x+y 的最大值为

? ?x ? y ? 0 ? ?y ?1

;若不等式组

所表示的平面区域面积为 4,则 a= . 2 13、已知抛物线方程为 y =4x,直线 l 的方程为 x-y+4=0,在抛物线上有一动点 P 到 y 轴的距离为 d1,P 到直线 l 的距离为 d2,则 d1+d2 的最小值为 14、若△ ABC 的重心为 G,AB=3,AC=4,BC=5,动点 P 满足 GP ? xGA ? yGB ? zGC (0≤x,y, z≤1),则点 P 的轨迹所覆盖的平面区域的面积等于 15、若 x,y,z 是正实数,且满足 lgx+lgy+lgz+lg(x+y+z)=0,则 log2(x+y)+log2(y+z)的最小值为 三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.(本题满分 15 分)已知函数 f(x)=1-2sin(x+ ? )[sin(x+ ? )-cos(x+ ? )]

8

8

8

(I)求函数 f(x)的最小正周期; (II)当 x∈[? ? , ? ] ,求函数 f(x+ ? )的值域。

2 12

8

17.(本题满分 15 分) 在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥ 平面 ABCD, △ ABC 为正三角形,AC 与 BD 的交点 M 恰好是 AC 中点,又 PA=AB=4,∠ CDA=120° ,点 N 在线段 PB 上,且 PN= 2 。 (Ⅰ ) 求证:MN∥ 平面 PDC; (Ⅱ ) 求直线 PB 与平面 PAC 所成角的正弦值.

18. (本题满分 15 分) 已知直线 l: y=kx+1(k≠0),与椭圆 3x2+y2=a(a>0)相交于 A,B 两个不同的点, 记直线 l 与 y 轴的交点为 C。 (Ⅰ )若 k=1,且|AB|=

10 ,求实数 a 的值; 2

(Ⅱ )若 a=5, AC ? 2CB ,求 k 的值,及△ AOB 的面积。

19.(本题满分 15 分)在正项数列{an}中,a1=3,an2=an-1+2(n=2,3,…) (Ⅰ )求 a2,a3 的值,判断 an 与 2 的大小关系并证明; (Ⅱ )求证:|an-2|< 1 |an-1-2|(n=2,3,…)

4

(III)求证:|a1-2|+|a2-2|+…+|an-2|< 4

3

20. (本题满分 15 分) 设二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R)满足条件:① 当 x∈ R 时,f(x)的最大值 为 0,且 f(x-1)=f(3-x)成立;② 二次函数 f(x)的图象与直线 y=-2 的交点为 A,B,且|AB|=4. (Ⅰ )求 f(x)的解析式; (Ⅱ )求最小的实数 n(n<-1),使得存在实数 t,只要当 x∈ [n,-1]时,就有 f(x+t)≥2x 成立。

浙江省嘉兴一中 2015 届高三第一次模拟试卷

文科数学
1.B; 2.D; 3.D; 4.B; 5.C;

参考答案
6.A; 7.C; 8.B.

一.选择题(本大题有 8 小题,每小题 5 分,共 40 分)

8. 【解析】 Rt ?ABF 中, OF ? c ,? AB ? 2c ,? AF ? 2c sin? , BF ? 2c cos ?
?| BF ? AF |? 2c | cos ? ? sin? |? 2a ,? e ?

c 1 ? ? a | cos ? ? sin? |

1 2 | cos(? ?

?
4

)|

?

?
12

?? ?

?
6

,?

?
3

?? ?

?
4

?

5? , 12

? cos(? ?

?
4

)?[

6? 2 1 ? 3 ?1 2 , ], 2 | cos(? ? ) |? [ , ] ? e ? [ 2 , 3 ? 1] 4 2 4 2 2

二、填空题(本大题共 7 小题,第 9-12 题每空 3 分,第 13-15 题每空 4 分,共 36 分) 9. 1,-4 或 2 13.
5 2 ?1 2

10. 3 , 2 3 ? 18 14. 12

11. n ? 3 ,1008 15. 1

12. 7,6

14. 【解析】点 P 的轨迹所覆盖的区域如图所示,恰好为 ?ABC 面积的 2 倍, 因此面积为 12. 15.【解析】由已知 xyz( x ? y ? z ) ? 1 ,因此, F C E G A D B

( x ? y)( y ? z ) ? xy ? xz ? y 2 ? yz ? xz ? y( x ? y ? z ) ? xz ?
? log2 ( x ? y ) ? log2 ( y ? z ) ? 1

1 ?2, xz

三、解答题: (本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(本题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ? 1 ? 2 sin( x ?

?
8

)[sin( x ?

?
8

) ? cos(x ?

?
8

)] .

(I)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (II)当 x ? [?

? ?
2 12 ,

] ,求函数 f ( x ?

?
8

) 的值域.

16.【解析】(I) f ( x ) ? 1 ? 2 sin( x ?

?
8

)[sin( x ?

?
8

) ? cos(x ?

?
8

)]

? 1 ? 2 sin2 ( x ? ? cos(2 x ?

?
8

) ? 2 sin( x ?

?
8

) ? cos( x ?

?
8

)

?
4

) ? sin(2 x ?

?
4

)

? 2 sin(2 x ?
所以, f ( x ) 的最小正周期 T ? (Ⅱ)由(I)可知 f ( x ?

?
4

?

?
4

) ? 2 sin(2 x ?

?
2

) ? 2 cos 2 x ……5 分

2? ? ? .……7 分 2

?
8

) ? 2 cos 2( x ?

?
8

) ? 2 cos(2 x ?

?
4

) .……9 分

? x ? [?

? ?
2 12 ,

] ,? 2 x ?

?
4

? [?

3? 5? , ] ,……11 分 4 12

? cos( 2 x ?

?
4

) ? [?

2 ,1] , 2

? f (x ?

?
8

) ? [?1, 2 ] .

所以, f ( x ?

?
8

) 的值域为 [?1, 2 ].……14 分

17.(本题满分 15 分) 在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面 ABCD , ?ABC 是正三角形, AC 与 BD 的交点 M 恰好 是 AC 中点, 又 PA ? AB ? 4 ,?CDA ? 120? , 点 N 在线段 PB 且 PN ? 2 . (I)求证: MN // 平面 PDC ; (Ⅱ)求直线 PB 与平面 PAC 所成角的正弦值. 17. 【解析】 (Ⅰ)在正三角形 ABC 中, BM ? 2 3

P

上,

N
A M B
(第 17 题)

D
C

在 ?ACD 中,因为 M 为 AC 中点, DM ? AC ,所以 AD ? CD ,
?CDA ? 120? ,所以 DM ?

2 3 ,所以 BM : MD ? 3 : 1 ……4 分 3

在等腰直角三角形 PAB中, PA ? AB ? 4, PB ? 4 2 , 所以 BN : NP ? 3 : 1 , BN : NP ? BM : MD ,所以 MN // PD 又 MN ? 平面 PDC , PD ? 平面 PDC ,所以 MN // 平面 PDC ……7 分 (Ⅱ)在正三角形 ABC 中, BM ? AC 又因为 PA ? 平面 ABCD , BM ? 平面 ABCD ,所以 PA ? BM

而 PA ? AC ? A ,因此 BM ? 平面 PAC 连结 PM ,因此 ?BPM 就是直线 PB 与平面 PAC 所成 角……10 分 在直角三角形 PBM 中, BM ? 2 3 , PB ? 4 2 ,
BM 2 3 6 ? ? 因此, sin ?BPM ? ……15 分 PB 4 2 4

P

N
A M B
(第 17 题)

D
C

18. (本题满分 15 分) 已知直线 l : y ? kx ? 1( k ? 0) 与椭圆 3 x 2 ? y 2 ? a(a ? 0) 相交于 A, B 两个不同的点,记直线 l 与 y 轴的交点为 C . (I)若 k ? 1 ,且 | AB |?
10 ,求实数 a 的值; 2

(II)若 a ? 5, AC ? 2CB ,求 k 的值,及 ?AOB 的面积. 18.【解析】设 A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 )

?y ? x ? 1 (I)联立 ? 2 得: 4 x 2 ? 2 x ? 1 ? a ? 0 2 3 x ? y ? a ?

1 1? a 因此, x1 ? x 2 ? ? , x1 x 2 ? 2 4
3 10 | AB |? 2 | x 1 ? x 2 |? 2(a ? ) ? ? a ? 2 ……6 分 4 2

(II)

? y ? kx ? 1 2k 4 ? ( 3 ? k 2 ) x 2 ? 2kx ? 4 ? 0 ? x1 ? x 2 ? ? , x1 x 2 ? ? ? 2 2 2 3?k 3 ? k2 ?3 x ? y ? 5
……9 分 由 AC ? 2CB 得: x1 ? ?2 x 2 ,代入上式得: ? x 2 ? ? 消去 x 2 得: k 2 ? 3 ? k ? ? 3 ……12 分
2k 3?k
2

,?2 x 2 ? ?

2

4 3 ? k2

S ?AOB ?

1 1 1 4k 2 16 3 | OC || x1 ? x 2 |? ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ? ? ? 2 2 2 2 2 2 (3 ? k ) 2 3?k
……15 分

19. (本题满分 15 分) 在正项数列 {a n } 中, a1 ? 3, a n 2 ? a n?1 ? 2(n ? 2,3, ?) (I)求 a 2 , a 3 的值,判断 a n 与 2 的大小关系并证明;

1 | a n?1 ? 2 | (n ? 2,3, ?) ; 4 4 (III)求证: | a1 ? 2 | ? | a 2 ? 2 | ? ?? | a n ? 2 |? . 3
(II)求证: | a n ? 2 |? 19.【解析】 (1) a 2 ? a1 ? 2 ? 5 , a 3 ? a 2 ? 2 ?
5 ? 2 ……2 分

由题设, a n 2 ? 4 ? a n?1 ? 2 , (a n ? 2)(a n ? 2) ? a n?1 ? 2 因为 a n ? 2 ? 0 ,所以 a n ? 2 与 a n?1 ? 2 同号 又 a1 ? 2 ? 1 ? 0 ,所以 a n ? 2 ? 0( n ? 2) ,即: a n ? 2 ……5 分 (II)由题设, |
an ? 2 1 |? a n ?1 ? 2 a n ? 2 a ?2 1 1 1 1 ? ,因此 | n |? ,即 | a n ? 2 |? | a n?1 ? 2 | an ? 2 4 a n ?1 ? 2 4 4

由(I)知, a n ? 2 ,所以

……9 分

1 | a n?1 ? 2 | , 4 1 1 因此 | a n ? 2 |? n ?1 | a 1 ? 2 |? n ?1 ( n ? 2,3, ?) 4 4 1 1 1 因此, | a 1 ? 2 | ? | a 2 ? 2 | ? ? ? | a n ? 2 |? 1 ? ? 2 ? ? ? n ?1 4 4 4
(III)由(II)知, | a n ? 2 |?
1? ? 1 4 n ? 4 (1 ? 1 ) ? 4 1 3 3 4n 1? 4

……15 分

20. (本题满分 15 分) 设二次函数 f ( x ) ? ax 2 ? bx ? c(a, b, c ? R) 满足条件:① 当 x ? R 时, f ( x ) 的最大值为 0,且
f ( x ? 1) ? f ( 3 ? x ) 成立;② 二次函数 f ( x ) 的图象与直线 y ? ?2 的交点为 A, B ,且 | AB |? 4 .

(I)求 f ( x ) 的解析式; (II)求最小的实数 n( n ? ?1) ,使得存在实数 t ,只要当 x ? [n,?1] 时,就有 f ( x ? t ) ? 2 x 成 立. 20. 【解析】 (Ⅰ)由 f ( x ? 1) ? f ( 3 ? x ) 可知函数 f ( x ) 的对称轴为 x ? 1 ,……2 分 由 f ( x ) 的最大值为 0,可假设 f ( x) ? a( x ? 1) 2 (a ? 0) . 令 a( x ? 1) 2 ? ?2 , x ? 1 ?
?2 ?2 1 ? 4,a ? ? . ,则易知 2 a a 2

1 所以, f ( x ) ? ? ( x ? 1) 2 .……6 分 2
(Ⅱ)由 f ( x ? t ) ? 2 x 可得, ?

1 ( x ? 1 ? t ) 2 ? 2 x ,即 x 2 ? 2(t ? 1) x ? (t ? 1) 2 ? 0 , 2

解得 ? t ? 1 ? 2 t ? x ? ?t ? 1 ? 2 t .……8 分 又 f ( x ? t ) ? 2 x 在 x ? [n,?1] 时恒成立,可得

? ?? t ? 1 ? 2 t ? n ? ? ? ? t ? 1 ? 2 t ? ?1

(1) ( 2)



由(2)得 0 ? t ? 4 .……10 分 令 g(t ) ? ?t ? 1 ? 2 t ,易知 g(t ) ? ?t ? 1 ? 2 t 单调递减,所以, g(t ) ? g(4) ? ?9 , 由于只需存在实数 t ,故 n ? ?9 ,则 n 能取到的最小实数为 ? 9 . 此时,存在实数 t ? 4 ,只要当 x ? [n,?1] 时,就有 f ( x ? t ) ? 2 x 成立.……15 分

命题人 吴旻玲、刘 舸、沈勤龙、黄海平 吴明华、张启源、徐连根、沈顺良、李富强、吴林华 2015 年 2 月


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