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2017届黑龙江省牡丹江市第一高级中学高三9月月考数学(理)试题


2017 届高三 9 月份月考数学(理)试题
第Ⅰ卷(选择题)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一个选项符合 题意的) 1、余弦函 数

y ? cos(x ? ) 在 下 列 哪 个 区 间 为 减 函 数 ( 4
B . [? ?,0] C . [?

r />
?



A . [?

3 ? ?, ] 4 4
tan x ?

? 3

, ?] 4 4

D . [?

? ? , ] 2 2

2、已 知

4 x ? ,且 x 在 第 三 象 限 , 则 cos ( 3
B. ?



A.

4 5

4 5

C.

3 5


D. ?

3 5

3、若f ?x ? ?
1 2

x 则 f ( x ) 的定义域为( log 1 ?2 x ? 1? ,
2

A. ( ,1)

B. ( ,?? )

1 2

C. ( ,1) ? (1,?? ) )

1 2

D. ( ,2)

1 2

4、下列函数中是偶函数且值域为 (0, ??) 的函数是( B. y ? lg

A. y ?| tan x |

x ?1 x ?1

C. y ? x 3

1

D. y ? x

?2

5、函数 f ( x) ? e x ? 4 x ? 3 的零点所在的区间( A. ( ?

) D. ( , )

1 ,0 ) 4

B. (0, )

1 4

C. ( , )

1 1 4 2

1 3 2 4

6、 已知集合 A ? {x | x 2 ? x ? 2 ? 0},B ? { x | y ? lg 概率为( A. ) B.

1? x }, 在区间 (?3,3) 上任取一实数 x ,则 x ? A ? B 的 1? x
1 12


1 8

1 4

C.

1 3

D.

x 2 7、已知函数 f ( x) ? e ? ( x ? 1) ( e 为自然对数的底) ,则 f ( x) 的大致图象是(



1第

?2 x ? a, x ? 0 ? 8、已知函数 f ( x) ? ? 有最小值,则实数 a 的取值范围是( 4 x ? , x ? 0 ? x ?
A. (4,??) B. [4,??)
2



C. (??,4]

D. (??,4)

9、已知一元二次方程 x ? (1 ? a ) x ? a ? b ? 1 ? 0 的两个实根为 x1 , x 2 ,且 0 ? x1 ? 1, x 2 ? 1 ,则 值范围是( A. ( ?2,? ) ) B. (?2,? ]

b 的取 a

1 2

1 2

C. (?1,? )

1 2

D. (?1,? ] )

1 2

10、已知 x ? 0, y ? 0 ,且 2 x ? 8 y ? xy ? 0 ,则 x ? y 的最小值是( A.16 B.20 C.18 D.24

? log3 x ,0 ? x ? 3 ? 11 、 已 知 函 数 f ? x ? ? ? ? ? ? , 若 存 在 实 数 x1 , x2 , x3 , x4 , 满 足 x1 ? x2 ? x3 ? x4 , 且 ?sin ? x ?,3 ? x ? 15 ? ?6 ?

f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? f ?x3 ? ? f ?x4 ? ,则
A. 18? B. 18

x3 ? x 4 的值等于( x1 x2
C. 9? D. 9



12、设函数 y ? g ( x) 在 (??, ??) 内有定义,对于给定的正数 k ,定义函数:

? g ( x),( g ( x) ? k ) ?x ,取函数 g ( x) ? 2 ? ex ? e ,若对任意 x ? (??, ??) ,恒有 gk ( x) ? g ( x) , g k ( x) ? ? ?k ,( g ( x) ? k )
则( )

A. k 的最大值为 2 ? e ? C. k 的最大值为 2

1 e

B. k 的最小值为 2 ? e ? D. k 的最小值为 2

1 e

第Ⅱ卷(非选择题共 90 分)
页 2第

二、填空题(本大题共 4 小题,每题 5 分,满分 20 分. )
13 、若函数 f ? x ? ? ? a ? 2? x ? ax ? 2x 为奇函数,则曲线 y ? f ? x? 在点 ?1, f ? ? 1 ? 处的切线方程
3 2

?

?





14、已知函数 y ? log 1 x ? ax ? a 在区间 ?2,??? 上是减函数,则实数 a 的取值范围是
2 2

?

?



15 、 函 数 f ( x) 的 定 义 域 为 实 数 集 R , f ( x) ? ? 2

? 1 x ?( ) ? 1,?1 ? x ? 0 ? ?log2 ( x ? 1),0 ? x ? 3

对 于 任 意 的 x?R 都 有

f ( x ? 2) ? f ( x ? 2) .若在区间 [?5,3] 上函数 g ( x) ? f ( x) ? mx ? m 恰有三个不同的零点,则实数 m 的取
值范围是_______________________ 16、对定义在区间 D 上的函数 f ( x) 和 g ( x) ,如果对任意 x ? D ,都有 f ( x) ? g ( x) ? 1 成立,那么称函 数 f ( x) 在区间 D 上可被 g ( x) 替代,D 称为“替代区间” .给出以下命题:

1 替代; 2 1 1 3 ② f ( x) ? x 可被 g ( x ) ? 1 ? 替代的一个“替代区间”为 [ , ] ; 4x 4 2
2 ① f ( x) ? x 2 ? 1 在区间 (??,??) 上可被 g ( x ) ? x ?

③ f ( x) ? ln x 在区间 [1, e] 可被 g ( x) ? x ? b 替代,则 e ? 2 ? b ? 2 ; ④ f ( x) ? lg(ax2 ? x)(x ? D1 ), g ( x) ? sin x( x ? D2 ) , 则存在实数 a(a ? 0) , 使得 f ( x) 在区间 D1 ? D2 上 被 g ( x) 替代;其中真命题的有___________________三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17、已知函数 f ( x) ? log2 ( x ?1 ? x ? 2 ? m) . (1)当 m ? 7 时,求函数 f ( x ) 的定义域; (2)若关于 x 的不等式 f ( x) ? 2 的解集是 R ,求 m 的取值范围.

18、 (1)设不等式 ( x ? a)( x ? a ? 2) ? 0 的解集为 N , M ? ?m | ? 是 x ? M 的必要条件,求 a 的取值范围.

? ?

1 ? ? m ? 2? ,若 x ? N 4 ?

2 (2)已知命题: “ ?x ??x | ?1 ? x ? 1? ,使等式 x ? x ? m ? 0 成立”是真命题,求实数 m 的取值范围.

19、已知函数 f ( x ) ?


ax ? b 1 2 是定义在 (?1,1) 的奇函数,且 f ( ) ? 2 x ?1 2 5
3第

(1)求 f ( x ) 解析式; (2)用定义证明 f ( x ) 在 (?1,1) 上是增函数; (3)解不等式 f (t ? 1) ? f (t ) ? 0 。

20、已知函数 f ( x) ? 2 cos2 x ? 2 3 sin x cos x ? a ,且当 x ? [0, (1)求 a 的值,并求 f ( x) 的单调增区间;

?
6

] 时, f ( x) 的最小值为 2.

(2)将函数 y ? f ( x) 的图象上各点的纵坐标保持不变,横坐标缩短到原来的 移

? ? 个单位,得到函数 y ? g ( x) ,求方程 g ( x) ? 2 在区间 [0, ] 上的所有根之和. 12 2

1 倍,再把所得图象向右平 2

21、如图,在半径为 3 ,圆心角为 60 的扇形的 AB 弧上任取一点 P,作扇形的内接矩形 PNMQ,使点 Q 在 OA 上,点 M,N 在 OB 上,设矩形 PNMQ 的面积为 y 。 (1)按下列要求写出函数关系式: ①设 PN= x ,将 y 表示成 x 的函数关系式; ②设 ?POB ? ? ,将 y 表示成 ? 的函数关系式。 (2)请你选用(1)中的一个函数关系式,求 y 的最大值。

0

22、设函数 f ? x ? ? m ln x ? ? m ?1? x 。 (1)若 f ? x ? 存在最大值 M ,且 M ? 0 ,求 m 的取值范围。 (2)当 m ? 1 时,试问方程 xf ? x ? ? 由。

x 2 ? ? 是否有实数根,若有,求出所有实数根;若没有,请说明理 x e e



4第

牡一中 2017 届 9 月份月考数学理参考答案
选择 答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

C

D 13

C

D

C 14

C

C

B 15
? 1 1? ? ? 2 ,? 6 ? ? ?

A

C

B 16 ①②③

D

填空

答案

8x ? y ? 4 ? 0

?a a ? 4?

17、解: (1)由题设知: x ? 1 ? x ? 2 ? 7 , 不等式的解集是以下不等式组解集的并集:

?x ? 2 ?1 ? x ? 2 ?x ? 1 ,或 ? ,或 ? ? ?x ? 1 ? x ? 2 ? 7 ?x ? 1 ? x ? 2 ? 7 ?? x ? 1 ? x ? 2 ? 7
解得函数 f ( x) 的定义域为 (??,?3) ? (4,??) ; (2)不等式 f ( x) ? 2 即 x ? 1 ? x ? 2 ? m ? 4 ,

? x ? R 时,恒有 x ? 1 ? x ? 2 ? ( x ? 1) ? ( x ? 2) ? 3 ,
不等式 x ? 1 ? x ? 2 ? m ? 4 解集是 R,

? m ? 4 ? 3, m 的取值范围是 (??,-1]
18、解析: (1)因为 x ? N 是 x ? M 的必要条件,所以 M ? N , 当 a ? 1 时,解集 N 为空集、不满足题意; 当 a ? 1 时, a ? 2 ? a ,此时集合 N ? ?x | 2 ? a ? x ? a? ,

1 ? 9 ?2 ? a ? ? 则? 4 ,所以 a ? ; 4 ? ? a?2
当 a ? 1 时,则有 a ? ?

1 ; 4

综上所述, a 的取值范围是 ?a a ? ? 或a ?

? ?

1 4

9? ? 4?

2 2 (2)由题意得,方程 x ? x ? m ? 0 在 (?1,1) 上有解,所以 m 的取值集合就是函数 y ? x ? x 在 (?1,1) 上



5第

的值域,易得 M ? ?m | ?

? ?

1 ? ? m ? 2? 4 ?

? f (0) ? 0 ? 19、解析: (1) ? 1 2 则 a ? 1, b ? 0 f( )? ? ? 2 5
(2)设 ?x1 , x2 ? (?1,1)且x1 ? x2 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

x1 x x x ( x ? x ) ? ( x1 ? x2 ) ? 2 2 ? 1 2 2 21 2 1 ? x1 1 ? x2 (1 ? x1 )(1 ? x2 2 )

?

( x2 ? x1 )( x1 x2 ? 1) (1 ? x12 )(1 ? x2 2 )

? x2 ? x1 ? 0 x1 x2 ?1 ? 0 x12 ? 1 ? 0 x22 ? 1 ? 0 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 即 f ( x1 ) ? f ( x2 )

? f ( x) 在 (?1,1) 上是增函数
(3)依题得: f (t ? 1) ? f (?t )

? ?1 ? t ? 1 ? 1 1 ? 则 ? ?1 ? ? t ? 1 ? 0 ? t ? 2 ?t ? 1 ? ?t ?
20、解析: (1) f ( x) ? 2sin(2 x ? 因为, x ? [0, 由 2x ?

?
6

) ? a ?1

?
6

] 时, f ( x) 的最小值为 2,所以, a ? 2 ? 2, a ? 0 .

?
6

? [2k? ?

?

, 2k? ? ], k ? z ,可得 f ( x) 的单调增区间为 x ? [k? ? , k? ? ], k ? z 3 6 2 2

?

?

?

(2) g ( x ) ? 2sin(4 x ? 由 g ( x) ? 2sin(4 x ?

?

?

x1 ?

?
12

, x2 ?

?
4

? 1 ) ? 1 ? 2,sin(4 x ? ) ? , 6 6 2

6

) ?1

, ?

x1 ? x2 ?

?
12

?

?
4

?
3
2

21、解: (1)①因为 QM=PN= x ,所以 MN=ON-OM= 3 ? x ?

x 3



所以 y ? MN ? PN ? x ? 3 ? x ?
2

3 2 ? 3? x , ?0 ? x ? ? 3 2? ?
6第



②当 ?POB ? ? 时, QM ? PN ? 3 sin ? ,则 OM ? sin ? ,又

ON ? 3 cos? ,所以 MN ? ON ? OM ? 3 cos? ? sin ? ,所以

?? ? y ? MN ? PN ? 3sin ? cos? ? 3 sin 2 ? , ? 0 ? ? ? ? 3? ?
(2)由②得, y ?

?? 3 ? 3 sin? 2? ? ? ? 6? 2 ?
3 2

当? ?

?
6

时, y 取得最大值为

22、 解析: (1)f ? x ? ? m ln x ? ? m ?1? x 的定义域为 ? 0, ??? ,f ? ? x ? ?

? m ? 1? x ? m , m ? m ?1 ? 当m ? 0 x x

或 m ? 1 时, f ? x ? 在区间 ? 0, ??? 上单调,此时函数 f ? x ? 无最大值,当 0 ? m ? 1 时, f ? x ? 在区间

m ? ? ? m ? , ?? ? 内单调递减,所以当 0 ? m ? 1 时,函数 f ? x ? 有最大值,最 ? 0, ? 内单调递增,在区间 ? ? 1? m ? ? 1? m ?
大值 M ? f ?

m e m ? m ? ? m ? 0 ,解之得 m ? ,所以 ? m ,因为 M ? 0 ,所以有 m ln ? ? m ln 1? m 1? e 1? m ? 1? m ?

? e ? ,1? m 的取值范围是 ? ? 1? e ?。
(2)当 m ? 1 时,方程可化为 x ln x ?

x 2 x 2 ? ? ,即 x ln x ? x ? ,设 h ? x ? ? x ln x ,则 h? ?x ? ? 1?l nx , x e e e e

∴ x ? ? 0, ? 时, h? ? x ? ? 0 ,∴ h ? x ? 在 ? 0, ? 上是减函数,当 x ? ? , ?? ? 时, h? ? x ? ? 0 ,∴ h ? x ? 在

? ?

1? e?

? ?

1? e?

?1 ?e

? ?

1 ?1? ?1 ? ? , ?? ? 上是增函数,∴ h ? x ?min ? h ? ? ? ? e ?e? ?e ?
x 2 1? x ? ,则 g ? ? x ? ? x ,∴当 x ? ? 0,1? 时, g? ? x ? ? 0 ,即 g ? x ? 在 ? 0,1? 上单调递增;当 x e e e 1 1 x ? ?1, ?? ? 时, g? ? x ? ? 0 ,即 g ? x ? 在 ? 0,1? 上单调递减;∴ g ? x ?max ? g ?1? ? ? ,∵ ? 1 ,∴数形结 e e x 2 合可得 h ? x ? ? g ? x ? 在区间 ? 0, ??? 上恒成立,∴方程 xf ? x ? ? x ? ? 没有实数根。 e e
设 g ? x? ?



7第


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