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【志鸿优化设计】2014高考数学(湖南专用 理)一轮课时作业15 导数在函数最值及生活实际中的应用]


课时作业 15

导数在函数最值及生活实际中的应用

一、选择题 1.已知函数 f(x)=2x3-6x2+m(m 为常数)在[-2,2]上有最大值 3,那么此函数在[-2,2]上 的最小值是( ). A.-37 B.-29 C.-5 D.以上都不对 2.设 f′(x)是函数 f(x)的导函数,y=f′(x)的图象如图所示,则 y=f(x)的

图象最有可能是 ( ).

3.已知定义域为 R 的函数 f(x)满足:f(4)=-3,且对任意 x∈R 总有 f′(x)<3,则不等 式 f(x)<3x-15 的解集为( ). A.(-∞,4) B.(-∞,-4) C.(-∞,-4)∪(4,+∞) D.(4,+∞) 3 4.已知函数 f(x)=x +bx 的图象在点 A(1,f(1))处的切线的斜率为 4,则函数 g(x)= 3sin 2x+bcos 2x 的最大值是( ). A.1 B.2 C. 2 D. 3 f?x? 5.函数 f(x)=x2-2ax+a 在区间(-∞,1)上有最小值,则函数 g(x)= 在区间(1,+∞) x 上一定( ). A.有最小值 B.有最大值 C.是减函数 D.是增函数 6.已知函数 f(x)=-x3+ax2-4 在 x=2 处取得极值,若 m,n∈[-1,1],则 f(m)+f′(n) 的最小值是( ). A.-13 B.-15 C.10 D.15 1 3x 3 2 ? 7.在? ?2,2?上,函数 f(x)=x +px+q 与 g(x)= 2 +2x在同一点处取得相同的最小值,那 1 ? 么 f(x)在? ). ?2,2?上的最大值是( 13 5 A. B.4 C.8 D. 4 4 二、填空题 8.函数 y=x3+3x2-24x+12 的极小值是__________. 9.已知函数 f(x)=x3-12x+8 在区间[-3,3]上的最大值与最小值分别为 M,m,则 M-m =__________. 10.设函数 y=f(x)在(a,b)上的导数为 f′(x),f′(x)在(a,b)上的导数为 f″(x),若在(a, 1 1 3 b)上,f″(x)<0 恒成立,则称函数 f(x)在(a,b)上为“凸函数”.若函数 f(x)= x4- mx3- x2 12 6 2

为区间(-1,3)上的“凸函数”,则 m=__________. 三、解答题 11.统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量 y(升)关于行驶速度 x(千米/ 1 3 时)的函数解析式可以表示为:y= x3- x+8(0<x≤120).已知甲,乙两地相距 100 千 128 000 80 米. (1)当汽车以 40 千米/时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升? (2)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地的耗油量最少?最少为多少升? 1-a 2 1 12.(2012 天津高考)已知函数 f(x)= x3+ x -ax-a,x∈R,其中 a>0. 3 2 (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)若函数 f(x)在区间(-2,0)内恰有两个零点,求 a 的取值范围; (3)当 a=1 时, 设函数 f(x)在区间[t, t+3]上的最大值为 M(t), 最小值为 m(t), 记 g(t)=M(t) -m(t),求函数 g(t)在区间[-3,-1]上的最小值.

参考答案
一、选择题 1.A 解析:f′(x)=6x(x-2), ∵f(x)在(-2,0)上为增函数,在(0,2)上为减函数, ∴当 x=0 时,f(x)=m 最大, ∴m=3,f(-2)=-37,f(2)=-5. 2.C 解析:由 y=f′(x)的图象易知当 x<0 或 x>2 时,f′(x)>0,故函数 y=f(x)在区 间(-∞,0)和(2,+∞)上单调递增;当 0<x<2 时,f′(x)<0,故函数 y=f(x)在区间(0,2)上 单调递减. 3.D 解析:方法一(数形结合法): 由题意知,f(x)过定点(4,-3),且斜率 k=f′(x)<3. 又 y=3x-15 过点(4,-3),k=3, ∴y=f′(x)和 y=3x-15 在同一坐标系中的草图如图,

∴f(x)<3x-15 的解集为(4,+∞),故选 D. 方法二:记 g(x)=f(x)-3x+15, 则 g′(x)=f′(x)-3<0, 可知 g(x)在 R 上为减函数. 又 g(4)=f(4)-3×4+15=0, ∴f(x)<3x-15 可化为 f(x)-3x+15<0, 即 g(x)<g(4),结合其函数单调递减,故得 x>4. 4.B 解析:∵f′(x)=3x2+b, ∴f′(1)=3+b=4,∴b=1. ∴g(x)= 3sin 2x+cos 2x π? =2sin? ?2x+6?≤2. 5.D 解析:∵f(x)=x2-2ax+a 在区间(-∞,1)上有最小值,∴a<1. f(x) a ∴g(x)= =x+ -2a, x x 2 a x -a 则 g′(x)=1- 2= 2 . x x ∵x∈(1,+∞),a<1, ∴x2-a>0,即 g′(x)>0. ∴g(x)在(1,+∞)上是增函数. 6.A 解析:求导得 f′(x)=-3x2+2ax,由函数 f(x)在 x=2 处取得极值知 f′(2)=0,即 -3×4+2a×2=0,∴a=3. 由此可得 f(x)=-x3+3x2-4,f′(x)=-3x2+6x,易知 f(x)在(-1,0)上单调递减,在(0,1) 上单调递增, ∴当 m∈[-1,1]时, f(m)min=f(0)=-4.

又 f′(x)=-3x2+6x 的图象开口向下,且对称轴为 x=1, ∴当 n∈[-1,1]时, f′(n)min=f′(-1)=-9. 故 f(m)+f′(n)的最小值为-13. 3x 3 7.B 解析:因为 g(x)= + , 2 2x 1 ? 且 x∈? ?2,2?,则 g(x)≥3, 当且仅当 x=1 时,g(x)min=3. 又 f′(x)=2x+p, ∴f′(1)=0,即 2+p=0,得 p=-2, ∴f(x)=x2-2x+q. 又 f(x)min=f(1)=3, ∴1-2+q=3,∴q=4. 1 ? ∴f(x)=x2-2x+4=(x-1)2+3,x∈? ?2,2?. ∴f(x)max=f(2)=4. 二、填空题 8.-16 解析:y′=3x2+6x-24, 令 y′=0,得 x=2 或 x=-4. 易知当 x=2 时,取得极小值 f(2)=-16. 9.32 解析:令 f′(x)=3x2-12=0, 得 x=-2 或 x=2, 列表得: x 2 -3 (-3,-2) -2 (-2,2) f′(x) 0 0 + - 单调递增 单调递减 f(x) 17 极大值 24 极小值-8 ↗ ↘ 可知 M=24,m=-8,∴M-m=32. 1 1 3 10.2 解析:由函数 f(x)= x4- mx3- x2, 12 6 2 1 3 1 2 得 f′(x)= x - mx -3x, 3 2 f″(x)=x2-mx-3. 若 f(x)为区间(-1,3)上的“凸函数”, 则有 f″(x)=x2-mx-3<0 在区间(-1,3)上恒成立, 由二次函数的图象知, ? ?f″(-1)=1+m-3≤0,
? ?f″(3)=9-3m-3≤0, ? ?m≤2, ? 即? 得 m=2. ? ?m≥2, 三、解答题

(2,3) + 单调递增 ↗

3 -1

100 11.解:(1)当 x=40 时,汽车从甲地到乙地行驶了 =2.5(小时), 40 1 3 3 ? 要耗油? ?128 000×40 -80×40+8?×2.5=17.5(升). 100 (2)当速度为 x 千米/时时,汽车从甲地到乙地行驶了 小时, x 设耗油量为 h(x)升, 依题意得

1 3 3 ? 100 h(x)=? ?128 000x -80x+8?·x 1 2 800 15 = x + - (0<x≤120), 1 280 x 4 x 800 h′(x)= - 2 640 x x3-803 = (0<x≤120). 640x2 令 h′(x)=0 得 x=80. 当 x∈(0,80)时,h′(x)<0,h(x)是减函数; 当 x∈(80,120)时,h′(x)>0,h(x)是增函数. 所以当 x=80 时,h(x)取到极小值 h(80)=11.25. 因为 h(x)在(0,120]上只有一个极值,所以它是最小值. 答:当汽车以 80 千米/时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地的耗油量最少为 11.25 升. 12.(1)解:f′(x)=x2+(1-a)x-a=(x+1) (x-a). 由 f′(x)=0,得 x1=-1,x2=a>0. 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x a (-∞,-1) -1 (-1,a) (a,+∞) 0 0 f′(x) + - + f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 故函数 f(x)的单调递增区间是(-∞,-1),(a,+∞);单调递减区间是(-1,a). (2)解:由(1)知 f(x)在区间(-2,-1)内单调递增,在区间(-1,0)内单调递减,从而函数 f(x) f(-2)<0, ? ? 在区间(-2,0)内恰有两个零点当且仅当?f(-1)>0, ? ?f(0)<0, 1? 所以,a 的取值范围是? ?0,3?. 1 解得 0<a< . 3

1 (3)解:a=1 时,f(x)= x3-x-1.由(1)知 f(x)在[-3,-1]上单调递增,在[-1,1]上单调递 3 减,在[1,2]上单调递增. ①当 t∈[-3,-2]时,t+3∈[0,1],-1∈[t,t+3],f(x)在[t,-1]上单调递增,在[-1, t+3]上单调递减. 1 因此,f(x)在[t,t+3]上的最大值 M(t)=f(-1)=- ,而最小值 m(t)为 f(t)与 f(t+3)中的较 3 小者.由 f(t+3)-f(t)=3(t+1)(t+2)知,当 t∈[-3,-2]时,f(t)≤f(t+3),故 m(t)=f(t),所以 5 g(t)=f(-1)-f(t).而 f(t)在[-3,-2]上单调递增,因此 f(t)≤f(-2)=- ,所以 g(t)在[-3, 3 1 ? 5? 4 -2]上的最小值为 g(-2)=- -?-3?= . 3 3 ②当 t∈[-2,-1]时,t+3∈[1,2],且-1,1∈[t,t+3]. 下面比较 f(-1),f(1),f(t),f(t+3)的大小. 由 f(x)在[-2,-1],[1,2]上单调递增,有 f(-2)≤f(t)≤f(-1),f(1)≤f(t+3)≤f(2). 5 1 1 5 又由 f(1)=f(-2)=- ,f(-1)=f(2)=- ,从而 M (t)=f(-1)=- ,m(t)=f(1)=- . 3 3 3 3 4 所以 g(t)=M(t)-m(t)= . 3 4 综上,函数 g(t)在区间[-3,-1]上的最小值为 . 3


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