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2016年高考新课标1理科数学真题(word)解析版(含小题详解)


绝密 ★ 启用前

试题类型:A
2016 年普通高等学校招生全国统一考试 新课标 1 理科数学(word) 解析版(含小题详解)

本试题卷共 5 页,24 题(含选考题)。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。
★祝考试顺利★ 注意事项: 1、答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证

号条形 码粘贴在答题卡上的指定位置。用 2B 铅笔将答题卡上试卷类型 A 后的方框涂黑。 2、选择题的作答:每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域内均无效。 3、填空题和解答题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题 卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4、选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑。答案 写在答题卡上对应的答题区域内,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 5、 考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。

第 Ⅰ卷
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的。
2 (1)设集合 A ? {x x ? 4 x ? 3 ? 0} , B ? {x 2x ? 3 ? 0} ,则 A ? B ?

(A) ( ?3,? ) 解答:

3 2

(B) ( ?3, )

3 2

(C) (1, )

3 2

(D) ( ,3)

3 2

(2)设 (1 ? i) x ? 1 ? yi ,其中 x , y 是实数,则 x ? yi ? (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 2

1

解答:

(3)已知等差数列 {an } 前 9 项的和为 27 , a10 ? 8 ,则 a100 ? (A) 100 解答: (B) 99 (C) 98 (D) 97

(4)某公司的班车在 7 : 30 ,8 : 00 ,8 : 30 发车,小明在 7 : 50 至 8 : 30 之间到达发车站乘 坐班车,且到达发车站的时候是随机的,则他等车时间不超过 10 分钟的概率是 (A)

1 3

(B)

1 2

(C)

2 3

(D)

3 4

解答:

小明到达是时间会随机的落在线段 AB 上,而当他的到达时间落在线段 AC 或 DB 时, 才能保证他等车的时间不超过 10 分钟,由几何概率模型得: P ?

10 ? 10 1 ? . 40 2

(5) 已知方程

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线, 且该双曲线两焦点间的距离为 4 , 则n的 m 2 ? n 3m 2 ? n

取值范围是 (A) (?1,3) 解答: (B) (?1, 3) (C) (0,3) (D) (0, 3 )

2

(6)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中 两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是 表面积是 (A) 17? 解答: (B) 18? (C) 20?

28? ,则它的 3

(D) 28?

故选 A. (7)函数 y ? 2x 2 ? e 在 [?2,2] 的图像大致为
y y
x

(A)
?2

1

(B)
2 x ?2

1

O

O

2 x

y

y

(C)
?2

1

(D)
2 x
?2

1

O

O

2 x

3

解答:

(8)若 a ? b ? 1 , 0 ? c ? 1 ,则 (A) a ? b
c c

(B) ab ? ba
c

c

(C) a logb c ? b loga c

(D)loga c ? logb c

解答:

( 9 )执行右面的程序框图,如果输入的 x ? 0 , y ? 1 , n ? 1 ,则输出 x , y 的值满足

4

(A) y ? 2 x 解答:

(B) y ? 3x (C) y ? 4 x

(D) y ? 5 x

( 10 )以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A, B 两点,交 C 的准线于 D, E 两点,已知

AB ? 4 2 , DE ? 2 5 ,则 C 的焦点到准线的距离为
(A)2 解答: (B)4 (C)6 (D)8

5

(11)平面 ? 过正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的顶点 A ,? // 平面 CB1 D1 ,? ? 平面 ABCD

? m , ? ? 平面 ABB1 A1 ? n ,则 m, n 所成角的正弦值为
(A) 解答:

3 2

(B)

2 2

(C)

3 3

(D)

1 3

6

(12)已知函数 f ( x) ? sin(?x ? ? )(? ? 0, ? ?

?
2

),x ? ?

?
4

为 f ( x) 的零点, x ?

?
4



y ? f ( x) 图像的对称轴,且 f ( x) 在 (
(A)11 解答: (B)9

, ) 单调,则 ? 的最大值为 18 36
(D)5

? 5?

(C)7

7

第 II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分。 第(13)题~第(21)题为必考题, 每个试题考生都必须作 答。第(22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求作答。 二、填空题:本大题共 3 小题,每小题 5 分。 (13)设向量 a ? ( m,1) ,b ? (1,2) ,且 | a ? b | ? | a | ? | b | ,则 m ?
2 2 2



解答:

(14) (2 x ? 解答:

x ) 5 的展开式中, x 3 的系数是

. (用数字填写答案)

8

(15)设等比数列 {an } 满足 a1 ? a3 ? 10 , a2 ? a4 ? 5 ,则 a1a2 ?an 的最大值为 解答:



(16)某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品 A 需要 甲材料 1.5kg,乙材料 1kg,用 5 个工时;生产一件产品 B 需要甲材料 0.5kg,乙材料 0.3kg, 用 3 个工时.生产一件产品 A 的利润为 2100 元,生产一件产品 B 的利润为 900 元.该企业 现有甲材料 150kg,乙材料 90kg,则在不超过 600 个工时的条件下,生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为 元. 解答:

9

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (17) (本小题满分 12 分)

?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知 2 cosC (a cos B ? b cos A) ? c .
(Ⅰ)求 C ; (Ⅱ)若 c ? 解答:

7 , ?ABC 的面积为

3 3 ,求 ?ABC 的周长. 2

10

?a ? b ? 5 ?周长为 : 5 ? 7.
(18) (本小题满分 12 分) 如图,在以 A, B, C , D, E, F 为顶点的五面体中,面
D

C
E

ABEF 为正方形, AF ? 2FD, ?AFD ? 90? ,且二面
角 D ? AF ? E 与二面角 C ? BE ? F 都是 60 ? . (Ⅰ)证明:平面 ABEF ? 平面 EFDC ; (Ⅱ)求二面角 E ? BC ? A 的余弦值. 解答:
F

B
A

11

12

(19) (本小题满分 12 分) 某公司计划购买 2 台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购 进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个 200 元.在机器使用期间,如果备件不足 再购买,则每个 500 元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理 了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:
频数
40

20

0

8

9

10

11

更换的易损零件数

以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更换的易损零件数发生的概率, 记 X 表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数,n 表示购买 2 台机器的同时购买的易损 零件数. (Ⅰ)求 X 的分布列; (Ⅱ)若要求 P( X ? n) ? 0.5 ,确定 n 的最小值; (Ⅲ) 以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据, 在 n ? 19 与 n ? 20 之中选其一, 应选用哪个? 解答:

13

(20) (本小题满分 12 分)

l 交圆 A 设圆 x ? y ? 2 x ? 15 ? 0 的圆心为 A , 直线 l 过点 B(1,0) 且与 x 轴不重合,
2 2

于 C , D 两点,过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E . (Ⅰ)证明 EA ? EB 为定值,并写出点 E 的轨迹方程; (Ⅱ)设点 E 的轨迹为曲线 C1 ,直线 l 交 C1 于 M , N 两点,过 B 且与 l 垂直的直线与 圆 A 交于 P, Q 两点,求四边形 MPNQ 面积的取值范围. 解答:20.(1)圆 A 方程化为 ( x ? 1) ? y ? 16, A 的坐标为(-1,0) ,如图:
2

14

15

(21) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ( x ? 2)e ? a( x ? 1) 有两个零点.
x 2

(Ⅰ)求 a 的取值范围; (Ⅱ)设 x1 , x 2 是 f ( x) 的两个零点,证明: x1 ? x2 ? 2 .

16

17

18

19

20

请考生在第(22) 、 (23) 、 (24)题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. (22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, ?OAB 是等腰三角形, ?AOB ? 120 ? .以 O 为圆心,

1 OA 为半径作圆. 2
(Ⅰ)证明:直线 AB 与⊙ O 相切; (Ⅱ)点 C , D 在⊙ O 上,且 A, B, C , D 四点共圆, 证明: AB // CD .
A

D

C

O

B

(23) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

21

在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? a cost , ( t 为参数, a ? 0) .在 ? y ? 1 ? a sin t ,

以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2 : ? ? 4 cos? . (Ⅰ)说明 C1 是哪一种曲线,并将 C1 的方程化为极坐标方程; (Ⅱ)直线 C3 的极坐标方程为 ? ? ? 0 ,其中 ? 0 满足 tan? 0 ? 2 ,若曲线 C1 与 C 2 的公 共点都在 C3 上,求 a .

(24) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? x ? 1 ? 2x ? 3 . (Ⅰ)在答题卡第(24)题图中画出 y ? f ( x) 的图像; (Ⅱ)求不等式 f ( x) ? 1 的解集.
22

y

1 O

1

x

23

24


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