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选修2-1解答题


选修 2-1 解答题 166 题
一、解答题 1、命题:已知 a、b 为实数,若关于 x 的不等式 x2+ax+b≤0 有非空解集,则 a2-4b≥0,写出该命
题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断这些命题的真假.

2、写出下列命题的匿名题和否命题 ⑴等差数列中若 an=m an=n (m≠n)则 am+n=0 ⑵等差数列{an}中,若

Sn=Sm(m≠n)则 S(m+n)=0

3、已知奇函数 f(x)是定义域为 R 的增函数,a,b∈R,若 f(a)+f(b)≥0,求证:a+b≥0.

4、若 a2+b2=c2,求证:a,b,c 不可能都是奇数.

5、a、b、c 为三个人,命题 A: “如果 b 的年龄不是最大的,那么 a 的年龄最小”和命题 B: “如果 c
的年龄不是最小的,那么 a 的年龄最大”都是真命题,则 a、b、c 的年龄的大小顺序是否能确定?请 说明理由.

6、已知命题:若 m>2,则方程 x2+2x+3m=0 无实根,写出该命题的逆命题、否命题和逆否命题,
并判断真假.

7、写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题.
(1)实数的平方是非负数; (2)等高的两个三角形是全等三角形; (3)弦的垂直平分线平分弦所对的弧.

8、把下列命题写成“若 p,则 q”的形式,并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题.
(1)正数的平方根不等于 0; (2)当 x=2 时,x2+x-6=0; (3)对顶角相等.

9、把下列命题改写成“若 p,则 q”的形式,并判断真假.
(1)偶数能被 2 整除. 1 (2)当 m> 时,mx2-x+1=0 无实根. 4

10、写出下列命题的“ ? p ”命题:
(1)正方形的四边相等 (2)平方和为 0 的两个实数都为 0 (3)若 ?ABC 是锐角三角形, 则 ?ABC 的任何一个内角是锐角 (4)若 abc ? 0 ,则 a, b, c 中至少有一个为 0
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(5)若 ( x ?1)( x ? 2) ? 0, 则x ? 1且x ? 2

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11、判断下列命题的真假:
(1)已知 a,b,c,d∈R,若 a≠c,b≠d,则 a+b≠c+d; (2)对任意的 x∈N,都有 x3>x2 成立; (3)若 m>1,则方程 x2-2x+m=0 无实数根; (4)存在一个三角形没有外接圆.

12、命题: “已知 a,b,c,d 是实数,若 a=b,c=d,则 a+c=b+d.”写出其逆命题、否命题、逆
否命题,并判断真假.

13、已知 p : 1 ?
的取值范围
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x ?1 ? 2 ; q : x 2 ? 2x ? 1 ? m2 ? 0(m ? 0) 若 ? p 是 ? q 的必要非充分条件,求实数 m 3
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14、设有两个命题:p:x2-2x+2≥m 的解集为 R;q:函数 f(x)=-(7-3m)x 是减函数,若这两个命
题中有且只有一个是真命题,求实数 m 的取值范围.

15、给出两个命题:
命题甲:关于 x 的不等式 x2+(a-1)x+a2≤0 的解集为?, 命题乙:函数 y=(2a2-a)x 为增函数. 分别求出符合下列条件的实数 a 的范围. (1)甲、乙至少有一个是真命题; (2)甲、乙中有且只有一个是真命题.

16、指出下列命题中哪些是全称命题,哪些是特称命题,并判断真假.
(1)若 a>0,且 a≠1,则对任意实数 x,ax>0. (2)对任意实数 x1,x2,若 x1<x2,则 tan x1<tan x2. (3)?T0∈R,使|sin(x+T0)|=|sin x|. (4)?x0∈R,使 x2 0+1<0.

17、写出下列命题的否定,并判断其真假.
(1)有些质数是奇数; (2)所有二次函数的图象都开口向上;
2 (3)?x0∈Q,x0 =5;

(4)不论 m 取何实数,方程 x2+2x-m=0 都有实数根.

18、已知綈 p:?x∈R,sin x+cos x≤m 为真命题,q:?x∈R,x2+mx+1>0 为真命题,求实数 m
的取值范围.

19、p:对任意实数 x 都有 ax2+ax+1>0 恒成立;q:关于 x 的方程 x2-x+a=0 有实数根;如果 p 与
q 中有且仅有一个为真命题,求实数 a 的取值范围.

20、下列三个不等式:
①2 >1; ②(a-3)x2+(a-2)x-1>0;
? x2?ax? 25 4

1 ③a>x2+ 2. x 若其中至多有两个不等式的解集为空集,求实数 a 的取值范围.

21、将下列命题改写成“若 p,则 q”的形式,并判断其真假.
(1)正方形是矩形又是菱形; (2)同弧所对的圆周角不相等; (3)方程 x2-x+1=0 有两个实根.

22、判断命题“已知 a、x 为实数,如果关于 x 的不等式 x2+(2a+1)x+a2+2≤0 的解集非空,则 a≥
1”的逆否命题的真假.

x-1? 2 2 23、已知 p:? ?1- 3 ?≤2;q:x -2x+1-m ≤0 (m>0),若綈 p 是綈 q 的必要非充分条件,求实数 m 的取值范围.

24、已知方程 x2+(2k-1)x+k2=0,求使方程有两个大于 1 的实数根的充要条件.

25、已知条件 p:x>1 或 x<-3,条件 q:5x-6>x2,则 ?p 是 ?q 的什么条件?

26、把命题“平行于同一直线的两条直线互相平行”写成“若 p 则 q”的形式,并写出它的逆命题、否命
题、逆否命题,再判断这四个命题的真假.

27、写出下列命题的非命题
(1)p:方程 x2-x-6=0 的解是 x=3; (2)q:四边相等的四边形是正方形; (3)r:不论 m 取何实数,方程 x2+x+m=0 必有实数根; (4)s:存在一个实数 x,使得 x2+x+1≤0;

28、已知 ab≠0,求证:a+b=1 的充要条件是 a3+b3+ab-a2-b2=0.

29、已知 p:方程 x2+mx+1=0 有两个不等的负根;q:方程 4x2+4(m-2)x+1=0 无实根.若“p 或 q”为真,
“p 且 q”为假,求 m 的取值范围.

30、已知下列三个方程:x2+4ax-4a+3=0,x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0 至少有一个方程
有实数根,求实数 a 的取值范围.

31、设函数 f(x)的定义域为 R,若存在常数 m>0,使|f(x)|≤m|x|对一切实数 x 均成立,则称 f(x)为 F 函数。
给出下列函数: ①f(x)=0;②f(x)=2x;③f(x)= 2 (sin x ? cos x) ; ④ f ( x ) ? 你认为上述四个函数中,哪几个是 F 函数,请说明理由。

x ; x ? x ?1
2

32、已知命题 p:x1 和 x2 是方程 x2-mx-2=0 的两个实根,不等式 a2-5a-3≥|x1-x2|对任意实数 m

∈[-1,1]恒成立;命题 q:不等式 ax2+2x-1>0 有解;若命题 p 是真命题,命题 q 是假命题,求 a 的 取值范围.

33、已知二次函数 f(x)=ax2+x.对于?x∈[0,1],|f(x)|≤1 成立,试求实数 a 的取值范围.

34、写出由下述各命题构成的“p 或 q” , “p 且 q” , “非 p”形式的命题,并指出所构成的这些命题的真假.
(1)p:连续的三个整数的乘积能被 2 整除,q:连续的三个整数的乘积能被 3 整除; (2)p:对角线互相垂直的四边形是菱形,q:对角线互相平分的四边形是菱形.

35、分别写出下列命题的逆命题,否命题,逆否命题,并判断其真假. (1)矩形的对角线相等且互相平分; (2)正偶数不是质数.

36、为使命题 p(x): 1 ? sin 2 x ? sin x ? cos x 为真,求 x 的取值范围。

37、设函数 f(x)=x3+ax2-9x-1(a<0),若曲线 y=f(x)的斜率最小的切线与直线 12x+y=6 平行,求 a
的值.

38、已知平面上两个定点 A,B 之间的距离为 2a,点 M 到 A,B 两点的距离之比为 2∶1,求动点 M
的轨迹方程.

39、动点 M 在曲线 x2+y2=1 上移动,M 和定点 B(3,0)连线的中点为 P,求 P 点的轨迹方程.

40、求证:函数 y=x+ 图象上的各点处的斜率小于 1.
x

1

41、 (13 分) 设双曲线 C:

x2 y2 ? ? 1 (a>0,b>0)的离心率为 e,若准线 l 与两条渐近线 a2 b2

相交于 P、Q 两点,F 为右焦点,△FPQ 为等边三角形. (1)求双曲线 C 的离心率 e 的值;
b 2e 2 (2)若双曲线 C 被直线 y=ax+b 截得的弦长为 ,求双曲线 c 的方程. a

42、已知抛物线 y=x2+4 与直线 y=x+10.求:
(1)它们的交点; (2)抛物线在交点处的切线方程.

43、 (12 分) 已知椭圆的中心在原点, 焦点为 F1 (0, ? 2 2 ) , F( , 且离心率 e ? 2 2) 2 0,

2 2 。 3

(I)求椭圆的方程; (II)直线 l(与坐标轴不平行)与椭圆交于不同的两点 A、B,且线段 AB 中点的横坐标 1 为 ? ,求直线 l 倾斜角的取值范围。 2

44、 (12 分)已知动点 P 与平面上两定点 A(? 2,0), B( 2,0) 连线的斜率的积为定值 ? (Ⅰ)试求动点 P 的轨迹方程 C. (Ⅱ)设直线 l : y ? kx ? 1 与曲线 C 交于 M、N 两点,当|MN|=

1 . 2

4 2 时,求直线 l 的方程. 3

x2 y2 6 45、 (13 分)已知椭圆 2 ? 2 (a>b>0)的离心率 e ? ,过点 A(0,-b)和 B(a,0)的 a b 3

直线与原点的距离为

3 . 2

(1)求椭圆的方程. (2)已知定点 E(-1,0) ,若直线 y=kx+2(k≠0)与椭圆交于 C、D 两点.问:是否存在 k 的值,使以 CD 为直径的圆过 E 点?请说明理由.

46、求过点 P(-1,2)且与曲线 y=3x2-4x+2 在点 M(1,1)处的切线平行的直线.

47、已知向量 m1=(0,x) ,n1=(1,1) ,m2=(x,0) ,n2=(y2,1) (其中 x,y 是实数) , 又设向量 m=m1+ 2 n2,n=m2- 2 n1,且 m//n,点 P(x,y)的轨迹为曲线 C. (Ⅰ)求曲线 C 的方程; (Ⅱ)设直线 l : y ? kx ? 1 与曲线 C 交于 M、N 两点,当|MN|=
4 2 时,求直线 l 的方程. 3

48、已知点 A(0, 3)和圆 O1:x2+(y+ 3)2=16,点 M 在圆 O1 上运动,点 P 在半径 O1M 上,且|PM|
=|PA|,求动点 P 的轨迹方程.

49、根据下列条件,求椭圆的标准方程. (1)两个焦点的坐标分别是(-4,0),(4,0),椭圆上任意一点 P 到两焦点的距离之和等于 10; 3 5? (2)两个焦点的坐标分别是(0,-2),(0,2),并且椭圆经过点? ?-2,2?.

50、

x2 y2 如图,已知 P 是椭圆 2 + 2=1 (a>b>0)上且位于第一象限的一点,F 是椭圆的右焦点,O 是椭圆中心, a b a2 B 是椭圆的上顶点,H 是直线 x=- (c 是椭圆的半焦距)与 x 轴的交点,若 PF⊥OF,HB∥OP,试 c 求椭圆的离心率 e.

51、已知椭圆 4x2+y2=1 及直线 y=x+m.
(1)当直线和椭圆有公共点时,求实数 m 的取值范围; (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程.

52、已知在平面直角坐标系 xOy 中的一个椭圆,它的中心在原点,左焦点为 F1(- 3,0),且右顶点

1? 为 D(2,0).设点 A 的坐标是? ?1,2?. (1)求该椭圆的标准方程; (2)若 P 是椭圆上的动点,求线段 PA 的中点 M 的轨迹方程.

53、如图△ABC 中底边 BC=12,其它两边 AB 和 AC 上中线的和为 30,求此三角形重心 G 的轨迹 方程,并求顶点 A 的轨迹方程.

54、根据下列条件,求双曲线的标准方程. 15 ? (1)经过点? ? 4 ,3?,且一条渐近线为 4x+3y=0;
π (2)P(0,6)与两个焦点连线互相垂直,与两个顶点连线的夹角为 . 3

55、设双曲线 x2- 2 =1 上两点 A、B,AB 中点 M(1,2),求直线 AB 的方程.

y2

56、设双曲线与椭圆27+36=1 有相同的焦点,且与椭圆相交,一个交点 A 的
纵坐标为 4,求此双曲线的标准方程.

x2

y2

57、在△ABC 中,B(4,0)、C(-4,0),动点 A 满足 sin B-sin C=2sin A,求动点 A 的轨迹方程.

1

58、已知双曲线的一个焦点为 F( 7,0),直线 y=x-1 与其相交于 M,N 两点,MN 中点的横坐标
2 为- ,求双曲线的标准方程. 3

59、设双曲线 C:a2 -y2=1 (a>0)与直线 l:x+y=1 相交于两个不同的点 A、B.
(1)求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围;

x2

60、 (12 分)已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点 M ?1, 2 ? ,它们在 x 轴上有共同焦点,椭圆和双曲线的对
称轴是坐标轴,抛物线的顶点为坐标原点. (1)求这三条曲线的方程; (2)已知动直线 l 过点 P ? 3,0? ,交抛物线于 A, B 两点,是否存在垂直于 x 轴的直线 l ? 被以 AP 为直径的 圆截得的弦长为定值?若存在,求出 l ? 的方程;若不存在,说明理由.

61、已知抛物线的顶点在原点,对称轴为 x 轴,抛物线上的点 M(-3,m)到焦点的距离等于 5,求抛
物线的方程和 m 的值,并写出抛物线的焦点坐标和准线方程.

62、 (12 分)已知抛物线 y2=8x 上两个动点 A、B 及一个定点 M(x0, y0) ,F 是抛物线的焦点,且|AF|、|MF|、
|BF|成等差数列,线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于一点 N. (1)求点 N 的坐标(用 x0 表示) ; (2)过点 N 与 MN 垂直的直线交抛物线于 P、Q 两点,若|MN|=4 2 ,求△MPQ 的面积.

63、 (14 分)已知椭圆的中心为坐标原点 O,焦点在 x 轴上,斜率为 1 且过椭圆右焦点 F 的直线交椭圆于
A、B 两点, OA ? OB 与 a ? (3, ?1) 共线. (1)求椭圆的离心率; (2)设 M 为椭圆上任意一点,且 OM ? ?OA ? ?OB (?, ? ? R) ,证明 ?2 ? ? 2 为定值.

64、 (12 分)已知抛物线 y 2 ? x 的弦 AB 与直线 y=1 有公共点,且弦 AB 的中点 N 到 y 轴的距离为 1,求
弦 AB 长度的最大值,并求此直线 AB 所在的直线的方程.

65、已知动圆 M 与直线 y =2 相切,且与定圆 C: x 2 ? ( y ? 3) 2 ? 1外切,求动圆圆心 M 的轨迹方程.(12
分)

66、已知抛物线的顶点在原点,对称轴是 x 轴,抛物线上的点 M(-3,m)到焦点的距离等于 5,求抛
物线的方程和 m 的值. (12 分)

67、动直线 y =a,与抛物线 y 2 ?
方程.(12 分)

1 x 相交于 A 点,动点 B 的坐标是 (0,3a) ,求线段 AB 中点 M 的轨迹的 2

68、河上有抛物线型拱桥,当水面距拱桥顶 5 米时,水面宽为 8 米,一小船宽 4 米,高 2 米,载货后船露
出水面上的部分高 0.75 米,问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时,小船开始不能通航?(12 分)

69、如图,直线 l1 和 l2 相交于点 M,l1⊥l2,点 N∈l1.以 A、B 为端点的曲线段 C 上的任一点到 l2 的距离与
到点 N 的距离相等.若△AMN 为锐角三角形,|AM|= 求曲线段 C 的方程.(14 分) ,|AN|=3,且|BN|=6.建立适当的坐标系,

70、 已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) .过动点 M( a ,0)且斜率为 1 的直线 l 与该抛物线交于不同的两点 A、
B, | AB |? 2 p . (Ⅰ)求 a 的取值范围; (Ⅱ)若线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 N,求 Rt?NAB 面积的最大值.(14 分)

71、 (14 分)设 F1、F2 分别为椭圆 C:

x2 8y2 ? =1(a>b>0)的左、右两个焦点. a2 b2

(1)若椭圆 C 上的点 A(1,

3 )到 F1、F2 两点的距离之和等于 4,写出椭圆 C 的方程和焦点坐标; 2

(2)设点 K 是(1)中所得椭圆上的动点,求线段 F1K 的中点的轨迹方程; (3)已知椭圆具有性质:若 M、N 是椭圆 C 上关于原点对称的两个点,点 P 是椭圆上任意一点,当直线 PM、PN 的斜率都存在,并记为 kPM、kPN 时,那么 kPM 与 kPN 之积是与点 P 位置无关的定值.试对双曲 线

x2 y2 ? ? 1 写出具有类似特性的性质,并加以证明. a2 b2

72、过点 Q(4,1)作抛物线 y2=8x 的弦 AB,恰被 Q 所平分,求 AB 所在的直线方程.

73、求焦点在 x 轴上且截直线 2x-y+1=0 所得弦长为 15的抛物线的标准方程.

74、 (12 分) 已知双曲线

x2 y2 2 3 3 ? 2 ? 1 的离心率 e ? , 过 A(a,0), B(0,?b) 的直线到原点的距离是 . 2 3 2 a b

(1)求双曲线的方程; (2)已知直线 y ? kx ? 5(k ? 0) 交双曲线于不同的点 C,D 且 C,D 都在以 B 为圆心的圆上,求 k 的值.

7 ? 75、 已知抛物线 y2=2px (p>0)上的一点 M 到定点 A? ?2,4?和焦点 F 的距离之和的最小值等于 5,求抛 物线的方程.

76、设抛物线 y=mx2 (m≠0)的准线与直线 y=1 的距离为 3,求抛物线的标准方程.

77、已知直线 l 经过抛物线 y2=4x 的焦点 F,且与抛物线相交于 A、B 两点.
(1)若|AF|=4,求点 A 的坐标; (2)求线段 AB 的长的最小值.

78、已知过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于 A、B 两点,且|AB|=2p,求 AB 所在的直线
方程.

5

79、求与椭圆 9 + 4 =1 有公共焦点,并且离心率为 2 的双曲线方程.

x2

y2

5

x2 y2 80、双曲线 C 与椭圆 8 + 4 =1 有相同的焦点,直线 y= 3x 为 C 的一条渐近线.求双曲线 C 的方程.

81、已知点 A(0,-2),B(0,4),动点 P(x,y)满足 PA · PB =y2-8.
(1)求动点 P 的轨迹方程; (2)设(1)中所求轨迹与直线 y=x+2 交于 C、D 两点.求证:OC⊥OD(O 为原点).

82、在直角坐标系 xOy 中,点 P 到两点(0,- 3)、(0, 3)的距离之和等于 4,设点 P 的轨迹为 C,
直线 y=kx+1 与 C 交于 A、B 两点. (1)写出 C 的方程; (2)若 OA ⊥ OB ,求 k 的值.

83、已知抛物线 C:y2=2px(p>0)过点 A(1,-2).
(1)求抛物线 C 的方程,并求其准线方程. (2)是否存在平行于 OA(O 为坐标原点)的直线 l,使得直线 l 与抛物线 C 有公共点,且直线 OA 与 l 的

距离等于

5 ?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由. 5

84、已知点 P(3,4)是椭圆a2+b2=1 (a>b>0)上的一点,F1、F2 为椭圆的两焦点,若 PF1⊥PF2,试求:
(1)椭圆的方程; (2)△PF1F2 的面积.

x2

y2

85、已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,它的一个顶点恰好是抛物线 y=4x2 的焦点,离
2 5 心率为 . 5 (1)求椭圆 C 的标准方程;

1

MB =n FB , (2)过椭圆 C 的右焦点 F 作直线 l 交椭圆 C 于 A, B 两点, 交 y 轴于点 M, 若 MA =m FA , 求 m+n 的值.

86、直线 y=kx-2 交抛物线 y2=8x 于 A、B 两点,若线段 AB 中点的横坐标等于 2,求弦 AB 的长.

87、已知点 M 在椭圆36+ 9 =1 上,MP′垂直于椭圆焦点所在的直线,垂足为 P′,并且 M 为线段
PP′的中点,求 P 点的轨迹方程.

x2

y2

88、已知斜率为 1 的直线 l 过椭圆 4 +y2=1 的右焦点 F 交椭圆于 A、B 两点,求弦 AB 的长.

x2

89、已知两个定点 A(-1,0)、B(2,0),求使∠MBA=2∠MAB 的点 M 的轨迹方程.

90、甲、乙、丙三名工人搬运石头,分别作用于石头的力为 F1,F2,F3,若 i、j、k 是空间中的三个
不共面的基向量,F1=i+2j+3k,F2=-2i+3j-k,F3=3i-4j+5k,则这三名工人的合力 F=xi+yj +zk,求 x、y、z.

91、四棱锥 P-OABC 的底面为一矩形,PO ? 平面 OABC,设=a,=b,=c,E、F 分别是 PC 和 PB
的中点,用 a,b,c 表示、 、 、.

92、已知 PA 垂直于正方形 ABCD 所在的平面,M、N 分别是 AB、PC 的中点,并且 PA=AD,求 MN 、
的坐标.

93、如图所示,已知线段 AB 在平面 α 内,线段 AC⊥α,线段 BD⊥AB,且 AB=7,AC=BD=24,
线段 BD 与 α 所成的角为 30° ,求 CD 的长.

94、如图,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F 分别是 BB1、D1B1 的中点,求证:EF⊥平面 B1AC.

95、设 a=(1,5,-1),b=(-2,3,5).
(1)若(ka+b)∥(a-3b),求 k; (2)若(ka+b)⊥(a-3b),求 k.

96、在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AC=BC=1,∠BCA=90° ,AA1=2, 并取 A1B1、A1A 的中点分别
为 P、Q. (1)求向量的长; (2)cos〈, 〉 ,cos〈, 〉 ,并比较〈, 〉与〈, 〉的大小; (3)求证:AB1⊥C1P.

97、在长方体 OABC—O1A1B1C1 中,OA=2,AB=3,AA1=2,E 是 BC 的中点,建立空间直角坐标系,
用向量方法解下列问题: (1)求直线 AO1 与 B1E 所成的角的余弦值; (2)作 O1D⊥AC 于 D,求点 O1 到点 D 的距离.

98、在正四面体 ABCD 中,棱长为 a,M、N 分别是棱 AB、CD 上的点,且|MB|=2|AM|,|CN|=2|ND|,

1

求|MN|.

99、证明:平行六面体的对角线交于一点,并且在交点处互相平分.

100、在棱长为 1 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F 分别为 AB、BC 的中点,在棱 BB1 上是否存在
点 M,使得 D1M⊥平面 EFB1?

101、已知点 O 是平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 对交线的交点,点 P 是空间任意一点.试探求 PA +
++++++与的关系.

102、已知 ABCD—A′B′C′D′是平行六面体.
1 2 (1)化简 ++ ; 2 3 (2)设 M 是底面 ABCD 的中心,N 是侧面 BC C′ B′对角线 B C′上的 试求 α,β,γ 的值.

3 分点,设 MN =α+β+γ, 4

103、(12 分)如图,已知正方体 ABCD ? A ' B 'C ' D ' 的棱长为 a,M 为 BD ' 的中点,点 N 在 AC ' '上, 且 | A ' N |? 3 | NC ' | ,试求 MN 的长.
z D' O' A' M D C A x B y C' N B'

104、如图所示,已知空间四边形 ABCD,连结 AC,BD,E,F,G 分别是 BC,CD,DB 的中点,请化简:++,
(2)++,并标出化简结果的向量.

105、判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由.
①向量与是共线向量,则 A、B、C、D 四点必在一条直线上;②单位向量都相等;③任一向量与它的 相反向量不相等;④四边形 ABCD 是平行四边形的充要条件是=;⑤模为 0 是一个向量方向不确定的 充要条件.

106、 (12 分)如图在空间直角坐标系中 BC=2,原点 O 是 BC 的中点,点 A 的坐标是(
D 在平面 yOz 上,且∠BDC=90°,∠DCB=30°. (1)求向量 OD 的坐标; (2)设向量 AD 和 BC 的夹角为θ ,求 cosθ 的值

3 1 ,点 , ,0) 2 2



107、 (12 分)若四面体对应棱的中点间的距离都相等,证明这个四面体的对棱两两垂直.

108、如图,已知在空间四边形 OABC 中,OB=OC,AB=AC.求证:OA⊥BC.

109、 (12 分)四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是一个平行四边形, AB ={2,-1,-4}, AD ={4,2,
0}, AP ={-1,2,-1}. (1)求证:PA⊥底面 ABCD; (2)求四棱锥 P—ABCD 的体积; (3)对于向量 a ={x1,y1,z1}, b ={x2,y2,z2}, c ={x3,y3,z3},定义一种运算: ( a ?b ) ? c =x1y2z3+x2y3z1+x3y1z2-x1y3z2-x2y1z3-x3y2z1,试计算( AB ? AD ) ? AP 的绝对值的值;说 明其与四棱锥 P—ABCD 体积的关系, 并由此猜想向量这一运算 ( AB ? AD ) ?AP 的绝对值的几何意义..

110、设 A,B,C 及 A1,B1,C1 分别是异面直线 l1,l2 上的三点,而 M,N,P,Q 分别是线段 AA1,
BA1,BB1,CC1 的中点.求证:M,N,P,Q 四点共面.

111、 (14 分)如图所示,直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱 AA1=2,M、N 分别是
A1B1、A1A 的中点. (1)求 BN 的长;

(2)求 cos< BA1 , CB1 >的值; (3)求证:A1B⊥C1M.

112 、 ( 14 分)如图,已知平行六面体 ABCD — A1B1C1D1 的底面 ABCD 是菱形且∠ C1CB= ∠ C1CD= ∠
BCD=60°. (1)证明:C1C⊥BD; (2)假定 CD=2,CC1=

3 ,记面 C1BD 为α ,面 CBD 为β ,求二面角α —BD—β 的平面角的余弦值; 2

(3)当

CD 的值为多少时,能使 A1C⊥平面 C1BD?请给出证明. CC1

113、 (12 分)已知棱长为 1 的正方体 AC1,E、F 分别是 B1C1、C1D 的中点.
(1)求证:E、F、D、B 共面; (2)求点 A1 到平面的 BDEF 的距离; (3)求直线 A1D 与平面 BDEF 所成的角.

114、(12 分)已知棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1,求平面 A1BC1 与平面 ABCD 所成的二面角的大


115、 (12 分)在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是一直角梯形,∠BAD=90°,AD∥BC,AB=BC=a,
AD=2a,且 PA⊥底面 ABCD,PD 与底面成 30°角. (1)若 AE⊥PD,E 为垂足,求证:BE⊥PD; (2)求异面直线 AE 与 CD 所成角的余弦值.

116、 (14 分)已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2,点 E 为棱 AB 的中点,求:
(Ⅰ)D1E 与平面 BC1D 所成角的大小; (Ⅱ)二面角 D-BC1-C 的大小; (Ⅲ)异面直线 B1D1 与 BC1 之间的距离.

117、 (14分)如图5:正方体ABCD-A1B1C1D1,过线段BD1上一点P(P ? 平面ACB1)作垂直于D1B的平面分别
交过D1的三条棱于E、F、G. (1)求证:平面EFG∥平面A CB1,并判断三角形类型;
z

D1 E A1 G

F

O1 P B1 H D

C1

y C

x A

(2)若正方体棱长为 a, 求△EFG 的最大面积, 并求此时 EF 与 B1C 的距离.

图 5

B

118、如图所示,已知直角梯形 ABCD,其中 AB=BC=2AD,AS⊥平面 ABCD,AD∥BC,AB⊥BC, 且 AS=AB.求直线 SC 与底面 ABCD 的夹角 θ 的余弦值.

119、 (12 分)已知棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F、M 分别是 A1C1、A1D 和 B1A 上任一点,
求证:平面 A1EF∥平面 B1MC.

120、已知 ABC—A1B1C1 是各条棱长均为 a 的正三棱柱,D 是侧棱 CC1 的中点,求证:平面 AB1D⊥
平面 ABB1A1.

121、已知三棱锥 P-ABC 中,PA⊥平面 ABC,AB⊥AC,PA=AC=2AB,N 为 AB 上一点,且 AB=
4AN,M,S 分别为 PB,BC 的中点. (1)证明:CM⊥SN; (2)求 SN 与平面 CMN 所成角的大小.

1

122、在四面体 ABOC 中,OC⊥OA,OC⊥OB,∠AOB=120° ,且 OA=OB=OC=1.设 P 为 AC 的中 点,Q 在 AB 上且 AB=3AQ,证明:PQ⊥OA.

123、如图,在底面是菱形的四棱锥 P—ABCD 中,∠ABC=60° ,PA⊥平面 ABCD,PA=AC=a,点
E 在 PD 上,且 PE∶ED=2∶1.在棱 PC 上是否存在一点 F,使 BF∥平面 AEC?证明你的结论.

124、已知正三棱柱 ABC—A1B1C1 的各棱长都为 1,M 是底面上 BC 边的中点,N 是侧棱 CC1 上的点,
1 且 CN= CC1.求证:AB1⊥MN. 4

125、已知正方形 ABCD 的边长为 4,E、F 分别是 AB、AD 的中点,GC⊥平面 ABCD,且 GC=2,求点 B
到平面 EFG 的距离.

126、已知平面 α 经过三点 A(1,2,3),B(2,0,-1),C(3,-2,0),试求平面 α 的一个法向量.

127、 如图所示,在空间图形 P—ABCD 中,PC⊥平面 ABCD,PC=2,在四边形 ABCD 中,CD∥AB,
∠ABC=∠BCD=90° , AB=4, CD=1, 点 M 在 PB 上, 且 PB=4PM, ∠PBC=30° , 求证: CM∥平面 PAD.

128、在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,O 是 B1D1 的中点,求证:B1C∥平面 ODC1.

129、如图,四棱锥 P-ABCD 中,底
面 ABCD 为矩形,PA⊥底面 ABCD,PA=AB= 2,点 E 是棱 PB 的中点.证明:AE⊥平面 PBC.

130、如图所示的多面体是由底面为 ABCD 的长方体被截面 AEC1F 所截面而得到的,其中

AB ? 4, BC ? 2, CC1 ? 3, BE ? 1
(Ⅰ)求 BF 的长;

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(Ⅱ)求点 C 到平面 AEC1F 的距离

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E 为棱 CC1 上异于 C , C1 的一点, 131、 如图, 在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,AB ? 侧面 BB1C1C , EA ? EB1 ,
已知 AB ?

2, BB1 ? 2, BC ? 1, ?BCC1 ?

?
3

,求:

(Ⅰ)异面直线 AB 与 EB1 的距离; (Ⅱ)二面角 A ? EB1 ? A1 的平面角的正切值
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132、如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为矩形, PD ? 底面 ABCD , E 是 AB 上 1 一点, PF ? EC 已知 PD ? 2 , CD ? 2, AE ? , 2 求(Ⅰ)异面直线 PD 与 EC 的距离; (Ⅱ)二面角 E ? PC ? D 的大小
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133、如图,在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 ,中, AD ? AA1 ? 1, AB ? 2 ,点 E 在棱 AD 上移动 (1)证
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明: D1E ? A 1D ; (2)当 E 为 AB 的中点时,求点 E 到面 ACD1 的距离;

(3) AE 等于何值时,二面角 D1 ? EC ? D 的大小为

? 4

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134、如图,已知 ABCD—A1B1C1D1 是平行六面体.设 M 是底面 ABCD 的中心,N 是侧面 BCC1B1 对
3 角线 BC1 上的 分点,设=α+β+γ,试求 α、β、γ 的值. 4

135、如图,四棱锥 S—ABCD 的底面是边长为 2a 的菱形,且 SA=SC=2a,SB=SD= 2a,点 E 是 SC 上
的点,且 SE=λa (0<λ≤2). (1)求证:对任意的 λ∈(0,2],都有 BD⊥AE; (2)若 SC⊥平面 BED,求直线 SA 与平面 BED 所成角的大小.

136、已知空间三点 A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设 a=,b=.
(1)求 a 和 b 的夹角 θ 的余弦值; (2)若向量 ka+b 与 ka-2b 互相垂直,求 k 的值.

137、已知四棱锥 P ? ABCD 的底面为直角梯形, AB // DC , ?DAB ? 90? , PA ? 底面 ABCD ,且
1 PA ? AD ? DC ? , AB ? 1 , M 是 PB 的中点 2 (Ⅰ)证明:面 PAD ? 面 PCD ; (Ⅱ)求 AC 与 PB 所成的角;
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(Ⅲ)求面 AMC 与面 BMC 所成二面角的大小

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V

138、如图,在四棱锥 V ? ABCD 中,底面 ABCD 是 VAD 是正三角形, 平面 VAD ? 底面 ABCD (Ⅰ)证明: AB ? 平面 VAD ; (Ⅱ)求面 VAD 与面 DB 所成的二面角的大小
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D A B

C

正方形,侧面

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证明:以 D 为坐标原点,建立如图所示的坐标图系

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139、如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,
侧棱 PA ? 底面 ABCD , AB ? 3 , BC ? 1 , PA ? 2 ,

E 为 PD 的中点

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(Ⅰ)求直线 AC 与 PB 所成角的余弦值; (Ⅱ)在侧面 PAB 内找一点 N ,使 NE ? 面 PAC ,

并求出点 N 到 AB 和 AP 的距离

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140、如图所示,四边形 ABCD,ABEF 都是平行四边形且不共面,M、N 分别是 AC、BF 的中点,判断 CE 与 MN 是否共线?

141、在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AB1⊥BC1,CA1⊥BC1.求证:AB1=CA1.

142、如图,在底面是矩形的四棱锥 P—ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,PA=AB=2,BC=4,E 是 PD 的中
点. (1)求证:平面 PDC⊥平面 PAD; (2)求点 B 到平面 PCD 的距离.

143、 如图, 四棱锥 S—ABCD 的底面是正方形, 每条侧棱的长都是底面边长的 2倍, P 为侧棱 SD 上的点.
(1)求证:AC⊥SD; (2)若 SD⊥平面 PAC,求二面角 P—AC—D 的大小; (3)在(2)的条件下,侧棱 SC 上是否存在一点 E,使得 BE∥平面 PAC.若存在,求 SE∶EC 的值;若不 存在,试说明理由.

144、已知四边形 ABCD 的顶点分别是 A(3,-1,2),B(1,2,-1),C(-1,1,-3),D(3,-5,3).
求证:四边形 ABCD 是一个梯形.

145、如图,在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F 分别是棱 BC,CC1 上的点,CF=AB=2CE,AB∶AD∶
AA1=1∶2∶4. (1)求异面直线 EF 与 A1D 所成角的余弦值; (2)证明 AF⊥平面 A1ED; (3)求二面角 A1—ED—F 的正弦值.

146、如图,在空间四边形 OABC 中,OA=8,AB=6,AC=4,BC=5,∠OAC=45° ,∠OAB=60° , 求 OA 与 BC 所成角的余弦值.

147、如图所示,已知平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 的底面 ABCD 是菱形,且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD.
求证:C1C⊥BD.

148、如图所示,在三棱锥 S—ABC 中,SO⊥平面 ABC,侧面 SAB 与 SAC 均为等边三角形,∠BAC=90° ,
O 为 BC 的中点,求二面角 A—SC—B 的余弦值.

149、命题 p:关于 x 的不等式 x2+2ax+4>0,对一切 x∈R 恒成立,命题 q:指数函数 f(x)=(3-2a)x
是增函数,若 p 或 q 为真,p 且 q 为假,求实数 a 的取值范围.

150、如图所示,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD⊥底面 ABCD,PD=DC,E 是

PC 的中点,作 EF⊥PB 交 PB 于点 F. 证明:(1)PA∥平面 EDB; (2)PB⊥平面 EFD.

151、如图,在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AB=1,AC=AA1= 3,∠ABC=60° .
(1)证明:AB⊥A1C; (2)求二面角 A—A1C—B 的正切值大小.

152、 已知 PA 垂直于正方形 ABCD 所在平面, M, N 分别为 AB, PC 的三等分点, 且 PN=2NC, AM=2MB,
PA=AB=1,求的坐标.

153、已知椭圆a2+b2=1 (a>b>0)的一个顶点为 A(0,1),离心率为 2 ,过点 B(0,-2)及左焦点 F1 的直线
交椭圆于 C,D 两点,右焦点设为 F2. (1)求椭圆的方程; (2)求△CDF2 的面积.

x2

y2

2

154、若 r(x):sin x+cos x>m,s(x):x2+mx+1>0.已知?x∈R,r(x)为假命题且 s(x)为真命题,求实

数 m 的取值范围.

155、F1,F2 是椭圆的两个焦点,Q 是椭圆上任意一点,从任一焦点向△F1QF2 中的∠F1QF2 的外角
平分线引垂线,垂足为 P,求点 P 的轨迹.

156、已知命题 p:方程 2x2-2 6x+3=0 的两根都是实数,q:方程 2x2-2 6x+3=0 的两根不相等,
试写出由这组命题构成的“p 或 q” 、 “p 且 q” 、 “非 p”形式的命题,并指出其真假.

157、已知两点 M(-1,0)、N(1,0),动点 P(x,y)满足||· ||-· =0,
(1)求点 P 的轨迹 C 的方程; (2)假设 P1、P2 是轨迹 C 上的两个不同点,F(1,0),λ∈R,=λ,求证:

1 FP1

?

1 FP 2

?1

158、已知两点 M(-2,0)、N(2,0),点 P 为坐标平面内的动点,满足||||+· =0,求动点 P(x,y)的轨迹方程.

159、已知 p:x2-12x+20<0,q:x2-2x+1-a2>0 (a>0).若綈 q 是綈 p 的充分条件,求 a 的取值范
围.

160、已知直线 y=ax+1 与双曲线 3x2-y2=1 交于 A,B 两点.
(1)求 a 的取值范围; (2)若以 AB 为直径的圆过坐标原点,求实数 a 的值.

161、设 P 为椭圆100+64=1 上一点,F1、F2 是其焦点,若∠F1PF2=3,求△F1PF2 的面积.

x2

y2

π

?x2-4x+3<0 ? 162、已知 p:2x -9x+a<0,q:? 2 , ?x -6x+8<0 ?
2

且綈 q 是綈 p 的必要条件,求实数 a 的取值范围.

163、如图,正方形 ACDE 所在的平面与平面 ABC 垂直,AD 与 CE 的点为 M,AC⊥BC,且 AC=BC. (1)求证:AM⊥平面 EBC; (2)求二面角 A—EB—C 的大小.

164、如图所示,已知直线 l:y=kx-2 与抛物线 C:x2=-2py (p>0)交于 A,B 两点,O 为坐标原点,+
=(-4,-12). (1)求直线 l 和抛物线 C 的方程; (2)抛物线上一动点 P 从 A 到 B 运动时,求△ABP 面积的最大值.

165、如图,M 是抛物线 y2=x 上的一个定点,动弦 ME、MF 分别与 x 轴交于不同的点 A、B,且|MA|
=|MB|.证明:直线 EF 的斜率为定值.

166、如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 是棱 DD1 的中点.
(1)求直线 BE 和平面 ABB1A1 所成的角的正弦值. (2)在棱 C1D1 上是否存在一点 F,使 B1F∥平面 A1BE?证明你的结论.

以下是答案 一、解答题 1、解 逆命题:已知 a、b 为实数,若 a2-4b≥0,则关于 x 的不等式 x2+ax+b≤0 有非空解集.
否命题:已知 a、b 为实数,若关于 x 的不等式 x2+ax+b≤0 没有非空解集,则 a2-4b<0. 逆否命题:已知 a、b 为实数,若 a2-4b<0,则关于 x 的不等式 x2+ax+b≤0 没有非空解集. 原命题、逆命题、否命题、逆否命题均为真命题.

2、⑴逆命题:等差数列中若 am+n=0,则 an=m ,an=n (m≠n) 否命题:等差数列中若 an≠m,an≠n(m≠n) ,则 am+n≠0 ⑵逆命题:等差数列{an}中,若 S(m+n)=0,则 Sn=Sm(m≠n) 否命题:等差数列{an}中,若 Sn≠Sm(m≠n) ,则 S(m+n)≠0

3、证明 假设 a+b<0,即 a<-b,∵f(x)在 R 上是增函数,∴f(a)<f(-b). 又 f(x)为奇函数,∴f(-b)=-f(b), ∴f(a)<-f(b),即 f(a)+f(b)<0. 即原命题的逆否命题为真,故原命题为真. ∴a+b≥0. 4、证明 若 a,b,c 都是奇数,则 a2,b2,c2 都是奇数.
得 a2+b2 为偶数,而 c2 为奇数,即 a2+b2≠c2, 即原命题的逆否命题为真,故原命题也为真命题. 所以 a,b,c 不可能都是奇数.

5、解 能确定.理由如下:
显然命题 A 和 B 的原命题的结论是矛盾的,因此应该从它的逆否命题来考虑. ①由命题 A 为真可知,当 b 不是最大时,则 a 是最小的,即若 c 最大,则 a 最小,所以 c>b>a;而它 的逆否命题也为真,即“a 不是最小,则 b 是最大”为真,所以 b>a>c.总之由命题 A 为真可知:c>b>a 或 b>a>c. ②同理由命题 B 为真可知 a>c>b 或 b>a>c. 从而可知,b>a>c. 所以三个人年龄的大小顺序为 b 最大,a 次之,c 最小.

6、解 逆命题:若方程 x2+2x+3m=0 无实根,则 m>2,假命题.否命题:若 m≤2,则方程 x2+2x
+3m=0 有实根,假命题.逆否命题:若方程 x2+2x+3m=0 有实根,则 m≤2,真命题.

7、解 (1)逆命题:若一个数的平方是非负数,则这个数是实数. 否命题:若一个数不是实数,则它的平方不是非负数. 逆否命题:若一个数的平方不是非负数,则这个数不是实数. (2)逆命题:若两个三角形全等,则这两个三角形等高. 否命题:若两个三角形不等高,则这两个三角形不全等. 逆否命题:若两个三角形不全等,则这两个三角形不等高. (3)逆命题:若一条直线平分弦所对的弧,则这条直线是弦的垂直平分线. 否命题:若一条直线不是弦的垂直平分线,则这条直线不平分弦所对的弧. 逆否命题:若一条直线不平分弦所对的弧,则这条直线不是弦的垂直平分线. 8、解 (1)原命题: “若 a 是正数,则 a 的平方根不等于 0” . 逆命题: “若 a 的平方根不等于 0,则 a 是正数” . 否命题: “若 a 不是正数,则 a 的平方根等于 0” . 逆否命题: “若 a 的平方根等于 0,则 a 不是正数” . 2 (2)原命题: “若 x=2,则 x +x-6=0” . 逆命题: “若 x2+x-6=0,则 x=2” . 否命题: “若 x≠2,则 x2+x-6≠0” . 2 逆否命题: “若 x +x-6≠0,则 x≠2” . (3)原命题: “若两个角是对顶角,则它们相等” . 逆命题: “若两个角相等,则它们是对顶角” . 否命题: “若两个角不是对顶角,则它们不相等” . 逆否命题: “若两个角不相等,则它们不是对顶角” . 9、解 (1)若一个数是偶数,则这个数能被 2 整除,真命题.
1 (2)若 m> ,则 mx2-x+1=0 无实数根,真命题. 4

10、解(1)存在一个正方形的四边不相等; (2)平方和为 0 的两个实数不都为 0 ;

(3)若 ?ABC 是锐角三角形, 则 ?ABC 的某个内角不是锐角 (4)若 abc ? 0 ,则 a, b, c 中都不为 0 ; (5)若 ( x ?1)( x ? 2) ? 0, 则x ? 1或x ? 2
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11、解 (1)假命题.反例:1≠4,5≠2,而 1+5=4+2. (2)假命题.反例:当 x=0 时,x3>x2 不成立. (3)真命题.∵m>1?Δ=4-4m<0,∴方程 x2-2x+m=0 无实数根. (4)假命题.因为不共线的三点确定一个圆. 12、解 逆命题:已知 a,b,c,d 是实数,若 a+c=b+d,则 a=b,c=d.假命题 否命题:已知 a,b,c,d 是实数,若 a≠b 或 c≠d,则 a+c≠b+d.假命题 逆否命题:已知 a,b,c,d 是实数,若 a+c≠b+d,则 a≠b 或 c≠d.真命题.
x ?1 ? 2, x ? ?2, 或x ? 10, A ? ? x | x ? ?2, 或x ? 10? 3

13、解: ?p : 1 ?

?q : x2 ? 2x ?1? m2 ? 0, x ? 1? m, 或x ? 1? m, B ? ?x | x ? 1? m, 或x ? 1? m?

? p 是 ? q 的必要非充分条件,? B

A ,即 ?

?1 ? m ? ?2 ? m ? 9,? m ? 9 ?1 ? m ? 10

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14、解 若命题 p 为真命题,则根据绝对值的几何意义可知 m≤1;
若命题 q 为真命题,则 7-3m>1,即 m<2. 所以命题 p 和 q 中有且只有一个是真命题时,有 p 真 q 假或 p 假 q 真, ?m≤1, ?m>1, ? ? 即? 或? ?m<2. ? ? ?m≥2 故 m 的取值范围是 1<m<2.

15、解 甲命题为真时,Δ=(a-1)2-4a2<0,
1 即 a> 或 a<-1. 3 1 乙命题为真时,2a2-a>1,即 a>1 或 a<- . 2 (1)甲、乙至少有一个是真命题时,即上面两个范围取并集, 1 1 ∴a 的取值范围是{a|a<- 或 a> }. 2 3 (2)甲、乙有且只有一个是真命题,有两种情况: 1 1 甲真乙假时, <a≤1,甲假乙真时,-1≤a<- , 3 2 ∴甲、乙中有且只有一个真命题时 a 的取值范围为 1 1 {a| <a≤1 或-1≤a<- }. 3 2

16、解 (1)(2)是全称命题,(3)(4)是特称命题.
(1)∵ax>0 (a>0,a≠1)恒成立,∴命题(1)是真命题. (2)存在 x1=0,x2=π,x1<x2, 但 tan 0=tan π,∴命题(2)是假命题. (3)y=|sin x|是周期函数,π 就是它的一个周期,

∴命题(3)是真命题. 2 (4)对任意 x0∈R,x0 +1>0,∴命题(4)是假命题.

17、解 (1)“有些质数是奇数”是特称命题,其否定为“所有质数都不是奇数” ,假命题.
(2)“所有二次函数的图象都开口向上”是全称命题,其否定为“有些二次函数的图象不是开口向上” , 真命题. 2 (3)“?x0∈Q,x2 ,真命题. 0=5”是特称命题,其否定为“?x∈Q,x ≠5” (4)“不论 m 取何实数,方程 x2+2x-m=0 都有实数根”是全称命题,其否定为“存在实数 m,使得 方程 x2+2x-m=0 没有实数根” ,真命题. π x+ ? ∈[- 2, 18、 解 由綈 p 为真, 即 p: ?x∈R, sin x+cos x>m 为假命题, 由 sin x+cos x= 2sin? ? 4? 2], 又 sin x+cos x>m 不恒成立,∴m≥- 2. 又对?x∈R,q 为真,即不等式 x2+mx+1>0 恒成立, ∴Δ=m2-4<0,即-2<m<2, 故 m 的取值范围是- 2≤m<2.

19、解 对任意实数 x 都有 ax2+ax+1>0 恒成立?a=0 或?
关于 x 的方程 x2-x+a=0 有实数根?1-4a≥0 1 1 ?a≤ ;如果 p 真,且 q 假,有 0≤a<4,且 a> , 4 4 1 ∴ <a<4;如果 q 真,且 p 假,有 a<0 或 a≥4, 4 1 且 a≤ ,∴a<0. 4 1 ? 综上,实数 a 的取值范围为(-∞,0)∪? ?4,4?.

?a>0 ?Δ<0

?0≤a<4;

25 25 >1,即-x2+ax- >0,故 x2-ax+ <0,Δ=a2-25,所以不等式的解集 4 4 为空集,实数 a 的取值范围是-5≤a≤5. 对于②,当 a=3 时,不等式的解集为{x|x>1},不是空集;当 a≠3 时,要使不等式(a-3)x2+(a-2)x -1>0 的解集为空集. ?a-3<0, ? 则? 解得-2 2≤a≤2 2. 2 ??a-2? +4?a-3?≤0, ? 1 1 对于③,因为 x2+ 2≥2 x2·2=2, x x 当且仅当 x2=1,即 x=± 1 时取等号. 1 2 所以,不等式 a>x + 2的解集为空集时,a≤2. x 因此,当三个不等式的解集都为空集时,-2 2≤a≤2. 所以要使三个不等式至多有两个不等式的解集为空集,则实数 a 的取值范围是{a|a<-2 2或 a>2}.

20、解 对于①, 2

? x2?ax?

25 4

21、解 (1)若一个四边形是正方形,则它既是矩形,又是菱形,为真命题.
(2)若两个角为同弧所对的圆周角,则它们不相等,为假命题. (3)如果一个方程为 x2-x+1=0,则这个方程有两个实数根,为假命题.

22、解 方法一 (直接法) 逆否命题:已知 a、x 为实数,如果 a<1,则关于 x 的不等式 x2+(2a+1)x+a2+2≤0 的解集为空集.

判断如下: 二次函数 y=x2+(2a+1)x+a2+2 图象的开口向上, 判别式 Δ=(2a+1)2-4(a2+2)=4a-7. ∵a<1,∴4a-7<0. 即二次函数 y=x2+(2a+1)x+a2+2 与 x 轴无交点, ∴关于 x 的不等式 x2+(2a+1)x+a2+2≤0 的解集为空集,故逆否命题为真. 方法二 (先判断原命题的真假) ∵a、x 为实数,且关于 x 的不等式 x2+(2a+1)x+a2+2≤0 的解集非空, ∴Δ=(2a+1)2-4(a2+2)≥0, 7 即 4a-7≥0,解得 a≥ , 4 7 ∵a≥ >1,∴原命题为真. 4 又∵原命题与其逆否命题等价,∴逆否命题为真. 方法三 (利用集合的包含关系求解) 命题 p:关于 x 的不等式 x2+(2a+1)x+a2+2≤0 有非空解集. 命题 q:a≥1. 7? ? ∴p: A={a|关于 x 的不等式 x2+(2a+1)x+a2+2≤0 有实数解}={a|(2a+1)2-4(a2+2)≥0}=?a|a≥4?,
? ?

q:B={a|a≥1}. ∵A?B,∴“若 p,则 q”为真, ∴“若 p,则 q”的逆否命题“若綈 q,则綈 p”为真. 即原命题的逆否命题为真. x-1? 23、解 綈 p:? ?1- 3 ?>2,解得 x<-2,或 x>10, A={x|x<-2,或 x>10}. 綈 q:x2-2x+1-m2>0,解得 x<1-m,或 x>1+m, B={x|x<1-m,或 x>1+m}. ∵綈 p 是綈 q 的必要非充分条件,∴B A, ? 1 - m ≤ - 2 ? 即? 且等号不能同时成立?m≥9, ?1+m≥10 ? ∴m≥9.

24、解

? ? 2k-1 令 f(x)=x +(2k-1)x+k ,方程有两个大于 1 的实数根??- >1 2 ? ?f?1?>0
2 2

Δ=?2k-1?2-4k2≥0 ,

即 k<-2. 所以其充要条件为 k<-2.

25、?p:-3<x<1, ?q:x≥3 或 x≤2
显然 A B,故 ?p 是 ?q 的充分不必要条件

26、若两直线平行于同一条线,则它们相互平行.
逆命题:若两条直线互相平行,则它们平行于同一条直线. (真命题) 否命题:若两条直线不平行于同一条直线,则它们不相互平行. (真命题) 逆否命题:若两直线互相不平行,则它们不平行于同一条直线. (真命题)

27、 (1)?p:方程 x2-x-6=0 的解不是 x=3;

(2)?q:四边相等的四边形不是正方形; (3)?r:存在实数 m,使得方程 x2+x+m=0 没有实数根; (4)?s:对所有实数 x,都有 x2+x+1>0;

28、证明 充分性:∵a3+b3+ab-a2-b2
=(a+b)(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2) =(a+b-1)(a2-ab+b2), ∴(a+b-1)(a2-ab+b2)=0. 又 ab≠0,即 a≠0 且 b≠0, b?2 3 2 ∴a2-ab+b2=? ?a-2? +4b >0. ∴a+b-1=0,∴a+b=1. 必要性:∵a+b=1,即 a+b-1=0, ∴a3+b3+ab-a2-b2 =(a+b-1)(a2-ab+b2)=0. 综上可知,当 ab≠0 时, a+b=1 的充要条件是 a3+b3+ab-a2-b2=0.

29、若方程 x2+mx+1=0 有两不等的负根,则 ?

?? ? m 2 ? 4 ? 0 ?m ? 0

解得 m>2

即 p:m>2 若方程 4x2+4(m-2)x+1=0 无实根 则 Δ=16(m-2)2-16=16(m2-4m+3)<0 解得:1<m<3.即 q:1<m<3. 因“p 或 q”为真,所以 p、q 至少有一为真,又“p 且 q”为假,所以 p、q 至少有一为假, 因此,p、q 两命题应一真一假,即 p 为真,q 为假或 p 为假,q 为真. ∴?

?m ? 2 ?m ? 2 或? ?m ? 1或m ? 3 ?1 ? m ? 3

解得:m≥3 或 1<m≤2.

30、解 假设三个方程:x2+4ax-4a+3=0,
Δ1=?4a? -4?-4a+3?<0 ? ? 2 2 x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0 都没有实数根,则?Δ2=?a-1? -4a <0 ? ?Δ3=?2a?2-4?-2a?<0
2



?-2<a<2 ? 即? 1 a> ,或a<-1, 3 ? ?-2<a<0

3

1

3 得- <a<-1. 2

3 ∴所求实数 a 的范围是 a≤- 或 a≥-1. 2

31、对于①,显然 m 是任意正数时都有0≤m|x|,f(x)=0 是 F 函数;
对于②,显然 m≥2 时,都有|2x |≤m|x|,f(x)= 2x 是 F 函数;

对于③,当 x=0时,|f(0)|= 2 ,不可能有|f(0)| ≤m|0|=0 故 f(x)= 2 (sin x ? cos x) 不是 F 函数; 对于④,要使|f(x)|≤m|x|成立,即

x x ? x ?1
2

?m x

当 x=0时,m 可取任意正数;当 x≠0时,只须 m≥

1 x ? x ?1
2

的最大值;

3 3 4 ? ,所以 m≥ 4 4 3 4 x 因此,当 m≥ 时, f ( x ) ? 2 是 F 函数; 3 x ? x ?1
2 因为 x2+x+1= ( x ? ) ?

1 2

32、解 ∵x1,x2 是方程 x2-mx-2=0 的两个实根,
则 x1+x2=m 且 x1x2=-2, ∴|x1-x2|= ?x1+x2?2-4x1x2= m2+8, 当 m∈[-1,1]时,|x1-x2|max=3, 由不等式 a2-5a-3≥|x1-x2|对任意实数 m∈[-1,1]恒成立可得:a2-5a-3≥3, ∴a≥6 或 a≤-1. 所以命题 p 为真命题时,a≥6 或 a≤-1. 命题 q:不等式 ax2+2x-1>0 有解, 当 a>0 时,显然有解; 当 a=0 时,2x-1>0 有解; 当 a<0 时,∵ax2+2x-1>0 有解, ∴Δ=4+4a>0,∴-1<a<0, 从而命题 q: 不等式 ax2+2x-1>0 有解时 a>-1. 又命题 q 为假命题,∴a≤-1. 综上得,若 p 为真命题且 q 为假命题则 a≤-1.

33、解 |f(x)|≤1?-1≤f(x)≤1?-1≤ax2+x≤1,x∈[0,1].①
当 x=0 时,a≠0,①式显然成立; 1 1 1 1 当 x∈(0,1]时,①式化为- 2- ≤a≤ 2- 在 x∈(0,1]上恒成立. x x x x 1 设 t= ,则 t∈[1,+∞), x 则有-t2-t≤a≤t2-t,所以只需 ?a≥?-t2-t?max=-2 ? ? ?-2≤a≤0, 2 ? ?a≤?t -t?min=0 又 a≠0,故-2≤a<0. 综上,所求实数 a 的取值范围是[-2,0).

34、解 (1)p 或 q:连续的三个整数的乘积能被 2 或能被 3 整除.
p 且 q:连续的三个整数的乘积能被 2 且能被 3 整除. 非 p:存在连续的三个整数的乘积不能被 2 整除.

∵连续的三整数中有一个(或两个)是偶数,而另一个是 3 的倍数, ∴p 真,q 真,∴p 或 q 与 p 且 q 均为真,而非 p 为假. (2)p 或 q:对角线互相垂直的四边形是菱形或对角线互相平分的四边形是菱形. p 且 q:对角线互相垂直的四边形是菱形且对角线互相平分的四边形是菱形. 非 p:存在对角线互相垂直的四边形不是菱形. ∵p 假 q 假,∴p 或 q 与 p 且 q 均为假,而非 p 为真.

35、解 (1)逆命题:若一个四边形的对角线相等且互相平分,则它是矩形(真命题).
否命题:若一个四边形不是矩形,则它的对角线不相等或不互相平分(真命题). 逆否命题:若一个四边形的对角线不相等或不互相平分,则它不是矩形(真命题). (2)逆命题:如果一个正数不是质数,那么这个正数是正偶数(假命题). 否命题:如果一个正数不是偶数,那么这个数是质数(假命题). 逆否命题:如果一个正数是质数,那么这个数不是偶数(假命题).

36、 1 ? sin 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 sin x cos x ? (sin x ? cos x) 2 ? sin x ? cos x ? sin x ? cos x 命题 p 等价
于: sin x ? cos x ? 0 ,即 x ? 2k? ?

? ? ?

?
4

, 2 k? ?

5? ?

,k ?Z 4 ? ?

37、解:∵Δ y=f(x0+Δ x)-f(x0)
=(x0+Δ x) +a(x0+Δ x) -9(x0+Δ x)-1-(x0+ax0-9x0-1) 2 2 3 =(3x0+2ax0-9)Δ x+(3x0+a)(Δ x) +(Δ x) , Δy 2 2 ∴ =3x0+2ax0-9+(3x0+a)Δ x+(Δ x) . Δx 当Δ x 无限趋近于零时, Δy 2 无限趋近于 3x0+2ax0-9. Δx 2 即 f′(x0)=3x0+2ax0-9 ∴f′(x0)=3(x0+ ) -9- . 3 3 当 x0=- 时,f′(x0)取最小值-9- . 3 3 ∵斜率最小的切线与 12x+y=6 平行, ∴该切线斜率为-12. ∴-9- =-12. 3 解得 a=±3.又 a<0, ∴a=-3.
3 2 3 2

a

2

a2

a

a2

a2

38、解

以两个定点 A, B 所在的直线为 x 轴, 线段 AB 的垂直平分线为 y 轴, 建立平面直角坐标系(如图所示). 由于|AB|=2a, 则设 A(-a,0),B(a,0), 动点 M(x,y). 因为|MA|∶|MB|=2∶1, 所以 ?x+a?2+y2∶ ?x-a?2+y2=2∶1,

即 ?x+a?2+y2=2 ?x-a?2+y2, 5a?2 2 16 2 化简得? ?x- 3 ? +y = 9 a . 所以所求动点 M 的轨迹方程为 ?x-5a?2+y2=16a2. ? 3? 9

39、解 设 P(x,y),M(x0,y0),∵P 为 MB 的中点,
3 ?x=x + 2 ∴? y ?y= 2
0 0

?x0=2x-3 ? ,即? , ? ?y0=2y

又∵M 在曲线 x2+y2=1 上,∴(2x-3)2+4y2=1. ∴点 P 的轨迹方程为(2x-3)2+4y2=1.

40、证明:∵y=liΔ m x→0
1

fx+Δ x-fx Δx
1

x+Δ x+ -x+ x+Δ x x =liΔ x m →0 Δx x2-1 1 = 2 =1- 2<1, x x
1 ∴y=x+ 图象上的各点处的斜率小于 1.

x

41、解析: (1)双曲线 C 的右准线 l 的方程为:x=

a2 b ,两条渐近线方程为: y ? ? x . a c



两交点坐标为

a2 a2 ab ab P ( , ) 、 Q( , ? ) . c c c c
3 . | PQ | (如图) 2

∵ △PFQ 为等边三角形,则有 | MF |?

∴ 解得

c?

2 2 a2 3 ab ab ? ? ( ? ) ,即 c ? a ? 3ab . c 2 c c c c

b ? 3a ,c=2a.∴

e?

c ? 2. a

x2 y2 (2)由(1)得双曲线 C 的方程为把 2 ? 2 ? 1 . a 3a

把 y ? ax ? 3a 代入得 (a 2 ? 3) x2 ? 2 3a 2 x ? 6a 2 ? 0 .
2 ? ?a ? 3 ? 0, 依题意 ? ∴ a 2 ? 6 ,且 a 2 ? 3 . 4 2 2 ? ?? ? 12a ? 24(a ? 3)a ? 0 ∴ 双曲线 C 被直线 y=ax+b 截得的弦长为

l ? ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? (1 ? a 2 )( x1 ? x 2 ) 2 ? (1 ? a 2 ) [x1 ( ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ]

12 a 4 ? 24(a 2 ? 1)a 2 ? (1 ? a ) (a 2 ? 3) 2
2



l?

b 2c 2 ? 12a . a



144a 2 ? (1 ? a 2 ) ?

72a 2 ? 12a 4 . (a 2 ? 3) 2

整理得 ∴ ∴

13a 4 ? 77a 2 ? 102 ? 0 .

51 . 13 双曲线 C 的方程为:
a2 ? 2 或 a2 ?

x2 y2 13x 2 13y 2 ? ?1或 ? ?1 2 6 51 153
?y=x +4, ? 42、解:(1)由? ?y=x+10, ?
2

解得?

? ?x=-2 ?y=8 ?

或?

? ?x=3 ?y=13 ?

.

∴抛物线与直线的交点坐标为(-2,8)或(3,13). 2 (2)∵y=x +4, x+Δ x2+4-x2+4 ∴y′=Δ lim x→0 Δx 2 Δ x +2x?Δ x =Δ lim =Δ lim (Δ x+2x)=2x. x→0 x→0 Δx ∴y′|x=-2=-4,y′|x=3=6, 即在点(-2,8)处的切线斜率为-4,在点(3,13)处的切线斜率为 6. ∴在点(-2,8)处的切线方程为 4x+y=0; 在点(3,13)处的切线方程为 6x-y-5=0.

43、解: (I)设椭圆方程为

y2 x2 c 2 2 ? 2 ? 1,由已知c ? 2 2 ,又 ? 2 a 3 a b

解得 a=3,所以 b=1,故所求方程为

y2 ? x2 ? 1 9

(II)设直线 l 的方程为 y ? kx ? b( k≠0) 代入椭圆方程整理得

( k 2 ? 9) x 2 ? 2kbx ? b 2 ? 9 ? 0

?? ? (2 kb) 2 ? 4( k 2 ? 9)(b 2 ? 9) ? 0 ? 由题意得 ? 2 kb ? ?1 ? x1 ? x2 ? ? 2 k ?9 ?

解得

k ? 3或k ? ? 3

又直线 l 与坐标轴不平行

故直线 l 倾斜角的取值范围是

? ? ? 2? ( , ) ?( , ) 3 2 2 3

x2 y y 1 ? y 2 ? 1. 由于 x ? ? 2 , 44、 解: 设点 P( x, y) , 则依题意有 整理得 ? ?? , 2 2 x? 2 x? 2 x2 ? y 2 ? 1( x ? ? 2). 所以求得的曲线 C 的方程为 2
45、解析: (1)直线 AB 方程为:bx-ay-ab=0.
?c 6 , ? ? 3 ?a 依题意 ? 3 ? ab ? 2 2 ? 2 ? a ?b
?a ? 3 , ? ?b ? 1

解得

∴ 椭圆方程为

x2 ? y2 ? 1 . 3

? y ? kx ? 2, (2)假若存在这样的 k 值,由 ? 2 得 (1 ? 3k 2 ) x 2 ? 12kx ? 9 ? 0 . 2 ?x ? 3 y ? 3 ? 0


? ? (12k )2 ? 36(1 ? 3k 2 ) ? 0 .



12k ? x1 ? x2 ? ? , ? ? 1 ? 3k 2 设 C ( x1 , y1 ) 、 D( x2 , y 2 ) ,则 ? ?x ? x ? 9 1 2 ? 1 ? 3k 2 ?



而 y1 ? y2 ? (kx1 ? 2)(kx2 ? 2) ? k 2 x1 x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4 . 要使以 CD 为直径的圆过点 E(-1,0) ,当且仅当 CE⊥DE 时,则
y1 ? y2 ? ?1 ,即 x1 ? 1 x2 ? 1

y1 y2 ? ( x1 ? 1)(x2 ? 1) ? 0 .
(k 2 ? 1) x1 x2 ? 2(k ? 1)(x1 ? x2 ) ? 5 ? 0 .
将②式代入③整理解得 k ?
7 7 .经验证, k ? ,使①成立. 6 6



综上可知,存在 k ?

7 ,使得以 CD 为直径的圆过点 E. 6

46、解:曲线 y=3x2-4x+2 在 M(1,1)的斜率
31+Δ x -41+Δ x+2-3+4-2 =liΔ x m (3Δ x+2)=2. →0 Δx ∴过点 P(-1,2)直线的斜率为 2, 由点斜式得 y-2=2(x+1), 即 2x-y+4=0. 所以所求直线方程为 2x-y+4=0.
2

k=y′|x=1=liΔ m x→0

47、 (I)由已知, m ? (0, x) ? ( 2 y 2 , 2), ? ( 2 y 2 , x ? 2),

n ? ( x , 0? ) ( 2 , ?2 x )? ( ? 2 ,
2 m / /n ? , 2 y (? 2 )? x( ?
2

2 ).

2x ) (?

2?)

0

即所求曲线的方程是: x ? y 2 ? 1.
2

? x2 ? y 2 ? 1, (Ⅱ)由 ? 消去y得 : (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4kx ? 0. ?2 ? y ? kx ? 1. ?

? 4k ( x1 , x 2 分别为 M,N 的横坐标) 1 ? 2k 2 4k 4 |? 2, 由 | MN |? 1 ? k 2 | x1 ? x 2 |? 1 ? k 2 | 2 3 1 ? 2k

解得 x1=0, x2=

解得 : k ? ?1. 所以直线 l 的方程 x-y+1=0 或 x+y-1=0.

48、解 ∵|PM|=|PA|,|PM|+|PO1|=4,
∴|PO1|+|PA|=4,又∵|O1A|=2 3<4, ∴点 P 的轨迹是以 A、O1 为焦点的椭圆, ∴c= 3,a=2,b=1, y2 ∴动点 P 的轨迹方程为 x2+ =1. 4

x2 y2 ∴设椭圆的标准方程为 2+ 2=1 (a>b>0). a b ∵2a=10,∴a=5,又∵c=4. ∴b2=a2-c2=52-42=9. x2 y2 故所求椭圆的标准方程为 + =1. 25 9 (2)∵椭圆的焦点在 y 轴上, y2 x2 ∴设椭圆的标准方程为 2+ 2=1 (a>b>0). a b

49、解 (1)∵椭圆的焦点在 x 轴上,

由椭圆的定义知,2a=

?-3?2+?5+2?2+ ? 2? ?2 ?

?-3?2+?5-2?2=3 10+ 10=2 10, ? 2? ?2 ? 2 2
∴a= 10. 又∵c=2,∴b2=a2-c2=10-4=6. y2 x2 故所求椭圆的标准方程为 + =1. 10 6 a ? 50、解 依题意知 H? ?- c ,0?,F(c,0),B(0,b). 设 P(xP,yP),且 xP=c,代入到椭圆的方程, b2 b2 c, ?. 得 yP= .∴P? ? a? a b2 b-0 a ∵HB∥OP,∴kHB=kOP,即 = .∴ab=c2. a2 c 0+ c 2 2 a -c c b - ∴e= = ,∴e2= 2 =e 2-1. a c c ∴e4+e2-1=0.∵0<e<1,∴e= 5-1 . 2
2

51、解

2 2 ? ?4x +y =1, (1)由? 得 5x2+2mx+m2-1=0. ?y=x+m, ?

因为直线与椭圆有公共点, 所以 Δ=4m2-20(m2-1)≥0. 5 5 解得- ≤m≤ . 2 2 (2)设直线与椭圆交于 A(x1,y1)、B(x2,y2), 由(1)知,5x2+2mx+m2-1=0, 2m 由根与系数的关系得 x1+x2=- , 5 1 2 x1x2= (m -1). 5 设弦长为 d,且 y1-y2=(x1+m)-(x2+m)=x1-x2, ∴d= ?x1-x2?2+?y1-y2?2= 2?x1-x2?2 = 2[?x1+x2?2-4x1x2] 4m2 4 2 ? = 2? ? 25 -5?m -1?? 2 = 10-8m2. 5 ∴当 m=0 时,d 最大,此时直线方程为 y=x.

x2 ∴椭圆的标准方程为 +y2=1. 4 (2)设 P(x0,y0),M(x,y),由中点坐标公式,

52、解 (1)∵a=2,c= 3,∴b= a2-c2=1.

x= , ? ? 2 得? 1 y+ 2 ? ?y= 2 ,
0

x0+1

x =2x-1, ? ?0 ∴? 1 ? ?y0=2y-2.

?2x-1?2 ? 1 2 x2 0 2 又∵ +y0 =1,∴ +?2y-2? ? =1 4 4

53、解 以 BC 边所在直线为 x 轴,BC 边中点为原点,建立如图所示坐标系,
则 B(6,0),C(-6,0),CE、BD 为 AB、AC 边上的中线, 则|BD|+|CE|=30. 由重心性质可知

2 |GB|+|GC|= (|BD|+|CE|)=20. 3 ∵B、C 是两个定点,G 点到 B、C 距离和等于定值 20,且 20>12, ∴G 点的轨迹是椭圆,B、C 是椭圆焦点. ∴2c=|BC|=12,c=6,2a=20,a=10, b2=a2-c2=102-62=64, x2 y2 故 G 点的轨迹方程为 + =1, 100 64 去掉(10,0)、(-10,0)两点. x′2 y′2 又设 G(x′,y′),A(x,y),则有 + =1. 100 64 x x′= , 3 由重心坐标公式知 y y′= . 3 x y ? ?2 ? ?2 3 3 故 A 点轨迹方程为 + =1. 100 64 x2 y2 即 + =1,去掉(-30,0)、(30,0)两点. 900 576

? ? ?

15 15 ? 54、解 (1)因直线 x= 4 与渐近线 4x+3y=0 的交点坐标为? ? 4 ,-5?,而 3<|-5|,故双曲线的焦点

? ? ? ? 3 ?? 4 - =1, x y b 在 x 轴上,设其方程为 - =1,由? a a b 4? b ? ?a =? ? 3? ,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

15

?a2=9, ? x2 y2 解得? 2 故所求的双曲线方程为 - =1. 9 16 ? ?b =16. (2)设 F1、F2 为双曲线的两个焦点.依题意,它的焦点在 x 轴上. 因为 PF1⊥PF2,且|OP|=6, 所以 2c=|F1F2|=2|OP|=12,所以 c=6.

π 又 P 与两顶点连线夹角为 , 3 π 所以 a=|OP|· tan =2 3,所以 b2=c2-a2=24. 6 x2 y2 故所求的双曲线方程为 - =1. 12 24

55、解 方法一 (用韦达定理解决)
显然直线 AB 的斜率存在. 设直线 AB 的方程为 y-2=k(x-1), y=kx+2-k ? ? 即 y=kx+2-k,由? 2 y2 ? ?x - 2 =1 得(2-k2)x2-2k(2-k)x-k2+4k-6=0, 当 Δ>0 时,设 A(x1,y1),B(x2,y2), x1+x2 k?2-k? 则 1= = , 2 2-k2 ∴k=1,满足 Δ>0,∴直线 AB 的方程为 y=x+1. 方法二 (用点差法解决) y2 1 x2 1- =1 2 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 , y2 2 2 x2- =1 2 1 两式相减得(x1-x2)(x1+x2)= (y1-y2)(y1+y2). 2 y1-y2 2?x1+x2? ∵x1≠x2,∴ = , x1-x2 y1+y2 2?1?2 ∴kAB= =1,∴直线 AB 的方程为 y=x+1, 2?2 2 y 代入 x2- =1 满足 Δ>0. 2 ∴直线 AB 的方程为 y=x+1.

? ? ?

56、解 方法一 设双曲线的标准方程为a2-b2=1 (a>0,b>0),
由题意知 c2=36-27=9,c=3. 又点 A 的纵坐标为 4,则横坐标为± 15,于是有 ? ? ?a2=4, ?42-?± 15 =1, ? b2 ?a 解得? 2 ? ?b =5. ? ?a2+b2=9, y2 x2 所以双曲线的标准方程为 - =1. 4 5 方法二 将点 A 的纵坐标代入椭圆方程得 A(± 15,4), 又两焦点分别为 F1(0,3),F2(0,-3). 所以 2a=| ?± 15-0?2+?4+3?2- ?± 15-0?2+?4-3?2|=4, 即 a=2,b2=c2-a2=9-4=5, y2 x2 所以双曲线的标准方程为 - =1. 4 5
2 2

y2

x2

57、解 设 A 点的坐标为(x,y),在△ABC 中,由正弦定理,

a b c 1 = = =2R,代入 sin B-sin C= sin A, sin A sin B sin C 2 |AC| |AB| 1 |BC| 得 - = · ,又|BC|=8, 2R 2R 2 2R 所以|AC|-|AB|=4. 因此 A 点的轨迹是以 B、C 为焦点的双曲线的右支(除去右顶点)且 2a=4,2c=8,所以 a=2,c=4,b2 =12. x2 y2 所以 A 点的轨迹方程为 - =1 (x>2). 4 12 得

58、解 设双曲线的标准方程为a2-b2=1,
且 c= 7,则 a2+b2=7.① 2 由 MN 中点的横坐标为- 知, 3 2 5 ? 中点坐标为? ?-3,-3?. 设 M(x1,y1),N(x2,y2),则由

x2

y2

? ?x y ?a -b =1,
2 2 2 2 2 2

2 x2 y1 1 2- 2=1, a b

得 b2(x1+x2)(x1-x2)-a2(y1+y2)(y1-y2)=0. 4 x1+x2=- 3 y1-y2 ∵ ,且 =1, x1-x2 10 y1+y2=- 3

? ? ?

∴2b2=5a2.② 由①,②求得 a2=2,b2=5. x2 y2 ∴所求双曲线的标准方程为 - =1. 2 5 x ? ?a2-y2=1, 59、解 (1)由双曲线 C 与直线 l 相交于两个不同的点得? 有两个不同的解, ?x+y=1 ? 消去 y 并整理得(1-a2)x2+2a2x-2a2=0,① 2 ? ?1-a ≠0, ? ∴ 4 2 2 ? ?Δ=4a +8a ?1-a ?>0, 解得- 2<a< 2且 a≠± 1. 又∵a>0,∴0<a< 2且 a≠1. 1+a2 1 ∵双曲线的离心率 e= = +1, a a2 6 ∴0<a< 2,且 a≠1,∴e> 且 e≠ 2. 2 ∴双曲线 C 的离心率 e 的取值范围是 ? 6, 2?∪( 2,+∞). ?2 ? (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),P(0,1). 5 ∴(x1,y1-1)= (x2,y2-1), 12
2

5 由此可得 x1= x2.∵x1,x2 都是方程①的根, 12 17 2a2 且 1-a2≠0,∴x1+x2= x2=- , 12 1-a2 5 2a2 2a2 289 x1x2= x2 = , 2,消去 x2 得- 2=- 12 1-a 1-a2 60 289 17 即 a2= .又∵a>0,∴a= . 169 13

60、解: (Ⅰ)设抛物线方程为 y 2 ? 2 px ? p ? 0? ,将 M ?1, 2 ? 代入方程得 p ? 2 ,
? 抛物线方程为: y 2 ? 4 x ;
? c=1 ;
2

由题意知椭圆、双曲线的焦点为 F ? ?1,0?1 , F2 ?1,0? , 对于椭圆, 2a ? MF1 ? MF2 ?

?1 ? 1?

2

? 22 ?

?1 ? 1?

?4 ?2?2 2 ;

? ? ? ?

a ?1? 2 a2 ? 1 ? 2

?

?

2

? 3? 2 2

b2 ? a 2 ? c2 ? 2 ? 2 2 椭圆方程为: x2 3? 2 2 ? y2 2?2 2 ?1

对于双曲线, 2a? ? MF1 ? MF2 ? 2 2 ? 2

? ? ? ?

a? ? 2 ? 1 a ?2 ? 3 ? 2 2 b? 2 ? c ? 2 ? a ? 2 ? 2 2 ? 2 双曲线方程为: x2 3?2 2 ? y2 2 2 ?2 ?1

(2)设 AP 的中点为 C , l ? 的方程为: x ? a ,以 AP 为直径的圆交 l ? 于 D, E 两点, DE 中点为 H 令 A ? x1 , y1 ? ,

? x ? 3 y1 ? ? C? 1 , ? 2? ? 2

?

DC ?

1 1 2 AP ? ? x1 ? 3? ? y12 2 2 x1 ? 3 1 CH ? ? a ? ? x1 ? 2a ? ? 3 2 2
2 2 1? 1 2 ? ? ? x1 ? 3? ? y12 ? ? x1 ? 2a ? ? 3? ? ? ? ? 4 4 2 ? ? a - 2 ? x1 ? a ? 3a 2 2 2

?

DH ? DC ? CH ?

当a ? 2时, DH ? ?4 ? 6 ? 2为定值; ? DE ? 2 DH ? 2 2为定值 此时l ?的方程为: x ? 2

61、解 设抛物线方程为 y2=-2px (p>0),

m2=6p, ? ? p ? 则焦点 F? ?-2,0?,由题意,得? m2+?3-p?2=5, ? ? 2? ?

?p=4, ?p=4, 解得? 或? ?m=2 6, ?m=-2 6.
故所求的抛物线方程为 y2=-8x,m=± 2 6. 抛物线的焦点坐标为(-2,0),准线方程为 x=2.

62、 (1)设 A(x1, y1)、B(x2、y2),由|AF|、|MF|、|BF|成等差数列得 x1+x2=2x0.
得线段 AB 垂直平分线方程: y ?

y1 ? y 2 x ? x2 ?? 1 ( x ? x0 ), 2 y1 ? y 2

令 y=0,得 x=x0+4, 所以 N(x0+4, 0). (2)由 M(x0, y0) , N(x0+4, 0), |MN|=4 2 , 得 x0=2. 由抛物线的对称性,可设 M 在第一象限,所以 M(2, 4), N(6,0). 直线 PQ: y=x-6, 由 ?

? y ? x ? 6, 得P(18,12), Q(2,?4), 得△MPQ 的面积是 64. 2 ? y ? 8 x.

63、本小题主要考查直线方程、平面向量及椭圆的几何性质等基本知训,考查综合运用数学知识解决问题
及推理的能力.

x2 y2 (1)解:设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0), F (c,0), a b
则直线 AB 的方程为 y ? x ? c, 代入
2 2 2 2 2 2

x2 y2 ? ?1 a2 b2
2 2

化简得 (a ? b ) x ? 2a cx ? a c ? a b ? 0 . 令 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 则 x1 ? x 2 ?

2a 2 c a 2 c 2 ? a 2b 2 , x x ? . 1 2 a2 ? b2 a2 ? b2

由OA ? OB ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ), a ? (3,?1),OA ? OB与a 共线,得
3( y1 ? y2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? 0.
又y1 ? x1 ? c, y 2 ? x 2 ? c,? 3( x1 ? x 2 ? 2c) ? ( x1 ? x 2 ) ? 0,? x1 ? x 2 ? 2a 2 c 3c 6a 即 2 ? , 所以a 2 ? 3b 2 . ? c ? a 2 ? b 2 ? , 2 2 3 a ?b c 6 故离心率e ? ? . a 3 3c . 2

x2 y2 (2)证明:由(I)知 a ? 3b ,所以椭圆 2 ? 2 ? 1 可化为 x 2 ? 3 y 2 ? 3b 2 . a b
2 2

设OM ? ( x, y),由已知得 ( x, y) ? ?( x1 , y1 ) ? ?( x2 , y2 ),
? ? x ? ?x1 ? ?x 2 , ? ? y ? ?y1 ? ?y 2 .

? M ( x, y ) 在椭圆上,

? (?x1 ? ?x2 ) 2 ? 3(?y1 ? ?y2 ) 2 ? 3b 2 .

2 2 ?2 ( x12 ? 3 y12 ) ? ? 2 ( x2 ? 3 y2 ) ? 2?? ( x1 x2 ? 3 y1 y2 ) ? 3b 2 . ①

由(1)知 x1 ? x 2 ?

3 3 1 c, a 2 ? c 2 , b 2 ? c 2 . 2 2 2

? ?

a 2 c 2 ? a 2b 2 3 2 x1 x2 ? ? c . 8 a2 ? b2 x1 x2 ? 3 y1 y 2 ? x1 ? x 2 ? 3( x1 ? c)(x2 ? c)

? 4 x1 x 2 ? 3( x1 ? x 2 )c ? 3c 2 3 2 9 2 c ? c ? 3c 2 2 2 ? 0. ?
2 2 2 又 x1 ? 3 y12 ? 3b 2 , x2 ? 3 y2 ? 3b 2 又,代入①得

?2 ? ? 2 ? 1.

故 ?2 ? ? 2 为定值,定值为 1.

64、解:设 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ,中点 N (1, y0 )
当 AB 直线的倾斜角 90°时,AB 直线方程是 x ? 1, | AB |? 2. (2 分)
2 2 当 AB 直线的倾斜角不为 90°时, x1 ? y1 相减得 x1 ? x2 ? ( y1 ? y 2 )( y1 ? y2 ) , x2 ? y 2

所以 2 y 0 k AB ? 1即y 0 ?

1 (4 分) 2k 1 ? k ( x ? 1) ,由于弦 AB 与直线 y=1 有公共点,故当 y=1 2k

设 AB 直线方程为: y ? y 0 ? k ( x ? 1)即y ?

1?
时,

1 1 k? 2k ? 1 ? 1即 2 ?0 2 k k

?k ?

1 2

1 ? ? k ( x ? 1) ?y ? 2k ? ?x ? y 2 ?
所以 y1 ? y 2 ? 故 | AB |? 1 ?

故y 2 ?

y 1 ? 2 ?1 ? 0 k 2k

1 k

y1 y 2 ?

1 ? 1, 2k 2

1 1 1 1 | y1 ? y 2 |? (1 ? 2 )[(y1 ? y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 ] ? (1 ? 2 )(4 ? 2 ) 2 k k k k

?k ?

1 1 1 1 1 ,? 2 ? (0, ],?1 ? 2 ? 0,4 ? 2 ? 0 2 k 4 k k

1 1 1? 2 ? 4 ? 2 1 1 k )2 ? 5 ?| AB |? (1 ? 2 )(4 ? 2 ) ? ( k 2 2 k k
故当 1 ?

1 1 ? 4? 2 2 k k

即k ?

6 5 时, | ABmax |? 3 2

65、 (12 分)[解析]:设动圆圆心为 M(x,y) ,半径为 r,则由题意可得 M 到 C(0,-3)的距离与到直线 y=3 的距离相等,
由抛物线的定义可知:动圆圆心的轨迹是以 C(0,-3)为焦点,以 y=3 为准线的一条抛物线,其方程为 x
2

? ?12y .

66、(12 分)[解析]:设抛物线方程为 x 2 ? ?2 py( p ? 0) ,则焦点 F( ?
?m 2 ? 6 p ?m ? 2 6 ?m ? ?2 6 ? ,解之得 ? 或? , ? 2 p 2 p ? 4 p ? 4 m ? ( 3 ? ) ? 5 ? ? ? 2 ?
故所求的抛物线方程为 x
2

p ,0 ) ,由题意可得 2

? ?8 y , m的值为? 2 6

?x ? a2 2 67、 (12 分)[解析]:设 M 的坐标为(x,y) ,A( 2 a , a ) ,又 B (0,3a) 得 ? ? y ? 2a
消去 a ,得轨迹方程为 x

?

y2 4

,即

y 2 ? 4x
y O A' A x
知,

68、 (12 分)[解析]:如图建立直角坐标系,
设桥拱抛物线方程为 x
2

由题意可 ? ?2 py( p ? 0) ,

B

B(4,-5)在抛物线上,所以

p ? 1.6 ,得 x 2 ? ?3.2 y ,
2

当船面两侧和抛物线接触时,船不能通航,设此时船面宽为 AA’ ,则 A( 2, y A ) ,由 2

? ?3.2 y A 得 y A ? ?

5 , 4

又知船面露出水面上部分高为 0.75 米,所以 h ?

y A ? 0.75=2 米

69、(14 分) [解析]:如图建立坐标系,以 l1 为 x 轴,MN 的垂直平分线为 y 轴,点 O 为坐标原点.由题意可知:曲线 C 是
以点 N 为焦点,以 l2 为准线的抛物线的一段,其中 A、B 分别为 C 的端点. 设曲线段 C 的方程为

y 2 ? 2 px( p ? 0), ( xA ? x ? xB , y ? 0) ,

其中 x A , xB 分别为 A、B 的横坐标, 所以, M ( ?

p ? MN .


p p ,0), N ( ,0) . 2 2

AM ? 17 , AN ? 3 得
① ②

( xA ?

p 2 ) ? 2 px A ? 17 2 p ( x A ? ) 2 ? 2 px A ? 9 2

联立①②解得 x A

?

4 p

.将其代入①式并由 p>0 解得 ?

?p ? 4 ?p ? 2 ,或 ? . ?xA ? 1 ?xA ? 2
∴p=4, x A

因为△AMN 为锐角三角形,所以

?p ? 2 p ? x A ,故舍去 ? . 2 ?xA ? 2
2

? 1.

由点 B 在曲线段 C 上,得 x ? BN ? p ? 4 .综上得曲线段 C 的方程为 y 2 B

? 8x(1 ? x ? 4, y ? 0) .

70、(14 分)


[解析]: (Ⅰ)直线 l 的方程为

y ? x ? a ,将 y ? x ? a代入y 2 ? 2 px ,

x 2 ? 2(a ? p) x ? a 2 ? 0 . 设直线 l 与抛物线两个不同交点的坐标为 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ,

?4(a ? p) 2 ? 4a 2 ? 0, ? 则 ? x1 ? x 2 ? 2(a ? p ), ? 2 ? x1 x 2 ? a .
∴ | AB |?

又 y1

? x1 ? a, y2 ? x2 ? a ,

( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 2[( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ] ? 8 p( p ? 2a) .



0 ?| AB |? 2 p, 8 p( p ? 2a) ? 0 , ∴ 0 ? 8 p( p ? 2a) ? 2 p . 解得 ?

p p ?a?? . 2 4

(Ⅱ)设 AB 的垂直平分线交 AB 于点 Q,令坐标为 ( x3 , y 3 ) ,则由中点坐标公式,得

x3 ?
∴ ∴

x1 ? x 2 ? a? p, 2

y3 ?

y1 ? y 2 ( x1 ? a) ? ( x 2 ? a) ? ? p. 2 2

| QM |2 ? (a ? p ? a) 2 ? ( p ? 0) 2 ? 2 p 2 . 又 ?MNQ 为等腰直角三角形,

| QN |?| QM |? 2 p ,

∴ S ?NAB ?

1 | AB | ? | QN | ? 2 p | AB | ? 2 p ? 2 p 2 2 2

? 2 p2

即 ?NAB 面积最大值为 2 p 2

71、解: (1)椭圆 C 的焦点在 x 轴上,由椭圆上的点 A 到 F1、F2 两点的距离之和是 4,得 2a=4,即 a=2. 3 ( )2 3 1 又点 A(1, )在椭圆上,因此 2 ? 2 2 =1 得 b2=3,于是 c2=1. 2 2 b

x2 y2 ? =1,焦点 F1(-1,0) 所以椭圆 C 的方程为 ,F2(1,0). 4 3
(2)设椭圆 C 上的动点为 K(x1,y1) ,线段 F1K 的中点 Q(x,y)满足:

x?

? 1 ? x1 y , y ? 1 , 即 x1=2x+1,y1=2y. 2 2

因此

(2 x ? 1) 2 (2 y) 2 1 2 4y2 ? ? 1 为所求的轨迹方程. =1.即 ( x ? ) ? 4 3 2 3

x2 y2 (3)类似的性质为:若 M、N 是双曲线: 2 ? 2 =1 上关于原点对称的两个点,点 P 是双曲线上任意一 a b
点,当直线 PM、PN 的斜率都存在,并记为 kPM、kPN 时,那么 kPM 与 kPN 之积是与点 P 位置无关的定值.

m2 n2 设点 M 的坐标为(m,n) ,则点 N 的坐标为(-m,-n) ,其中 2 ? 2 =1. a b
又设点 P 的坐标为(x,y) ,由 k PM

?

y?n y?n , k PN ? , x?m x?m

y ? n y ? n y 2 ? n2 b2 2 b2 2 2 b2 2 2 2 ? ? 得 kPM?kPN= ,将 y ? 2 x ? b , n ? 2 m -b 代入得 kPM?kPN= 2 . x ? m x ? m x 2 ? m2 a a a
评述:本题考查椭圆的基本知识,求动点轨迹的常用方法.第(3)问对考生的逻辑思维能力、分析和解决 问题的能力及运算能力都有较高的要求,根据提供的信息,让考生通过类比自己找到所证问题,这是高考 数学命题的方向,应引起注意

72、解 方法一 设以 Q 为中点的弦 AB 端点坐标为
A(x1,y1)、B(x2,y2), 则有 y2 1=8x1,① 2 y2=8x2,② ∵Q(4,1)是 AB 的中点, ∴x1+x2=8,y1+y2=2.③ ①-②,得(y1+y2)(y1-y2)=8(x1-x2).④

将③代入④得 y1-y2=4(x1-x2), y1-y2 即 4= ,∴k=4. x1-x2 ∴所求弦 AB 所在的直线方程为 y-1=4(x-4),即 4x-y-15=0. 方法二 设弦 AB 所在直线方程为 y=k(x-4)+1. ?y2=8x, ? 由? 消去 x, ? ?y=k?x-4?+1, 得 ky2-8y-32k+8=0, 此方程的两根就是线段端点 A、B 两点的纵坐标,由根与系数的关系和中点坐标公式, 8 得 y1+y2= ,又 y1+y2=2,∴k=4. k ∴所求弦 AB 所在的直线方程为 4x-y-15=0.

73、解 设所求抛物线方程为 y2=ax (a≠0).①
直线方程变形为 y=2x+1,② 设抛物线截直线所得弦为 AB. ②代入①,整理得 4x2+(4-a)x+1=0, a-4?2 1? 则|AB|= ?1+22??? ?? 4 ? -4?4?= 15. 解得 a=12 或 a=-4. ∴所求抛物线方程为 y2=12x 或 y2=-4x.

74、解:∵(1) c ? 2
a

3 3

ab ab 3 d ? ? ? .. x y 2 2 , 原点到直线 AB: ? ? 1 的距离 c 2 a ? b a b ? b ? 1, a ? 3.

2 故所求双曲线方程为 x ? y 2 ? 1.

3

(2)把 y ? kx ? 5代入x 2 ? 3 y 2 ? 3 中消去 y,整理得 (1 ? 3k 2 ) x 2 ? 30kx ? 78 ? 0 . 设 C( x1 , y1 ), D( x2 , y2 ), CD 的中点是 E( x0 , y0 ) ,则 x ? x2 15k 5 x0 ? 1 ? ? y0 ? kx0 ? 5 ? , 2 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2 y ?1 1 k BE ? 0 ?? . x0 k

? x0 ? ky0 ? k ? 0,


15k 5k ? ? k ? 0, 又k ? 0,? k 2 ? 7 2 2 1 ? 3k 1 ? 3k

故所求 k=± 7 . 说明:为了求出 k 的值, 需要通过消元, 想法设法建构 k 的方程.

75、解

7 16 (1)当点 A 在抛物线内部时,如图,42<2p·,即 p> 时,|MF|+|MA|=|MA′|+|MA|. 2 7 当 A,M,A′共线时,

p 7 16 (|MF|+|MA|)min=5,故 + =5,∴p=3 满足 p> , 2 2 7 2 ∴抛物线方程为 y =6x. 7 16 (2)当点 A 在抛物线外部或在抛物线上时 42≥2p·,即 0<p≤ 时,连结 AF 交抛物线于 M, 2 7 此时(|MA|+|MF|)最小,即|AF|=5. ?7-p?2+42=5,∴p=1 或 p=13(舍). 即 ?2 2? ∴抛物线方程为 y2=2x. 综上抛物线方程为 y2=6x 或 y2=2x.

76、解 由 y=mx2 (m≠0)可化为 x2=my,
其准线方程为 y=- 1 . 4m 1 1 由题意知- =-2 或- =4, 4m 4m 1 1 解得 m= 或 m=- . 8 16 则所求抛物线的标准方程为 x2=8y 或 x2=-16y.

1

77、解 由 y2=4x,得 p=2,其准线方程为 x=-1,焦点 F(1,0).
设 A(x1,y1),B(x2,y2). 分别过 A、B 作准线的垂线,垂足为 A′、B′. p (1)由抛物线的定义可知,|AF|=x1+ , 2

从而 x1=4-1=3. 代入 y2=4x,解得 y1=± 2 3. ∴点 A 的坐标为 (3,2 3)或(3,-2 3). (2)当直线 l 的斜率存在时, 设直线 l 的方程为 y=k(x-1). ?y=k?x-1? ? 与抛物线方程联立? 2 , ?y =4x ? 消去 y,整理得 k2x2-(2k2+4)x+k2=0, 因为直线与抛物线相交于 A、B 两点, 4 则 k≠0,并设其两根为 x1,x2,则 x1+x2=2+ 2. k 由抛物线的定义可知, 4 |AB|=x1+x2+p=4+ 2>4. k 当直线 l 的斜率不存在时,直线 l 的方程为 x=1,与抛物线相交于 A(1,2),B(1,-2),此时|AB|=4, 所以,|AB|≥4,即线段 AB 的长的最小值为 4.

78、解 焦点 F(2,0),设 A(x1,y1),B(x2,y2),

p

5 若 AB⊥Ox,则|AB|=2p< p,不合题意. 2 所以直线 AB 的斜率存在,设为 k, p 则直线 AB 的方程为 y=k(x- ),k≠0. 2 p ? ?y=k?x-2?, 由? 消去 x,

?y2=2px ?

整理得 ky2-2py-kp2=0. 2p 由韦达定理得,y1+y2= ,y1y2=-p2. k ∴|AB|= ?x1-x2?2+?y1-y2?2 1 = ?1+ 2?· ?y1-y2?2 k 1 = 1+ 2· ?y1+y2?2-4y1y2 k 1 5 =2p(1+ 2)= p. k 2 p p 解得 k=± 2.∴AB 所在的直线方程为 y=2(x- )或 y=-2(x- ). 2 2
2 79、 解 由椭圆方程为 + =1,知长半轴长 a1=3, 短半轴长 b1=2,焦距的一半 c1= a1 -b2 1= 5, 9 4

x2

y2

∴焦点是 F1(- 5,0),F2( 5,0),因此双曲线的焦点也是 F1(- 5,0),F2( 5,0),设双曲线方程 c= 5 ? ? c =a +b x y 为 - =1 (a>0,b>0),由题设条件及双曲线的性质,得? a b c 5 ? ?a= 2
2 2 2 2 2 2 2

?a=2 ? ,解得? , ?b=1 ?

x2 故所求双曲线的方程为 -y2=1. 4

x2 y2 由椭圆 + =1,求得两焦点为(-2,0),(2,0), 8 4 ∴对于双曲线 C:c=2. 又 y= 3x 为双曲线 C 的一条渐近线, b ∴ = 3,解得 a2=1,b2=3, a y2 ∴双曲线 C 的方程为 x2- =1. 3

80、解 设双曲线方程为a2-b2=1.

x2

y2

81、(1)解 ∵A(0,-2),B(0,4),
∴=(-x,-2-y),=(-x,4-y). 则· =(-x,-2-y)· (-x,4-y)=x2+y2-2y-8. 2 2 2 ∴y -8=x +y -2y-8, ∴x2=2y. (2)证明 将 y=x+2 代入 x2=2y, 得 x2=2(x+2),即 x2-2x-4=0, 且 Δ=4+16>0, 设 C、D 两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 则有 x1+x2=2,x1x2=-4.

而 y1=x1+2,y2=x2+2, ∴y1y2=(x1+2)(x2+2) =x1x2+2(x1+x2)+4=4, y1 y2 y1y2 ∴kOC· kOD= · = =-1, x1 x2 x1x2 ∴OC⊥OD.

82、解 (1)设 P(x,y),由椭圆定义可知,点 P 的轨迹 C 是以(0,- 3)、(0, 3)为焦点,长半轴为
2 的椭圆,它的短半轴 b= 22-? 3?2=1, y2 故曲线 C 的方程为 x2+ =1. 4 (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2), y2 ? ?x2+ 4 =1, 联立方程?

? ?y=kx+1.

消去 y 并整理得(k2+4)x2+2kx-3=0. 其中 Δ=4k2+12(k2+4)>0 恒成立. 2k 3 故 x1+x2=- 2 ,x1x2=- 2 . k +4 k +4 若⊥,即 x1x2+y1y2=0. 而 y1y2=k2x1x2+k(x1+x2)+1, 3 3k2 2k2 于是 x1x2+y1y2=- 2 - 2 - 2 +1=0, k +4 k +4 k +4 1 化简得-4k2+1=0,所以 k=± . 2

83、解 (1)将(1,-2)代入 y2=2px,
得(-2)2=2p· 1,所以 p=2. 故所求的抛物线 C 的方程为 y2=4x,其准线方程为 x=-1. (2)假设存在符合题意的直线 l, 其方程为 y=-2x+t. ?y=-2x+t, ? 由? 2 得 y2+2y-2t=0. ? y = 4 x ? 因为直线 l 与抛物线 C 有公共点, 1 所以 Δ=4+8t≥0,解得 t≥- . 2 5 另一方面,由直线 OA 到 l 的距离 d= 5 |t| 1 可得 = ,解得 t=± 1. 5 5 1 1 因为-1?[- ,+∞),1∈[- ,+∞), 2 2 所以符合题意的直线 l 存在,其方程为 2x+y-1=0.

则 b2=a2-c2.因为 PF1⊥PF2, 4 4 所以 kPF1· kPF2=-1,即 · =-1, 3+c 3-c x2 y2 解得 c=5,所以设椭圆方程为 2+ 2 =1. a a -25 9 16 因为点 P(3,4)在椭圆上,所以 2+ 2 =1. a a -25

84、解 (1)令 F1(-c,0),F2(c,0),

解得 a2=45 或 a2=5. 又因为 a>c,所以 a2=5 舍去. x2 y2 故所求椭圆方程为 + =1. 45 20 (2)由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=6 5,① 又|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=100,② ①2-②得 2|PF1|· |PF2|=80, 1 所以 S△PF1F2= |PF1|· |PF2|=20. 2 x2 y2 85、解 (1)设椭圆 C 的方程为a2+b2=1 (a>b>0). 抛物线方程可化为 x2=4y,其焦点为(0,1), 则椭圆 C 的一个顶点为(0,1),即 b=1. a2-b2 2 5 c 由 e= = = . a a2 5 x2 得 a2=5,所以椭圆 C 的标准方程为 +y2=1. 5 (2)易求出椭圆 C 的右焦点 F(2,0), 设 A(x1,y1),B(x2,y2),M(0,y0),显然直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y=k(x-2),代入方程 x2 2 +y =1, 5 得(1+5k2)x2-20k2x+20k2-5=0. 20k2-5 20k2 ∴x1+x2= . 2,x1x2= 1+5k 1+5k2 又=(x1,y1-y0),=(x2,y2-y0),

FA =(x1-2,y1), FB =(x2-2,y2). ∵=m FA ,=n FB ,
x1 x2 ∴m= ,n= , x1-2 x2-2 2x1x2-2?x1+x2? ∴m+n= , 4-2?x1+x2?+x1x2 2 40k -10-40k2 又 2x1x2-2(x1+x2)= 1+5k2 10 =- , 1+5k2 4-2(x1+x2)+x1x2 2 -1 40k2 20k -5 =4- = , 2+ 1+5k 1+5k2 1+5k2 ∴m+n=10.

86、解 将 y=kx-2 代入 y2=8x 中变形整理得:
k2x2-(4k+8)x+4=0, ? ?k≠0 由? ,得 k>-1 且 k≠0. 2 2 ??4k+8? -16k >0 ? 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 4k+8 由题意得:x1+x2= 2 =4?k2=k+2?k2-k-2=0. k 解得:k=2 或 k=-1(舍去), 由弦长公式得: 64k+64 192 |AB|= 1+k2· = 5? =2 15. k2 4

0 0 87、解 设 P 点的坐标为(x,y),M 点的坐标为(x0,y0).∵点 M 在椭圆36+ 9 =1 上,∴36 + =1. 9

x2

y2

x2

y2

∵M 是线段 PP′的中点, x =x, x =x ? ? 2 2 ?0 ?0 x0 y0 ∴? 把 ? 代入 + =1, y y 36 9 y0= , y0= ? ? 2 2 ? ? 2 2 x y 得 + =1,即 x2+y2=36. 36 36 ∴P 点的轨迹方程为 x2+y2=36.

88、解 设 A、B 的坐标分别为 A(x1,y1)、B(x2,y2). 由椭圆的方程知 a2=4,b2=1,c2=3, ∴F( 3,0). 直线 l 的方程为 y=x- 3.① x2 将①代入 +y2=1,化简整理得 4 2 5x -8 3x+8=0, 8 3 8 ∴x1+x2= ,x1x2= , 5 5
∴|AB|= ?x1-x2?2+?y1-y2?2 8 8 8 3?2 = 1+1 ? -4? = . 5 5 ? 5 ?

89、解 设动点 M 的坐标为(x,y).
设∠MAB=β,∠MBA=α,即 α=2β, 2tan β ∴tan α=tan 2β,则 tan α= .① 1-tan2β y y ,tan α= , x+1 2-x 将其代入①式并整理得 3x2-y2=3 (x>0,y>0); (2)如图(2),当点 M 在 x 轴的下方时, -y -y tan β= ,tan α= , x+1 2-x 将其代入①式并整理得 3x2-y2=3 (x>0,y<0); (1)如图(1),当点 M 在 x 轴上方时,tan β=

(3)当点 M 在 x 轴上时,若满足 α=2β,M 点只能在线段 AB 上运动(端点 A、B 除外),只能有 α=β= 0. 综上所述,可知点 M 的轨迹方程为 3x2-y2=3(右支)或 y=0 (-1<x<2).

90、解 由题意,得 F=F1+F2+F3=(i+2j+3k)+(-2i+3j-k)+(3i-4j+5k)=2i+j+7k.
又因为 F=xi+yj+zk,所以 x=2,y=1,z=7. 1 1

91、解 =2=2(+)
1 1 1 1 = (c-b-a)=- a- b+ c. 2 2 2 2

1 =+=-a+ 2 1 =-a+ (+) 2 1 1 =-a- b+ c. 2 2 =+ 1 =++ (+) 2 1 =-a+c+ (-c+b) 2 1 1 =-a+ b+ c. 2 2 1 1 1 = = = a. 2 2 2

92、解

∵PA=AD=AB,且 PA⊥平面 ABCD,AD⊥AB, ∴可设=e1,=e2,=e3. 以 e1、e2、e3 为坐标向量建立空间直角坐标系 Axyz,如图所示. ∵=++ 1 =++ 2 1 =++ (++) 2 1 1 =- e2+e3+ (-e3-e1+e2) 2 2 1 1 =- e1+ e3, 2 2 1 1? ∴=? ?-2,0,2?,==e2=(0,1,0).

93、

解 由 AC⊥α,可知 AC⊥AB, 过点 D 作 DD1⊥α,D1 为垂足, 连结 BD1,则∠DBD1 为 BD 与 α 所成的角,即∠DBD1=30° , ∴∠BDD1=60° , ∵AC⊥α,DD1⊥α,∴AC∥DD1, ∴〈, 〉=60° ,∴〈, 〉=120° . 又=++, ∴||2=(++)2 =||2+||2+||2+2· +2· +2· ∵BD⊥AB,AC⊥AB, ∴· =0,· =0. 故||2=||2+||2+||2+2· =242+72+242+2× 24× 24× cos 120° =625, ∴||=25.

94、证明 设=a,=c,=b,
则=+ 1 = (+) 2 1 = (+) 2 1 1 = (+-)= (-a+b+c), 2 2 =+=+=a+b. 1 ∴· = (-a+b+c)· (a+b) 2 1 = (b2-a2-a· b+a· b+c· a+c· b) 2 1 = (|b|2-|a|2)=0. 2 ∴⊥,即 EF⊥AB1. 同理,EF⊥B1C. 又 AB1∩B1C=B1,∴EF⊥平面 B1AC.

95、解 ka+b=(k-2,5k+3,-k+5),
a-3b=(7,-4,-16). (1)若(ka+b)∥(a-3b), k-2 5k+3 -k+5 则 = = , 7 -4 -16 1 解得 k=- . 3 106 (2)若(ka+b)⊥(a-3b),则(k-2)× 7+(5k+3)× (-4)+(-k+5)× (-16)=0,解得 k= . 3

96、解

以 C 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系 Cxyz,则由已知,得 C(0,0,0),A(1,0,0),B(0,1,0), C1(0,0,2), 1 1 ? P? ?2,2,2?,Q(1,0,1), B1(0,1,2),A1(1,0,2). ∴=(1,-1,1),=(0,1,2), =(1,-1,2),=(-1,1,2), 1 1 ? =? ?2,2,0?. (1)| |= BQ ? BQ = 12+-12+12= 3. (2)∵· =0-1+2=1,||= 3, ||= 02+12+22= 5, 1 15 ∴cos〈, 〉= = . 15 3× 5 又· =0-1+4=3,

||= 1+1+4= 6,||= 5, 3 30 ∴cos〈, 〉= = . 30 10 15 30 又 0< < <1, 15 10 π? ∴〈, 〉 , 〈, 〉∈? ?0,2?. π? 又 y=cos x 在? ?0,2?内单调递减, ∴〈, 〉>〈, 〉 . ?1,1,0?=0, (3)证明 ∵· =(-1,1,2)· ?2 2 ? ∴⊥.

97、解

建立如图所示的空间直角坐标系. (1)由题意得 A(2,0,0),O1(0,0,2),B1(2,3,2),E(1,3,0). ∴=(-2,0,2), =(-1,0,-2), -2 10 ∴cos〈, 〉= =- , 10 2 10 10 ∴AO1 与 B1E 所成角的余弦值为 . 10 (2)由题意得⊥,∥, ∵C(0,3,0),设 D(x,y,0), ∴=(x,y,-2),=(x-2,y,0),=(-2,3,0), 18 -2x+3y=0, x= , ? 13 ? ∴?x-2 y 解得 12 = , ? y= . ? -2 3 13 18 12 ? ∴D? ?13,13,0?, ?18?2+?12?2+4=2 286. ∴O1D=||= ?13? ?13? 13 2 286 即点 O1 到点 D 的距离为 . 13

? ? ?

98、解

如图所示,||=||=||=a,把题中所用到的量都用向量、 、表示,于是=++ 2 1 1 1 2 = +(-)+ (-)=- + + . 3 3 3 3 3 又· =· =·

1 1 =||2cos 60° = ||2= a2, 2 2 ∴· =??

1 2 ? 1 ? AB ? AD ? AC ? · 3 3 ? 3 ? 1 1 2 ? ? ? ? AB ? AD ? AC ? 3 3 ? 3 ?

1 2 4 4 12 42 1 2 1 2 1 2 4 2 5 2 = 2- · - · + · + + = a- a+ a+ a= a. 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 5 5 故||= MN ? MN = a,即|MN|= a. 3 3

99、证明

如图所示,平行六面体 ABCD—A′B′C′D′,设点 O 是 AC′的中点, 1 则= 2 1 = (++). 2 设 P、M、N 分别是 BD′、CA′、DB′的中点. 1 则 AP =+=+ 2 1 =+ (++) 2 1 =+ (-++) 2 1 = (++). 2 1 同理可证:= (++) 2 1 = (++). 2 由此可知 O,P,M,N 四点重合. 故平行六面体的对角线相交于一点,且在交点处互相平分.

100、解

如图所示,分别以, ,为单位正交基底,建立空间直角坐标系 Dxyz,则 D1(0,0,1),B1(1,1,1), 1 ? ?1 ? ? 1 1 ? E? ?1,2,0?,F?2,1,0?,设 M(1,1,m),∴=?-2,2,0?, 1 ? =? ?0,-2,-1?,=(1,1,m-1). 若 D1M⊥平面 EFB1, 则 D1M⊥EF 且 D1M⊥B1E. 即· =0,· =0,

?-2+2+m-×01=0 ∴? 1 ?0-2+1-m=0
101、解

1 1

1 ,∴m= , 2

即存在点 M 且为 B1B 的中点,使 D1M⊥平面 EFB1.

设 E、E1 分别是平行六面体的面 ABCD 与 A1B1C1D1 的中心, 于是有+++=(+)+(+) =2+2=4, 同理可证:+++=4, 又因为平行六面体对角线的交点 O 是 EE1 的中点,所以+ PE1 =2, 所以+++++++=4+4=4(+)=8.

102、解 (1)方法一 取 AA′的中点为 E,
1 则 =. 2

又=,=,取 F 为 D′C′的一个三等分点 2 (D′F= D′C′), 3 2 则= . 3 1 2 ∴ ++ 2 3 =++=. 2 方法二 取 AB 的三等分点 P 使得= , 3 1 2 取 CC′的中点 Q,则 ++ 2 3 1 2 = ++ =++ 2 3 =++=. (2)连结 BD,则 M 为 BD 的中点, =+ 1 3 = + 2 4 1 3 = (+)+ (+) 2 4 1 3 = (-+)+ (+) 2 4 1 1 3 = + + . 2 4 4 1 1 3 ∴α= ,β= ,γ= . 2 4 4

103、解:以 D 为原点,建立如图空间直角坐标系.因为正方体棱长为 a,所以 B(a,a,0) ,A'(a,0, a) , C ' (0,a,a) , D ' (0,0,a) . a a a a a 由于 M 为 BD ' 的中点, 取 A ' C ' 中点 O', 所以 M ( , , ) , O' ( , , a) . 因为 | A ' N |? 3 | NC ' | , 2 2 2 2 2 a 所以 N 为 A ' C ' 的四等分,从而 N 为 O ' C ' 的中点,故 N( , 4 3 a ,a) . 4
根据空间两点距离公式,可得

a a a 3a a 6 | MN |? ( ? )2 ? ( ? )2 ? ( ? a)2 ? a. 2 4 2 4 2 4
104、解 (1) ++=+=.
(2)∵E,F,G 分别为 BC,CD,DB 的中点.

∴=,=. ∴++ =++=. 故所求向量, ,如图所示.

105、解 ①不正确,共线向量即平行向量,只要求两个向量方向相同或相反即可,并不要求两个向
量 AB , CD 在同一条直线上.②不正确,单位向量模均相等且为 1,但方向并不一定相同.③不正 确,零向量的相反向量仍是零向量,但零向量与零向量是相等的.④正确.⑤正确.

106、 解: (1)过 D 作 DE⊥BC,垂足为 E,在 Rt△BDC 中,由∠BDC=90°,∠DCB=30°,BC=2,得 BD=1,
CD=

3 ,∴DE=CD?sin30°=

3 . 2
1 1 ? . 2 2

OE=OB-BE=OB-BD?cos60°=1-

∴D 点坐标为(0,-

1 3 1 3 , ) ,即向量 OD[TX→]的坐标为{0,- , }. 2 2 2 2 3 1 , ,0}, OB ? {0,?1,0}, OC ? {0,1,0} , 2 2 3 3 ,?1, }, BC ? OC ? OB ? {0,2,0} . 2 2

(2)依题意: OA ? {

所以 AD ? OD ? OA ? {?

设向量 AD 和 BC 的夹角为θ ,则

3 3 ? 0 ? (?1) ? 2 ? ?0 1 AD ? BC 2 2 ? ? 10 . ? cosθ = 5 | AD | ? | BC | 3 2 3 (? ) ? (?1) 2 ? ( ) 2 ? 0 2 ? 2 2 ? 0 2 2 2 ?

107、证:如图
分别为

设 SA ? r1 , SB ? r2 , SC ? r3 ,则 SE, SF, SG, SH, SM, SN

1 1 1 1 1 1 r1 , ( r2 ? r3 ) , (r1 ? r2 ) , r3 , (r1 ? r3 ) , r2 ,由条件 EH=GH=MN 得: 2 2 2 2 2 2

(

r2 ? r3 ? r1 2 r ?r ?r r ?r ?r ) ? ( 1 2 3 )2 ? ( 1 3 2 )2 2 2 2

展开得 r1 ? r2 ? r2 ? r3 ? r1 ? r3

∴ r1 ? (r3 ? r2 ) ? 0 ,∵ r1 ≠ 0 , r3 ? r2 ≠ 0 ,

∴ r1 ⊥( r3 ? r2 )即 SA⊥BC. 同理可证 SB⊥AC,SC⊥AB.

108、证明 ∵OB=OC,AB=AC,OA=OA,
∴△OAC≌△OAB.∴∠AOC=∠AOB. ∵· =· (-) =· -· =||||cos∠AOC-||||· cos∠AOB=0,∴OA⊥BC.

109、 (1)证明:∵ AP ? AB =-2-2+4=0,∴AP⊥AB.
又∵ AP ? AD =-4+4+0=0,∴AP⊥AD.

∵AB、AD 是底面 ABCD 上的两条相交直线,∴AP⊥底面 ABCD. (2)解:设 AB 与 AD 的夹角为θ ,则 cosθ =

AB ? AD 8?2 3 ? ? 4 ? 1 ? 16 ? 16 ? 4 105 | AB | ? | AD |

V=

1 2 9 | AB |?| AD |?sinθ ?| AP |= 105 ? 1 ? ? 1 ? 4 ? 1 ? 16 3 3 105

(3)解:|( AB ? AD ) ? AP |=|-4-32-4-8|=48 它是四棱锥 P—ABCD 体积的 3 倍. 猜测:|( AB ? AD ) ? AP |在几何上可表示以 AB、AD、AP 为棱的平行六面体的体积(或以 AB、 AD、AP 为棱的直四棱柱的体积). 评述:本题考查了空间向量的坐标表示、空间向量的数量积、空间向量垂直的充要条件、空间向量的夹 角公式和直线与平面垂直的判定定理、 棱锥的体积公式等.主要考查考生的运算能力, 综合运用所学知识 解决问题的能力及空间想象能力.

110、证明 ∵=2,=2,
∴=2,=2. 又∵=++ 1 1 = ++ (+) 2 2 1 1 = (+)++ (+) 2 2 1 = (+),① 2 又 A,B,C 及 A1,B1,C1 分别共线, ∴=λ=2λ,=ω=2ω. 1 代入①式,得= (2λ+2ω) 2 =λ+ω. ∴, ,共面.∴M,N,P,Q 四点共面.

1

1

111、如图,



建立空间直角坐标系 O—xyz.

(1)依题意得 B(0,1,0) 、N(1,0,1) ∴| BN |=

(1 ? 0) 2 ? (0 ? 1) 2 ? (1 ? 0) 2 ? 3 .

(2)依题意得 A1(1,0,2) 、B(0,1,0) 、C(0,0,0) 、B1(0,1,2) ∴ BA1 ={-1,-1,2}, CB1 ={0,1,2,}, BA1 ? CB1 =3,| BA1 |=

6 ,| CB1 |= 5

∴cos< BA1 , CB1 >=

BA1 ? CB1 1 ? 30 . | BA1 | ? | CB1 | 10

(3) 证明: 依题意, 得 C1 (0, 0, 2) 、 M (

1 1 1 1 , , 2) ,A1 B ={-1, 1, 2},C1 M ={ , , 0}.∴ A1 B ?C1 M = 2 2 2 2



1 1 ? +0=0,∴ A1 B ⊥ C1 M ,∴A1B⊥C1M. 2 2

评述:本题主要考查空间向量的概念及运算的基本知识.考查空间两向量垂直的充要条件.

112、 (1)证明:设 CB = a , CD = b , CC 1 = c ,则| a |=| b |,∵ BD ? CD ? CB = b - a ,
∴ BD ? CC 1 =( b - a ) ? c = b ? c - a ? c =| b |?| c |cos60°-| a |?| c |cos60°=0, ∴C1C⊥BD. (2)解:连 AC、BD,设 AC∩BD=O,连 OC1,则∠C1OC 为二面角α —BD—β 的平面角. ∵ CO

1 1 1 , C1O ? CO ? CC 1 ? ( a + b )- c ? ( BC ? CD ) ? ( a + b ) 2 2 2

∴ CO ? C1O

1 1 ? [ ( a + b )- c ] ? ( a +b ) 2 2

=

1 1 1 ( a 2+2 a ? b + b 2)- a ? c - b ? c 2 2 4 1 1 1 3 3 3 (4+2?2?2cos60°+4)- ?2? cos60°- ?2? cos60°= . 2 2 4 2 2 2
CO ? C1O 3 3 ? 3 ,| C1O |= ,∴cosC1OC= 2 | CO | ? | C1O | 3

=

则| CO |=

(3)解:设

2 CD =x,CD=2, 则 CC1= . x CC1

∵BD⊥平面 AA1C1C,∴BD⊥A1C ∴只须求满足: A1C ? C1 D =0 即可. 设 A1 A = a , AD = b , DC = c , ∵ A1C = a + b + c , C1 D = a - c , ∴ A1C ? C1 D =( a + b + c ) ( a - c )= a 2+ a ? b - b ? c - c 2=

4 2 ? -6, x2 x

令 6-

2 4 2 ? 2 =0,得 x=1 或 x=- (舍去). x x 3

评述:本题蕴涵着转化思想,即用向量这个工具来研究空间垂直关系的判定、二面角的求解以及待定值的 探求等问题.

113、解: (1)略.
(2)如图,建立空间直角坐标系 D—xyz, 则知 B(1,1,0) , E ( ,1,1), F (0,

1 2

1 ,1). 2

设 n ? ( x, y, z)是平面 BDEF的法向量 .
1 由n ? DB , n ? DF , DB ? (1,1,0), DF ? (0, ,1) 2
?n ? DB ? x ? y ? 0 ?x ? ? y 得? 则? ? ? 1 1 z ? ? y. ?n ? DF ? y ? z ? 0 ? 2 ? 2 ?

令 y ? 1, 得n ? (?1,1,? ) . 设点 A1 在平面 BDFE 上的射影为 H,连结 A1D,知 A1D 是平面 BDFE 的斜线段.
1 3 ? A1 D ? (?1,0,?1),? AD ? n ? (?1)( ?1) ? 0 ? 1 ? (?1)( ? ) ? . 2 2
1 3 又 ?| A1 D |? (?1) 2 ? O 2 ? (?1) 2 ? 2 , | n |? (?1) 2 ? 12 ? (? ) 2 ? , 2 2 3 A1 D ? n 2 ? cos ? A1 D, A1 H ?? ? 2 ? . 3 2 | A1 D | ? | n | 2? 2 2 ?| A1 H |?| A1 D | ? cos ? A1 D, A1 H ?? 2 ? ? 1. 2

1 2

即点 A1 到平面 BDFE 的距离为 1. (3)由(2)知,A1H=1,又 A1D= 2 ,则△A1HD 为等腰直角三角形,

?A1 DH ? ?DA1 H ? 45?
? A1 H ? 平面BDFE, HD是A1 D在平面BDFE上的射影, ? ?A1 DH就是直线A1 D与平面BDFE所成的角 , ? ?A1 DH ? 45?.

z D1 A1 B1 D A x B C y 解:如图建立空间直角坐标系, A1C1 =(-1,1,0) , A1 B =(0, C1

114、
1,-1)

设 n1 、 n2 分别是平面 A1BC1 与平面 ABCD 的法向量, 由

n1 ? A1 B ? 0 n1 ? A1C1 ? 0

可解得 n1 =(1,1,1)

易知 n2 =(0,0,1) , 所以, cos n1 , n2 ?

n1 ? n2 n1 ? n2



3 3

所以平面 A1BC1 与平面 ABCD 所成的二面角大小为 arccos

3 3 或 ? -arccos . 3 3

注:用法向量的夹角求二面角时应注意:平面的法向量有两个相反的方向,取的方向不同求 出来的角度当然就不同,所以最后还应该根据这个二面角的实际形态确定其大小.

115、 (1)证明:∵PA⊥平面 ABCD,∴PA⊥AB,又 AB⊥AD.∴AB⊥平面 PAD.又∵AE⊥PD,∴PD⊥
平面 ABE,故 BE⊥PD. (2)解:以 A 为原点,AB、AD、AP 所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,则点 C、D 的坐标分别 为(a,a,0) , (0,2a,0) . ∵PA⊥平面 ABCD,∠PDA 是 PD 与底面 ABCD 所成的角,∴∠PDA=30°. 于是,在 Rt△AED 中,由 AD=2a,得 AE=a.过 E 作 EF⊥AD,垂足为 F,在 Rt△AFE 中,由 AE=a,∠ EAF=60°,得 AF=

a 3 1 3 ,EF= a,∴E(0, a, a) 2 2 2 2

于是, AE

1 3 ? {0, a, a}, CD ={-a,a,0} 2 2

设 AE 与 CD 的夹角为θ ,则由

cosθ =

AE ? CD | AE | ? | CD |

1 3 0 ? (?a) ? a ? a ? a?0 2 2 2 ? 4 1 3 2 0 2 ? ( a) 2 ? ( a) ? (?a) 2 ? a 2 ? 0 2 2 2

AE 与 CD 所成角的余弦值为

2 . 4

评述:第(2)小题中,以向量为工具,利用空间向量坐标及数量积,求两异面直线所成的角是立体几何 中的常见问题和处理手段.

z D1 A1 C1

B1

D A

y C E B

116、解:

x

建立坐标系如图,则 A ? 2,0,0? 、 B ? 2,2,0 ? , C ? 0,2,0 ? ,

A1 ? 2,0,2? , B1 ? 2,2,2? , D1 ? 0,0,2? , E ? 2,1,0? , AC ? ? ?2,2, ?2? , 1
D1E ? ? 2,1, ?2? , AB ? ? 0,2,0? , BB1 ? ? 0,0,2? .
(Ⅰ)不难证明 A1C 为平面 BC1D 的法向量, ∵ cos A1C , D1 E ?

? 3 9 A1C D1 E

A1C D1 E

∴ D1E 与平面 BC1D 所成的角的大小为

? ?a r c c o s 3 (即 arcsin 3 ) . 2 9 9

(Ⅱ) A1C 、 AB 分别为平面 BC1D、BC1C 的法向量, ∵ cos A1C , AB ?

? 3 ,∴ 二面角 D-BC1-C 的大小为 arccos 3 . 3 3 A1C AB

A1C AB

(Ⅲ)∵ B1D1∥平面 BC1D,∴ B1D1 与 BC1 之间的距离为 d ?

A1C BB1 A1C

?2 3. 3

117、(证明(1)用纯粹的几何方法要辗转证明EF∥AC,EG∥B1C,FG∥AB1来证明,而我们借用向量
法使问题代数化,运算简洁,思路简单明了.) (1)分析:要证平面EFG平面ACB1,由题设知只要证BD1垂直平面ACB1即可.

证明:以D为坐标原点,建立空间直角坐标系,如图5,不妨设正方体棱长为a,则A(a,0,0) ,B(a, a,0) ,C(0,a,0) ,D1(0,0,a) ,B1(a,a,a) ,E(xE,0,a) ,F(0,yF,a) ,G(0,0,zG) . ∴ BD1 =(-a,-a,a) , AB1 =(0,a,a) , EF (-xE,yF,0) , AC =(-a,a,0) , B1C =(-a, 0,-a) , ∵ BD1 ? AB 1 =(-a,-a,a)?(0,a,a)=0, ∴ BD1 ⊥ AB1 , 同理 BD1 ⊥ AC , 而 AB1 与
? ? ?
?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

AC
?

不共线且相交于点A,
?

∴ BD1 ⊥平面ACB1,又已知 BD1 ⊥平面EFG, ∴ 平面EFG∥平面ACB1; 又因为 BD1 ⊥平面EFG,所以 BD1 ⊥ EF , 则 BD1 ? EF =0, 即 (-a,-a,a)?(-xE,yF,0)=0, 化简得 xE-yF=0; 同理 易得 xE-zG=0, yF-zG=0,
? ? ?

?

D1 E A1 P G D

z

F O1 B1 J

?

C1

K

y C B

EF

?

=

EF

?

=

FG

?

x A


O

图 5*

∴ △EFG为正三角形. (2)解:因为△EFG是正三角形,显然当△EFG与△A1C1D重合时,△EFG的边最长,其面积也最大,此 时, EF =A1C1= 2 ?a, ∴ S ?EFG = S ?A C D 1 1 =

1 2

A1C1 · A1 D ?sin600

?

?

=

1 3 ( 2 ?a)2? 2 2

=

3 ?a2 . 2

此时EF与B1C的距离即为A1C1与B1C的距离,由于两异面直线所在平面平行,所求距离转化为求点B1到平 面 A1C1D的距离,记A1C1与B1D1交于点O1,作O1H∥D1B并交BB1于点H,则O1H⊥平面A1C1D,垂足为O1,则 O1(
? a a a , ,a),H(a,a, ),而 O1 H 作为平面A1C1D的法向量, 2 2 2

所以异面直线EF与B1C的距离设为d是

a2 a2 ? ) ? O1 H 4 = 3 ?a. d = O1 B1 · ? = 4 3 3a 2 O1 H 4
?

(

(证明(2)时一般要找到求这两平面距离的两点,如图 5*,而这两点为 K 与 J,在立体图形中较难确定, 且较难想到通过作辅助线 DO1,OB1 来得到,加上在如此复杂的空间图形中容易思维混乱,但只要借助平 面法向量求线段的射影长度的思想,结合题设,使思路清晰明了,最终使问题的解决明朗化;把握这种思 想,不管是空间线线距离,线面距离,面面距离问题,一般我们都能转化成点线或点面距离,再借助平面 法向量很好地解决了.)

118、



由题设条件知,可建立以 AD 为 x 轴,AB 为 y 轴,AS 为 z 轴的空间直角坐标系(如图所示). 1 ? 设 AB=1,则 A(0,0,0),B(0,1,0),C(1,1,0),D? ?2,0,0?,S(0,0,1). ∴=(0,0,1),=(-1,-1,1). 显然是底面的法向量,它与已知向量的夹角 β=90° -θ, 1 3 = , 3 1× 3

故有 sin θ=|cos β|= 于是 cos θ= 1-sin2θ= 6 . 3



z D1 A1 F D M C B 证明:如图建立空间直角坐标系, E B1 y C1

119、

x

A

则 A1C1 =(-1,1,0) , B1C =(-1,0,-1) , A1 D =(1,0,1)

B1 A =(0,-1,-1)

设 A1 E ? ? A1C1 , A1 F ? ? A1 D , B1 M ? ? B1 A ( ? 、 ? 、 设 n1 、 n2 分别是平面 A1EF 与平面 B1MC 的法向量,

? ? R ,且均不为 0)



n1 ? A1 E ? 0 n1 ? A1 F ? 0

可得

n1 ? ? A1C1 ? 0



n1 ? A1C1 ? 0 n1 ? A1 D ? 0

n1 ? ? A1 D ? 0

解得: n1 =(1,1,-1) 由

n2 ? B1M ? 0 n2 ? B1C ? 0

可得

n 2 ?? B1 A ? 0



n2 ? B1 A ? 0 n2 ? B1C ? 0

n2 ? B1C ? 0

解得 n2 =(-1,1,-1) ,所以 n1 =- n2 , 所以平面 A1EF∥平面 B1MC.

n1 ∥ n2 ,

注:如果求证的是两个平面垂直,也可以求出两个平面的法向量后,利用 n1 ⊥ n2 ? n1 ? n2 ? 0 来证明.

120、证明

如图,取 AB1 的中点 M, 则=++. 又=++, 两式相加得 2=+ =+. 由于 2· =(+)· =0, 2· =(+)· (-) =||2-||2=0. ∴DM⊥AA1,DM⊥AB,AA1∩AB=A, ∴DM⊥平面 ABB1A1,而 DM?平面 AB1D. ∴平面 AB1D⊥平面 ABB1A1.

121、

(1)证明 设 PA=1,以 A 为原点,AB,AC,AP 所在直线分别为 x,y,z 轴正向建立空间直角坐标系 如图所示, 1 则 P(0,0,1),C(0,1,0),B(2,0,0),M(1,0, ), 2 1 1 N( ,0,0),S(1, ,0). 2 2 1 1 1 所以=(1,-1, ),=(- ,- ,0). 2 2 2

1 1 因为 =- + +0=0,所以 CM⊥SN. 2 2 1 (2)解 =(- ,1,0), 2 设 a=(x,y,z)为平面 CMN 的一个法向量,则

?x-y+2z=0, 即? 1 ?-2x+y=0.

1

令 x=2,得 a=(2,1,-2).

因为|cos〈a, 〉|= 所以 SN 与平面 CMN 所成的角为 45° .



122、证明

取 O 为坐标原点,以 OA,OC 所在的直线为 x 轴,z 轴,建立空间直角坐标系 Oxyz(如图所示). 设 A(1,0,0),C(0,0,1), 1 3 B?- , ,0?. ? 2 2 ? 1 1? ∵P 为 AC 中点,∴P? ?2,0,2?. 3 3 ∵=?- , ,0?, ? 2 2 ? 1 1 3 又由已知,可得= =?- , ,0?, 3 ? 2 6 ? 1 3 又=+=? , ,0?, ?2 6 ? 3 1 ∴=-=?0, ,- ?. 6 2? ? 3 1 ∴· =?0, ,- ?· (1,0,0)=0, 6 2? ? 故⊥,即 PQ⊥OA.

123、解 方法一 当 F 是棱 PC 的中点时,BF∥平面 AEC.
1 1 ∵=+ =+ (+) 2 2 1 3 =+ (-)+ (-) 2 2 3 1 = - . 2 2 ∴、 、共面. 又 BF?平面 AEC, ∴BF∥平面 AEC.

方法二

如图,以 A 为坐标原点,直线 AD、AP 分别为 y 轴、z 轴,过 A 点垂直于平面 PAD 的直线为 x 轴,建 立空间直角坐标系. 由题意,知相关各点的坐标分别为 A(0,0,0), 3 1 3 1 B? a,- a,0?,C? a, a,0?, 2 2 ?2 ? ?2 ? 2 1 ? D(0,a,0),P(0,0,a),E? ?0,3a,3a?. 2 1 ? ? 3 1 ? 所以=? ?0,3a,3a?,=? 2 a,2a,0?, 3 1 =(0,0,a),=? a, a,-a?, 2 ?2 ? =?- 3 1 ?. ? 2 a,2a,a? 设点 F 是棱 PC 上的点, 3 1 =λ=? aλ, aλ,-aλ?,其中 0<λ<1, 2 ?2 ? 则=+ 3 1 =? aλ-1, a1+λ,a1-λ?, 2 ?2 ? 令=λ1+λ2

? ?1+λ=λ +4λ , 3 即? 1 ? ?1-λ=3λ .
1 2 2

λ-1=λ1,

1 1 3 解得 λ= ,λ1=- ,λ2= , 2 2 2 1 1 3 即 λ= 时,=- + , 2 2 2 即 F 是 PC 的中点时, 、 、共面. 又 BF?平面 AEC,所以当 F 是棱 PC 的中点时, BF∥平面 AEC.

124、证明

如图,以平面 ABC 内垂直于 AC 的直线为 x 轴, 、所在直线为 y 轴、z 轴,则 A(0,0,0),B1? M? 1 3 3 ? 0,1, ?. , ,0 ,N? 4? ?4 4 ? ? 3 1 3 1 1 ∴=? , ,1?,=?- , , ?. 2 2 4 4 4? ? ? ? 3 1 1 ∴· =- + + =0, 8 8 4 ∴⊥,即 AB1⊥MN.

3 1 ? , ? 2 ,2,1?

125、解

如图所示,以 C 为原点,CB、CD、CG 所在直线分别为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系 Cxyz. 由题意知 C(0,0,0),A(4,4,0),B(4,0,0),D(0,4,0),E(4,2,0),F(2,4,0), G(0,0,2). =(0,2,0),=(4,2,-2),=(-2,2,0). 设平面 GEF 的法向量为 n=(x,y,z),
? ?2x+y-z=0,

则有

?-x+y=0. ? 令 x=1,则 y=1,z=3,∴n=(1,1,3). 点 B 到平面 EFG 的距离为

即?

126、解 ∵A(1,2,3),B(2,0,-1),C(3,-2,0),
∴=(1,-2,-4),=(2,-4,-3), 设平面 α 的法向量为 n=(x,y,z). 依题意,应有 n· =0,n· =0. ?x-2y-4z=0 ?x=2y ? ? 即? ,解得? . ?2x-4y-3z=0 ?z=0 ? ? 令 y=1,则 x=2. ∴平面 α 的一个法向量为 n=(2,1,0).

127、证明 建立如图所示的空间直角坐标系 Cxyz.
方法一 ∵∠PBC=30° ,PC=2, ∴BC=2 3,PB=4.

于是 D(1,0,0),C(0,0,0),A(4,2 3,0),P(0,0,2). ∵PB=4PM,∴PM=1, 3 3 M?0, , ?. 2 2? ? 3 3 ∴=?0, , ?,=(-1,0,2),=(3,2 3,0).设=x+y,其中 x,y∈R. 2 2? ? 3 3 则?0, , ?=x(-1,0,2)+y(3,2 3,0). 2 2? ?

?2 3y= 3 2 ∴? ?2x=3 2

-x+3y=0 3 1 ,解得 x= ,y= . 4 4

3 1 ∴= + ,∴, ,共面. 4 4 ∵CM?平面 PAD,∴CM∥平面 PAD. 3 3 方法二 由方法一可得=?0, , ?,=(-1,0,2),=(3,2 3,0).设平面 PAD 的法向量为 n=(x,y, 2 2? ? z),

则有

?-x+2z=0 ,即? . ?3x+2 3y=0

1 3 令 x=1,解得 z= ,y=- . 2 2 3 1 故 n=?1,- , ?. 2 2? ? 3 3 ? 3 1? 又∵· n=?0, , ?· 1,- , =0. 2 2? ? 2 2? ? ∴⊥n,又 CM?平面 PAD. ∴CM∥平面 PAD.

128、证明 方法一 ∵=,B1?A1D,
∴B1C∥A1D,又 A1D?平面 ODC1, ∴B1C∥平面 ODC1. 方法二 ∵=+ =+++=+. ∴, ,共面. 又 B1C?平面 ODC1,∴B1C∥平面 ODC1. 方法三

建系如图,设正方体的棱长为 1,则可得 B1(1,1,1),C(0,1,0), 1 1 ? O? ?2,2,1?,C1(0,1,1), =(-1,0,-1), 1 1 - ,- ,-1?, =? 2 ? 2 ? 1 1 ? =? ?-2,2,0?. 设平面 ODC1 的法向量为 n=(x0,y0,z0),



?-2x -2y -z =0, 得? 1 1 ?-2x +2y =0, ②
0 0 0 0 0

1

1



令 x0=1,得 y0=1,z0=-1,∴n=(1,1,-1). 又· n=-1× 1+0× 1+(-1)× (-1)=0, ∴⊥n,且 B1C?平面 ODC1, ∴B1C∥平面 ODC1.

129、

证明 如图所示,以 A 为坐标原点,射线 AB、AD、AP 分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正半轴,建立空间 直角坐标系 Axyz. 设 D(0,a,0), 则 B( 2,0,0),C( 2,a,0), 2 2 P(0,0, 2),E( ,0, ). 2 2 2 2 于是=( ,0, ), =(0,a,0), 2 2 =( 2,a,- 2), 则· =0,· =0. 所以 AE⊥BC,AE⊥PC. 又因为 BC∩PC=C,所以 AE⊥平面 PBC.

130、解: (I)建立如图所示的空间直角坐标系,则 D(0,0,0) , B(2, 4,0)

A(2,0,0), C(0, 4,0), E(2, 4,1), C1 (0, 4,3) 设 F (0,0, z)
∵ AEC1F 为平行四边形,

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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?由AEC1 F为平行四边形 , ?由AF ? EC1得, (?2,0, z ) ? (?2,0,2), ? z ? 2. ? F (0,0,2). ? EF ? (?2,?4,2). 于是 | BF |? 2 6 , 即BF的长为2 6 .
(II)设 n1 为平面 AEC1F 的法向量,

显然n1不垂直于平面 ADF, 故可设n1 ? ( x, y,1)
? ?n1 ? AE ? 0, ?0 ? x ? 4 ? y ? 1 ? 0 由? 得? ?? 2 ? x ? 0 ? y ? 2 ? 0 ? n ? AF ? 0 , ? 1
? x ? 1, ?4 y ? 1 ? 0, ? 即? ?? 1 ?? 2 x ? 2 ? 0, ? y ? ? . 4 ?

又CC1 ? (0,0,3),设CC1与n1 的夹角为 ? ,则
cos? ? CC1 ? n1 | CC1 | ? | n1 | ? 3 3? 1? 1 ?1 16 ? 4 33 . 33

∴ C 到平面 AEC1F 的距离为

d ?| CC1 | cos? ? 3 ?

4 33 4 33 ? . 33 11

131、解: (I)以 B 为原点, BB1 、 BA 分别为 y, z 轴建立空间直角坐标系
由于, AB ?

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2, BB1 ? 2, BC ? 1, ?BCC1 ?

?
3

在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中有

B(0,0,0), A(0,0, 2), B1(0,2,0) ,
C( 3 1 3 3 ,? ,0), C1 ( , ,0) 2 2 2 2

设 E(

3 , a,0),由EA ? EB1 , 得EA ? EB1 ? 0,即 2

0 ? (?
?

3 3 , ? a, 2 ) ? ( ? ,2 ? a,0) 2 2

3 3 ? a(a ? 2) ? a 2 ? 2a ? , 4 4

1 3 1 3 3 1 得(a ? )(a ? ) ? 0,即a ? 或a ? (舍去),故E ( , ,0) 2 2 2 2 2 2 3 1 3 3 3 3 BE ? EB1 ? ( , ,0) ? (? ? ? 0) ? ? ? ? 0,即BE ? EB1 . 2 2 2 2 4 4
又 AB ? 侧面 BB1C1C ,故 AB ? BE 则 | BE |?
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因此 BE 是异面直线 AB, EB1 的公垂线,

3 1 ? ? 1 ,故异面直线 AB, EB1 的距离为1 4 4

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(II) 由已知有 EA ? EB1 , B1 A1 ? EB1 , 故二面角 A ? EB1 ? A1 的平面角 ? 的大小为向量 B1 A1与EA 的 夹角
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因B1 A1 ? BA ? (0,0, 2 ), EA ? (? 故 cos? ? 即 tan? ? EA ? B1 A1 | EA || B1 A1 | 2 . 2 ? 2 3 ,

3 1 ,? , 2 ), 2 2

132、解: (Ⅰ)以 D 为原点, DA 、 DC 、 DP 分别为
x, y, z 轴建立空间直角坐标系
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由已知可得 D(0,0,0), P(0,0, 2), C(0, 2,0) 设 A( x,0,0)(x ? 0),则B( x,2,0),

1 1 3 E ( x, ,0), PE ? ( x, ,? 2 ), CE ? ( x,? ,0). 2 2 2
即 x2 ?

由 PE ? CE得PE ? CE ? 0 ,

3 1 3 3 3 3 ? 0, 故x ? . 由 DE ? CE ? ( , ,0) ? ( ,? ,0) ? 0得DE ? CE , 2 2 2 2 4 2

又 PD ? DE ,故 DE 是异面直线 PD 与 CE 的公垂线,易得 | DE |? 1 ,故异面直线

PD , CE 的距离为 1

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(Ⅱ)作 DG ? PC ,可设 G(0, y, z ) 即z?

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由 DG ? PC ? 0 得 (0, y, z) ? (0,2,? 2 ) ? 0

2 y, 故可取DG ? (0,1, 2 ), 作 EF ? PC 于 F ,设 F (0, m, n) ,

则 EF ? (?

3 1 , m ? , n). 2 2 3 1 , m ? , n) ? (0, 2, ? 2) ? 0, 即2m ? 1 ? 2n ? 0 , 2 2 2 2 3 1 2 m ? 2, 故m ? 1, n ? , EF ? (? , , ). 2 2 2 2 2
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由 EF ? PC ? 0得(?

又由 F 在 PC 上得 n ? ?

因 EF ? PC, DG ? PC, 故 E ? PC ? D 的平面角 ? 的大小为向量 EF与DG 的夹角 故 cos ? ?

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DG ? EF 2 ? ? ,? ? , 4 | DG || EF | 2

即二面角 E ? PC ? D 的大小为

? . 4

133、解:以 D 为坐标原点,直线 DA, DC, DD1 分别为 x, y, z 轴,建立空间直角坐标系,设 AE ? x ,
则A 1 (1,0,1), D 1 (0,0,1), E(1, x,0), A(1,0,0), C (0, 2,0) (1) 因为DA ,0,1), (1, x,?1) ? 0, 所以DA1 ? D1 E. 1, D 1 E ? (1 (2)因为 E 为 AB 的中点,则 E (1,1, 0) ,从而 D1 E ? (1,1,?1), AC ? (?1,2,0) ,

? ?n ? AC ? 0, AD1 ? (?1,0,1) ,设平面 ACD1 的法向量为 n ? (a, b, c) ,则 ? ? ?n ? AD1 ? 0,
也即 ?

?? a ? 2b ? 0 ?a ? 2b ,得 ? ,从而 n ? (2,1,2) ,所以点 E 到平面 ACD1 的距离为 ?? a ? c ? 0 ?a ? c
? 2 ?1? 2 1 ? . 3 3

h?

| D1 E ? n | |n|

(3)设平面 D1EC 的法向量 n ? (a, b, c) ,∴ CE ? (1, x ? 2,0), D1C ? (0,2,?1), DD1 ? (0,0,1), 由?

? ?n ? D1C ? 0,

?2b ? c ? 0 ?? 令 b ? 1,? c ? 2, a ? 2 ? x , a ? b( x ? 2) ? 0. ? ? n ? CE ? 0 , ?

∴ n ? (2 ? x,1,2). 依题意 cos

?
4

?

| n ? DD1 | | n | ? | DD1 |

?

2 2 2 ? ? . 2 2 ( x ? 2) 2 ? 5
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∴ x1 ? 2 ? 3 (不合,舍去) , x2 ? 2 ? 3

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∴ AE ? 2 ? 3 时,二面角 D1 ? EC ? D 的大小为

? 4

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134、解 ∵=+=2+4
1 3 = (-)+ (-) 2 4 1 3 = (-)+ (+) 2 4 1 1 3 3 = - + + 2 2 4 4 1 1 3 = + + , 2 4 4 1 1 3 ∴α= ,β= ,γ= . 2 4 4

1

3

135、(1)证明 连结 BD,AC,设 BD 与 AC 交于 O.

由底面是菱形,得 BD⊥AC. ∵SB=SD,O 为 BD 中点, ∴BD⊥SO. 又 AC∩SO=O, ∴BD⊥面 SAC. 又 AE?面 SAC,∴BD⊥AE. (2)解 由(1)知 BD⊥SO, 同理可证 AC⊥SO,∴SO⊥平面 ABCD.

取 AC 和 BD 的交点 O 为原点建立如图所示的坐标系,设 SO=x, 则 OA= 4a2-x2,OB= 2a2-x2. ∵OA⊥OB,AB=2a, ∴(4a2-x2)+(2a2-x2)=4a2,解得 x=a. ∴OA= 3a,则 A( 3a,0,0),C(- 3a,0,0),S(0,0,a). ∵SC⊥平面 EBD,∴是平面 EBD 的法向量. ∴=(- 3a,0,-a),=( 3a,0,-a). 设 SA 与平面 BED 所成角为 α,

则 sin α=



1 = , 3+1a· 3+1a 2

|-3a2+a2|

π 即 SA 与平面 BED 所成的角为 . 6

136、解 a==(-1,1,2)-(-2,0,2)=(1,1,0),
b==(-3,0,4)-(-2,0,2)=(-1,0,2).

10 a· b -1+0+0 (1)cos θ= = =- , |a|b| 10 2? 5 10 . 10 (2)ka+b=(k,k,0)+(-1,0,2)=(k-1,k,2), ka-2b=(k,k,0)-(-2,0,4)=(k+2,k,-4), ∴(k-1,k,2)· (k+2,k,-4) =(k-1)(k+2)+k2-8=0. 5 即 2k2+k-10=0,∴k=- 或 k=2. 2 ∴a 与 b 的夹角 θ 的余弦值为-

137、证明:以 A 为坐标原点 AD 长为单位长度,如图建立空间直角坐标系,则各点坐标为 1 A(0, 0, 0), B(0, 2, 0), C (1,1, 0), D(1, 0, 0), P(0, 0,1), M (0,1, ) 2
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(Ⅰ)证明:因 AP ? (0,0,1), DC ? (0,1,0),故AP ? DC ? 0, 所以AP ? DC. 由题设知 AD ? DC ,且 AP 与 AD 是平面 PAD 内的两条相交直线,由此得 DC ? 面 PAD 面 PCD 上,故面 PAD ⊥面 PCD
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又 DC 在

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(Ⅱ)解:因 AC ? (1,1,0), PB ? (0,2,?1),

故 | AC |? 2 , | PB |? 5 , AC ? PB ? 2, 所以 cos ? AC, PB ?? AC ? PB | AC | ? | PB | ? 10 . 5

(Ⅲ)解:在 MC 上取一点 N ( x, y, z ) ,则存在 ? ? R, 使 NC ? ? MC,

1 1 NC ? (1 ? x,1 ? y,? z ), MC ? (1,0,? ),? x ? 1 ? ? , y ? 1, z ? ?.. 2 2 1 4 要使 AN ? MC , 只需 AN MC ? 0即x ? z ? 0, 解得? ? . 2 5

4 1 2 可知当? ? 时, N点坐标为( ,1, ),能使 AN ? MC ? 0. 5 5 5 1 2 1 2 此时, AN ? ( ,1, ), BN ? ( ,?1, ), 有 BN ? MC ? 0 5 5 5 5

由AN ? MC ? 0, BN ? MC ? 0得AN ? MC, BN ? MC.所以?ANB 为
所求二面角的平面角
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30 30 4 ,| BN |? , AN BN ? ? . 5 5 5 AN BN 2 ? cos( AN , BN ) ? ?? . 3 | AN | ? | BN | 2 故所求的二面角为 arccos(? ). 3 | AN |?
138、 (Ⅰ)证明:不防设作 A(1, 0, 0) ,

则 B(1,1, 0) , V ( ,0,

1 2

3 ), 2

1 3 AB ? (0,1,0),VA ? ( ,0,? ) 2 2
由 AB ? VA ? 0, 得 AB ? VA ,又 AB ? AD ,因而 AB 与平面 VAD 内两条相交直线 VA , AD 都垂直
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∴ AB ? 平面 VAD

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(Ⅱ)解:设 E 为 DV 中点,则 E ( ,0,

1 4

3 ), 4

3 3 3 3 1 3 EA ? ( ,0,? ), EB ? ( ,1,? ), DV ? ( ,0, ). 4 4 4 4 2 2
由 EB ? DV ? 0, 得EB ? DV , 又EA ? DV. 因此, ?AEB 是所求二面角的平面角,

cos( EA, EB ) ?

EA ? EB | EA | ? | EB |

?

21 , 7

解得所求二面角的大小为 arccos 21 . 7

139、解: (Ⅰ)建立如图所示的空间直角坐标系,
则 A, B, C, D, P, E 的坐标为 A(0, 0, 0) 、

B( 3,0,0) 、 C ( 3,1,0) 、 D(0,1, 0) 、
1 P(0, 0, 2) 、 E (0, ,1) , 2
从而 AC ? ( 3,1,0), PB ? ( 3,0,?2). 设 AC与PB 的夹角为 ? ,则

cos ? ?

AC ? PB | AC | ? | PB |

?

3 2 7

?

3 7 , 14

∴ AC 与 PB 所成角的余弦值为

3 7 14

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(Ⅱ)由于 N 点在侧面 PAB 内,故可设 N 点坐标为 ( x,0, z) ,则

1 NE ? (? x, ,1 ? z ) ,由 NE ? 面 PAC 可得, 2

? ? NE ? AP ? 0, ? ? ? NE ? AC ? 0.

1 ? (? x, ,1 ? z ) ? (0,0,2) ? 0, ? z ? 1 ? 0, ? ? ? 2 即? 化简得? 1 1 ? 3 x ? ? 0. ?(? x, ,1 ? z ) ? ( 3 ,1,0) ? 0. ? 2 ? ? 2 ?

? 3 ?x ? ∴? 6 ?z ? 1 ?

即 N 点的坐标为 (

3 3 ,0,1) ,从而 N 点到 AB 和 AP 的距离分别为 1, 6 6

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140、解 ∵M、N 分别是 AC、BF 的中点,四边形 ABCD、ABEF 都是平行四边形,
1 1 ∴=++= ++ FB . 2 2 又∵=+++ 1 1 =- +-- FB , 2 2 1 1 ∴ ++ FB 2 2 1 1 =- +-- FB , 2 2 ∴=+2+ FB =2(++)=2. ∴∥,即与共线.

141、证明 以 A 为原点,AC 为 x 轴,AA1 为 z 轴建立空间直角坐标系.
设 B(a,b,0),C(c,0,0),A1(0,0,d), 则 B1(a,b,d),C1(c,0,d),=(a,b,d), =(c-a,-b,d),=(-c,0,d), 由已知· =ca-a2-b2+d2=0, · =-c(c-a)+d2=0,可得 c2=a2+b2. 再由两点间距离公式可得: |AB1|2=a2+b2+d2,|CA1|2=c2+d2=a2+b2+d2, ∴AB1=CA1.

142、

(1)证明 如图,以 A 为原点,AD、AB、AP 所在的直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系, 则依题意可知 A(0,0,0),B(0,2,0), C(4,2,0),D(4,0,0),P(0,0,2). ∴=(4,0,-2),=(0,-2,0),=(0,0,-2). 设平面 PDC 的一个法向量为 n=(x,y,1),



? ? ? ?-2y=0 ? ? ?? 1 ?4x-2=0 ? ?x= ,
y=0 2

?

1 ? 所以平面 PCD 的一个法向量为? ?2,0,1?. ∵PA⊥平面 ABCD,∴PA⊥AB,

又∵AB⊥AD,PA∩AD=A,∴AB⊥平面 PAD. ∴平面 PAD 的法向量为=(0,2,0). ∵n· =0,∴n⊥. ∴平面 PDC⊥平面 PAD. n 5 2 5? (2)解 由(1)知平面 PCD 的一个单位法向量为 =? ,0, . |n| ? 5 5 ?



? =??4,0,0?· ?

5 2 5?? 4 5 = , ,0, 5 5 ?? ?5

4 5 ∴点 B 到平面 PCD 的距离为 . 5

143、(1)证明 连结 BD,设 AC 交 BD 于点 O,由题意知 SO⊥平面 ABCD,以 O 点为坐标原点, 、 、
分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向,建立空间直角坐标系 Oxyz 如图所示. 6 设底面边长为 a,则高 SO= a. 2 6 2 2 于是 S(0,0, a),D?- a,0,0?,C?0, a,0?, 2 2 2 ? ? ? ?

B?

2 ?, 2 ? a,0,0? 2 =?0, a,0?, 2 ? ? 2 6 =?- a,0,- a?, 2 ? ? 2 ∴· =0. ∴OC⊥SD,即 AC⊥SD. (2)解 由题意知,平面 PAC 的一个法向量=? =?0,0, 2 6 ? a,0, a ,平面 DAC 的一个法向量 2 ? ?2

?

6 ? a , 2 ?

设所求二面角为 θ,则 cos θ=



3 , 2

故所求二面角 P—AC—D 的大小为 30° . (3)解 在棱 SC 上存在一点 E 使 BE∥平面 PAC. 由(2)知是平面 PAC 的一个法向量, 2 6 2 6 且=? a,0, a?,=?0,- a, a?, 2 ? 2 2 ? ?2 ? 2 2 =?- a, a,0?, 2 ? 2 ?

设=t, 则 =+=+t 2 2 6 =?- a, a?1-t?, at?. 2 2 ? ? 2 1 由 · =0,得 t= , 3 即当 SE∶EC=2∶1 时, ⊥ 而 BE 不在平面 PAC 内,故 BE∥平面 PAC.

144、证明 因为=(1,2,-1)-(3,-1,2)=(-2,3,-3),=(3,-5,3)-(-1,1,-3)=(4,-6,6),
-2 3 -3 因为 = = , 4 -6 6 所以和共线,即 AB∥CD. 又因为=(3,-5,3)-(3,-1,2)=(0,-4,1), =(-1,1,-3)-(1,2,-1)=(-2,-1,-2), -4 1 0 因为 ≠ ≠ ,所以与不平行,所以四边形 ABCD 为梯形. -2 -1 -2

145、(1)解

如图所示,建立空间直角坐标系,点 A 为坐标原点.设 AB=1,依题意得 D(0,2,0),F(1,2,1), 3 ? A1(0,0,4),E? ?1,2,0?. 1 0, ,1?, 易得=? ? 2 ? =(0,2,-4),

于是 cos〈, 〉=

3 =- . 5

3 所以异面直线 EF 与 A1D 所成角的余弦值为 . 5 (2)证明 易知=(1,2,1), 3 1 -1,- ,4?,=?-1, ,0?, =? 2 ? 2 ? ? ? 于是· =0,· =0. 因此,AF⊥EA1,AF⊥ED. 又 EA1∩ED=E,所以 AF⊥平面 A1ED. (3)设平面 EFD 的法向量 u=(x,y,z),



?2y+z=0, 即? 1 ?-x+2y=0.

1

不妨令 x=1,可得 u=(1,2,-1), 由(2)可知,为平面 A1ED 的一个法向量,

于是 cos〈u, 〉= 从而 sin〈u, 〉= 5 . 3

2 = , 3

所以二面角 A1—ED—F 的正弦值为

5 . 3

146、解 因为=-,
所以· =· -· =||||cos〈, 〉-||||cos〈, 〉 =8?4?cos 135° -8?6?cos 120° =-16 2+24.

所以 cos〈, 〉= 24-16 2 3-2 2 = = . 5 8?5 3-2 2 即 OA 与 BC 所成角的余弦值为 . 5

147、证明 设=a,=b,=c,
依题意,|a|=|b|, 又设, ,中两两所成夹角为 θ, 于是=-=a-b, · =c· (a-b)=c· a-c· b =|c||a|cos θ-|c||b|cos θ=0, 所以 C1C⊥BD.

148、解

以 O 为坐标原点,射线 OB,OA,OS 分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正半轴,建立如图所示的空间直角坐 1 1 - ,0, ?. 标系 Oxyz.设 B(1,0,0),则 C(-1,0,0),A(0,1,0),S(0,0,1),SC 的中点 M? 2 2 ? ? 1 1? 1 1? ? ? 故=?2,0,-2?,=?2,1,-2?, =(-1,0,-1),所以· =0,· =0. 即 MO⊥SC,MA⊥SC. 故〈, 〉为二面角 A—SC—B 的平面角.

cos〈, 〉=



3 . 3 3 . 3

即二面角 A—SC—B 的余弦值为

149、解 设 g(x)=x2+2ax+4,由于关于 x 的不等式 x2+2ax+4>0 对一切 x∈R 恒成立,所以函数
g(x)的图象开口向上且与 x 轴没有交点, 故 Δ=4a2-16<0, ∴-2<a<2. 函数 f(x)=(3-2a)x 是增函数,则有 3-2a>1,即 a<1. 又由于 p 或 q 为真,p 且 q 为假,可知 p 和 q 一真一假. ?-2<a<2, ? (1)若 p 真 q 假,则? ∴1≤a<2. ?a≥1, ?
? ?a≤-2或a≥2, (2)若 p 假 q 真,则? ∴a≤-2. ?a<1, ? 综上可知,所求实数 a 的取值范围为{a|1≤a<2 或 a≤-2}.

150、

证明 (1)以 D 为坐标原点,以 DA、DC、DP 所在的直线分别为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系. 连结 AC,AC 交 BD 于 G. 连结 EG.设 DC=a, a a? 依题意得 A(a,0,0),P(0,0,a),E? ?0,2,2?, ∵底面 ABCD 是正方形, ∴G 是此正方形的中心, a a ? 故点 G 的坐标为? ?2,2,0?, a a? 且=(a,0,-a),=? ?2,0,-2?. ∴=2,即 PA∥EG. 而 EG?平面 EDB 且 PA?平面 EDB, ∴PA∥平面 EDB. (2)依题意得 B(a,a,0),=(a,a,-a). a a a2 a2 0, , ?,故· 又=? = 0 + - =0, ? 2 2? 2 2 ∴PB⊥DE,由已知 EF⊥PB,且 EF∩DE=E, 所以 PB⊥平面 EFD.

151、(1)证明 ∵三棱柱 ABC—A1B1C1 为直三棱柱,
∴AB⊥AA1. 在△ABC 中,AB=1,AC= 3,∠ABC=60° , 由正弦定理得∠ACB=30° ,

∴∠BAC=90° ,即 AB⊥AC,

如图,建立空间直角坐标系, 则 A(0,0,0),B(1,0,0),C(0, 3,0),A1(0,0, 3), ∴=(1,0,0), =(0, 3,- 3), ∴· =1?0+0? 3+0?(- 3)=0, ∴AB⊥A1C. (2)解 如图,可取 m==(1,0,0)为平面 AA1C 的法向量,设平面 A1BC 的法向量为 n=(l,m,n). 则· n=0,· n=0,又=(-1, 3,0),

?-l+ 3m=0, ∴? ? 3m- 3n=0,

∴l= 3m,n=m.

不妨取 m=1,则 n=( 3,1,1). m· n cos〈m,n〉= |m|· |n| 3?1+1?0+1?0 15 = = . 2 2 2 2 2 2 5 ? 3? +1 +1 · 1 +0 +0 设二面角 A—A1C—B 的大小为 θ, 15 10 ∴cos θ=cos〈m,n〉= ,sin θ= . 5 5 6 6 从而 tan θ= ,即二面角 A—A1C—B 的正切值为 . 3 3

152、解 方法一

∵PA=AB=AD=1,且 PA⊥面 ABCD,AD⊥AB,∴可设=i,=j,=k,以{i,j,k}为单位正交基底 建立如图所示的空间直角坐标系. ∵=++ 2 2 =- ++ 3 3 2 2 =- ++ (-++) 3 3 1 2 1 2 = + = k+ (-) 3 3 3 3 2 1 =- i+ k. 3 3 2 1? ∴=? ?-3,0,3?. 方法二 设=i,=j,=k,以{i,j,k}为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系,过 M 作 AD 的平行线交 CD 于点 E.可知 NE∥PD. 1 ∵=+=+ 3

1 1 =-+ (+)=-i+ (i+k) 3 3 2 1 =- i+ k, 3 3 2 1? ∴=? ?-3,0,3?. x2 2 153、解 (1)易得椭圆方程为 2 +y =1. (2)∵F1(-1,0),∴直线 BF1 的方程为 y=-2x-2, y=-2x-2 ? ?2 由?x 得 9x2+16x+6=0. 2 + y = 1 ? ?2 ∵Δ=162-4?9?6=40>0, 所以直线与椭圆有两个公共点, 设为 C(x1,y1),D(x2,y2), 16 x1+x2=- 9 则 , 2 x1· x2= 3

? ? ?

∴|CD|= 1+?-2?2|x1-x2| = 5· ?x1+x2?2-4x1x2 16?2 2 10 = 5· ? ?- 9 ? -4?3= 9 2, 4 5 又点 F2 到直线 BF1 的距离 d= , 5 1 4 故 S△CDF2= |CD|· d= 10. 2 9 π? 154、解 由于 sin x+cos x= 2sin? ?x+4?∈[- 2, 2],?x∈R,r(x)为假命题即 sin x+cos x>m 恒 不成立. ∴m≥ 2.① 又对?x∈R,s(x)为真命题. ∴x2+mx+1>0 对 x∈R 恒成立. 则 Δ=m2-4<0,即-2<m<2.② 故?x∈R,r(x)为假命题,且 s(x)为真命题, 应有 2≤m<2.

155、解

x2 y2 设椭圆的方程为 2+ 2=1 (a>b>0),F1,F2 是它的两个焦点,Q 为椭圆上任意一点,QP 是△F1QF2 中 a b 的∠F1QF2 的外角平分线(如图), 过 F2 作 F2P⊥QP 于 P 并延长交 F1Q 的延长线于 H, 则 P 是 F2H 的中点,且|F2Q|=|QH|, 1 1 因此|PO|= |F1H|= (|F1Q|+|QH|) 2 2

1 = (|F1Q|+|F2Q|)=a, 2 ∴点 P 的轨迹是以原点为圆心,以椭圆长半轴长为半径的圆(除掉两点即椭圆与 x 轴的交点).

156、解 “p 或 q”的形式:方程 2x2-2 6x+3=0 的两根都是实数或不相等.
“p 且 q”的形式:方程 2x2-2 6x+3=0 的两根都是实数且不相等. “非 p”的形式:方程 2x2-2 6x+3=0 的两根不都是实数. ∵Δ=24-24=0,∴方程有两相等的实根. ∴p 真,q 假.∴“p 或 q”真, “p 且 q”假, “非 p”假.

157、解 (1)| |=2,则=(x+1,y),
=(x-1,y). 由||· ||-· =0, 则 2 ?x-1?2+y2-2(x+1)=0, 化简整理得 y2=4x. (2)由=λ· ,得 F、P1、P2 三点共线, 设 P1(x1,y1)、P2(x2,y2),斜率存在时,直线 P1P2 的方程为:y=k(x-1) 代入 y2=4x 得:k2x2-2(k2+2)x+k2=0. 2k2+4 则 x1x2=1,x1+x2= 2 . k

∴ =

1 1 = + x1+1 x2+1

x1+x2+2 =1. x1x2+?x1+x2?+1 当 P1P2 垂直 x 轴时,结论照样成立.

158、解 设 P(x,y),则=(4,0),=(x+2,y),
=(x-2,y). ∴||=4,||= ?x+2?2+y2, · =4(x-2), 代入||· ||+· =0, 得 4 ?x+2?2+y2+4(x-2)=0, 即 ?x+2?2+y2=2-x,化简整理,得 y2=-8x. 故动点 P(x,y)的轨迹方程为 y2=-8x.

159、解 p:{x|2<x<10},q:{x|x<1-a,或 x>1+a}.
由綈 q?綈 p,得 p?q,于是 1+a<2, ∴0<a<1.
?y=ax+1, ? ?3x -y =1 ?
2 2

160、解 (1)由?

消去 y,

得(3-a2)x2-2ax-2=0. ?3-a2≠0, ? 依题意得? 即- 6<a< 6且 a≠± 3. ?Δ>0, ?

? ?x +x =3-a , (2)设 A(x ,y ),B(x ,y ),则? -2 ?x x =3-a . ?
1 2 2 1 1 2 2 1 2 2

2a

∵以 AB 为直径的圆过原点,∴OA⊥OB, ∴x1x2+y1y2=0, 即 x1x2+(ax1+1)(ax2+1)=0, 即(a2+1)x1x2+a(x1+x2)+1=0. -2 2a ∴(a2+1)· 2+a· 2+1=0, 3-a 3-a ∴a=± 1,满足(1)所求的取值范围. 故 a=± 1.

161、解 如图所示,设|PF1|=m,|PF2|=n,

1 π 则 S△F1PF2= mnsin 2 3 3 = mn. 4 由椭圆的定义知 |PF1|+|PF2|=20, 即 m+n=20.① 又由余弦定理,得 |PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|· cos =|F1F2|2, 即 m2+n2-mn=122.② 256 由①2-②,得 mn= . 3 64 ∴S△F1PF2= 3. 3
2 ? ?1<x<3 ?x -4x+3<0 由? 2 ,得? , ?2<x<4 ?x -6x+8<0 ?

π 3

162、解

即 2<x<3.∴q:2<x<3. 设 A={x|2x2-9x+a<0},B={x|2<x<3}, ∵綈 p?綈 q,∴q?p,∴B?A. 即 2<x<3 满足不等式 2x2-9x+a<0. 设 f(x)=2x2-9x+a, 要使 2<x<3 满足不等式 2x2-9x+a<0, ? ? ?f?2?≤0 ?8-18+a≤0 需? ,即? . ?f?3?≤0 ?18-27+a≤0 ? ? ∴a≤9.故所求实数 a 的取值范围是{a|a≤9}.

163、(1)证明 ∵四边形 ACDE 是正方形, ∴EA⊥AC,AM⊥EC, ∵平面 ACDE⊥平面 ABC,

∴EA⊥平面 ABC,

∴可以以点 A 为原点,以过 A 点平行于 BC 的直线为 x 轴,分别以直线 AC 和 AE 为 y 轴和 z 轴,建立 如图所示的空间直角坐标系 Axyz. 设 EA=AC=BC=2,则 A(0,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),E(0,0,2), 又 M 是正方形 ACDE 的对角线的交点, ∴M(0,1,1),=(0,1,1), =(0,2,0)-(0,0,2)=(0,2,-2), =(2,2,0)-(0,2,0)=(2,0,0), ∴· =0,· =0, ∴AM⊥EC,AM⊥CB,∴AM⊥平面 EBC. (2)解 设平面 EAB 的法向量为 n=(x,y,z), 则 n⊥且 n⊥, ∴n· =0 且 n· =0. ? ? ?x,y,z?=0, ??0,0,2?· ?z=0, ∴? 即? ??2,2,0?· ?x+y=0. ?x,y,z?=0. ? ? 取 y=-1,则 x=1,则 n=(1,-1,0).

又∵为平面 EBC 的一个法向量,且=(0,1,1),∴cos〈n, 〉= 设二面角 A—EB—C 的平面角为 θ, 1 则 cos θ=|cos〈n, 〉|= , 2 ∴二面角 A—EB—C 为 60° .

1 =- , 2

164、解 (1)由?

? ?y=kx-2, ?x =-2py, ?
2

得 x2+2pkx-4p=0.

设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=-2pk, y1+y2=k(x1+x2)-4=-2pk2-4. 因为+=(x1+x2,y1+y2) =(-2pk,-2pk2-4)=(-4,-12), ? ? ?-2pk=-4, ?p=1, ? 所以? 解得 2 ?-2pk -4=-12. ?k=2. ? ? 所以 l 的方程为 y=2x-2,抛物线 C 的方程为 x2=-2y. (2)设 P(x0,y0),依题意,抛物线过点 P 的切线与 l 平行时,△ABP 的面积最大,y′=-x, 1 所以-x0=2?x0=-2,y0=- x2 =-2, 2 0 所以 P(-2,-2). 此时点 P 到直线 l 的距离 |2· ?-2?-?-2?-2| 4 4 5 d= = = , 5 5 22+?-1?2
?y=2x-2, ? 由? 2 ?x =-2y, ?

得 x2+4x-4=0,

|AB|= 1+k2· ?x1+x2?2-4x1· x2

= 1+22· ?-4?2-4??-4?=4 10. 4 5 4 10· 5 ∴△ABP 面积的最大值为 =8 2. 2

165、解 设 M(y2 0,y0),直线 ME 的斜率为 k(k>0),
则直线 MF 的斜率为-k,直线 ME 的方程为 y-y0=k(x-y2 0). 2 ? ?y-y0=k?x-y0? ? 由 2 ?y =x ? 得 ky2-y+y0(1-ky0)=0. y0?1-ky0? 于是 y0· yE= , k 1-ky0 1+ky0 所以 yE= .同理可得 yF= . k -k yE-yF yE-yF 1 1 ∴kEF= = =- , 2= 2y0 xE-xF y2 E-yF yE+yF 即直线 EF 的斜率为定值.

166、解 [设正方体的棱长为 1,如图所示,以, ,分别为 x 轴,y 轴,z 轴的正方向,建立空间直角坐
标系 Oxyz.

1 1 (1)依题意,得 B(1,0,0),E(0,1, ),A(0,0,0),D(0,1,0),所以 =(-1,1, ),=(0,1,0). 2 2 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,因为 AD⊥平面 ABB1A1,所以是平面 ABB1A1 的一个法向量.设直线 BE 和平面 ABB1A1 所成的角为 θ,则

sin ? =

1 2 = = . 3 3 × 1 2

2 故直线 BE 和平面 ABB1A1 所成的角的正弦值为 . 3 (2)在棱 C1D1 上存在点 F,使 B1F∥平面 A1BE. 证明如下: 依题意,得 A1(0,0,1), =(-1,0,1), 1 =(-1,1, ). 2 设 n=(x,y,z)是平面 A1BE 的一个法向量, 则由 n· =0,n· =0, -x+z=0, ? ? 得? 1 ?-x+y+2z=0. ? 1 所以 x=z,y= z,取 z=2,得 n=(2,1,2). 2

设 F 是棱 C1D1 上的点,则 F(t,1,1)(0≤t≤1). 又 B1(1,0,1) ,所以=(t-1,1,0).而 B1F?平面 A1BE,于是 B1F∥平面 A1BE?=(t-1,1,0).而 B1F 1 ?平面 A1BE,于是 B1F∥平面 A1BE?·n=0?(t-1,1,0)·(2,1,2)=0?2(t-1)+1=0?t= ?F 为棱 2 C1D1 的中点.这说明在棱 C1D1 上存在点 F(C1D1 的中点),使 B1F∥平面 A1BE.


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