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简单的线性规划问题—教案


3.3.2 简单的线性规划问题
(第一课时) 江川二中 一、教材的地位与作用:
本节内容是在学习了不等式、直线方程的基础上,利用不等式和直线方程的有关知识 展开的,它是对二元一次不等式的深化和再认识、再理解。通过这一部分的学习,使学生进 一步了解数学在解决实际问题中的应用, 体验数形结合和转化的思想方法, 培养学生学习数 学的兴趣、应用数学的意识和解决实际问题

的能力。

李俊

二、教学目标 (一)知识与技能:
1、了解线性规划的意义,了解线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域和最优 解等概念; 2、理解线性规划问题的图解法; 3、会利用图解法求线性目标函数的最优解。

(二)过程与方法:
1、在应用图解法解题的过程中培养学生的观察能力、理解能力 。 2、在对具体事例的感性认识上升到对线性规划的理性认识过程中,培养学生运用数形 结合思想解题的能力和化归能力。

(三)情感态度与价值观:
1、让学生体验数学活动充满着探索与创造,培养学生勤于思考、勇于探索的精神; 2、让学生学会用运动观点观察事物,了解事物之间从一般到特殊、从特殊到一般的辨 证关系,渗透辩证唯物主义认识论的思想。

三、教学重难点
1、重点:依据目标函数的几何含义直观地运用图解法求出最优解。 2、难点: 将求目标函数最值问题转化为经过可行域的直线在 y 轴上的截距的最值问题 。

四、教学过程
线性规划是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支,它能解决科 学研究、 工程设计、 经济管理等许多方面的实际问题. 接下来我就一个实例讲讲线性规划问 题的解法
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(一)创设情境, 提出问题: 引例:某工厂用 A、B 两种配件生产甲、乙两种产品,每生产一件甲产品使 用 4 个 A 配件耗时 1h,每生产一件乙产品使用 4 个 B 配件耗时 2h,该产每天最 多可从配件厂获得 16 个 A 配件和 12 个 B 配件,按每天工作 8h 计算,该厂所有 可能的日生产安排是什么? 1、列表分析: 产品 资源 A 配件(个) 4 0 B 配件(个) 0 4 时间(h) 1 2

甲产品(件) 乙产品(件) 资源限制

? 16

? 12

?8

2、用不等式组表示问题中的限制条件: 设甲、乙两种产品分别生产 x , y 件,由已知条件可得二元一次不等式组:
?x ? 2 y ? 8 ?4 x ? 16 ? ? ?4 y ? 12 ?x ? 0 ? ? ?y ? 0



3、画出不等式组所表示的平面区域:如图所示

4、提出新问题:若生产一件甲产品获利 2 万元,生产一件乙产品获利 3 万元, 采用哪种生产安排利润最大?
设生产甲产品 x 件,乙产品 y 件时,工厂获得的利润为 z ,则 z ? 2 x ? 3 y 。这样,上 述问题就转化为:当 x , y 满足不等式组且为非负整数时, z 的最大值是多少?

【设计意图】数学是现实世界的反映。通过学生关注的热点问题引入,激发学生 的兴趣,引发学生的思考,培养学生从实际问题抽象出数学模型的能力。 (二)分析问题,形成概念 那么如何解决这个求最值的问题呢?如果把这 z 看成常数, 那这是关于变量
x、 y 的一次解析式,从函数的观点看, x、 y 的变化引起 z 的变化,而 x、 y 是区

域内的动点的坐标,对于每一组 x、 y 的值都有唯一的 z 值与之对应。
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由于已将 x、 y 所满足的条件几何化了, 你能否也给式子 z ? 2 x ? 3 y 作某种几 何解释呢?学生很自然地想到要将等式 z ? 2 x ? 3 y 视为关于 x、 y 的一次解析式, 它在几何上表示直线。当 z 取不同的值时可得到一族平行直线。于是问题又转化 为当这族直线与此平面区域有公共点时,如何 求 z 的最小值。
2 z 把 z ? 2 x ? 3 y 变形为 y ? ? x ? ,这是斜 3 3 2 z z 率为 ? ,在轴上的截距为 的直线。当截距 3 3 3

M

最大时, z 取最大值 作直线 l0 : 2 x ? 3 y ? 0 ,当它平移经过点
z M (4, 2) 时,截距 有最大值,此时, z 有最大 3

l0

值,且最大值 z ? 2 ? 4 ? 3 ? 2 ? 14 所以每天生产甲产品 4 件、乙产品 2 件时,工厂可获得最大利润 14 万元 【设计意图】数学教学的核心是学生的再创造。让学生自主探究,体验数学知识 的发生、发展的过程,体验转化和数形结合的思想方法,从而使学生更好地理解 数学概念和方法,突出了重点,化解了难点。 相关概念: 不等式组①是一组对变量 x、 y 的约束条件,这组约束条件都是关于 x、 y 的 一次不等式,所以又称为线性约束条件。要求最大值的函数 z ? 2 x ? 3 y 做目标函 数。 由于 z ? 2 x ? 3 y 又是关于变量 x、 y 的一次解析式, 所以又叫做线性目标函数。 一般的, 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值的问题,统称 为线性规划问题。满足线性约束条件的解 ( x, y ) 叫做可行解,由所有可行解组成 的集合叫做可行域。 其中使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做这个问题 的最优解。象上述求解线性规划问题的方法叫图解法。 (三)反思过程,提炼方法 解题回顾是解题过程中重要又常被学生忽略的一个环节。 通过回顾解题过程, 引导学生归纳、提炼解决线性规划问题的一般步骤是:
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(1)列——列出线性约束条件和目标函数(根据具体的题目而定,已经给出线性约束 条件和目标函数的则此步骤可省) (2)画——画出线性约束条件所表示的平面区域; (3)作——过原点作目标函数直线的平行直线 l0 ; (4)移——平移直线 l0 ,找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线; (5)求——解有关方程组求出最优解,将最优解代入目标函数求最值。 简记为:列——画——作——移——求五步。

(四)模仿练习,强化方法 练习 1、营养学家指出,成人良好的日常饮食应该至少提供 0.075kg 的碳水化合 物,0.06kg 的蛋白质,0.06kg 的脂肪,1kg 食物 A 含有 0.105kg 碳水化合物, 0.07kg 蛋白质, 0.14kg 脂肪, 花费 28 元; 而 1 食物 B 含有 0.105kg 碳水化合物, 0.14kg 蛋白质,0.07kg 脂肪,花费 21 元。为了满足营养专家指出的日常饮食要 求,同时使花费最低,需要同时食用食物 A 和食物 B 多少 kg? 练习 2: 已知△ ABC 的三个顶点 A(2, 4) , B(?1, 2) , C (1, 0) , 点 P( x, y) 在△ ABC 内 部及边界运动,请探讨一下问题:
①Z ? x? y 在 ②Z ? x? y 在 处有最大值 处有最大值 ,在 ,在 处有最小值 处有最小值 ; ;

y
A(2, 4) B(?1, 2)

y
B(?1, 2)

A(2, 4)

o

C (1, 0)

x

o
x? y ?0

C (1, 0)

x

x? y ?0

【设计意图】 :通过出示模仿练习,及时对学情诊断,逐步给予提示,排除疑点 难点。 练习中的纵截距取最大值时Z不一定取最大值,这样使学生产生思想上的 知识的冲突,从而进一步认识到目标函数直线的纵截距与Z的最值之间的关系! 练习中的纵截距的取最大值时Z不一定取最大值, 这样使学生产生思想上的知识 的冲突,从而进一步认识到目标函数直线的纵截距与Z的最值之间的关系!
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(五)归纳总结,巩固提高 1、归纳总结:为使学生对所学知识有一个完整而深刻的印象,让学生从以下两 方面自己小结。 (1)这节课主要学习了哪些知识? (2)这节课学到了哪些数学思想方法? (学生回答) 【设计意图】 有利于学生养成及时总结的良好习惯,并将所学知识纳入已有的认 知结构,同时也培养了学生数学交流和表达的能力。 2、布置作业: (1)完成课本 P91 习题 第 1、2 题 (2)思考题:练习 2 中,若目标函数是 Z ? x2 ? y 2 ,你知道其几何意义吗?你 能否借助其几何意义求它的最小值和最大值吗?如果是 Z ?
y y ?1 或Z ? 呢? x x?2

【设计意图】思考题难度提升较大,可以为学有余力的学生拓宽思维的空间,具 体教学中可根据不同程度的教学对象及课堂学生的反应情况进行删减与调整 五、板书设计
3.3.2 简单的线性规划问题 相关概念

练习 1

线性规划问题解题步骤

练习 2

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