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一元二次方程根的判别式.韦达定理


一元二次方的应用及根的判别式、韦达定理

中考要求
内容 一元二次 方程 基本要求
了解一元二次方程的概 念,会将一元二次方程 化为一般形式,并指出 各项系数;了解一元二 次方程的根的意义

略高要求
能由一元二次方程的概念确定二次项系数 中所含字母的取值范围; 会由方程的根求方 程中待定系数的值

较高要求

一元二次 方程的解 法

理解配方法,会用直接 开平方法、配方法、公 式法、因式分解法解简 单的数字系数的一元二 次方程,理解各种解法 的依据

能选择恰当的方法解一元二次方程; 会用方 程的根的判别式判别方程根的情况

能利用根的判别式说明含有字母 系数的一元二次方程根的情况及 由方程根的情况确定方程中待定 系数的取值范围;会用配方法对 代数式做简单的变形;会应用一 元二次方程解决简单的实际问题

知识点睛
一、根的判别式
1.一元二次方程根的判别式的定义: 运用配方法解一元二次方程过程中得到 ( x ? 平方得: x ?
b 2a ?? b ? 4 ac
2

b 2a

) ?
2

b ? 4 ac
2

4a

2

,显然只有当 b 2 ? 4 ac ? 0 时,才能直接开

4a

2



也就是说,一元二次方程 ax 2 ? bx ? c ? 0( a ? 0) 只有当系数 a 、b 、c 满足条件 ? ? b 2 ? 4 ac ? 0 时才有实 数根.这里 b 2 ? 4 ac 叫做一元二次方程根的判别式. 2.判别式与根的关系: 在实数范围内,一元二次方程 ax 2 ? bx ? c ? 0( a ? 0) 的根由其系数 a 、 b 、 c 确定,它的根的情况(是否 有实数根)由 ? ? b 2 ? 4 ac 确定. 判别式:设一元二次方程为 ax 2 ? bx ? c ? 0( a ? 0) ,其根的判别式为: ? ? b 2 ? 4 ac 则 ① ? ? 0 ? 方程 ax 2 ? bx ? c ? 0( a ? 0) 有两个不相等的实数根 x1, 2 ?
?b ? b ? 4 ac
2



2a

② ? ? 0 ? 方程 ax 2 ? bx ? c ? 0( a ? 0) 有两个相等的实数根 x1 ? x 2 ? ? ③ ? ? 0 ? 方程 ax 2 ? bx ? c ? 0( a ? 0) 没有实数根. 若 a , b , c 为有理数,且 ? 为完全平方式,则方程的解为有理根;

b 2a



若 ? 为完全平方式,同时 ? b ? b 2 ? 4 ac 是 2a 的整数倍,则方程的根为整数根. 说明: (1)用判别式去判定方程的根时,要先求出判别式的值:上述判定方法也可以反过来使用,当方程 有两个不相等的实数根时, ? ? 0 ;有两个相等的实数根时, ? ? 0 ;没有实数根时, ? ? 0 . (2)在解一元二次方程时,一般情况下,首先要运用根的判别式 ? ? b 2 ? 4 ac 判定方程的根的情况 (有两个不相等的实数根,有两个相等的实数根,无实数根).当 ? ? b 2 ? 4 ac ? 0 时,方程 有两个相等的实数根(二重根),不能说方程只有一个根. ① 当 a ? 0 时 ? 抛物线开口向上 ? 顶点为其最低点; ② 当 a ? 0 时 ? 抛物线开口向下 ? 顶点为其最高点. 3.一元二次方程的根的判别式的应用: 一元二次方程的根的判别式在以下方面有着广泛的应用: (1)运用判别式,判定方程实数根的个数; (2)利用判别式建立等式、不等式,求方程中参数值或取值范围;
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(3)通过判别式,证明与方程相关的代数问题; (4)借助判别式,运用一元二次方程必定有解的代数模型,解几何存在性问题,最值问题.

二、韦达定理
x 如果一元二次方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 ( a ? 0 )的两根为 x1 , 2 ,那么,就有

ax ? bx ? c ? a ? x ? x1 ? ? x ? x 2 ?
2

比较等式两边对应项的系数,得
b ? ? x1 ? x 2 ? ? a ? ? ? ? ① , ? ? ? x ? x ? c ????? ② ? ? 1 2 a ?

①式与②式也可以运用求根公式得到.人们把公式①与②称之为韦达定理,即根与系数的关系. 因此,给定一元二次方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 就一定有①与②式成立.反过来,如果有两数 x1 , x 2 满足①与
x ②,那么这两数 x1 , 2 必是一个一元二次方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 的根.利用这一基本知识常可以简捷地处 理问题. 利用根与系数的关系,我们可以不求方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 的根,而知其根的正、负性. 在 ? ? b 2 ? 4 ac ≥ 0 的条件下,我们有如下结论:



c a

? 0 时,方程的两根必一正一负.若 ?

b a

≥ 0 ,则此方程的正根不小于负根的绝对值;若 ?

b a

?0,

则此方程的正根小于负根的绝对值. 当
c a ? 0 时,方程的两根同正或同负.若 ? b a ? 0 ,则此方程的两根均为正根;若 ? b a ? 0 ,则此方程的

两根均为负根. ⑴ 韦达定理: 如果 ax 2 ? bx ? c ? 0( a ? 0) 的两根是 x1 , x 2 ,则 x1 ? x 2 ? ? ① ( x1 ? m )( x 2 ? m ) ? 0 ? x1 ? m , x 2 ? m ② ( x1 ? m )( x 2 ? m ) ? 0 且 ( x1 ? m ) ? ( x 2 ? m ) ? 0 ? x1 ? m , x 2 ? m ③ ( x1 ? m )( x 2 ? m ) ? 0 且 ( x1 ? m ) ? ( x 2 ? m ) ? 0 ? x1 ? m , x 2 ? m 特殊地:当 m ? 0 时,上述就转化为 ax 2 ? bx ? c ? 0( a ? 0) 有两异根、两正根、两负根的条件. ⑶ 以两个数 x1 , x 2 为根的一元二次方程(二次项系数为 1)是: x 2 ? ( x1 ? x 2 ) x ? x1 x 2 ? 0 . ⑷ 其他: ① 若有理系数一元二次方程有一根 a ? b ,则必有一根 a ? b ( a , b 为有理数). ② 若 ac ? 0 ,则方程 ax 2 ? bx ? c ? 0( a ? 0) 必有实数根. ③ 若 ac ? 0 ,方程 ax 2 ? bx ? c ? 0( a ? 0) 不一定有实数根. ④ 若 a ? b ? c ? 0 ,则 ax 2 ? bx ? c ? 0( a ? 0) 必有一根 x ? 1 . ⑤ 若 a ? b ? c ? 0 ,则 ax 2 ? bx ? c ? 0( a ? 0) 必有一根 x ? ? 1 . ⑸ 韦达定理主要应用于以下几个方面: ① 已知方程的一个根,求另一个根以及确定方程参数的值; ② 已知方程,求关于方程的两根的代数式的值; ③ 已知方程的两根,求作方程; ④ 结合根的判别式,讨论根的符号特征; ⑤ 逆用构造一元二次方程辅助解题:当已知等式具有相同的结构时,就可以把某两个变元看作某 个一元二次方程的两根,以便利用韦达定理; ⑤ 利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后,一定要验证方程的 ? .一些考试中,往往利用 这一点设置陷阱.
b a

, x1 x 2 ?

c a

.(隐含的条件: ? ? 0 )

⑵ 若 x1 , x 2 是 ax 2 ? bx ? c ? 0( a ? 0) 的两根(其中 x1 ? x 2 ),且 m 为实数,当 ? ? 0 时,一般地:

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重、难点
1. 转化思想的渗透 2. 对根的判别式的理解

例题精讲
一、判断方程根的情况
【例1】 不解方程,判别下列方程的根的情况: (1) 2 x 2 ? 3 x ? 4 ? 0 ; (2) 16 y 2 ? 9 ? 24 y ; (3) 5 ? x 2 ? 1? ? 7 x ? 0 。

【例2】 不解方程,判别方程 x 2 ? 2 2 kx ? k 2 ? 0 的根的情况。

【例3】 解关于 x 的方程 ? m ? 1? x 2 ? 2 mx ? m ? 3 ? 0

【例4】 已知关于 x 的方程 ( n ? 1) x 2 ? mx ? 1 ? 0 ①有两个相等的实数根. 求证:关于 y 的一元二次方程 m 2 y 2 ? 4 my ? m 2 ? 4 n ? 0 ②必有两个相等的实数根.

【巩固】已知 a ? 0 , b ? a ? c ,判断关于 x 的方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 的根的情况,并给出必要的说明.

【巩固】(1998 年山东省竞赛)设 a 、 b 、 c 为互不相等的非零实数,求证:三个方程 2 ax ? 2 bx ? c ? 0 , 2 bx ? 2 cx ? a ? 0 , 2 cx ? 2 ax ? b ? 0 , 不可能都有 2 个相等的实数根.

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二、应用题
【例5】 (2006· 湛江市)近年来,我市开展以“四通五改六进村”为载体,以生态文明为主要特色的新 农村建设活动取得了明显成效.下面是市委领导和市民的一段对话,请你根据对话内容,替 市领导回答市民提出的问题(结果精确到 0.1%) . 全市一共有 13233 个自然村, 2005 年已建成生 态文明村 2315 个,计划到 2007 年全市生态文 明村数要达到自然村总数的 24.4%

领导,按这个计划,从 2005 年到 2007 年, 平均每年生态文明村增长率约是多少? 领导

市民

【巩固】 (2006· 新疆)2004 年,自治区党委、人民政府决定在乌鲁木齐、库尔勒等八个城市开办区内 初中班,重点招收农牧民子女及其他家庭贫困的学生.某市 2004 年 9 月招收区内初中班学生 50 名,并计划在 2006 年 9 月招生结束后,使区内初中班三年招生总人数达到 450 名.若该 ....... 市区内初中班招生人数平均每年比上年的增长率相同,求这个增长率.

【例6】 (2006· 重庆市)机械加工需要拥有进行润滑以减少摩擦,某企业加工一台大型机械设备润滑 用油 90 千克,用油的重复利用率为 60%,按此计算,加工一台大型机械设备的实际耗油量为 36 千克.为了建设节约型社会,减少油耗,该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际 耗油量进行攻关. (1)甲车间通过技术革新后,加工一台大型机械设备润滑用油量下降到 70 千克,用油的重 复利用率仍然为 60%.问甲车间技术革新后,加工一台大型机械设备的实际耗油量是多少千 克? (2)乙车间通过技术革新后,不仅降低了润滑用油量,同时也提高了用油的重复利用率,并 且发现在技术革新的基础上, 润滑用油量每减少 1 千克, 用油量的重复利用率将增加 1.6%. 这 样乙车间加工一台大型机械设备的实际耗油量下降到 12 千克. 问乙车间技术革新后, 加工一 台大型机械设备润滑用油量是多少千克?用油的重复利用率是多少?

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【例7】 (2006· 南安)某商场将每件进价为 80 元的某种商品原来按每件 100 元出售,一天可售出 100 件.后来经过市场调查,发现这种商品单价每降低 1 元,其销量可增加 10 件. (1)求商场经营该商品原来一天可获利润多少元? (2)设后来该商品每件降价 x 元, ,商场一天可获利润 y 元. ①若商场经营该商品一天要获利润 2160 元,则每件商品应降价多少元? ②求出 y 与 x 之间的函数关系式,并通过画该函数图像的草图,观察其图像的变化趋势,结 合题意写出当 x 取何值时,商场获利润不少于 2160 元?

【例8】 (2006· 诸暨市) 有一根竹竿, 不知道它有多长. 把竹竿横放在一扇门前, 竹竿长比门宽多 4 尺; 把竹竿竖放在这扇门前, 竹竿长比门的高度多 2 尺; 把竹竿斜放, 竹竿长正好和门的对角 线等长. 问竹竿长几尺?

【例9】 (2006· 广东省)将一条长为 20cm 的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长做成一 个正方形. (1)要使这两个正方形的面积之和等于 17cm2,那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多 少?

(2)两个正方形的面积之和可能等于 12cm 2 吗? 若能,求出两段铁丝的长度;若不能,请 说明理由.

三、韦达定理
【例10】 (2006·广 安 市 ) 已 知 : ? ABC 的 两 边 AB 、 AC 的 长 是 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 2 2 x - ? 2 k ? 3 ? x ? k ? 3 k ? 2 ? 0 的两个实数根, 第三边 BC 的长为 5. 试问: k 取何值时, ? ABC 是 以 BC 为斜边的直角三角形?

【例11】 已知关于 x 的一元二次方程 x 2 ? ? m ? 1? x ? m ? 2 ? 0 . (1)若方程有两个相等的实数根,求 m 的值; (2)若方程的两实数根之积等于 m 2 ? 9 m ? 2 ,求 m ? 6 的值.

【巩固】 已知关于 x 的方程 x 2 ? 2( m ? 1) x ? m 2 ? 3 ? 0 (1)当 m 取何值时,方程有两个不相等的实数根? (2)设 x1 、 x 2 是方程的两根,且 ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( x1 ? x 2 ) ? 12 ? 0 ,求 m 的值。

【例12】 (2006· 济南市)已知关于 x 的方程 k x2 ? 2 x ? 1 ? 0 有两个不相等的实数根 x1, x 2 ,且满足
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( x1 ? x 2 ) ? 1 ,求 k 的值.
2

【例13】 已知 x1 、 x 2 是关于 x 的一元二次方程 4 x 2 ? 4( m ? 1) x ? m 2 ? 0 的两个非零实数根,问: x1 与 x 2 能否同号?若能同号请求出相应的 m 的取值范围;若不能同号,请说明理由。

【巩固】 证明:方程 x 2 ? 1997 x ? 1997 ? 0 无整数根。

【例14】 已知 x1 、 x 2 是一元二次方程 4 kx 2 ? 4 kx ? k ? 1 ? 0 的两个实数根。 (1)是否存在实数 k ,使 (2 x1 ? x 2 )( x1 ? 2 x 2 ) ? ? 说明理由。 (2)求使
x1 x2 ? x2 x1 ? 2 的值为整数的实数 k 的整数值。
3 2

成立?若存在,求出 k 的值;若不存在,请

【巩固】 已 知 关 于 x 的 方 程 x 2 ? 3 x ? a ? 0 的 两 个 实 数 根 的 倒 数 和 等 于 3 , 关 于 x 的 方 程
( k ? 1) x ? 3 x ? 2 a ? 0 有实根,且 k 为正整数,求代数式
2

k ?1 k?2

的值。

家庭作业
1.
0 已 知 关 于 x 的 方 程 k x2 ? ( 2 k ? 1 ) x ? k ? 1 ? 只 有 整 数 根 , 且 关 于 y 的 一 元 二 次 方 程
( k ? 1) y ? 3 y ? m ? 0 的两个实数根为 y1 、 y 2 。
2

(1)当 k 为整数时,确定 k 的值。 (2)在(1)的条件下,若 m =2,求 y12 ? y 2 2 的值。

2.

已知 x1 、 x 2 是关于 x 的一元二次方程 4 x 2 ? 4( m ? 1) x ? m 2 ? 0 的两个非零实根,问: x1 、 x 2 能 否同号?若能同号,请求出相应 m 的取值范围;若不能同号,请说明理由。

3.

设 x1 、 x 2 是方程 x 2 ? 4 x ? 2 ? 0 的两根,则① ③ ( x1 ? 1)( x 2 ? 1) = 。

1 x1

?

1 x2



;② x1 ? x 2





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4.

以方程 2 x 2 ? x ? 4 ? 0 的两根的倒数为根的一元二次方程是



5.

已知方程 x 2 ? mx ? 45 ? 0 的两实根差的平方为 144,则 m =



6.

已知方程 x 2 ? 3 x ? m ? 0 的一个根是 1,则它的另一个根是

, m 的值是



7.

反比例函数 y ?

k x

的图象经过点 P ( a 、 b ) ,其中 a 、 b 是一元二次方程 x 2 ? kx ? 4 ? 0 。



两根,那么点 P 的坐标是

8.

已知 x1 、 x 2 是方程 x 2 ? 3 x ? 1 ? 0 的两根,则 4 x12 ? 12 x 2 ? 11 的值为



9.

不解方程,判别下列方程的情况: (1) 3 x 2 ? 4 x ? 2 ? 0 ; (2) 2 y 2 ? 5 ? 6 y ; (3) 4 p ? p ? 1? ? 3 ? 0 ; (4) ? x ? 2 ? ? 2 ? x ? 2 ? ? 8 ? 0 ;
2

(5) 3 x 2 ? 2 x ? 2 ? 0 ; (6) 3t 2 ? 2 6 t ? 2 ? 0

10. 练习:不解方程,判别下列方程的根的情况。 (1) a 2 x 2 ? ax ? 1 ? 0 ? a ? 0 ? ; (2) x 2 ? 2 2 x ? 2 k 2 ? 0 ; (3) ? 2 m 2 ? 1? x 2 ? 2 mx ? 1 ? 0

11. (南通市)据 2005 年 5 月 8 日《南通日报》报道:今年“五一”黄金周期间,我市实现旅游收 入再创历史新高,旅游消费呈现多样化,各项消费所占的比例如图所示,其中住宿消费为 3438.24 万元。 (1)求我市今年“五一”黄金周期间旅游消费共多少亿元?旅游消费中各项消费的中位数是多 少万元? (2) 对于“五一”黄金周期间的旅游消费, 如果我市 2007 年要达到 3.42 亿元的目标, 那么 2005 年到 2007 年的平均增长率是多少? 2005 年南通市“五一”黄金周旅游各项消费分布统计图:

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12. (2006· 永州市)李大伯承包了一片荒山,在山上种植了一部分优质油桃,今年已进入第三年 收获期.今年收获油桃 6912 千克,已知李大伯第一年收获的油桃重量为 4800 千克.试求去 年和今年两年油桃产量的年平均增长率,照此增长率,预计明年油桃的产量为多少千克?

13. 已知关于 x 的方程 x 2 ? (1 ? 2 a ) x ? a 2 ? 3 ? 0 ……①有两个不相等的实数根,且关于 x 的方程
x ? ?2 x ? 2 a ? 1 ? 0 ……②没有实数根,问: a 取什么整数时,方程①有整数解?
2

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【例 1】

? ? ?0 ?? kx ? ? (1) 如果关于 x的实系数一元二次方程 x23k3有两个实数根α 、β ,那么
2 2

2 2 ? ? ? ? 的最小值是____3_____. ?? ? 1 1 ??

提示:原式可化简为:

? +2 ? k + + + 1 +3 ??+ ( 2 ? =7 12 )
2 2 2

? 1994 0 1995 1996 ? 的较大根是 r x ? 1 1994 ? 的较小值是 x 1995 ? 0 (2) 已知方程 ? x? ? x ? ,
2
2

s ? 的值是____0_____. ,则 r s

【例 2】

? x m ? ?? 0 0的两个根,一个比 1 大,一个比 1 小,则 2 ? ? m (1) 关于 x 的二次方程 mx 1 4 ? ? ?
2

m?
0<m<2 或 m<-2
pxq 0 ? ? ? ,则 x 2 ( (2) 若方程 x ? ? ? 的两根为 x1 , x2 ,且 x1 ? 1, p q 3 0
2



A.小于 1 【例 1】

B.等于 1

C.大于 1

D.不确定

? ? ?0 ?? kx ? ? (1) 如果关于 x的实系数一元二次方程 x23k3有两个实数根α 、β ,那么
2 2
2 2 ? ? ? ? 的最小值是____3_____. ?? ? 1 1 ??

提示:原式可化简为:

? +2 ? k + + + 1 +3 ??+ ( 2 ? =7 12 )
2 2 2

? 1994 0 1995 1996 ? 的较大根是 r x ? 1 1994 ? 的较小值是 x 1995 ? 0 (2) 已知方程 ? x? ? x ? ,
2
2

s ? 的值是____0_____. ,则 r s

【例 2】

? x m ? ?? 0 0的两个根,一个比 1 大,一个比 1 小,则 2 ? ? m (1) 关于 x 的二次方程 mx 1 4 ? ? ?
2

m?
0<m<2 或 m<-2
pxq 0 ? ? ? ,则 x 2 ( (2) 若方程 x ? ? ? 的两根为 x1 , x2 ,且 x1 ? 1, p q 3 0
2



A.小于 1

B.等于 1

C.大于 1

D.不确定
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【例 1】

? ? ?0 ?? kx ? ? (1) 如果关于 x的实系数一元二次方程 x23k3有两个实数根α 、β ,那么
2 2

2 2 ? ? ? ? 的最小值是____3_____. ?? ? 1 1 ??

提示:原式可化简为:

? +2 ? k + + + 1 +3 ??+ ( 2 ? =7 12 )
2 2 2

? 1994 0 1995 1996 ? 的较大根是 r x ? 1 1994 ? 的较小值是 x 1995 ? 0 (2) 已知方程 ? x? ? x ? ,
2
2

s ? 的值是____0_____. ,则 r s

【例 2】

? x m ? ?? 0 0的两个根,一个比 1 大,一个比 1 小,则 2 ? ? m (1) 关于 x 的二次方程 mx 1 4 ? ? ?
2

m?
0<m<2 或 m<-2
pxq 0 ? ? ? ,则 x 2 ( (2) 若方程 x ? ? ? 的两根为 x1 , x2 ,且 x1 ? 1, p q 3 0
2



A.小于 1 【例 1】

B.等于 1

C.大于 1

D.不确定

? ? ?0 ?? kx ? ? (1) 如果关于 x的实系数一元二次方程 x23k3有两个实数根α 、β ,那么
2 2
2 2 ? ? ? ? 的最小值是____3_____. ?? ? 1 1 ??

提示:原式可化简为:

? +2 ? k + + + 1 +3 ??+ ( 2 ? =7 12 )
2 2 2

? 1994 0 1995 1996 ? 的较大根是 r x ? 1 1994 ? 的较小值是 x 1995 ? 0 (2) 已知方程 ? x? ? x ? ,
2
2

s ? 的值是____0_____. ,则 r s

【例 2】

? x m ? ?? 0 0的两个根,一个比 1 大,一个比 1 小,则 2 ? ? m (1) 关于 x 的二次方程 mx 1 4 ? ? ?
2

m?
0<m<2 或 m<-2
pxq 0 ? ? ? ,则 x 2 ( (2) 若方程 x ? ? ? 的两根为 x1 , x2 ,且 x1 ? 1, p q 3 0
2



A.小于 1

B.等于 1

C.大于 1

D.不确定
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