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等比数列


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等比数列
【自主梳理】 1.等比数列的有关定义 ⑴ 一般地,如果一个数列从第 数列就叫做等比数列. 符号表示为 记作 . . 项起,每一项与它的前一项的 等于同一个常数,则该 ,

, 这个常数叫做等比数列的

⑵ 如果在 a 与 b 中间插入一个数 G , 使 a, G, b 成等比数列, 那么 G 叫做 a 与 b 的 2.等比数列的有关公式 设等比数列 ?a n ? 的公比为 q , ⑴ 通项公式: a n ? a1 ? 3.等比数列的常用性质 ⑴ 若 ?an ? 为等比数列,且 m ? n ? s ? t 系为 ; ⑵ 通项公式推广: an ? am ?



?m, n, s, t ? N ?,则 a
?

m

, an , as , at , 之间的等量关


.特别地,当 m ? n ? 2 s 时,

⑵ 若 ?an ? ,?bn ?(项数相同)是等比数列,则 ??an ? (? ? 0) , ? 仍是等比数列. 【自我检测】 1.如果 ?1, a, b, c, ?9 成等比数列,那么 b ? 2.等比数列 ?an ? 中, a1 ? 3 , q ? ?2 ,则 a6 ? 3.等比数列 ?an ? 中, a3 ? 20 , a6 ? 160,则 an = .

?1? ? an ? 2 ? , ?an ? , ?an ? bn ? , ? ? ? an ? ? bn ?

. . .

4.已知等比数列 ?an ? 的前三项依次为 a ? 2 , a ? 2 , a ? 8 ,则 an =

? ?2? 5. 已知数列 ?an ? 的公比不等于 1, 给出 4 个数列:① ?2an ? ; ② ?an ? 2? ; ③ an 2 ; ④? ?. 其 a ? n ? ?

? ?

中仍为等比数列的序号为:________________. 6.已知等比数列 ?an ? 中, a1a9 ? 64 , a3 ? a7 ? 20 ,则 an = 二、课堂活动: 【例 1】填空题:
1



京方教育一对一辅导高中 ⑴ 等比数列 ?an ? 中, a5 ? 4 , a7 ? 6 ,则 a9 ? ⑵ 等比数列 ?an ? 中, a1 ? a 2 ? 30 , a3 ? a4 ? 60 ,则 a7 ? a8 ? . .

⑶ 在 243 和 3 中 间 插 入 3 个 数 , 使 这 5 个 数 成 等 比 数 列 , 则 这 三 个 数 分 别 为 .

a1 ? 0 , ⑷ 等比数列 ?an ? 中, 则 a3 ? a5 ? a2 a4 ? 2a3 a5 ? a4 a6 ? 25 ,
【例 2】已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , a 2 ? 2 , a n ? 2 ? 求证: ?an?1 ? an ?是等比数列.



a n ? a n ?1 ? n ? N ? ?. 2

【例 3】已知公差不为 0 的等差数列的第 2,3,6 项依次构成一个等比数列,求该等比数列 的公比.

三、课后作业 1.等比数列 ?an ? 中, a4 ? 8 , q ? ?2 ,则 a7 ? . . .

a2 ? 2 , 2. 已知 ?an ? 是递增的等比数列, 则该数列的公比 q ? a4 ? a3 ? 4 ,
3.等比数列 ?an ? 中, a5 ? a1 ? 15 , a4 ? a2 ? 6 ,则 a3 ? 4 . 若 等 比 数 列

?an ?


各 项 都 是 正 数 , a1 ? 3 , a1 ? a2 ? a3 ? 21 , 则

a3 ? a 4 ? a 5 ?

5.已知等比数列 ?an ? 的公比为正数,且 a3 a9 ? 2a5 , a2 ? 1 ,则 a1 ?
2

2

京方教育一对一辅导高中 6.等比数列 ?an ? 前 n 项的积为 Tn ,若 a3a6a18 是一个确定的常数,那么 T10 , T13 , T17 , T25 中 也是常数的项是 7.已知等差数列 ?an ? 的公差 d ? 0 ,它的第 1、5、7 项顺次成等比数列,则这个等比数列 的公比是 .

8.设 ?an ? 是公比为 q 的等比数列, q ? 1 ,令 bn ? an ? 1 n ? N ? ,若数列 ?bn ? 有连续四 项在集合 ?? 53,?23,19,37,82?中,则 6q ? .

?

?

9.已知数列 ?log2 (an ?1)? 为等差数列,且 a1 ? 3 , a2 ? 5 . 求证:数列 ?an ?1 ? 是等比数列.

10. ⑴ 等比数列 ?an ? 中, a1 ? a2 ? a3 ? ?3 , a1a2 a3 ? 8 ,求 a4 . ⑵ 三个数成等比数列,它们的积等于 27,它们的平方和等于 91,求这三个数.

【自主梳理】 1.等比数列的前 n 项和公式 当 q ? 1 时, Sn ? ;当 q ? 1 时 Sn ? = .

2.等比数列的前 n 项和的性质 公比不为 ?1 的等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , 则 Sm , S 2 m ? S m , S 3 【自我检测】 1.在等比数列 ?an ? 中, a1 ? ?4 , q ?
m

…仍成比数列. ?2S m ,

1 ,则 S10 ? 2

. .

2.在等比数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , a k ? 243, q ? 3 ,则 S k ?
3

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7 63 , S6 ? ,则 an ? 2 2 1 31 4.在等比数列 ?an ? 中, q ? , S 5 ? ? ,则 a1 ? 2 8
3.在等比数列 ?an ? 中, S 3 ?

. ; an ? . .

5.若数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? 3n ? a ,数列 ?an ? 为等比数列,则实数 a 的值为 6.等比数列 ?an ? 中, a1 ? 2, q ? 3 ,则满足 Sn ? 1000 的 n 的最小值是 二、课堂活动: 【例 1】填空题: ⑴ 已知 a1 ? 2 , S 3 ? 26 ,则 q ? ; an ? . .

⑵ 在等比数列 ?an ? 中, 公比 q ? 0 , 已知 a2 ? 1 ,an?2 ? an?1 ? 6an , 则 S4 ? ⑶ 设等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若



s6 s ? 3 ,则 9 =______ s3 s6



⑷ 某人 2004 年初向银行申请个人住房公积金贷款 20 万元购买住房,月利率 3.375‰,按 复利计算,每月等额还贷一次,并从贷款后的次月初开始还贷.如果 10 年还清,则每年应 还贷 元. 【例 2】设等比数列 ?an ? 的公比为 q?q ? 0? ,它的前 n 项和为 40,前 2 n 项和为 3280,且前

n 项中数值最大项为 27,求数列的第 2n 项.

【例 3】水土流失是我国西部大开发中最突出的生态问题,全国 9100 万亩的坡耕地需要退 耕还林,其中西部地区占 70%.国家确定 2000 年西部地区退耕土地面积为 515 万亩,以后 每年退耕土地面积递增 12%. ⑴ 从 2000 年起到 2005 年底,西部地区退耕还林的面积共有多少万亩(精确到万亩)? ⑵ 从 2000 起到哪一年底,西部地区基本解决退耕还林问题?

4

京方教育一对一辅导高中 三、课后作业: 1.在等比数列 ?an ? 中, a1 ? ?

3 , a7 ? ?96 ,则 S n ? 2

. .

2.在等比数列 ?an ? 中,公比 q ? 0 , a1 ? 1 , a5 ? 16 ,则 S 7 ? 3.在等比数列 ?an ? 中, S 3 ? 3a3 ,则公比 q ? 4.在等比数列 ?an ? 中, S 3 ? 7 , S 6 ? 63 ,则公比 q ? 5.在等比数列 ?an ? 中, q ? . .

S 1 ,则 4 ? 2 a4



6.在等比数列 ?an ? 中, a1 ? an ? 66 , a2 an?1 ? 128, S n ? 126,则 n ? 7.在等比数列 ?an ? 中, S n ? 2 n ? 1 ,则数列 an



? ?前 n 项和为
2



8 .设 S n 是 等比数列 ?an ? 中 的前 n 项和, 已知 3S 3 ? a4 ? 2 , 3S 2 ? a3 ? 2 ,则公 比

q?



9.设 S n 是等比数列 ?an ? 中的前 n 项和, S3 , S9 , S 6 成等差数列,求证: a2 , a8 , a5 成等差数 列.

10.某厂为试制新产品,需增加某些设备,若购置这些设备,需一次付款 25 万元;若租赁 这些设备,每年初付租金 3.3 万元.已知一年期存款的年利率为 2.55%,试讨论那种方案更 好(设备寿命为 10 年)

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