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2017届高考数学大一轮总复习 第二章 函数、导数及其应用 2.5 指数与指数函数课件 文


第二章 函数、导数及其应用

第五节

指数与指数函数

基础知识 自主学习

热点命题 深度剖析

思想方法 感悟提升

最新考纲

1. 了解指数函数模型的实际背景; 2. 理解有理指数幂的含

义,了解实数指数幂

的意义,掌握幂的运算; 3.理解指数函数的概念及指

数函数的单调性,掌握指数函数图像通过的特殊点; 4. 知道指数函数是一
类重要的函数模型。

J 基础知识

自主学习

知 识 梳 理
1.正整数指数函数 y=ax(a>0,a≠1,x∈N+) 函数 _________________________________ ,叫作正整数指数函数, 正整数集N+ 。 x 是自变量,定义域是________________ 其中_____

2.分数指数幂 (1)分数指数幂: 给定正实数 a,对于任意给定的整数 m,n(m,n 互素),存在唯一的正实 m a n m m b =a n 。 数 b,使得 ,我们把 b 叫做 a 的 次幂,记作 b=_______ n

n m m a (2)正分数指数幂:a =_______ (a>0,m、n∈N+,且 n>1)。 n

1 1 m n m m a a (3)负分数指数幂: a- =______ =___________ (a>0, m、 n∈N+, 且 n>1)。 n n
0 无意义 。 (4)0 的正分数指数幂等于____,0 的负分数指数幂________

3.指数运算的性质

当a>0,b>0时,对任意实数m,n,都有:
(1)aman=____________ ; am+n (2)(am)n=__________ ; am n (3)(ab)n=anbn。 4.指数函数 (1)指数函数的概念 y=ax(a>0且a≠1) ①解析式:___________________ ; ②自变量:______ ; x ③定义域:______ 。 R

(2)指数函数的图像与性质
y=ax a>1 0<a<1

图像

定义域
值域 性质

______ R __________ (0,+∞) 过定点________ (0,1) 当x>0时,___;x<0时,_____ 当x>0时,_____;x<0时,___ y>1 0<y<1 0<y<1 y>1 在(-∞,+∞)上是_________ 在(-∞,+∞)上是_______ 减函数 增函数

基 础 自 测
[判一判] (1)函数y=3·2x与y=2x+1都不是指数函数。( √
?1?x (2)函数 y=? ? 在 R 上是减函数。( × ) ?a?

)

解析 正确。形如y=ax(a>0且a≠1)的函数为指数函数。

解析 错误。当a>1时为减函数;当0<a<1时为增函数。 (3)若am<an(a>0且a≠1),则m<n。( × )

解析 错误。当a>1时,m<n;当0<a<1时,m>n。
(4)函数y=ax2+1(a>1)的值域是(0,+∞)。( × ) 解析 错误。因为x2+1≥1且a>1,所以该函数的值域为[a,+∞)。

(5)2a·2b=2ab。( × )
解析 错误。2a·2b=2a+b。

6 (6) ?-2? =(-2) =(-2)3=-8。( × ) 2
6

解析 错误。 ?-2?6= 26=23=8。

[练一练] 4 1.化简 16x8y4(x<0,y<0)得( A.2x2y C.4x2y
解析 4

)

B.2xy D.-2x2y
16x8y4=2x2|y|=-2x2y。

答案 D

2.若函数y=(a2-1)x在(-∞,+∞)上为减函数,则实数a的取值范围 (- 2,-1)∪(1, 2) 。 是_____________________

解析 由题意知 0<a2-1<1,即 1<a2<2, 得- 2<a<-1 或 1<a< 2。

3 . 函 数 y = ax - 2 (2 016,2 016) ________________ 。

016

+ 2 015(a>0 , 且 a≠1) 的 图 像 恒 过 定 点

解析 ∵y=ax(a>0且a≠1)恒过定点(0,1), ∴y=ax-2 016+2 015恒过定点(2 016,2 016)。

{x|-1<x<2} 4.(2015·江苏卷)不等式2x2-x<4的解集为_________________ 。
解析 2x2- x<4,即 2x2-x<22,所以x2- x<2,即x2-x-2<0,所以(x -2)(x+1)<0。解得-1<x<2,故不等式的解集为{x|-1<x<2}(或(-1,2))。

5 .若函数 f(x) = ax -1(a>0 且 a≠1) 的定义域和值域都是 [0,2] ,则实数 a

3 。 =________

解析 当 a>1 时,x∈ [0,2],y∈ [0,a2-1], ∴a2-1=2,即 a= 3。 当 0<a<1 时,x∈[0,2],y∈ [a2-1,0], 此时定义域与值域不一致, 无解。 综上,a= 3。

R

热点命题

深度剖析

考点一

指数幂的运算
3 23

a b ab2 【例 1】 化简:(1) (a>0,b>0); 1 14 1 1 ?a b ? a- b 4 2 3 3

1 21 ?a3b2a b ? 3 32 【解】 原式= 1 1 ab2a-3b3 3 1 1 1 1 =a + -1+ b1+ -2- =ab-1。 2 6 3 3 3

? 27? 2 1 (2)?- ?- +(0.002)- -10( 5-2)-1+( 2- 3)0; 2 ? 8? 3
? 27? 2 ? 1 ? 1 10 原式=?- ?- +? ?- - +1 ? 8 ? 3 ?500? 2 5-2

【解】

? 8 ?2 1 =?- ? +500 -10( 5+2)+1 2 ? 27? 3

4 167 = +10 5-10 5-20+1=- 。 9 9

x2+x-2-2 1 1 (3)已知 x +x- =3,求 的值。 2 2 3 3 x +x- -3 2 2 1 1 1 1 【解】 ∵x + x- =3,∴ (x +x- )2=9。 2 2 2 2
∴ x+2+x- 1=9。∴x+ x- 1=7。 ∴ (x+ x- 1)2= 49。∴x2+x-2=47。 3 3 1 1 又∵x + x- = (x +x- )· (x-1+ x- 1) 2 2 2 2 =3×(7-1)=18, x2+ x- 2-2 47-2 ∴ = =3。 3 3 18-3 x + x- -3 2 2

【规律方法】

(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数

指数幂,以便利用法则计算,但应注意:①必须同底数幂相乘,指数才能 相加;②运算的先后顺序。 (2)当底数是负数时,先确定符号,再把底数化为正数。 (3)运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负 指数。

1 ? 1? ? 7?1 -45 。 变式训练 1 (1)(0.027)- -?- ?-2+?2 ? -( 2-1)0=________ 3 ? 7? ? 9?2
? 27 ? 1 ?25?1 10 5 ?- -72+? ? -1= -49+ -1=-45。 解析 原式=? 3 3 ?1 000? 3 ? 9 ?2

8 ? 4ab 1?3 ?1? 1 (2)? ?- · =________ 。 5 1 ?4? 2 -1 3 -3


?0.1? · ?a · b ? 2 3 3 3 2· 4 a b- 2 2 2 8 解析 原式= = 。 3 3 5 10a b- 2 2

考点二

指数函数的图像及应用
(1)函数f(x)=ax-b的图像如图所示,其中a,b为常数,则下 )

【例2】

列结论正确的是(

A.a>1,b<0 B.a>1,b>0 C.0<a<1,b>0 D.0<a<1,b<0

【解析】

由f(x)= ax-b的图像可以观察出函数 f(x)= ax-b在定义域

上单调递减,所以0<a<1,函数f(x)=ax-b的图像是在f(x)=ax的基础上向 左平移得到的,所以b<0,选D。 【答案】 D

(2)k为何值时,方程|3x-1|=k无解?有一解?有两解?
【解】 函数y=|3x-1|的图像是由函数y=3x的图像向下平移一个单位 后,再把位于x轴下方的图像沿x轴翻折到x轴上方得到的,函数图像如图所

示。

当k<0时,直线y=k与函数y=|3x-1|的图像无交点,即方程无解; 当k=0时或k≥1时,直线y=k与函数y=|3x-1|的图像有唯一的交点,

所以方程有一解;
当0<k<1时,直线 y= k与函数 y= |3x- 1|的图像有两个不同的交点,所 以方程有两解。

【规律方法】 指数函数图像的画法及应用 【规律方法】 【规律方法】 指数函数图像的画法及应用 指数函数图像的画法及应用 (1)画指数函数 y=x ax(a>0,a≠1)的图像,应抓住三个关键点:(1,a), (1) (1)画指数函数 画指数函数 y y= =a ax( (a a>0 >0, ,a a≠ ≠1) 1)的图像,应抓住三个关键点: 的图像,应抓住三个关键点:(1 (1, ,a a) ), , ? 1? ?-1, ?。 (0,1), ? ? 1 ? ? 1 a ? ? ? ? - 1 , (0,1) 。 ? - 1 , (0,1), ,? 。 a ? a? ? ? (2)与指数函数有关的函数的图像的研究,往往利用相应指数函数的图 (2) (2)与指数函数有关的函数的图像的研究,往往利用相应指数函数的图 与指数函数有关的函数的图像的研究,往往利用相应指数函数的图 像,通过平移、对称变换得到其图像。 像,通过平移、对称变换得到其图像。 像,通过平移、对称变换得到其图像。 (3)一些指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应的指数型函数图 (3) (3)一些指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应的指数型函数图 一些指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应的指数型函数图 像数形结合求解。 像数形结合求解。 像数形结合求解。

变式训练2
关系式有( )

(1)已知实数a,b满足等式2 015a=2 016b,下列五个关系

式:①0<b<a;②a<b<0;③0<a<b;④b<a<0;⑤a=b。其中不可能成立的

A.1个
C.3个

B.2个
D.4个

解析 设2 015a=2 016b=t,如图所示,由函数图像,可得 若 t>1 , 则 有 a>b>0 ; 若 t = 1 , 则 有 a = b = 0 ; 若 0<t<1 , 则 有 a<b<0。

故①②⑤可能成立,而③④不可能成立。选B。 答案 B

(2)(2016·衡水模拟)若曲线|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则b的取 [-1,1] 。 值范围是________ 解析 曲线|y|=2x+1与直线y=b的图像如图所示,由图可知:如果|y| =2x+1与直线y=b没有公共点,则b应满足的条件是b∈[-1,1]。

考点三

指数函数的性质及应用

指数函数的性质主要是其单调性,备受高考命题专家的青睐。高考常 以选择题或填空题的形式出现,考查幂值大小比较、解简单不等式、判断 指数函数单调性以及求指数函数的最值等问题,难度偏小,属中低档题。 角度一:比较指数式的大小 1.(2016·南昌模拟)已知a=40.7,b=80.45,c=0.5-1.5,则a,b,c的大 小关系是( ) B.b>a>c D.a>c>b A.c>a>b C.a>b>c

解析

a=40.7=(22)0.7=21.4,b=(23)0.45=21.35,c=0.5-1.5=21.5,因

为函数y=2x为增函数,所以21.5>21.4>21.35,所以c>a>b。
答案 A

2.(2015·山东卷)设a=0.60.6,b=0.61.5,c=1.50.6,则a,b,c的大小 关系是( )

A.a<b<c
C.b<a<c

B.a<c<b
D.b<c<a

解析 函数y=0.6x在定义域R上为单调递减函数, ∴ 1 = 0.60>0.60.6>0.61.5 。 而 函 数 y = 1.5x 为 单 调 递 增 函 数 , ∴1.50.6>1.50>1。∴b<a<c。 答案 C

角度二:解简单的指数方程或不等式 3 . (2016· 绍兴模拟 ) 设偶函数 f(x) 满足 f(x) = 2x - 4(x≥0) ,则 {x|f(x - 2)>0}=( ) A.{x|x<-2或x>4} B.{x|x<0或x>4} C.{x|x<0或x>6} D.{x|x<-2或x>2}

解析 f(x)为偶函数, 当 x<0 时,f(x)=f(-x)=2- x-4。
?2x-4, x≥0, ∴f(x)=? -x ?2 -4, x<0,

当 f(x- 2)>0 时,
?x-2≥0, ?x-2<0, 有? x- 2 或? -x+2 2 - 4>0 -4>0, ? ?2

解得 x>4 或 x<0。 答案 B

2x+1 4.(2015· 山东卷)若函数 f(x)= x 是奇函数,则使 f(x)>3 成立的 x 的 2 -a 取值范围为( ) B.(-1,0) D.(1,+∞)

A.(-∞,-1) C.(0,1)

解析 ∵f(x)为奇函数,∴f(- x)=-f(x), 2-x+1 2x+1 2x+1 2x+1 即 -x =- x ,也就是 =- x , 2 -a 2 -a 1-a· 2x 2 -a ∴1-a· 2x=a-2x,即 (1-a)2x=a-1。

2x+1 2x+1 ∴f(x)= x ,则 x >3, 2 -1 2 -1 2x+1-3?2x-1? 即 >0, 2x-1 -2?2x-2? 即 >0,即(2x-2)(2x-1)<0, x 2 -1 ∴1<2x<2,即 0<x<1。 答案 C

角度三:探究指数型函数的性质 5 .设a>0 且a≠1 ,函数 y=a2x+2ax-1 在[ -1,1]上的最大值是14,则a 1 的值为________ 3或 3 。

解析 令 t=ax(a>0 且 a≠1), 则原函数化为 y=(t+1)2-2(t>0)。 ①当 0<a<1 时,
? 1? x∈[-1,1],t=ax∈?a, ?, a? ? ? 1? 此时 f(t)在?a, ?上为增函数。 a? ? ?1? ?1 ? 所以 f(t)max= f? ?=? +1?2-2=14。 ? a? ?a ?

?1 11 11 ?1 ?? 22 ? ? 所以 + 1 = 16 ,即 a =- 或 a = 。 ? ? 所以a +1 =16,即 a=- 55或 a= 33。 ?? a ??

11 又因为 a >0 ,所以 a = 。 又因为 a>0,所以 a= 33。
?1 ?? x x ?1 ? ②当 a >1 时, x ∈ [ - 1,1] , t = a ∈ ,a?? , ②当 a>1 时, x∈[-1,1],t=a ∈? , aa,a ?? ??
?1 ?1 ?? ?? , 此时 a?? 上是增函数。 此时f( ft () t在 )在 上是增函数。 aa,a ?? ??
22 22 所以 = f( )= (a + 1) 22 = 14 ,所以 (a + 1) 16 , 所以f( ft () tmax )max = fa (a )= (a + 1)- - = 14 ,所以 (a + 1)= = 16 ,

即 =- 55或 = 33 。又因为 >0 ,所以 = 33 。 即aa =- 或aa = 。又因为aa >0 ,所以aa = 。 11 综上得 = 或 a=3。 综上得aa = 33或 a=3。

6.(2015·福建卷)若函数f(x)=2|x-a|(a∈R)满足f(1+x)=f(1-x),且f(x) 1 在[m,+∞)上单调递增,则实数m的最小值等于________ 。 解析 由f(1+x)=f(1-x),知f(x)的对称轴为x=1, ∴ a = 1 。 ∴ f(x) = 2|x - 1| 。 又 ∵ f(x) 在 [1 , + ∞ ) 上 是 单 调 递 增 的 ,

∴m≥1。

【规律方法】 指数函数的性质及应用问题的常见类型及解题策略
(1)比较大小问题。常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)法。 (2)简单的指数方程或不等式的求解问题。解决此类问题应利用指数函

数的单调性,要特别注意底数a的取值范围,并在必要时进行分类讨论。
(3)指数型函数中参数的取值范围问题。在解决涉及指数函数的单调性 或最值问题时,应注意对底数a的分类讨论。

S

思想方法

感悟提升

⊙1个关系——分数指数幂与根式的关系 根式与分数指数幂的实质是相同的,分数指数幂与根式可以互化,通

常利用分数指数幂进行根式的化简运算。
⊙2个注意——应用指数函数性质时应注意的两点 (1)指数函数y=ax(a>0,a≠1)的图像和性质跟a的取值有关,要特别注

意应分a>1与0<a<1来研究。
(2)对可化为a2x+b·ax+c=0或a2x+b·ax+c≥0(≤0)的指数方程或不等 式,常借助换元法解决,但应注意换元后“新元”的取值范围。

⊙3 个关键点——指数函数图像的画法 画指数函数 y=ax(a>0,且 a≠1)的图像,应抓住三个关键点:(1,a),
? 1? (0,1),?-1, ?。 ?

a?


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