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2015全国卷1数学试卷及答案(理科)


2015 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(全国卷Ⅰ) 绝密★启封并使用完毕前

2015 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(全国卷Ⅰ)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 2 至 6 页。

第Ⅰ卷
一. 选择题:本大题共 12 小题。 1+z (1)设复

数 z 满足 =i,则|z|= 1? z (A)1 (B) 2 (C) 3 (D)2 ? ? ? ? (2) sin 20 cos10 ? cos160 sin 10 ? 1 1 3 3 (A) ? (B) (C) ? (D) 2 2 2 2 n 2 (3)设命题 P: ? n ? N, n > 2 ,则 ? P 为 (A) ? n ? N, n2 > 2n (B) ? n ? N, n2 ≤ 2n (C) ? n ? N, n2 ≤ 2n (D) ? n ? N, n2 = 2n (4)投篮测试中,每人投 3 次,至少投中 2 次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中 的概率为 0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为 (A)0.648 (B)0.432 (C)0.36 (D)0.312 x2 (5)已知 M(x0,y0)是双曲线 C: ? y 2 ? 1 上的一点,F1、F2 是 C 上的两个焦点, 2
? ????? ? ????? 若 MF 1 ? MF 2 <0,则 y0 的取值范围是

3 3 3 3 2 2 2 2 2 3 2 3 , ) (B) (, ) (C) (? , ) (D) (? , ) 3 3 3 3 3 3 6 6 (6) 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题 :“今有委米依 垣内角,下周八尺,高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图, 米堆为一个圆锥的四分之一),米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧度为 8 尺,米 堆的高为 5 尺, 问米堆的体积和堆放的米各为多少?” 已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺, 圆周率约为 3,估算出堆放斛的米约有
(A)(A.14 斛 B.22 斛 C.36 斛 D.66 斛 (7)设 D 为错误!未找到引用源。 ABC 所在平面内一点
BC ? 3 BC ,则 ? 1 ? 4 ? (A) AD ? ? AB ? AC 3 3 ? ? ? 1 4 (B) AD ? AB ? AC 3 3 ? ? 4 1 ? (C) AD ? AB ? AC 3 3
? ?

错误!未找到引用源。

(D) AD ?

?

4 ? 1 ? AB ? AC 3 3

(8)函数 f(x)=错误!未找到引用源。的部分图像如图所示,则 f(x)的单调递减区间为

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1 3 1 3 (A) (k? ? , k? ? ), k ? Z (B) (2k? ? ,2k? ? ), k ? Z 4 4 4 4 1 3 1 3 (C) (k ? , k ? ), k ? Z (D) (2k ? ,2k ? ), k ? Z 4 4 4 4 (9)执行右面的程序框图,如果输入的 t=0.01,则输出的 n= (A)5 (B)6 (C)7 (D)8

5 (10)错误!未找到引用源。 的展开式中, x5 y 2 的系数为 (x2 ? x ? y)

(A)10

(B)20

(C)30

(D)60

(11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几何体, 该几何体三视图中 ? 的正视图和俯视图如图所示。若该几何体的表面积为 16 + 20 ,则 r=
(A)1 (B)2
x

(C)4

(D)8

12.设函数 f(x)=e (2x-1)-ax+a,其中 a 1,若存在唯一的整数 x0,使得 f(x0) 0,则 a 的取值范围是( ) ? 3 ? 3 3? ? 3 3? ?3 A. ?? ,1? B. ?? , ? C. ? , ? D. ? ,1? ? 2e ? 2e 4 ? ? 2e 4 ? ? 2e

第 II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)题-第(21)题为必考题,每个试题考生都必 须作答。第(22)题~第(24)题未选考题,考生根据要求作答。 二、填空题:本大题共 3 小题,每小题 5 分 (13)若函数 f ( x) ? x ln(x ? a ? x 2 ) 为偶函数,则 a= x2 y2 ? 1 错误!未找到引用源。的三个顶点,且圆心在 x 轴上, (14)一个圆经过椭圆 ? 16 4 则该圆的标准方程为 。 ?x ?1 ? 0 ? (15)若 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 0 错误!未找到引用源。则错误!未找到引用源。 ?x ? y ? 4 ? 0 ?

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x 的最大值为 . y (16) 在平面四边形 ABCD 中, ∠A=∠B=∠C=75°, BC=2, 则 AB 的取值范围是

.

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17) (本小题满分 12 分) Sn 为数列{an}的前 n 项和.已知 an>0, an ? 2an ? 4Sn ? 3 错误!未找到引用源。 (Ⅰ)求{an}的通项公式, 1 (Ⅱ)设 b n ? 错误!未找到引用源。 ,求数列 ?bn ?错误!未找到引用源。 }的前 n a n a n?1 项和。

(18)如图, ,四边形 ABCD 为菱形,∠ABC=120°,E,F 是平面 ABCD 同一侧的两点,BE ⊥平面 ABCD,DF⊥平面 ABCD,BE=2DF,AE⊥EC。 (1)证明:平面 AEC⊥平面 AFC (2)求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值

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(19)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费 x(单位:千元) 对年销售量 y(单位:t)和年利润 z(单位:千元)的影响,对近 8 年的年宣传费 x1 和 年销售量 y1(i=1,2, · · · ,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值。

? x

? ? y

?? w

?
x ?1

1

(x1- x )2

?

?
x ?1

1

(w1- w )2

??

?
x ?1

1

( x1- x )

?

?
x ?1

1

(w1- w )

??

? ? (y- y )
1469

46.6

56.3

6.8


289.8

1.6

(y- y ) 108.8

? ?

表中 w1 = x 1,

?? 1 w = 8

? w1
x ?1

1

(Ⅰ)根据散点图判断,y=a+bx 与 y=c+d x 哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由) (Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据,建立 y 关于 x 的回归方程; (Ⅲ)以知这种产品的年利率 z 与 x、y 的关系为 z=0.2y-x。根据(Ⅱ)的结果回答下列 问题: (i) 年宣传费 x=49 时,年销售量及年利润的预报值是多少? (ii) 年宣传费 x 为何值时,年利率的预报值最大? 附:对于一组数据(u1 v1),(u2 v2)??.. (un vn),其回归线 v= ? ? ? u 的斜率 和截距的最小二乘估计分别为:

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(20) (本小题满分 12 分)
x2 与直线 y=ks+a(a>0)交与 M,N 两点, 4 (Ⅰ)当 k=0 时,分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程; (Ⅱ)y 轴上是否存在点 P,使得当 K 变动时,总有∠OPM=∠OPN?说明理由。

在直角坐标系 xoy 中,曲线 C:y=

(21) (本小题满分 12 分) 1 已知函数 f(x)= x 3 ? ax ? , g ( x) ? ? ln x 4 (Ⅰ)当 a 为何值时,x 轴为曲线 y ? f ( x) 的切线; (Ⅱ)用 min

?m, n?

表示 m,n 中的最小值,设函数 h( x) ? min ? f ( x), g ( x)

? ( x ? 0)

,讨

论 h(x)零点的个数

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请考生在(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。如果多 做,则按所做第一个题目计分,做答时,请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂 黑。 (22) (本题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,AB 是☉O 的直径,AC 是☉C 的 Q 切线,BC 交☉O 于 E (1)若 D 为 AC 的中点,证明:DE 是 O 的切线; (2)若 OA= 3 CE,求∠ACB 的大小.

(23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 ? O? 中。直线 C1 : ? = ? 2,圆 C2 :? ? ? 1? ? ? ? ? 2 ? ? 1 ,以坐标原点为极点,
2 2

? 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。
(I) 求 C1 , C2 的极坐标方程; (II) 若直线 C3 的极坐标方程为 ? ? 求 ?C2 MN 的面积

?
4

? ? ? R ? ,设 C2 与 C3 的交点为 M , N

,

(24) (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数错误!未找到引用源。=|x+1|-2|x-a|,a>0. (Ⅰ)当 a=1 时,求不等式 f(x)>1 的解集; (Ⅱ)若 f(x)的图像与 x 轴围成的三角形面积大于 6,求 a 的取值范围

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