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2014-2015学年广东省揭阳一中高一(下)第二次阶段数学试卷(文科)


2014-2015 学年广东省揭阳一中高一(下)第二次阶段数学试卷 (文科)
一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在四个备选项中,只有一项符合题目要求) 1.已知平面向量 =(1,﹣3) , =(4,﹣2) ,若 λ ﹣ 与 垂直,则实数 λ=( A. ﹣1 B. 1 C. ﹣2 D. 2 )

2.平面向量 与 的夹角为 60

°, =(2,0) ,| |=1,则| +2 |=( A. 3.若 0≤α≤2π,sinα> A. ( , ) B. C. 4 ) , )

) D. 12

cosα,则 α 的取值范围是( B. ( ,π) C. (

D. (





4.程序框图如下:

如果上述程序运行的结果为 S=132,那么判断框中应填入( A. k≤10 B. k≥10 C. k≤11 5.设 0≤θ≤2π,向量 长的最大值为( A. ) B.
2

) D. k≥11 的模

=(cos θ,sin θ) ,

=(2+sin θ,2﹣cosθ) ,则向量

C. 2

D. 3 ) D. [ ,+∞)

6.若函数 f(x)=loga(x ﹣ax+ )有最小值,则实数 a 的取值范围是( A. (0,1)
2 2

B. (0,1)∪(1,

) C. (1,



7.从圆 x ﹣2x+y ﹣2y+1=0 外一点 P(3,2)向这个圆作两条切线,则两切线夹角的余弦 值为( ) A. B. C. D. 0

8.过球的一条半径的中点,作垂直于该半径的平面,则所得截面的面积与球的表面积的比 为( ) A. B. C. D.

9. 已知 f (x) 是周期为 2 的奇函数, 当 0<x<1 时, f (x) =lgx. 设 ,则( A. a<b<c ) B. b<a<c C. c<b<a D. c<a<b



10.给定两个长度为 1 的平面向量 心的圆弧 上变动.若 =x +y



,它们的夹角为 120°如图所示,点 C 在以 O 为圆 )

,其中 x,y∈R,则 x+y 的最大值是(

A.

B. 2

C.

D. 3

一、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.) 11. 已知 α、 β 为锐角, 且 = (sinα, cosβ) ,= (cosα, sinβ) , 当 时, α+β= .

12.在边长为

的正三角形 ABC 中,设 .

= ,

= ,

= ,则

? + ? + ? =

13. 求值:

=



14.关于函数 f(x)=cos(2x﹣

)+cos(2x+

) ,有下列命题:

①y=f(x)的最大值为 ; ②y=f(x)是以 π 为最小正周期的周期函数; ③y=f(x)在区间( ④将函数 y= , )上单调递减; 个单位后,将与已知函数的图象重合.

cos2x 的图象向左平移

其中正确命题的序号是

. (注:把你认为正确的命题的序号都填上)

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 15.已知函数 f(x)=2asinx?cosx+2cos x+1, (1)求实数 a 的值; (2)求函数 f(x)在 的值域.
2



16.已知如图,函数 y=2sin( (1)求 φ 的值;

x+φ) (0≤φ≤

,x∈R)的图象与 y 轴的交点为(0,1) .

(2)设点 P 是图象上的最高点,M,N 是图象与 x 轴的交点,求向量 弦值.

与向量

夹角的余

17.函数 (1)求 f(x)的周期; (2)f(x)在[0,π)上的减区间; (3)若 f(α)= , ,求 的值.



18.如图,在三棱锥 P﹣ABC 中,PA⊥平面 ABC,AC⊥BC,D 为侧棱 PC 上一点,它的正 (主)视图和侧(左)视图如图所示. (1)证明:AD⊥平面 PBC; (2)求三棱锥 D﹣ABC 的体积.

19.已知半径为 5 的圆的圆心在 x 轴上,圆心的横坐标是整数,且与直线 4x+3y﹣29=0 相 切.

(Ⅰ)求圆的方程; (Ⅱ)设直线 ax﹣y+5=0(a>0)与圆相交于 A,B 两点,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,是否存在实数 a,使得弦 AB 的垂直平分线 l 过点 P(﹣2,4) , 若存在,求出实数 a 的值;若不存在,请说明理由. 20.已知函数 f(x)满足 f(x+2)=f(x) ,当﹣1<x≤0 时 f(x)=e ;当 0<x≤1 时,f(x) 2 =4x ﹣4x+1. (Ⅰ)求函数 f(x)在(﹣1,1)上的单调区间; (Ⅱ)若 g(x)=f(x)﹣kx(k>0) ,求函数 g(x)在[0,3]上的零点个数.
﹣x

2014-2015 学年广东省揭阳一中高一(下)第二次阶段数 学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在四个备选项中,只有一项符合题目要求) 1.已知平面向量 =(1,﹣3) , =(4,﹣2) ,若 λ ﹣ 与 垂直,则实数 λ=( A. ﹣1 B. 1 C. ﹣2 D. 2 )

考点:数量积判断两个平面向量的垂直关系. 专题:平面向量及应用. 分析:利用向量的运算法则和向量垂直与数量积的关系即可得出. 解答: 解:∵ ∴ =λ(1,﹣3)﹣(4,﹣2)=(λ﹣4,﹣3λ+2) , =λ﹣4﹣3(﹣3λ+2)=0,解得 λ=1. 与 垂直,

故选 B. 点评:熟练掌握向量的运算法则和向量垂直与数量积的关系是解题关键.

2.平面向量 与 的夹角为 60°, =(2,0) ,| |=1,则| +2 |=( A. B. C. 4

) D. 12

考点:向量加减混合运算及其几何意义. 分析:根据向量的坐标求出向量的模,最后结论要求模,一般要把模平方,知道夹角就可以 解决平方过程中的数量积问题,题目最后不要忘记开方. 解答: 解:由已知|a|=2, |a+2b| =a +4a?b+4b =4+4×2×1×cos60°+4=12, ∴|a+2b|= . 故选:B. 点评:本题是对向量数量积的考查, 根据两个向量的夹角和模之间的关系, 根据和的模两边 平方,注意要求的结果非负,舍去不合题意的即可.两个向量的数量积是一个数量,它的值 是两个向量的模与两向量夹角余弦的乘积,结果可正、可负、可以为零,其符号由夹角的余 弦值确定. 3.若 0≤α≤2π,sinα> A. ( , ) cosα,则 α 的取值范围是( B. ( ,π) C. ( ) , ) D. ( , )
2 2 2

考点:正切函数的单调性;三角函数线. 专题:计算题.

分析:通过对 sinα> cosα 等价变形,利用辅助角公式化为正弦,利用正弦函数的性质即 可得到答案. 解答: 解:∵0≤α≤2π,sinα> cosα, ∴sinα﹣ ∵0≤α≤2π, ∴﹣ ≤α﹣ ≤ , cosα=2sin(α﹣ )>0,

∵2sin(α﹣ ∴0<α﹣ ∴ <α<

)>0, <π, .

故选 C. 点评:本题考查辅助角公式的应用,考查正弦函数的性质,将 sinα> 点,也是易错点,属于中档题. 4.程序框图如下:

cosα 等价变形是难

如果上述程序运行的结果为 S=132,那么判断框中应填入( A. k≤10 B. k≥10 C. k≤11

) D. k≥11

考点:循环结构. 专题:规律型. 分析:经过第一次循环得到的结果, 判断是否是输出的结果, 不是说明 k 的值满足判断框的 条件;经过第二次循环得到的结果,是需要输出的结果,说明 k 的值不满足判断框中的条 件.得到判断框中的条件. 解答: 解:当 k=12,S=1,应该满足判断框的条件; 经过第一次循环得到 S=1×12=12,k=12﹣1=11 应该满足判断框的条件; 经过第二次循环得到 S=12×11=132,k=11﹣1=10,应该输出 S,此时应该不满足判断框的条 件,即 k=10 不满足判断框的条件. 所以判断框中的条件是 k≥11 故选 D 点评:本题考查解决程序框图中的循环结构时, 常采用写出前几次循环的结果, 从中找到规 律.

5.设 0≤θ≤2π,向量 长的最大值为( A. )

=(cos θ,sin θ) ,

=(2+sin θ,2﹣cosθ) ,则向量

的模

B.

C. 2

D. 3

考点:平面向量数量积的运算. 专题:计算题;三角函数的图像与性质;平面向量及应用. 分析:根据平面向量的运算法则,求出向量 解答: 解:∵向量 ∴向量 =(cos θ,sin θ) , 的坐标表示,计算| =(2+sin θ,2﹣cosθ) , |的最大值即可.

=(2+sinθ﹣cosθ,2﹣cosθ﹣sinθ) ;

∴它的模长为 | |= = ,

又 0≤θ≤2π, ∴向量 的模长的最大值为 =3 .

故选:D. 点评:本题考查了平面向量的应用问题,也考查了三角函数的应用问题,是基础题目.
2

6.若函数 f(x)=loga(x ﹣ax+ )有最小值,则实数 a 的取值范围是( A. (0,1) B. (0,1)∪(1, ) C. (1, )

) D. [ ,+∞)

考点:复合函数的单调性. 专题:函数的性质及应用. 分析:令 u=x ﹣ax+ = 且 u 的最小值 ﹣
2

+ ﹣

,则 u 有最小值,欲满足题意,须 logau 递增,

>0,由此可求 a 的范围.
2

解答: 解:令 u=x ﹣ax+ =

+ ﹣

,则 u 有最小值 ﹣



欲使函数 f(x)=loga(x2﹣ax+ )有最小值,则须有

,解得 1<a<



即 a 的取值范围为(1, ) . 故选 C. 点评:本题考查复合函数的单调性,若复合函数可分解为两个基本初等函数,依据“同增异 减”即可判断复合函数的单调性.

7.从圆 x ﹣2x+y ﹣2y+1=0 外一点 P(3,2)向这个圆作两条切线,则两切线夹角的余弦 值为( ) A. B. C. D. 0

2

2

考点:圆的切线方程. 分析:先求圆心到 P 的距离,再求两切线夹角一半的三角函数值,然后求出结果. 解答: 解:圆 x ﹣2x+y ﹣2y+1=0 的圆心为 M(1,1) ,半径为 1,从外一点 P(3,2) 向这个圆作两条切线, 则点 P 到圆心 M 的距离等于 ,每条切线与 PM 的夹角的正切值等于 ,
2 2

所以两切线夹角的正切值为

,该角的余弦值等于 ,

故选 B. 点评:本题考查圆的切线方程,两点间的距离公式,是基础题. 8.过球的一条半径的中点,作垂直于该半径的平面,则所得截面的面积与球的表面积的比 为( ) A. B. C. D.

考点:球的体积和表面积. 专题:计算题. 分析:由题意设出球的半径, 圆 M 的半径, 二者与 OM 构成直角三角形, 求出圆 M 的半径, 然后可求球的表面积,截面面积,再求二者之比. 解答: 解:设球的半径为 R,圆 M 的半径 r, 由图可知,R = R +r , ∴ R =r ,∴S 球=4πR , 截面圆 M 的面积为:πr = πR ,
2 2 2 2 2 2 2 2

则所得截面的面积与球的表面积的比为:



故选 A. 点评:本题是基础题,考查球的体积、表面积的计算,仔细体会,理解并能够应用小圆的半 径、球的半径、以及球心与圆心的连线的关系,是本题的突破口.

9. 已知 f (x) 是周期为 2 的奇函数, 当 0<x<1 时, f (x) =lgx. 设 ,则( A. a<b<c ) B. b<a<c C. c<b<a D. c<a<b



考点:奇函数. 专题:压轴题. 分析:首先利用奇函数的性质与函数的周期性把 f(x)的自变量转化到区间(0,1)内, 然后由对数函数 f(x)=lgx 的单调性解决问题. 解答: 解:已知 f(x)是周期为 2 的奇函数,当 0<x<1 时,f(x)=lgx. 则 =﹣lg >0, =﹣lg >0, =lg <0, 又 lg >lg ∴0<﹣lg <﹣lg ∴c<a<b, 故选 D. 点评:本题主要考查奇函数性质与函数的周期性,同时考查对数函数的单调性.

10.给定两个长度为 1 的平面向量 心的圆弧 上变动.若 =x +y



,它们的夹角为 120°如图所示,点 C 在以 O 为圆 )

,其中 x,y∈R,则 x+y 的最大值是(

A.

B. 2

C.

D. 3

考点: 平面向量的基本定理及其意义. 专题: 平面向量及应用. 分析: 首先以 O 为原点,向量 的方向为 x 轴正方向,建立平面直角坐标系,并设 便可得到

∠COA=θ,从而可写出 A,B,C 三点的坐标,从而根据条件

, 这样便可得到

, 根据两角

和的正弦公式即可得到 x+y=2sin(θ+30°) ,根据 θ 的范围即可得出 x+y 的最大值. 解答: 解:如图,以 O 为坐标原点,直线 OA 为 x 轴,建立平面直角坐标系,则: A(1,0) ,B( ∴ ; ) ,设∠AOC=θ,0°≤θ≤120°,∴C(cosθ,sinθ) ; =









∴ ∵0°≤θ≤120°; ∴30°≤θ+30°≤150°; ∴θ+30°=90°,即 θ=60°时 x+y 取最大值 2. 故选 B.



点评: 考查建立平面直角坐标系利用向量坐标解决向量问题的方法, 向量坐标的数乘和加 法运算,以及两角和的正弦公式,正弦函数的最大值. 一、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.)

11.已知 α、β 为锐角,且 =(sinα,cosβ) , =(cosα,sinβ) ,当

时,α+β=



考点:平面向量共线(平行)的坐标表示. 专题:三角函数的求值;平面向量及应用. 分析:根据向量平行的坐标公式结合三角函数的两角和差的余弦公式进行求解即可. 解答: 解:∵ ,

∴sinαsinβ﹣cosαcosβ=0, 即 cos(α+β)=cosαcosβ﹣sinαsinβ=0, ∵α、β 为锐角, ∴0<α+β<π, ∴α+β= ; ;

故答案为:

点评:本题主要考查向量平行的坐标公式的应用, 利用两角和差的余弦公式进行化简是解决 本题的关键.

12. 在边长为

的正三角形 ABC 中, 设

= , = , = , 则 ? + ? + ? = ﹣3 .

考点:平面向量数量积的运算. 专题:平面向量及应用. 分析: 错误:a?b+b?c+c?a,应该是 由题意可得 与 的夹角等于 = ,且| |=| |= ,由此求得 =﹣1,同理求得

=﹣1,从而得到要求式子的值. ,且| |=| |= ,故有

解答: 解:由题意可得 与 的夹角等于 = 同理求得 故 故答案为﹣3. = =﹣1. =﹣1, =﹣3,

点评:本题主要考查两个向量的数量积的定义,注意两个向量的夹角为 属于中档题.

,而不是



13.求值:

= 3 .

考点:三角函数的化简求值. 专题:计算题;三角函数的求值. 分析:由 22°+23°=45°得到: (1+tan22°) (1+tan23°)=2.利用诱导公式以及同角三角函数的 基本关系式,化简 求解即可.

解答: 解:原式=1+tan23°+tan22°+tan22°tan23°﹣



=1+(1﹣tan23°tan22°)+tan22°tan23°﹣



=2﹣(﹣1) , =3. 故答案是:3. 点评:本题考查三角函数的化简求值, 诱导公式的应用, 同角三角函数的基本关系式的应用, 考查计算能力.

14.关于函数 f(x)=cos(2x﹣

)+cos(2x+

) ,有下列命题:

①y=f(x)的最大值为 ; ②y=f(x)是以 π 为最小正周期的周期函数; ③y=f(x)在区间( ④将函数 y= , )上单调递减; 个单位后,将与已知函数的图象重合.

cos2x 的图象向左平移

其中正确命题的序号是 ①②③ . (注:把你认为正确的命题的序号都填上) 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 利用两角和差的正余弦公式可把 f(x)化为 函数的性质即可判断出答案. 解答: 解:函数 f(x)=cos(2x﹣ = = . ∴函数 f(x)的最大值为 ,因此①正确; = = )+cos(2x+ ) ,进而利用正弦

周期 T= 当

,因此②正确; 时, ,因此 y=f(x)在区间( ,

)上单调递减,因此③正确; 将函数 y= = cos2x 的图象向左平移 = ,因此④不正确. 综上可知:①②③. 故答案为①②③. 点评: 熟练掌握两角和差的正余弦公式、正弦函数的性质是解题的关键. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 15.已知函数 f(x)=2asinx?cosx+2cos x+1, (1)求实数 a 的值; (2)求函数 f(x)在 的值域.
2

个单位后,得到 y= =



考点:三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象. 专题:三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 分析: (1)由 利用已知及特殊角的三角函数值即可解得 a 的值. )+2,由

(2)由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得 f(x)=2sin(2x+ ,可求 2x+ 解答: (本小题满分 12 分) , 可得:asin 解得: +2+cos ; .…..(3 分) (2)由(1)得: (5 分) = …(7 分) =4,即 ,…(2 分)

的范围,利用正弦函数的图象和性质即可求得值域.

…..

,…..(8 分) 令 ,则 y=sinz 在[﹣ , ]上为增函数,在[ , ]上为减函数,…(10 分) ,即 f(x)的值域为[2 ﹣ ,4].…(12 分) 点评:本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用, 正弦函数的图象和性质, 属于基本知识 的考查. ,x∈R)的图象与 y 轴的交点为(0,1) .

16.已知如图,函数 y=2sin( (1)求 φ 的值;

x+φ) (0≤φ≤

(2)设点 P 是图象上的最高点,M,N 是图象与 x 轴的交点,求向量 弦值.

与向量

夹角的余

考点:由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 专题:三角函数的图像与性质. 分析: (1)由 y=2sin( 从而可得 φ 的值; (2)依题意,可求得 M,N,P 的坐标,于是可得向量 坐标运算即可求得向量 与向量 夹角的余弦值 , , 与 的坐标,利用向量数量积的 x+φ)的图象与 y 轴的交点为(0,1) ,可得 sinφ= ,0≤φ≤ ,

解答: 解: (1)由题意得 ∴ (2)由 .…..…(6 分) x+ =0 得:x=﹣ , =4,

∴M(﹣ ,0) ,又 T=

∴点 P 的横坐标 xp=(﹣ )+ T= ,

∴P( ,2) ,同理可得 N( ,0) ,…(9 分) ∴ ,…(12 分)

设向量

与的

夹角为 θ,则

…(14 分)

点评:本题考查由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,着重考查向量数量积的坐标 运算,求得 M,N,P 的坐标是关键,考查运算能力,属于中档题. 17.函数 (1)求 f(x)的周期; (2)f(x)在[0,π)上的减区间; (3)若 f(α)= , ,求 的值. .

考点: 三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象. 专题: 三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 分析: (1)由诱导公式和和差角(辅助角)公式,将函数的解析式化为正弦型函数的形 式,根据 ω= ,可得 f(x)的周期; (2)根据正弦函数的图象和性质,求出 f(x)的单调递减区间,进而可得 f(x)在[0,π) 上的减区间; (3)若 f(α)= ,可得 ,进而根据同角三角函数的基本关系公式求出 α 的

余弦和正切,再由二倍角的正切公式和两角和的正切公式,得到答案. 解答: 解: (1) = , (k∈Z) ∵ω= , ∴f(x)的周期 . …(5 分)

(2)由 得 又 x∈[0,π) , 令 k=0,得 ; .



令 k=﹣1,得 ∴f(x)在[0,π)上的减区间是 (3)由 f(α)= ∴ 又 ∴ ∴ , ,∴ , ,得

(舍去) . , …(9 分)





=



…(14 分)

点评: 本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质, 诱导公式和和差角 (辅助角) 公式, 同角三角函数的基本关系公式, 二倍角的正切公式和两角和的正切公式, 是三角函数的综合 应用,难度中档. 18.如图,在三棱锥 P﹣ABC 中,PA⊥平面 ABC,AC⊥BC,D 为侧棱 PC 上一点,它的正 (主)视图和侧(左)视图如图所示. (1)证明:AD⊥平面 PBC; (2)求三棱锥 D﹣ABC 的体积.

考点:直线与平面垂直的判定;由三视图还原实物图. 专题:计算题;空间位置关系与距离. 分析: (1)由 PA⊥平面 ABC,知 PA⊥BC,由 AC⊥BC,知 BC⊥平面 PAC,从而得到 BC⊥AD.由此能够证明 AD⊥平面 PBC. (2)由三视图得 BC=4,由(1)知∠ADC=90°,BC⊥平面 PAC,由此能求出三棱锥的体 积.

解答: .(本小题满分 12 分) 解: (1)因为 PA⊥平面 ABC,所以 PA⊥BC, 又 AC⊥BC,所以 BC⊥平面 PAC,所以 BC⊥AD. 由三视图可得,在△ PAC 中,PA=AC=4,D 为 PC 中点,所以 AD⊥PC, 所以 AD⊥平面 PBC, (2)由三视图可得 BC=4, 由(1)知∠ADC=90°,BC⊥平面 PAC, 又三棱锥 D﹣ABC 的体积即为三棱锥 B﹣ADC 的体积, 所以,所求三棱锥的体积 .

点评:本题考查利用几何体的三视图求直线与平面垂直的证明,考查三棱锥的体积的求法, 解题时要认真审题,注意等价转化思想的合理运用. 19.已知半径为 5 的圆的圆心在 x 轴上,圆心的横坐标是整数,且与直线 4x+3y﹣29=0 相 切. (Ⅰ)求圆的方程; (Ⅱ)设直线 ax﹣y+5=0(a>0)与圆相交于 A,B 两点,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,是否存在实数 a,使得弦 AB 的垂直平分线 l 过点 P(﹣2,4) , 若存在,求出实数 a 的值;若不存在,请说明理由. 考点:直线和圆的方程的应用;圆的标准方程. 专题:综合题;直线与圆. 分析: (Ⅰ)设圆心为 M(m,0) (m∈Z) .由于圆与直线 4x+3y﹣29=0 相切,且半径为 5,所以 ,由此能求了圆的方程.
2 2

(Ⅱ)把直线 ax﹣y+5=0 代入圆的方程,得(a +1)x +2(5a﹣1)x+1=0,由于直线 ax﹣ 2 2 y+5=0 交圆于 A,B 两点,故△ =4(5a﹣1) ﹣4(a +1)>0,由此能求出实数 a 的取值范 围. (Ⅲ)设符合条件的实数 a 存在,则直线 l 的斜率为 ,l 的方程为 , 使得过点 P

由于 l 垂直平分弦 AB,故圆心 M(1,0)必在 l 上,由此推导出存在实数 (﹣2,4)的直线 l 垂直平分弦 AB. 解答: (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)设圆心为 M(m,0) (m∈Z) . 由于圆与直线 4x+3y﹣29=0 相切,且半径为 5, 所以 ,

即|4m﹣29|=25.因为 m 为整数,故 m=1. 2 2 故所求圆的方程为(x﹣1) +y =25. …(4 分) (Ⅱ)把直线 ax﹣y+5=0,即 y=ax+5, 代入圆的方程,消去 y, 2 2 整理,得(a +1)x +2(5a﹣1)x+1=0, 由于直线 ax﹣y+5=0 交圆于 A,B 两点,

故△ =4(5a﹣1) ﹣4(a +1)>0, 2 即 12a ﹣5a>0, 由于 a>0,解得 a> , ) .

2

2

所以实数 a 的取值范围是( (Ⅲ)设符合条件的实数 a 存在, 则直线 l 的斜率为 l 的方程为 , ,

即 x+ay+2﹣4a=0 由于 l 垂直平分弦 AB,故圆心 M(1,0)必在 l 上, 所以 1+0+2﹣4a=0,解得 由于 .

,故存在实数

使得过点 P(﹣2,4)的直线 l 垂直平分弦 AB.…(14 分) 点评:本题考查圆的方程的求法, 考查实数的取值范围的求法, 探索满足条件的实数是否存 在.对数学思维要求较高,解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进行等价转化. 20.已知函数 f(x)满足 f(x+2)=f(x) ,当﹣1<x≤0 时 f(x)=e ;当 0<x≤1 时,f(x) 2 =4x ﹣4x+1. (Ⅰ)求函数 f(x)在(﹣1,1)上的单调区间; (Ⅱ)若 g(x)=f(x)﹣kx(k>0) ,求函数 g(x)在[0,3]上的零点个数. 考点:函数零点的判定定理;函数单调性的判断与证明;分段函数的应用. 专题:函数的性质及应用. 分析: (Ⅰ)问中分别讨论 x∈(﹣1,0]和 x∈(0,1]的函数的单调性,综合得出; (Ⅱ)中令 g(x)=0,求函数 g(x)的零点问题转化为求两个函数的交点问题,讨论 k 的 范围从而得出答案. 解答: 解: (Ⅰ)∵﹣1<x≤0 时,函数 f(x)=e
2
﹣x ﹣x

是单调递减的,

0<x≤1 时,函数 f(x)=4x ﹣4x+1 的图象的对称轴是 x= ,开口向上. ∴在(0, )递减,在[ ,1)递增. 又∵当 f(0)=e =1=4×0 ﹣4×0+1. 综上可得: 函数的单调递减区间为(﹣1, ],递增区间为[ ,1]. (Ⅱ)∵f(x+2)=f(x) , ∴函数 f(x)是以 2 为周期的函数, 令 g(x)=0, ∴f(x)=kx,
﹣0

2

令 h(x)=kx, 画出 f(x) ,h(x)的图象, 如图示:

, 结合图象: ①k≥e 时,g(x)有 1 个零点, ②1<k<e 时,g(x)有 2 个零点, ③ <k≤1 时,g(x)有 3 个零点, ④0<k≤ 时,g(x)有 4 个零点. 点评:本题考察了函数的单调性,函数的零点问题,渗透了转化思想,数形结合思想,分类 讨论思想,是一道中档题.


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