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高中数学-三角函数中的求值问题


1、同角三角函数的基本关系: sin ? ? cos ? ? 1 sin ? tan ? ? cos ? 2 2 tan ? ? cot ? ? 1 (04 湖南) 例 1: 2 1 ? 3 若 tan ( ? ? ) ? 2 ,则 2 4 2 sin ? ? cos ? ? cos ? ? 分析: 从已知 原式可化为 同除以 2 1 tan ( ? ? ) ? 2

可求出 tan? ? 3 4 ? sin 2 ? ? cos2 ? 2 sin ? ? cos? ? cos2 ? 1 2 ( ) ?1 t an2 ? ? 1 2 ? 3 ? 1 2 t an? ? 1 2 ? ? 1 3 3 cos ? 得 2、诱导公式: 可概括为:奇变偶不变,符号看象限。 3、两角和与差的三角函数: sin( ? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? tan ? ? tan ? tan(? ? ? ) ? 1 ? tan ? tan ? sin 7 ? cos15 sin 8 例2:求值: cos7? ? sin 15? sin 8? ? ? ? sin(15? ? 8? ) ? cos15? sin 8? 解: 原式 ? cos(15? ? 8? ) ? sin 15? sin 8? sin 15? cos8? ? cos15? sin 8? ? cos15? sin 8? ? cos15? cos8? ? sin 15? sin 8? ? sin 15? sin 8? sin 15 cos8 ? ? tan15 ? ? ? cos15 cos8 ? ? tan 45 ? tan30 ? ? ? 2? 3 ? tan(45 ? 30 ) ? ? ? 1 ? tan 45 tan30 ? ? 例 3. 求值: tan20? ? tan40? ? 3 tan20? ? tan40? 解:?tan60 ?? tan(20 ? ? 40?) tan 20 ? ? tan 40 ? ? ? 3 1? tan 20? tan 40? ?tan20? ? tan40? ? 3(1 ? tan20? ? tan40?) 则 tan20? ? tan40? ? 3 tan20? tan40? ? 3 4、二倍角公式: sin 2? ? 2 sin ? ? cos? cos 2? ? cos ? ? sin ? ? 2 cos ? ? 1 ? 1 ? 2 sin ? 2 tan ? tan 2? ? 2 1 ? tan ? 2 2 2 2 例 4: (2005江苏) 1 2? sin( ? ? ) ? , 则cos( ? 2? ) ? (A) 6 3 3 7 ? 9 ? A. B. 1 ? 3 C. 1 3 D. 7 9 例5(2006年四川) 已知 A, B, C是三角形 ?ABC 三内角, ?? ? ?? ? m ? ?1, 3 , n ? ? cos A,sin A? ,且 m ? n ? 1 ? ? (Ⅰ)求角 A tan B 1 ? sin 2 B (Ⅱ)若 2 ? ?3,求 2 cos B ? sin B ?? ? 解:(Ⅰ)∵m ? n ? 1 即 ∴ ? ?1, 3 ? ? ?cos A,sin A? ? 1 3 sin A ? cos A ? 1

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