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2012年兰州一中第三次月考试题学生版


本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分, 考试时间 120 分钟. 请将答案填在答题卡上.

第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.设 a ? R ,且 (a ? i)2 i 为正实数,则 a ?

/>
A. 2

B. 1

C. 0

D. ? 1

2.已知函数 f ( x) ? (cos 2 x cos x ? sin 2 x sin x)sin x, x ? R ,则 f ( x ) 是

A. 最小正周期为 ? 的奇函数

B. 最小正周期为 ? 的偶函数

C. 最小正周期为

? 的奇函数 2

D. 最小正周期为

? 的偶函数 2

3.命题 p:若 a、b∈R,则|a|+|b|>1 是|a+b|>1 的充分而不必要条件; 命题 q:函数 y= | x ? 1 | ?2 的定义域是(-∞,-1 ] ∪[3,+∞ ) ,则

A. 或 q”为假 “p C.p 真 q 假
4.下列说法正确的是

B.p 假 q 真 D. 且 q”为真 “p

A. 有两个平面互相平行,其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱, B. 四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形, C. 有两个面互相平行,其余各面都是梯形的多面体是棱台, D. 以三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥.
5.函数 f (x) 是奇函数,且在( 0,?? )内是增函数, f (?3) ? 0 ,则不等式 x ? f ( x) ? 0 的解集 为

A. {x | ?3 ? x ? 0或x ? 3} C. {x | x ? ?3或x ? 3}

B. {x | x ? ?3或0 ? x ? 3} D. {x | ?3 ? x ? 0或0 ? x ? 3}

6.已知数列 ?1 , a1 , a2 , ?4 成等差数列; ?1 , b1 , b2 , b3 , ?4 成等比数列,则
1/7

a2 ? a1 的值是 b2

A.

1 2

B. ?

1 2

C.

1 1 或? 2 2
2

D.

1 4

7.过点 P(1,1) 的直线,将圆形区域 ( x, y ) x ? y ? 4 分为两部分,使得这两部分的面积之
2

?

?

差最大,则该直线的方程为

A. x ? y ? 2 ? 0
8. 函数 y ?

B. y ? 1 ? 0
的图像可能是

C. x ? y ? 0

D.x ? 3 y ? 4 ? 0

x ln x x

9.设 f(x)、g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x<0 时, f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) ? 0 且 g(3)=0.则不等式 f ( x) g ( x) ? 0 的解集是

A. (-3,0)∪(3,+∞) C.(-∞,- 3)∪(3,+∞)

B.(-3,0)∪(0, 3) D.(-∞,- 3)∪(0, 3)

10.如图所示,两个不共线向量 OA , OB 的夹角为 ? ,

??? ??? ? ?

B M O
D.

M , N 分别为 OA 与 OB 的中点,点 C 在直线 MN 上,
且 OC ? xOA ? yOB( x, y ? R) ,则 x 2 ? y 2 的最小值为

C N A

??? ?

??? ?

??? ?

A.

2 4

B.

1 8

C.

2 2

1 2

11.设 f ( x ) 是定义在 R 上的增函数,且对任意 x ,都有 f (? x) ? f ( x) ? 0 恒成立,如果实数

m, n 满足不等式 f (m2 ? 6m ? 21) ? f (n2 ? 8n) ? 0 ,那么 m2 ? n2 的取值范围是

A. (9,49)

B. (13,49)

C. (9,25)

D. (3,7)

12.对于定义在 D 上的函数 f ( x ) ,若存在距离为 d 的两条直线 y ? kx ? m1 和 y ? kx ? m2 , 使得对任意 x ? D 都有 kx ? m1 ? f ( x) ? kx ? m2 恒成立,则称函数 f ( x)( x ? D) 有一个宽

2/7

度为 d 的通道.给出下列函数:① f ( x) ?

1 ,② f ( x) ? sin x ,③ f ( x) ? x 2 ? 1 ,其中在 x

区间 [1, ??) 上通道宽度可以为 1 的函数有:

A. ①②

B. ①③

C. ①

D. ③

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.从 ?1,2,3,4,5? 中随机选一个数 a ,从 ?1,2,3,? 中随机选取一个数 b ,则 b ? a 的概率是 _____ 14.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为__________

15.等比数列 ?an ? 中, a1 , a2 , a3 分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且 a1 , a2 , a3 中的 任何两个数不在下表中的同一列,则数列 ?an ? 的通项公式 an ? ______________.
第一列 第一行 第二行 第三行 3 6 9
x

第二列 2 4 8

第三列 10 14 18

2 ?1? 16.已知函数 f ( x ) ? x ? , g ( x) ? ? ? ? m .若 ?x1 ?[1, 2] , ?x2 ?[?1,1] x ?2?
2

使 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,则实数 m 的取值范围是________________.

3/7

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.如图,A,B 是海面上位于东西方向相距 5(3 ? 3) 海里的 两个观测点,现位于 A 点北偏东 45 ,B 点北偏西 60 的 D 点有一艘轮船发出求救信号,位于 B 点南偏西 60 且与 B 点 相距 20 3 海里的 C 点救援船立即前往营救,其航行速度为 30 海里/小时,该救援船到达 D 点需要多长时间?
? ? ?



D



A

B

C

18.已知函数 f ( x) ?

2x ? 3 1 , 数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an?1 ? f ( ), n ? N * , 3x an

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)令 Tn ? a1a2 ? a2a3 ? a3a4 ? a4a5 ? ? ? a2 na2 n?1 , 求 Tn ; (3)若 Tn ?

m * 对 n ? N 恒成立,求 m 的最小值. 2

19. (本小题 12 分)
4/7

? 如 图 , 在 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , 底 面 是 边 长 为 2 3 的 菱 形 , ?BAD ? 120 且

PA ? 面ABCD , PA ? 2 6 , M , N 分别为 PB, PD 的中点.
(1)证明: MN / /面ABCD (2)设 Q 为 PC 的中点 ,求三棱锥 M ? ANQ 的体积.

P N M A Q D C

B
解:

20. (本小题 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? ax2 ? (2 ? a) x , (1)讨论 f ( x ) 的单调性, (2)设 a ? 0 ,证明:当 0 ? x ?

1 1 1 时, f ( ? x) ? f ( ? x) . a a a

5/7

21. (本小题 12 分) 已知圆 M 的圆心 M 在 x 轴上,半径为 1 ,直线 l : y ? 圆心 M 在直线 l 的下方, (1)求圆 M 的方程;

4 1 x ? 被 M 截得的弦长为 3 ,且 3 2

t (2)设 A(0, ) , B(0, t ? 6) (?5 ? t ? 2) ,若圆 M 是 ?ABC 的内切圆,求 ?ABC 的面积 S
的最大值和最小值.

22.选考题(本小题 10 分) 请从下列三道题当中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,请在答题卷上注 明题号。
22—1.设函数

f ( x) ? 2x ?1 ? 2x ? 3

(1)解不等式 f ( x) ? 5x ? 1 , (2)若 g ( x) ?

1 定义域为 R ,求实数 m 的取值范围. f ( x) ? m 1 的定义域为 R f ( x) ? m

(2) 由于 g ( x) ?

6/7

22—2.如图,在 ?ABC 中, CD 是 ?ACB 的角平分线, ?ACD 的外接圆交

BC 于 E ,

AB ? 2 AC ,
(1)求证: BE ? 2 AD (2)当 AC ? 1, BC ? 2 时,求 AD 的长.
B D

A

C E

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