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3.2 导数的运算43


※高二文科班数学课堂学习单 43※ 班级 姓名 小组 3.2 导数的运算(第二课时) 一,学习目标: 1、 能熟练运用导数公式求切线的斜率问题 二,自学导航:回顾导数公式及导数的几何意义 [例 1] 在抛物线 y=x2 上求点 P, 使该点到直线 x-y-2=0 的距离最短, 并求出最短距离.

小结:利用导数的几何意义即切线的斜率建立方程是解决此类问题的关键

. [例 2] 已知函数 f(x)= x,g(x)=aln x,a∈R.若曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)相交且在交 点处有相同的切线,求 a 的值及该切线的方程.

[巧思] 1

利用交点坐标满足两个函数解析式得到 x=aln x,又在交点处切线相同得到

a = ,联立方程求解. 2 x x 4,我生成的问题:

三,我的收获:本节课的知识结构、学到的方法、易错点

四,课堂检测: π 1 1.设 f(x)=ax2-bsin x,且 f′(0)=1,f′( )= ,则 a=________,b=________. 3 2 2.以初速度 10 m/s 向上抛出一个物体,其上升的高度 s(单位:m)与时间 t(单位:s)的 关系为 s=10t-5t2(取重力加速度 g=10 m/s2),求:

(1)物体被抛出 t s 后的速度;

(2)物体在 t=2 s 时的速度.

3.已知曲线 y=x2-x 在 x=x0 点处的切线与曲线 y=ln x 在 x=1 点处的切线互相垂直. (1)求 x0 的值; (2)求两条切线的方程.

,五,作业 A.6x2+x
? 2 3

3 1.若 y=2x3+ x+cos x,则 y′等于(
2

)
2

-sin x

1 ? 1 ? B.2x2+ x 3 -sin x C.6x2+ x 3 +sin x 3 3

1 ? D.6x2+ x 3 -sin x 3 )

2

2.若可导函数 f(x),g(x)满足 f′(x)=g′(x),则 f(x)与 g(x)满足( A.f(x)=g(x) B.f(x)=g(x)=0

C.f(x)-g(x)为常数函数 D.f(x)+g(x)为常数函数 )

x+1 3.设曲线 y= 在点(3,2)处的切线与直线 ax+y+1=0 垂直,则 a 等于( x-1 A.2 1 B. 2 1 C.- 2 D.-2

4.(2011· 湖南高考)曲线 y= 1 A.- 2 1 B. 2

sin x 1 π - 在点 M( ,0)处的切线的斜率为( 4 sin x+cos x 2 C.- 2 2 D. 2 2

)

5.若函数 f(x)=ax4+bx2+c 满足 f′(1)=2,则 f′(-1)=________. 1 6.两曲线 y= 与 y= x在交点处的两切线的斜率之积为________. x 7.过点(-1,0)与曲线 y=ex 相切的直线方程是________. 8.若曲线 f(x)=ax3+ln x 存在垂直于 y 轴的切线,则实数 a 的取值范围是________. 10.已知函数 f(x)=ax3+bx2+cx 过点(1,5),其导函数 y=f′(x)的图像如图所示,求 f(x) 的解析式.

※高二文科班数学课堂学习单 43※ 班级 姓名 小组 3.2 导数的运算(第二课时) 一,学习目标: 2、 能熟练运用导数公式求切线的斜率问题 二,自学导航:p-p [例 1] 在抛物线 y=x2 上求点 P,使该点到直线 x-y-2=0 的距离最短,并求出最短 距离. [自主解答] 依题意知与直线 x-y-2=0 平行的抛物线 y=x2 的切线,与抛物线的切点
2 到直线 x-y-2=0 的距离最短,设切点坐标为(x0,x0 ).

∵y=x2,∴y′=2x,∵抛物线 y=x2 的切线与直线 x-y-2=0 平行的只有一条,且 k 1 1? 1 =1,∴y′=2x=1,∴x= ,∴切点为? ?2,4?. 2

该点到直线的距离为 d=

?1-1-2? ?2 4 ? 7 2
2 = 8

.

1 1 7 2 ∴P( , )到直线 x-y-2=0 的距离最短为 . 2 4 8 小结:利用导数的几何意义即切线的斜率建立方程是解决此类问题的关键. [例 2] 已知函数 f(x)= x,g(x)=aln x,a∈R.若曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)相交且在交 点处有相同的切线,求 a 的值及该切线的方程. [巧思] 利用交点坐标满足两个函数解析式得到 x=aln x,又在交点处切线相同得到

1 a = ,联立方程求解. 2 x x 1 a [妙解] f′(x)= ,g′(x)= (x>0), x 2 x x=aln x, ? ? e 由已知得? 1 解得 a= ,x=e2, a 2 = , ? ?2 x x ∴两条曲线交点的坐标为(e2,e). 1 切线的斜率为 k=f′(e2)= , 2e 1 ∴切线的方程为 y-e= (x-e2), 2e 即 x-2ey+e2=0.

4,我生成的问题:

三,我的收获:本节课的知识结构、学到的方法、易错点 四,课堂检测: π 1 1.设 f(x)=ax2-bsin x,且 f′(0)=1,f′( )= ,则 a=________,b=________. 3 2 解析:∵f′(x)=2ax-bcos x, f′(0)=-b=1 得 b=-1, π 2 1 1 f′( )= πa+ = ,得 a=0. 3 3 2 2 答案:0 -1 2.以初速度 10 m/s 向上抛出一个物体,其上升的高度 s(单位:m)与时间 t(单位:s)的 关系为 s=10t-5t2(取重力加速度 g=10 m/s2),求: (1)物体被抛出 t s 后的速度; (2)物体在 t=2 s 时的速度. 解:(1)∵s=10t-5t2,∴s′=10-10t. ∴物体被抛出 t s 后的速度为 10-10t. (2)∵s′=10-10t, ∴s′|t=2=10-10×2=-10. 即物体在 t=2 s 时的速度为-10 m/s. 3.已知曲线 y=x2-x 在 x=x0 点处的切线与曲线 y=ln x 在 x=1 点处的切线互相垂直. (1)求 x0 的值; (2)求两条切线的方程. 解:(1)∵曲线 y=ln x 在 x=1 点处的切线斜率为 1 y′|x=1= |x=1=1. x 又∵曲线 y=x2-x 在 x=x0 点处的切线斜率为 y′|x=x0=2x0-1.∴令 2x0-1=-1 得, x0=0. (2)∵把 x0=0 代入 y=x2-x 得 y=0, ∴切点坐标为(0,0). 又∵切线斜率为 y′|x=0=-1,∴曲线 y=x2-x 在 x=0 处的切线方程为 y=-x. ∵把 x=1 代入 y=ln x 得 y=0,∴切点坐标为(1,0).

∴曲线 y=ln x 在 x=1 点处的切线方程为 y=x-1.

,五,作业 一、选择题 3 1.若 y=2x3+ x+cos x,则 y′等于( A.6x2+x
? 2 3 2

)
2

-sin x

1 ? 1 ? B.2x2+ x 3 -sin x C.6x2+ x 3 +sin x 3 3

1 ? D.6x2+ x 3 -sin x 3

2

3 解析:y′=(2x3)′+( x)′+(cos x)′ 1 ? =6x2+ x 3 -sin x. 3 答案:D 2.f(x)与 g(x)是定义在 R 上的两个可导函数,若 f(x),g(x)满足 f′(x)=g′(x),则 f(x) 与 g(x)满足( A.f(x)=g(x) ) B.f(x)=g(x)=0 C.f(x)-g(x)为常数函数 D.f(x)+g(x)为常数函数
2

解析:由 f′(x)=g′(x),得 f′(x)-g′(x)=0, 即[f(x)-g(x)]′=0,所以 f(x)-g(x)=C(C 为常数). 答案:C x+1 3.设曲线 y= 在点(3,2)处的切线与直线 ax+y+1=0 垂直,则 a 等于( x-1 A.2 1 B. 2 1 C.- 2 D.-2 )

-2 x+1 1 解析:∵y′= 在点(3,2)处的切线的斜率为- ,∴-a=2, 2,∴曲线 y= 2 ?x-1? x-1 a=-2. 答案:D 4.(2011· 湖南高考)曲线 y= 1 A.- 2 1 B. 2 sin x 1 π - 在点 M( ,0)处的切线的斜率为( 4 sin x+cos x 2 C.- 2 2 D. 2 2 )

cos x?sin x+cos x?-sin x?cos x-sin x? 1 π 1 解析: y′= = , 把 x= 代入得导数值为 . 4 2 ?sin x+cos x?2 1+sin 2x 答案:B 二、填空题 5.若函数 f(x)=ax4+bx2+c 满足 f′(1)=2,则 f′(-1)=________. 解析:由 f(x)=ax4+bx2+c 得 f′(x)=4ax3+2bx,又 f′(1)=2,所以 4a+2b=2,即

f′(-1)=-4a-2b=-(4a+2b)=-2. 答案:-2 1 6.两曲线 y= 与 y= x在交点处的两切线的斜率之积为________. x 1 解析:两曲线 y= 与 y= x的交点坐标为(1,1), x 1 1 ∴k1=( )′|x=1=- 2|x=1=-1, x x k2=( x)′|x=1= 1 ∴k1· k2=- . 2 1 答案:- 2 7.过点(-1,0)与曲线 y=ex 相切的直线方程是________. 解析:由于点(-1,0)不在曲线 y=ex 上,故可设切点为(x0,ex0), ∴切线斜率为 k=(ex)′|x=x0=ex0. ex0-0 又切线斜率 k= , x0+1 ∴ ex0 =ex0? x0=0. x0+1 1 |x=1= . 2 2 x 1

∴k=1.∴切线方程为 y=x+1. 答案:y=x+1

8.若曲线 f(x)=ax3+ln x 存在垂直于 y 轴的切线,则实数 a 的取值范围是________. 1 解析:f′(x)=3ax2+ , x ∵f(x)存在垂直于 y 轴的切线, 1 ∴f′(x)=0 有解,即 3ax2+ =0 有解. x 1 ∴3a=- 3.而 x>0,∴a∈(-∞,0). x 答案:(-∞,0) 三、解答题 10.已知函数 f(x)=ax3+bx2+cx 过点(1,5),其导函数 y=f′(x)的图像如 图所示,求 f(x)的解析式. 解:∵f(x)=ax3+bx2+cx, ∴f′(x)=3ax2+2bx+c.由图像可知 f′(1)=0,f′(2)=0.

∴3a+2b+c=0,① 12a+4b+c=0,② 又函数 f(x)的图像过点(1,5), ∴f(1)=5,即 a+b+c=5③ 由①②③可得 a=2,b=-9,c=12. ∴函数 y=f(x)的解析式为 f(x)=2x3-9x2+12x.


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