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直线与圆锥曲线的综合问题


直线与圆锥曲线的综合问题
第一部分 一.知识体系小结 1.圆锥曲线的标准方程

?1? 椭圆:焦点在x轴上时

y 2 x2 焦点在y轴上时 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0). a b x2 y 2 y2 x2 ? 2 ? 双曲线:焦点在x轴上: 2 ? 2 ? 1(a ? 0,b ? 0);焦点在y轴上: 2 ? 2 ?

1(a ? 0,b ? 0). a b a b ? 3? 抛物线:开口向右时,y 2 ? 2 px( p ? 0),开口向左时,y 2 ? ?2 px( p ? 0), 开口向上时x 2 ? 2 py ( p ? 0),开口向下时x 2 ? ?2 py ( p ? 0).

? x ? a cos ? x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ? ? (参数方程,其中?为参数); 2 a b ? y ? b sin ?

2.常用曲线方程设法技巧 x2 y 2 x2 y2 ? 1; ?1? 共焦点的设法:与椭圆 2 ? 2 ? 1有公共焦点的椭圆方程为 2 ? 2 a b a ? ? b ? ? x2 y 2 x2 y2 与双曲线 2 ? 2 ? 1有公共焦点的双曲线方程为 2 ? 2 ? 1; a 2 b a ? ? b ? ? x y2 x2 y 2 ? 2 ? 与双曲线 2 ? 2 ? 1共渐近线的双曲线方程为 2 ? 2 ? ? (? ? 0); a b a b ? 3?中心在原点,对称轴为坐标轴的椭圆、双曲线方程可设为mx 2 ? ny 2 ? 1; ? 4 ? 不清楚开口方向的抛物线设法:焦点在x轴上,y 2 ? mx(m ? 0); 焦点在y轴上,x 2 ? my (m ? 0).
3.解决直线与圆锥曲线问题的通法: (1)设方程及点的坐标;(2)联立直线方程与曲线方程得方程组,消元得方程; (3)应用韦达定理及判别式;(4)结合已知、中点坐标公式、斜率公式及弦长公式求解.

(5)直线与圆锥曲线相交的弦长公式 | AB |? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 或 | AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 | ? (1 ? k 2 )[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ] ? 1 ? 1 | y1 ? y2 | . k2

4.圆锥曲线中点弦斜率公式 b2 x x2 y 2 在椭圆 2 ? 2 ? 1中,以P ( x0,y0 )为中点的弦所在直线的斜率k ? ? 2 0 ; a b a y0 2 2 b 2 x0 x y 在双曲线 2 ? 2 ? 1中,以P ( x0,y0 )为中点的弦所在直线的斜率k ? 2 ; a b a y0 p 在抛物线y 2 ? 2 px( p ? 0)中,以P( x0,y0 )为中点的弦所在直线的斜率k ? . y0 以上公式均可由点差法可得.

5.解析几何与向量综合的有关结论

?1? 给出直线的方向向量u ? (1,k )或u ? (m,n),等价于已知直线的斜率k或 ? 2 ? 给出OA ? OB与AB相交,等价于已知OA ? OB过AB的中点. ???? ? ???? ? 3? 给出PM ? PN ? 0,等价于已知P是MN的中点. ??? ? ???? ??? ? ??? ? ? 4 ? 给出AP ? AQ ? ? ( BP ? BQ),等价于已知A,B与PQ的中点三点共线.
??? ? ??? ? ??? ? ??? ?

n . m

1

? 5 ? 给出以下情形之一:① AB / / AC;②存在实数?,使 AB ? ? AC;

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? ??? ? ③若存在实数?,?,且? ? ? ? 1,使OC ? ? OA ? ? OB,等价于已知A,B,C三点共线. ???? ???? ???? ???? ?AMB是直角;给出MA ? MB ? m ? 0, ? 6 ? 给出MA ? MB ? 0,等价于已知MA ? MB,即 ???? ???? 等价于已知?AMB是钝角或反向共线;给出MA ? MB ? m ? 0, 等价于已知?AMB是锐角或同向共线. ???? ???? ???? MA MB ? 7 ? 给出? ( ???? ? ???? ) ? MP,等价于已知MP是?AMB的角平分线. MA MB

二. 例题剖析
1.概念性质

【例1】已知F1、F2为椭圆

x2 y 2 ? ? 1的两个焦点,过F1的直线交椭圆于A、B两点. 25 9 若 | F2 A ? F2 B |? 12,则 | AB |? __________ .

解析:由椭圆的定义可知:|F1A|+|F2A|=2a=10,|F1B|+|F2B|=2a=10,所以|AB|=20-|F2A|-|F2B|=8. 小结: 1.对椭圆、双曲线,已知曲线上的点与一个焦点的距离时,常作辅助线:连结它与另一个焦点,考虑使 用定义解题. 2.要熟悉焦点三角形的性质及研究方法

【变式训练1】椭圆

x2 y 2 ? ? 1的焦点为F1,F2,P在椭圆上,如果线段PF1的 12 3 中点在y轴上,则 PF1 是 PF2 的 ? ? D. 3倍 2 b 3 3 3 7 3 解析: 由题意,PF2 ? x轴,则可计算出 PF2 ? ? ? , PF1 ? 4 3 ? ? , a 2 3 2 2 2 2.椭圆方程 因此 PF1 是 PF2 的7倍.答案为A A.倍 7 B. 5倍 C.倍 4

y 2 x2 【例2】已知椭圆C1: 2 ? 2 ? 1(a>b>0)的右顶点为A ?1, 0 ?,过C1的焦点且垂直 a b 长轴的弦长为1.

?1? 求椭圆C1的方程; ? 2 ? 设点P在抛物线C2:y ? x 2 ? h(h ? R)上,C2在点P处的切线与C1交于点M 、N .
当线段AP的中点与MN的中点的横坐标相等时,求h的最小值. ?b ? 1 ?a ? 2 y2 解析: ,从而 ? .因此,所求的椭圆方程为 ? x 2 ? 1. ?1?由题意,得 ? ? b2 4 ?b ? 1 ?2 ? ? 1 ? a
直线MN的方程为:y ? 2tx ? t 2 ? h.将上式代入椭圆C1的方程中, 得4 x 2 ? (2tx ? t 2 ? h) 2 ? 4 ? 0.即4(1 ? t 2 ) x 2 ? 4t (t 2 ? h) x ? (t 2 ? h) 2 ? 4 ? 0.① 因为直线MN 与椭圆C 1 有两个不同的交点, 所以①式中的?1 ? 16[?t 4 ? 2( h ? 2)t 2 ? h 2 ? 4]>0.② x ? x2 t (t 2 ? h) 设线段MN的中点的横坐标是x3,则x3 ? 1 ? . 2 2(1 ? t 2 )

? 2 ? 设M ( x1,y1 ),N ( x2,y2 ),P(t,t 2 ? h),则抛物线C2在点P处的切线斜率为y? |x ?t ? 2t,

t ?1 .由题意,得x3 ? x4,即t 2 ? (1 ? h)t ? 1 ? 0.③ 2 2 由③式中的? 2 ? (1 ? h) ? 4 ? 0,得h ? 1,或h ? ?3.当h ? ?3时,h ? 2<0, 4 ? h 2<0, 设线段PA的中点的横坐标是x4,则x4 ? 则不等式②不成立,所以h ? 1.当h ? 1时,代入方程③得t ? ?1, 将h ? 1,t ? ?1代入不等式②,检验成立.所以,h的最小值为1.

2

【变式训练2】已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ?的离心率为e,左右焦点分别为F1 ? ?c, 0 ?, a 2 b2 F2 ? c, 0 ?,Q是椭圆外且不在x轴上的动点,满足 F1Q ? 2a,点P ( x,y )是线段QF1与椭圆 ??? ? ???? 的交点,点T 是线段F2Q上的点,且满足 PT ? TF2 ? 0,求点T的轨迹.
解析:不妨设T ( x1,y1 ),Q( x,y ),如图所示,F2 ? c, 0 ?. 因为PT ? TF2且 F1Q ? 2a,得T 为F2Q的中点. 因此有2x1 ? c ? x, 2y1 ? y.又因为 F1Q ? 2a, 则可得 ? x ? c ? ? y 2 ? 4a 2,因此有 ? 2x1 ? c ? c ? ? 4y12 ? 4a 2,
2 2

化简得x12 ? y12 ? 4a 2 .
【例 3】如图,抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点,点 P(1,2),A(x1,y1),B(x2,y2) 均在抛物线上. (1)写出该抛物线的方程及其准线方程; (2)当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时,求 y1+y2 的值及直线 AB 的斜率.

解析: ?1?由已知条件,可设抛物线的方程为y 2 ? 2 px.因为点P ?1, 2 ? 在抛物线上, 所以22 ? 2 p ? 1 ,解得p ? 2.故所求抛物线的方程是y 2 ? 4 x,其准线方程是x ? ?1.

? 2 ? 设直线PA的斜率为k PA,直线PB的斜率为k PB,则k PA ?
因为PA与PB的斜率存在且倾斜角互补,所以k PA ? ?k PB . 由A( x1,y1 ),B ( x2,y2 )均在抛物线上,得y12 ? 4 x1, ①

y1 ? 2 y ?2 ( x1 ? 1),k PB ? 2 ( x2 ? 1). x1 ? 1 x2 ? 1
2 y2 ? 4 x2, ②

y1 ? 2 y ?2 ?? 2 ,所以y1 ? 2 ? ?( y2 ? 2),所以y1 ? y2 ? ?4. 1 2 1 2 y1 ? 1 y2 ? 1 4 4 y ? y1 4 由① ? ②得,直线AB的斜率为k AB ? 2 ? ? ?1( x1 ? x2 ). x2 ? x1 y2 ? y1 所以
【变式训练3】抛物线y ? x 2上异于坐标原点O的两个相异的动点A,B满足OA ? OB, 问: ? AOB的面积是否存在最小值?若存在,求出最小值;若不存在,请说明理由. yy 解析:设A( x1,y1 ),B ( x2,y2 ).因为OA ? OB,则有 1 2 ? ?1,所以x1 x2 ? ?1,y1 y2 ? 1. x1 x2
x 2 ? y12 1 2 2 OA OB ? , 1 x2 ? y2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 因此有4S 2 ? (x1 ? y1 )(x 2 2 ? y 2 ) ? ( y1 ? y1 )( y2 ? y 2 ) ? [ y1 y2 ? y1 y 2 ? y1 y2 ? y1 ? y2 ?] 不妨设? AOB的面积为S,则S ? ? 2 ? y1 ? y2 ? 2 ? 2 y1 y2 ? 4,因此S ? 1,当且仅当y1 ? y2 ? 1时取到最小值. 即此时A ? ?1,1?,B ?1,1?,S min ? 1.
小结:抛物线焦点弦的性质: 2 直线 l 过抛物线 y =2px(p>0)的焦点 F,交抛物线于 A、B 两点,则有:(1)通径的长为 2p; (2)焦点弦公式: 2 2 |AB|=x1+x2+p;(3)x1x2=p /4,y1y2=-p . (4)以焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切.

第二部分 一.知识体系小结 1.椭圆中的最值 x2 y 2 F1,F2为椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0)的左、右焦点,P为椭圆上的任意一点,B为短轴的 a b 一个端点,O为坐标原点,则有: ?1? | OP |? [b,a]. ? 2 ? | PF1 |? [a ? c,a ? c]. ? 3? | PF1 | ? | PF2 |? [b 2,a 2 ]. ? ? 4 ? ?F1PF2 ? ?F1BF2 . ? 5? S? F1PF2 ? b 2 tan (? ? ?F1PF2 ). ? 6 ? 焦点弦以通径为最短. 2
3

2.双曲线中的最值 x2 y 2 F1,F2为双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0,b ? 0)的左、右焦点,P为双曲线上的任一点, a b b2 O为坐标原点,则有: ?1? | OP |? a. ? 2 ? | PF1 |? c ? a. ? 3? S?F1PF2 ? ? (? ? ?F1PF2 ). tan 2

3.抛物线中的最值点 p . ? 2 ? 焦点弦AB以通径 2 为最值,即 | AB |? 2 p. ? 3? A(m,n)为一定点,则 | PA ? PF | 有最小值. P为抛物线y 2 ? 2 px( p ? 0)上的任一点,F 为焦点,则有: ?1? | PF |? 4.双曲线的渐近线

?1? 求法:令双曲线标准方程的左边为零,分解因式可得. ? 2 ? 用法:①可得
b a 或 的值;②利用渐近线方程设所求双曲线的方程. a b 5.直线与圆锥曲线的位置关系

?1? 相离; ? 2 ? 相切; ? 3? 相交.特别地,①当直线与双曲线的渐近线平行时,
直线与双曲线相交且只有一个公共点.②当直线与抛物线的对称轴平行或重合时, 直线与抛物线相交且只有一个公共点.
【注】 :设直线 l:Ax+By+C=0,圆锥曲线:f(x,y)=0,由?
?Ax+By+C=0 ? ? ?f(x,y)=0

消元(x 或 y),若消去 y 得 a1x2

+b1x+c1=0. (1)若 a1=0,此时圆锥曲线不是椭圆.当圆锥曲线为双曲线时,直线 l 与双曲线的渐近线平行或重合;当圆 锥曲线是抛物线时,直线 l 与抛物线的对称轴平行或重合. (2)若 a1≠0,Δ =b-4a1c1,则 ①Δ >0 时,直线与圆锥曲线 ②Δ =0 时,直线与圆锥曲线 ③Δ <0 时,直线与圆锥曲线 ,有 ,有 ,没有 交点; 的公共点; .

二.例题剖析
1.定值问题

【例1】已知椭圆方程为

x2 2 ? y 2 ? 1,点M ( 2, ),过M 作倾斜角互补的两条直线, 4 2 分别与椭圆交于A、B两点(异于M ). ?1? 求证直线AB的斜率为定值;

? 2 ? 求? AMB面积的最大值.
解析:定点、定值、最值问题是圆锥曲线的综合问题,它涉及到直线,圆锥曲线的定义、方程及位置关系,同 时又与三角、函数、不等式、方程、平面向量、导数等代数知识紧密联系.解这类问题时,需要有较强的代数 运算能力和识图能力,要能准确地进行数与形的语言转换和运算、推理转换,并在运算过程中注意思维的严密 性,以保证结果的完整.

?1? 证明:由题可知直线MA的斜率存在,且MA与MB的斜率互为相反数,
2

不妨设直线MA 的斜率为k ( k ? 0),则直线MA 的方程为:y ? 直线MB的方程为y ?

2 ? k(x ? 2

2 ),

2 x ? ? k ( x ? 2 ),代入 ? y 2 ? 1可分别求得, 2 4 y ? yB 2 (4k 2 ? 4k ? 1 ) 2 (4 k 2 ? 4 k ? 1 ) xA ? ,x B ? ,所以k AB ? A ? 2 4k ? 1 4k 2 ? 1 x A ? xB k ( x A ? xB ? 2 2 ) 1 1 ? .即直线AB的斜率为定值 . x A ? xB 2 2

4

? 2 ? 设直线AB的方程为y ?

1 x2 x ? m(m ? 0),代入 ? y 2 ? 1得, 2 4 2 2 2 x ? 2mx ? 2m ? 2 ? 0,由? ? 0,得0 ? m ? 2.而x A ? xB ? ?2m,x A xB ? 2m 2 ? 2. 5 ?4m 2 ? 8 2 1 ? | AB |2 ?d 2 ? ? m 4 ? 2m 2,又0 ? m 2 ? 2, 4

所以 | AB |? (1 ? k 2 )[( x A ? xB ) 2 - 4 x A xB ] ?

点M 到直线AB的距离为d ? 当m ? ?1时,S max ? 1.
2.定点问题

2m 5

.则S?2AMB

15 17 【例2】已知点F (0, ),上半平面内的点P到点F 和x轴的距离之和为 . 4 4 ?1? 求动点P的轨迹方程; ? 2 ? 设动点P的轨迹方程为C,曲线C交y轴于点M , 在曲线C上是否存在两点A,B,使?AMB ?

?
2



? 3? 若A,B是曲线上满足?AMB ?

?
2

的两点,求证:直线AB与y轴交于一定点.

15 2 17 ? ? y ? , 4 4 2 化简得动点P的轨迹方程为x ? ? ? y ? 4 ? (0 ? y ? 4).这是一个以 ? 0, 4 ? 为顶点, 解析: ?1? 设P点坐标为( x,y),其中y ? 0.依题意得 x 2 ? ? y ? 2p ? 1,开口向下的抛物线的一部分(其中0 ? y ? 4). ? 2 ? 考虑到抛物线的对称性,不妨设直线MA:y ? 4 ? x,直线MB:y ? 4 ? ? x,
分别与x 2 ? ? ? y ? 4 ? (0 ? y ? 4)联立,可得两个点的坐标为A ? ?1,3 ?,B ?1,3 ?, 此时?AMB ?

?
2

.
1 x ? 4. k

? 3? 设直线AM 的方程为y ? kx ? 4,直线BM 的方程为y ? ?

? y ? kx ? 4 ? x ? ?k 由方程组 ? 2 ,解得 ? ,即A点坐标为 ? ? k , 4 ? k 2 ?. 2 ? x ? ?? y ? 4 ? ?y ? 4? k 1 1 1 同理可得B点坐标为( , 4 ? 2 ),则直线AB的斜率为k ? ,所以直线AB的方程 k k k 1 为y ? ? 4 ? k 2 ? ? (k ? ) ? x ? k ? .令x ? 0,得y ? 3,从而直线AB与y轴交于定点 ? 0, 3 ?. k
【变式训练1】设A为双曲线 则直线AC必过定点 ? 41 A. ( , 0) 10 x2 y2 ? ? 1右支上一动点,F 为该双曲线的右焦点, 16 9 连接AF 交双曲线于B,过B作直线BC垂直于双曲线的右准线,垂足为C,

?
C. ? 4, 0 ? 22 D. ( , 0) 5

18 B. ( , 0)C 5

解析:此题也可采用探索法,考虑特殊情况,即AB与x轴垂直时, 便可得出一个定点(
3.最值问题

41 , 0),故选A. 10

5

【例3】设椭圆方程为x 2 ?

y2 ? 1,过点M ? 0,1?的直线l交椭圆于A、B两点, 4 ??? ? 1 ??? ? ??? ? 1 1 O是坐标原点,点P满足OP ? (OA ? OB),点N的坐标为( , ).当l绕 2 2 2 点M 旋转时,求: ?1? 动点P的轨迹方程; ??? ? ? 2 ? | NP | 的最大值与最小值.

解析: ?1? 直线l过点M ? 0,1?,当斜率存在时,设其斜率为k,则l的方程为y ? kx ? 1.

? y ? kx ? 1 ? 记A( x1,y1 ),B ( x2,y2 ),由 ? 2 y 2 ,得(4 ? k 2 ) x 2 ? 2kx ? 3 ? 0, ?1 ?x ? ? 4 2k ? x1 ? x2 ? ? ? ? 1 ??? ? ??? ? x ? x y ? y2 ?k 4 ? 4 ? k 2 ??? 所以 ? .则OP ? (OA ? OB ) ? ( 1 2 ,1 )?( , 2 ). 2 2 2 2 4?k 4?k ?y ? y ? 8 1 2 2 ? 4?k ? 设点P的坐标为( x,y ),则,消去k 得4 x 2 ? y 2 ? y ? 0.

当斜率不存在时,AB的中点为原点 ? 0, 0 ?,也满足上述方程. 所以点P的轨迹方程为4 x 2 ? y 2 ? y ? 0. ??? ? 1 1 1 1 1 ,即 ? ? x ? .所以 | NP |2 ? ( x ? ) 2 ? ( y ? ) 2 16 4 4 2 2 ??? ? 1 7 1 21 ? ?3( x ? ) 2 ? .故当x ? ? 时, | NP | 取得最大值为 ; 6 12 6 6 ??? ? 1 1 当x ? 时, | NP | 取得最小值为 . 4 4

? 2 ?由点P的轨迹方程知x 2 ?

??? ? 【变式训练2】已知定点M ? 0, 2 ?、N (0, ? 2)、Q ? 2,0 ?,动点P满足m | PQ |2 ???? ??? ? ? MP ? NP ? 0(m ? R). ?1? 求动点P的轨迹方程,并说明轨迹的形状; ???? ??? ? 2 当 m ? 0 时, 求 | 2 MP ? NP | 的取值范围. ? ?
???? ??? ? ??? ? 解析: NP ? ( x,y ? 2), PQ ? (2 ? x, ? y ), ?1? 设P( x,y ),则MP ? ( x,y ? 2), ??? ? 2 ???? ??? ? | PQ | ? (2 ? x) 2 ? ( ? y ) 2, MP ? NP ? x 2 ? y 2 ? 4所以m[(2 ? x) 2 ? y 2 ] ? x 2 ? y 2 ? 4, 整理得, (m ? 1) x 2 ? (m ? 1) y 2 ? 4mx ? 4m ? 4 ? 0.当m ? 1时,方程为x ? 2, 表示过点 ? 2, 0 ? 平行于y轴的直线;当m ? 1时,方程化为( x ? 表示以( 2m 2 , 0)为圆心,以 为半径的圆. m ?1 m ?1 2m 2 2 2 ) ? y2 ? ( ), m ?1 m ?1

2 MP ? NP ? (3 x, 3 y ? 2), ? 2 ? 当m ? 0时,方程化为x 2 ? y 2 ? 4, ???? ??? ? 所以 | 2 MP ? NP |? 9 x 2 ? 9 y 2 ? 12 y ? 4,又因为x 2 ? y 2 ? 4, ???? ??? ? 所以 | 2 MP ? NP |? 40 ? 12 y , 而 ? 2 ? y ? 2 ???? ??? ? 所以 | 2 MP ? NP | 的取值范围是 ? 4, 8?.

????

??? ?

第三部分 一.知识体系小结 1.求轨迹方程的常用方法:

?1? 轨迹法:①建系设动点.②列几何等式.③坐标代入得方程.④化简方程.
⑤除去不合题意的点作答.
6

(2)待定系数法:已知曲线的类型,先设方程再求参数. (3)代入法:当所求动点随已知曲线上动点的动而动时用此法,代入法的步骤: ①设出两动点坐标(x,y),(x0,y0).②结合已知找出 x,y 与 x0,y0 的关系,并用 x,y 表示 x0,y0. ③将 x0, y0 代入它满足的曲线方程,得到 x,y 的关系式即为所求. (4)定义法:结合几种曲线的定义,明确所求曲线的类型,进而求得曲线的方程. 3.有关弦的中点问题 (1)通法. (2)“点差法” .点差法的作用是用弦的中点坐标表示弦所在直线的斜率. 点差法的步骤:①将两交点 A(x1,y1),B(x2,y2)的坐标代入曲线的方程; ②作差消去常数项得到关于 x1+x2,x1-x2,y1+y2,y1-y2 的关系式. ③求出 AB 的斜率 4.取值范围问题 (1)椭圆上的点到焦点的距离的最大值为 a+c,最小值为 a-c; (2)双曲线上的点到左焦点的最小距离为 c-a; (3)抛物线上的点到焦点的距离的最小值为 p/2 .

二.例题剖析
1.参数范围问题

【例1】已知点G是?ABC的重心,A(0, ? 1),B ? 0,1?,在x轴上有一点M ,满足 ???? ???? ? ???? ? ??? ? | MA ? MC | , GM ? ? AB(? ? R). ?1? 求点C的轨迹方程; ??? ? ???? ? 2 ? 若斜率为k的直线l与点C的轨迹交于不同的两点P、Q,且满足 | AP ? AQ | , 试求k的取值范围. ???? ? ??? ? x y 解析: ?1? 设C ( x,y ),G为?ABC的重心,则G ( , ).因为GM ? ? AB(? ? R), 3 3 ???? ???? ? x 所以GM ? AB,而点M 在x轴上,则M ( ,.由 0) | MA ? MC | ,得 3 x 2 x x2 ( ) ? (0 ? 1) 2 ? ( ? x) 2 ? y 2,整理得 ? y 2 ? 1( x ? 0). 3 3 3 x2 所以点C的轨迹方程为 ? y 2 ? 1( x ? 0) 3 ? 2 ? ①当k ? 0时,l与椭圆C有两个不同的交点P、Q,由椭圆的对称性知 ??? ? ???? x2 | AP ? AQ | .②当k ? 0时,可设l的方程为y ? kx ? m,代入 ? y 2 ? 1, 3 2 2 2 整理得, (1 ? 3k ) x ? 6kmx ? 3(m ? 1) ? 0, ?*?因为直线l与椭圆交于不同的两点,
所以? ? (6km) 2 ? 4(1 ? 3k 2 ) ? 3( m 2 ? 1) ? 0,即1 ? 3k 2 ? m 2 ? 0, ?**?
6km 3( m 2 ? 1) , x x ? , 1 2 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2 x ? x2 3km m 则PQ中点N ( x0,y0 )的坐标为x0 ? 1 ?? ,y0 ? kx0 ? m ? , 2 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2 m ?1 ??? ? ???? ???? ??? ? 2 又 | AP ? AQ | ,所以 AN ? PQ,所以k ? k AN ? k ? 1 ? 3k ? ?1, 3km 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2 得m ? ,代入 ?**? 得k 2 ? 1,所以k ? ? ?1, 0 ?? 0,1?. 2 综合①②得,k的取值范围是 ? ?1,1?. 设P ( x1,y1 ),Q ( x2,y2 ),则x1 ? x2 ? ?

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【变式训练1】在Rt? ABC中,斜边BC为10,以BC的中点为圆心,作半径为3的圆, 分别交BC于P、Q两点,设l ? AP ? AQ ? PQ ,试问?是否是定值? 如果是定值,请求出这个值.
解析:如图所示,建立直角坐标系.因为圆O的半径为3,因此 PQ ? 36, 利用圆心O, ? PAQ可构造得平行四边形APDQ,根据平行四边形的边长关系 得, 2 AP ? AQ
2

2

2

2

?

2

2

? ? PQ
2

2

? AD ,而 AD ? 4 AO ? 100,因此2 AP ? AQ
2 2

2

2

2

?

2

2

?

? 100 ? 36,所以 AP ? AQ ? PQ ? 68 ? 36 ? 104.

2.存在性问题 【例2】已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,一个顶点为B (0, ? 1),且其右焦点
到直线x ? y ? 2 2 ? 0的距离为3. ?1? 求椭圆的方程; 3 ? 2 ? 是否存在斜率为k (k ? 0),且过定点Q(0, )的直线l,使l与椭圆交于不同的两个 2 点M 、N,且 | BM ? BN | ?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.

x2 y 2 解析: ?1? 设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0),由已知得b ? 1,设右焦点为(c, 0), a b x2 ? y 2 ? 1. 3 2 3 x2 15 ? 2 ? 设直线l的方程为y ? kx ? ,代入 ? y 2 ? 1,得(1 ? 3k 2 ) x 2 ? 9kx ? ? 0, 2 3 4 ?9k 设M ( x1,y1 ),N ( x2,y2 ),则x1 ? x2 ? ,设MN的中点为P, 1 ? 3k 2 ?9 k 3 则P点的坐标为( , ),因为 | BM ? BN | ,所以点B在线段MN的中垂线上, 2 2 ? 6k 2 ? 6k 2 3 ?1 1 2 ? 6k 2 2 5 所以k BP ? ? ? ,化简得k 2 ? ,又由? ? 0得,k 2 ? , ? 9 k k 3 12 2 2 ? 6k 2 5 6 6 3 因为 ? ,所以k ? ? .故存在直线l满足题意,l的方程为y ? ? x? . 3 12 3 3 2 2 【变式训练2】设直线l与抛物线y ? 2px ? p ? 0 ? 交于A、B两点,已知当直线l经过 由题意得 ? 3,得c ? 2,所以a 2 ? b 2 ? c 2 ? 3,得椭圆方程为 c?2 2

1 抛物线焦点且与x轴垂直时, ? OAB的面积为 (O为坐标原点). 2 ?1? 求抛物线的方程;

? 2 ?当直线l经过点P ? a, 0 ?? a ? 0 ? 且与x轴不垂直时,若在x轴上存在点C,
使得? ABC为正三角形,求a的取值范围.
p 1 p 解析: ?1?由条件可得 AB ? 2p,又O点到AB的距离为 ,S? OAB ? ? 2p ? 2 2 2 1 1 ? p 2 ? ,所以p ? 1,因此抛物线的方程为y 2 ? 2x. 2 2 ? 2 ? 设A( x1,y1 ),B( x2,y2 ),AB的中点为M ( x0,y0 ),又设C ? t , 0 ?,直线l: ? x ? my ? a y ? y2 x ? my ? a (m ? 0),由 ? 2 ,所以y 2 ? 2my ? 2a ? 0,所以y0 ? 1 ? m, y ? 2 x 2 ? 所以x0 ? m 2 ? a,因为? ABC为正三角形,所以MC ? AB, MC ? 由MC ? AB,得 y0 1 ? ? ? 1, x0 ? t m 3 AB , 2

8

3 3 2 AB ,得 ? x0 ? t ?2 ? y0 ? ? x1 ? x2 ?2 ? ? y1 ? y2 ? 2, 2 2 3 化简得 ? m 2 ? a ? t ?2 ? m 2 ? ? m 2 ? 1? ? 4? m 2 ? 2a ?,因此可得1 ? m 2 ? 2 1 m2 1 3 ? m 2 ? 1?? m 2 ? 2a ?,所以a ? ? ,因为m ? 0,所以m 2 ? 0,所以0 ? a ? , 6 2 6 1 所以a的取值范围为(0, ). 6 3.综合问题 所以t ? m 2 ? a ? 1.又 MC ?

【例3】 (2011? 浙江卷)已知抛物线C1:x 2 ? y,圆C2:x 2 ? ? y ? 4 ? ? 1的圆心为M .
2

?1? 求点M 到抛物线C1的准线的距离; ? 2 ?已知点P是抛物线C1上一点(异于原点),过点P作圆C2的两条切线,交抛物线
C1于A,B两点,若过M ,P两点的直线 l垂直于AB,求直线l的方程. 1 解析: ?1?因为M ? 0, 4 ?,且2p ? 1,所以准线方程为y ? ? ,因此点M 到准线 4 1 17 的距离为4 ? ? . 4 4 m2 ? 4 4 2 2 2 ?m? , ? 2 ? 设P(m,m ),A( x1,x1 ),B( x2,x2 ),k AB ? x1 ? x2,k PM ? m m 4 因为PM ? AB,则k PM ? k AB ? ?1,所以 ? x1 ? x2 ? (m ? ) ? ?1. m 设过P点且与圆C2相切的直线的斜率为k,则过P的圆的切线方程为y ? m 2 ? k ? x ? m ?,

由圆心 ? 0, 4 ? 到切线的距离为1,得1 ?
2

| m 2 ? km ? 4 | 1? k 2


2

所以k 2 ? 1 ? k 2 m 2 ? ? 4 ? m 2 ? ? 2km ? 4 ? m 2 ?,k 2 ? m 2 ? 1? ? 2m ? 4 ? m 2 ? k ? 1 ? ? m 2 ? 4 ? ? 0,
?2m(4 ? m 2 ) ,设切线y ? m 2 ? k1 ? x ? m ?,则x 2 ? k1 ? x ? m ? ? m 2 ? 0, m2 ? 1 所以m ? x1 ? k1,设切线y ? m 2 ? k 2 ? x ? m ?,则x 2 ? k 2 ? x ? m ? ? m 2 ? 0, 所以k1 ? k2 ? 所以m ? x2 ? k 2,所以x1 ? x2 ? k1 ? k 2 ? 2m,代入 ? x1 ? x2 ? (m ? 4 ) ? ?1, m

4 m2 ? 4 4 23 得 ? k1 ? k2 ? 2m ? (m ? ) ? ?1,所以2m( 2 ? 1)( m ? ) ? ?1,所以m 2 ? , m m ?1 m 5 3 23 m2 ? 4 3 115 m?? ,k PM ? ? 5 ,故所求的直线方程为y ? ? x ? 4. 5 m 115 23 ? 5 2 2 x y 【变式训练3】已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0)的左、右焦点分别是F1 (?c, 0)、F2 (c, 0). a b ???? Q是椭圆外的动点,满足 | F1Q |? 2a.点P是线段F1Q与该椭圆的交点,点T 在线段 ??? ? ???? ???? F2Q上,并且满足 PT ? TF2 ? 0, | TF2 |? 0. ?1? 求点T的轨迹C的方程;

? 2 ? 试问:在点T的轨迹C上,是否存在点M ,使?F1MF2的面积S ? b 2?
若存在,求?F1MF2的正切值;若不存在,说明理由.

9

??? ? ???? ???? ??? ? ???? 解析: | TF2 |? 0,所以PT ? TF2, ?1? 设T ( x,y),因为PT ? TF2 ? 0, ???? ???? ??? ? ???? ???? ? ??? ? ???? ? 又 | F1Q ? PF1 ? PQ |? 2a,而由椭圆定义 | PF1 ? PF2 |? 2a,所以 | PQ ? PF2 | , ??? ? 1 ???? 则T 为线段QF2的中点,连结OT,OT 为?F1 F2Q的中位线,则 | OT |? | QF1 |? a, 2 2 2 2 即点T的轨迹方程为x ? y ? a .
2 2 ? x0 ? y0 ? a2 b2 ? ,得 | y | ? . ? 2 ? 假设存在点M 满足题意,设M ( x0,y0 ),则 ? 1 0 2 c ? S ? ? 2c ? y0 ? b ? 2 2 b 而 | y0 |? a,当a ? 时,存在点M ,使S ? b 2; c 2 ???? ? ????? b b2 当a ? 时,不存在M 点.当a ? 时, MF1 ? (?c ? x0, ? y0 ), MF2 ? (c ? x0, ? y0 ), c c ???? ? ????? ???? ? ????? 2 2 MF1 ? MF2 ? x0 ? c 2 ? y0 ? a 2 ? c 2 ? b 2,即 | MF1 || MF2 | cos ?F1MF2 ? b 2, ? ????? 1 ???? 又S ? | MF1 || MF2 | sin ?F1MF2 ? b 2 .所以 tan ?F1MF2 ? 2.即存在点M 满足题意, 2 且?F1MF2的正切值为2.

10


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