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§3.1 不等关系与不等式(二)


第三章 不等式

§3.1 不等关系与不等式(二)

在数轴上,如果表示实数a和b的两个点分别 为A和B,则右边点对应的实数比左边点对应的 实数大,而且点A和点B在数轴上的位置关系有 以下三种: x
A O B

(1)点A和点B重合;(2)点A在点B的右侧; (3)点A在点B的左侧. 在这三种位置关系中,有且仅有一种成立,由 此可得到结论: 对于任意两个实数a和b,在a=b,a>b,a<b 三种关系中有且仅有一种关系成立.

如果a-b是正数,则a>b;如果a>b, 则a-b为正数; 如果a-b是负数,则a<b;如果a<b, 则a-b为负数; 如果a-b等于零,则a=b;如果a=b, 则a-b等于零. 通常,“如果p,则q”为正确命题,则 简记为 ? q p ,读作“p推出q”.

如果 p ? q且q ? p 都是正确的命题,记为

p ? q 读作“p等价于q或q等价于p”.
上述结论可以写成:

a ?b ? 0 ? a ? b a ?b ? 0 ? a ? b

a ?b ? 0 ? a ? b

判断两个实数大小的依据是: a ? b? a?b? 0

a ? b? a?b? 0 a ? b? a?b? 0

作差比较法

这既是比较大小(或证明大小)的基本方 法,又是推导不等式的性质的基础.

作差比较法其一般步骤是:
作差→变形→判断符号→确定大小.

例.比较x2-x与x-2的大小. 解:(x2-x)-(x-2)= x2-2x+2
=(x-1)2+1, 因为(x-1)2≥0, 所以(x2-x)-(x-2)>0, 因此x2-x>x-2.

探究:不等式的基本性质
思考1:若甲的身材比乙高,则乙的身材比甲矮, 性质1:如果a > b,那么b < a,如 反之亦然.从数学的观点分析,这里反映了一个不 果b < a,那么a > b.(对称性) 等式性质。

即:a a>b ? b<a < a ? a > b. > b ? b < a;b (对称性)
证明: a ? b ? a ? b ? 0

? ?(a ? b) ? 0
? b?a ?0
即:a>b? b<a

?b?a

思考2:若甲的身材比乙高,乙的身材比丙高, 那么甲的身材与丙的有什么大小关系? 性质2:如果a > b,且b > c,那么a > c.(传递性) 即:a > b,b > c ? a > c.
证明:

? a ? b, b ? c ? a ? b ? 0, b ? c ? 0 ?两个正数的和仍是正数,

?(a-b)+(b-c)>0
?a ? c ? 0

即: a ? c

说明:这是不等式的传递性、这种传 递性可以推广到n个的情形.

思考3:若甲的年薪比乙高,如果年终两人发同样 多的奖金,则甲、乙最终谁拿到的钱多?

性质3:如果a > b,那么a + c > b + c. 即:a > b ? a + c > b + c.(可加性)
证明: ? a ? b

? (a ? c) ? (b ? c) ? a ? b ? 0

?a ? c ? b ? c

性质3表明,不等式的两边都加上同一
个实数,所得的不等式与原不等式同向. 由性质3可以得出 a+b>c ? a+b+(-b)>c+(-b) ? a>c-b. 推论1:不等式中的任意一项都可以把它 的符号变成相反的符号后,从不等式的 一边移到另一边。 (移项法则)

思考4:若甲班的男生比乙班多,甲班的女生也比 乙班多,则甲班的人数比乙班人数谁多?

性质4:如果a > b,且c > d,

那么a + c > b + d.(同向可加法则)
即:a > b,c > d ? a + c > b + d.
证明:

?a ? b ? a ? c ? b ? c
c ? d ?b?c ?b?d

a?c ?b?d

注意: 性质4:如果a > b,且c > d, 那么a + c > b + d.(同向可加法法则) 即:a > b,c > d ? a + c > b + d. (1) 这一推论可以推广到任意有限个 同向不等式两边分别相加,即: 两个或多个同向不等式两边分别相加, 所得不等式与原不等式同向; (2) 两个同向不等式的两边分别相减 时,不能作出一般的结论.

思考5:如果a>b,那么ac>bc吗?

如果a>b,c>0,那么ac与bc的大小关系如何? a>b,c>0
a>b,c<0
证明:

?ac>bc;

?ac<bc

(可乘性)

?a ? b ? a ? b ? 0 c?0

(a ? b)c ? 0 ? ac ? bc ? 0

? ac ? bc

思考6:如果a>b>0,c>d>0,那么ac与bd的 大小关系如何?为什么?
(乘法法则)

a>b>0,c>d>0
a ?b c ?0 c ?d b ?0

? ac>bd

证明: ? } ? ac ? bc } ? bc ? bd
ac ? bd

思考7:如果a>b>0,n∈N*,那么an与bn的大小 关系如何?
(乘方法则)

a>b>0

an>bn (n∈N*) ?

a ? b ? 0? a ? b ? 0? ? 证明:因为 ? n 个, ?? ? a ? b ? 0? ?

根据乘法法则,得an>bn.

思考8:如果a>b>0,n∈N*,那么n 小关系如何? (开方法则)

a 与n b 的大

a>b>0

?
n

n

a > n b(n∈N*)
n

证明:用反证法,假定
n

a ≤ n b ,即

a?nb 或

a?nb ,

根据乘方性质,得 (n a )n ? (n b )n 或(n a )n ? (n b )n

即:a<b或a=b,

这都与a>b矛盾,因此

n

a? b
n

运用性质 例1 已知a>b>0,c<0,
c c 求证: ? . a b

证明: a>b>0 ?
又 ? c<0

1 1 ? < a b




c c ? > a b




课堂练习: 用不等号 “<”或 “>”填空: > ⑴ a ? b, c ? d ? a ? c _______ b ? d ; ⑵ a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ____ bd ; < > ⑶ a ? b ? 0 ? 3 a ______ 3 b ; 1 1 ⑷ a ? b ? 0 ? 2 ____ 2 . < a b

变式练习:应用不等式的性质,证明下列 不等式:
1 1 (1)已知a>b,ab>0,求证: ? ; a b 1 (1)因为ab>0,所以 ?0 证明: ab 1 1 又因为a>b,所以 a ? ? b ? ab ab

1 1 即 ? b a

1 1 因此 ? a b

(2)已知a>b, c<d,求证:a-c>b-d; 证明:(2)因为a>b,c<d,
所以a>b,-c>-d, 根据同向可加性,得 a+(-c)>b+(-d),即a-c>b-d.

a b (3)已知a>b>0,0<c<d,求证: ? c d

证明:(3)因为0<c<d,得
1 1 ? ?0 c d
1 1 又因为a>b>0,所以 a ? ? b ? c d

a b 即 c?d


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