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2017届江西省高三第一次联考测试数学(理)试题


理科数学试卷
第Ⅰ卷 选择题 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项 是符合题目要求的.
1.已知集合 A ? x | x 2 ? 1 , B ? ? x | x ? a? ,若 A ? B ? B ,则实数 a 的取值范围是( A. ? ??,1? 2.函数 y ? A. ? ?1,3? B.

? ??, ?1? C. ?1, ?? ? ) D. ? ?1, 0 ? ? ? 0,3? D. ?1, ?? ?

?

?



9 ? x2 的定义域是( log 2 ? x ? 1?
B. ? ?1,3?

C. ? ?1, 0 ? ? ? 0,3?

3.下列命题中:
2 ①“ ?x0 ? R, x0 ? x0 ? 1 ? 0 ”的否定;

②“若 x 2 ? x ? 6 ? 0 ,则 x ? 2 ”的否命题; ③命题“若 x 2 ? 5 x ? 6 ? 0 ,则 x ? 2 ”的逆否命题; 其中真命题的个数是( A.0 个 B.1 个 ) D.3 个

C.2 个
2

4.幂函数 f ? x ? ? m ? 4m ? 4 x A.1 或 3 B.1 C.3
x

?

?

m2 ? 6 m ?8

在 ? 0, ?? ? 为增函数,则 m 的值为(



D.2

5.已知函数 f ? x ? ? ?2 ? 1 ,定义函数 F ? x ? ? ? A.奇函数 B.偶函数

? ? f ? x?, x ? 0 ,则 F ? x ? 是( ? ?? f ? x ? , x ? 0
D.非奇非偶函数



C.既是奇函数又是偶函数

6.已知正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 1, E、F 分别是边 AA1、CC1 的中点,点 M 是 BB1 上的动点, 过三点 E、M 、F 的平面与棱 DD1 交于点 N ,设 BM ? x ,平行四边形 EMFN 的面积为 S ,设 y ? S ,
2

则 y 关于 x 的函数 y ? f ? x ? 的解析式为( A. f ? x ? ? 2 x 2 ? 2 x ?



3 , x ? ? 0,1? 2

B. f ? x ? ? ?2 x 2 ? 2 x ?

3 , x ? ? 0,1? 2

-1-

C. f ? x ? ?

3 ? x, x ? ? 0,1? 2

D. f ? x ? ? x ?

3 , x ? ? 0,1? 2


7.若函数 f ? x ? ? log 2 x 2 ? ax ? 3a 在区间 ? ??, ?2? 上是减函数,则实数 a 的取值范围是( A. ? ??, 4 ? 8.函数 y ? B. ? ?4, 4? C. ? ??, ?4 ? ? ? 2, ?? ? D. ? ?4, 4 ?

?

?

e x ?x 2 的大致图像是( e2 x ? 1



A.

B.

C.

D.
?

9.函数 y ? ln e x ? x ? a ( e 为自然对数的底数)的值域是正实数集 R ,则实数 a 的取值范围为( A. ? ??, ?1? B. ? 0,1? C. ? ?1, 0? D. ? ?1, ?? ?

?

?



10.已知 f ? ? x ? 为 f ? x ? 的导函数,若 f ? x ? ? ln ( ) B. 2 2 C.

b 1 x 1 ,且 b ? 3 dx ? 2 f ? ? a ? ? b ? 1 ,则 a ? b 的最小值为 1 2 x 2

A. 4 2

9 2

D.

9 ?2 2 2

11.已知函数 f ? x ? 和 f ? x ? 1? 都是定义在 R 上的偶函数,若 x ? ? 0,1? 时, f ? x ? ? ?

?1? ? ,则( ?2?

x



A. f ? ? ? ? f ?

? 1? ? 3?

?5? ? ?2?

B. f ? ? ? ? f ?

? 1? ? 3?

?5? ? ?2?

C. f ? ? ? ? f ?

? 1? ? 3?

?5? ? ?2?

D. f ? ? ? ? f ?

? 1? ? 3?

?9? ? ?2?

12.如果定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足:对于任意 x1 ? x2 ,都有 x1 f ? x1 ? ? x2 f ? x2 ? ? x1 f ? x2 ? ? x2 f ? x1 ? , 则称 f ? x ? 为“ H 函数” .给出下列函数: ① y ? ? x ? x ? 1 ;② y ? 3x ? 2 ? sin x ? cos x ? ;③ y ? e ? 1 ;④ f ? x ? ? ?
3 x

? ?ln x ? x ? 1? ,其中“ H 函数” ? ? 0 ? x ? 1?

的个数有( A.3 个

) C.1 个 D.0 个

B.2 个

第Ⅱ卷

非选择题

二、填空题(本小题共 4 小题,每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
13.若方程 x 2 ? mx ? m ? 1 ? 0 有两根,其中一根大于 2 一根小于 2 的充要条件 是____________.

-2-

14.设 A, B 是非空集合,定义 A ? B ? ? x | x ? A ? B且x ? A ? B? .已知

M ? ? y | y ? ? x 2 ? 2 x, 0 ? x ? 2? , N ? ? y | y ? 2 x ?1 , x ? 0? ,则 M ? N ? ___________.
3 x? ? 2 1 ? ? ?? ? , x ? 1 ? 2 ? a ? 0, 且a ? 1? 的值域是 R ,则实数 a 的取值范围是___________. 15.若函数 f ? x ? ? ?? 2 ? ? 1 ? log a x, x ? ? 2

16.给出下列四个命题: ①函数 f ? x ? ? log a ? 2 x ? 1? ? 1 的图像过定点 ?1, 0 ? ; ②已知函数 f ? x ? 是定义在 R 上的偶函数,当 x ? 0 时, f ? x ? ? x ? x ? 1? ,则 f ? x ? 的解析式为

f ? x ? ? x2 ? x ;
③函数 y ?

1 1 的图像可由函数 y ? 图像向右平移一个单位得到; x ?1 x 1 图像上的点到 ? 0,1? 距离的最小值是 3 . x ?1

④函数 y ?

其中所有正确命题的序号是_____________.

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(本小题满分 10 分) 设 f ? x ? ? log a ?1 ? x ? ? log a ? 3 ? x ?? a ? 0, a ? 1? ,且 f ?1? ? 2 . (1)求 a 的值及 f ? x ? 的定义域; (2)求 f ? x ? 在区间 ? 0, ? 上的值域. 2 18.(本小题满分 12 分) 命题 p : ?x ? R, ax ? ax ? 1 ? 0 ,命题 q :
2

? 3? ? ?

3 ?1 ? 0 . a ?1

(1)若“ p 或 q ”为假命题,求实数 a 的取值范围; (2)若“非 q ”是“ ? ? ? m, m ? 1? ”的必要不充分条件,求实数 m 的取值范围. 19.(本小题满分 12 分) 已知二次函数 f ? x ? 的对称轴 x ? ?2, f ? x ? 的图像被 x 轴截得的弦长为 2 3 ,且满足 f ? 0 ? ? 1 . (1)求 f ? x ? 的解析式;
-3-

(2)若 f ? ?

? ? 1 ?x ? ? k 对 x ? ? ?1,1? 恒成立,求实数 k 的取值范围. ? ?? 2 ? ? ? ? ?

20.(本小题满分 12 分) 某店销售进价为 2 元/件的产品 A ,假设该店产品 A 每日的销售量 y (单位:千件)与销售价格 x (单位: 元/件)满足的关系式 y ?

10 2 ? 4 ? x ? 6 ? ,其中 2 ? x ? 6 . x?2

(1)若产品 A 销售价格为 4 元/件,求该店每日销售产品 A 所获得的利润; (2)试确定产品 A 销售价格 x 的值,使该店每日销售产品 A 所获得的利润最大. (保留 1 位小数点) 21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? x ? x ? ce
2 ?2 x

?c ? R ? .

(1)若 f ? x ? 是在定义域内的增函数,求 c 的取值范围; (2)若函数 F ? x ? ? f ? x ? ? f ? ? x ? ? (其中 f ? ? x ? 为 f ? x ? 的导函数)存在三个零点,求 c 的取值范围. 22.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ?

5 2

ln x ? a ? m ? a, m ? R ? 在 x ? e ( e 为自然对数的底)时取得极值且有两个零点. x

(1)求实数 m 的取值范围; (2)记函数 f ? x ? 的两个零点为 x1 , x2 ,证明: x1 x2 ? e 2 .

参考答案
一、选择题

题号 答案

1 C

2 D

3 C

4 B

5 A

6 A

7 D

8 A

9 C

10 C

11 A

12 A

二、填空题

-4-

13. m ? 3 三、解答题

14. ? 0, ? ? ?1, ?? ? 15. ? ,1? ? 2 ? 2? ? ?

?

1?

? 2

?

16. ②④

17.解: (1)∵ f ?1? ? 2 ,∴ log a 4 ? 2 ? a ? 0, a ? 1? ,∴ a ? 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 分

函数 f ? x ? 在 ? 0, ? 上的最大值是 f ?1? ? log 2 4 ? 2 , 2 函数 f ? x ? 在 ? 0, ? 上的最小值是 f ? 0 ? ? log 2 3 , 2 ∴ f ? x ? 在区间 ? 0, ? 上的值域是 ? log 2 3, 2? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 分 2 18.解: (1)关于命题 p : ?x ? R, ax ? ax ? 1 ? 0 ,
2

? 3? ? ? ? 3? ? ?

? 3? ? ?

a ? 0 时,显然不成立, a ? 0 时成立, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 分 a ? 0 时,只需 ? ? a 2 ? 4a ? 0 即可,解得: ?4 ? a ? 0 ,
故 p 为真时: a ? ? ?4, 0? ; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 分

3 . . . . . . . . . . . . . . .6 分 ? 1 ? 0 ,解得: ?2 ? a ? 1 , a ?1 命题“ p 或 q ”为假命题,即 p, q 均为假命题,
关于命题 q : 则 a ? ?4或a ? 1 ; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9 分 (2)非 q : a ? ?2或a ? 1 ,所以 m ? 1 ? ?2或m ? 1 , 所以 m ? ?3或m ? 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 分 19.解: (1)由题意可以设 f ? x ? ? a x ? 2 ? 3 由 f ? 0? ? 1 ? a ? 1, ∴ f ? x? ? x ? 2 ? 3

?

. . . . . . . . . . . . . . . .2 分 ?? x ? 2 ? 3 ? ,

?

?? x ? 2 ? 3 ? ? x

2

? 4x ?1; . . . . . . . . . . . . . . . .6 分

-5-

? 1 ? ?1 ? (2)当 x ? ? ?1,1? 时, t ? ? ? ? ? , 2 ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 分 ? 2 ? ?2 ?
∵ f ? x ? 开口向上,对称轴为 x ? ?2 , ∴ f ? t ? 在 t ? ? , 2 ? 上单调递增. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9 分 2 ∴ f ? t ?min ? f ?

x

?1 ?

? ?

? 1 ? 13 ?? . ?2? 4 ? ? 13 ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 分 ?. 4?
10 2 ? 4 ? 4 ? 6 ? ? 21 千件, 2

∴实数 k 的取值范围是 ? ??,

20.解: (1)当 x ? 4 时,销量 y ?

所以该店每日销售产品 A 所获得的利润是 2 ? 21 ? 42 千元; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 分 (2)该店每日销售产品 A 所获得的利润:
2? 2 ? 10 f ? x ? ? ? x ? 2? ? ? 4 ? x ? 6 ? ? ? 10 ? 4 ? x ? 6 ? ? x ? 2 ? ? 4 x 3 ? 56 x 2 ? 240 x ? 278 ? 2 ? x ? 6 ? 从而 ?x?2 ?

f ? ? x ? ? 12 x 2 ? 112 x ? 240 ? 4 ? 3 x ? 10 ?? x ? 6 ?? 2 ? x ? 6 ? . . . . . . . . . . . . . . . . .8 分
令 f ? ? x ? ? 0 ,得 x ?

10 ? 10 ? ,且在 ? 2, ? 上, f ? ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调递增; 3 ? 3?

在?

? 10 ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 分 , 6 ? 上, f ? ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 递减, ? 3 ?

10 是函数 f ? x ? 在 ? 2, 6 ? 内的极大值点,也是最大值点, . . . . . . . . . . . . . . . . .11 分 3 10 所以当 x ? ? 3.3 时,函数 f ? x ? 取得最大值. 3
所以 x ? 故当销售价格为 3.3 元/件时,利润最大. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 分 21.解: (1)因为 f ? x ? ? x ? x ? ce
2 ?2 x

?c ? R ? ,

?2 x 所以函数 f ? x ? 的定义域为 R ,且 f ? ? x ? ? 2 x ? 1 ? 2ce ,

由 f ? ? x ? ? 0 得 2 x ? 1 ? 2c? e ?2 x ? 0 ,即 c ? 再令 g ? x ? ?

1 . . . . . . . . . . .2 分 ? 2 x ? 1? e2 x 对于一切实数都成立. 2

1 ? 2 x ? 1? e2 x ,则 g ? ? x ? ? 2 xe2 x ,令 g ? ? x ? ? 0 得 x ? 0 , 2

而当 x ? 0 时, g ? ? x ? ? 0 ,当 x ? 0 时, g ? ? x ? ? 0 ,

-6-

所以当 x ? 0 时, g ? x ? 取得极小值也是最小值,即 g ? x ?min ? g ? 0 ? ? ? 所以 c 的取值范围是 ? ??, ? ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 分 2

1 . 2

? ?

1? ?

e (2)由(1)知 f ? ? x ? ? 2 x ? 1 ? 2c ?
x 2 ? x ? ce ?2 x ? ? 2 x ? 1 ? 2ce ?2 x ? ?
令 h ? x ? ? ? x2 ? x ?

?2 x

,所以由 F ? x ? ? 0 得

5 7? ? ,整理得 c ? ? x 2 ? x ? ? e 2 x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 分 2 2? ?

? ?

7 ? 2x 2 2x 2x ? e ,则 h? ? x ? ? 2 ? x ? 2 x ? 3? e ? 2 ? x ? 3?? x ? 1? e , 2?

令 h? ? x ? ? 0 ,解得 x ? ?3 或 x ? 1 , 列表得:

x
h? ? x ? h ? x?

? ??, ?3?
+ 增

-3

? ?3,1?
— 减

1

?1, ?? ?
+ 增

由表可知当 x ? ?3 时, h ? x ? 取得极大值 当 x ? 1 时, h ? x ? 取得极小值 ? 又当 x ? ?3 时, x 2 ? x ?

5 ?6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9 分 e ; 2

3 2 e . 2

7 ? 0, e 2 x ? 0 ,所以此时 h ? x ? ? 0 , 2

故结合图像得 c 的取值范围是 ? 0,

? ?

5 ?6 ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 分 e ?. 2 ?

1 ?x ? ? ln x ? a ? a ? 1 ? ln x x ? 22.解: (1) f ? ? x ? ? , a x x2
由 f ?? x? ? 0 ? x ? e
a ?1

,且当 x ? e a ?1 时, f ? ? x ? ? 0 ,当 x ? e a ?1 时, f ? ? x ? ? 0 ,

所以 f ? x ? 在 x ? e a ?1 时取得极值,所以 e a ?1 ? e ? a ? 0 , . . . . . . . . . . . . . . . . .2 分 所以 f ? x ? ?

ln x 1 ? ln x ,函数 f ? x ? 在 ? 0, e ? 上递增,在 ? e, ?? ? 上递减, ? m, ? x ? 0 ? , f ? ? x ? ? x x2
-7-

1 f ?e? ? ? m , e

x ? 0 ? x ? 0 ? 时, f ? x ? ? ??; x ? ?? 时, f ? x ? ? ?m, f ? x ? 有两个零点 x1 , x2 ,
?1 1 ? ?m ?0 故 ?e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 分 ,0 ? m ? ; e ? ? ?m ? 0
(2)不妨设 x1 ? x2 ,由题意知 ?

? ln x1 ? mx1 , ln x ? mx ? 2 2
ln

x2 x x1 则 ln x1 x2 ? m ? x1 ? x2 ? , ln 2 ? m ? x2 ? x1 ? ? m ? , . . . . . . . . . . . . . . .7 分 x1 x2 ? x1
欲证 x1 ?x2 ? e 2 ,只需证明: ln ? x1 ?x2 ? ? 2 ,只需证明: m ? x1 ? x2 ? ? 2 , 即证:

? x1 ? x2 ? ln x2
x2 ? x1
x2 x1

x1

? 2,

1?
即证

x2 ?1 x1

ln

x2 x t ?1 , . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9 分 ? 2 ,设 t ? 2 ? 1 ,则只需证明: ln t ? 2? x1 t ?1 x1
t ?1 ?0, t ?1
2

也就是证明: ln t ? 2?

? t ? 1? ? 0 , 1 4 t ?1 记 u ? t ? ? ln t ? 2? ? , ? t ? 1? ,∴ u ? ? t ? ? ? t ? t ? 1?2 t ? t ? 1?2 t ?1
∴ u ? t ? 在 ?1, ?? ? 单调递增, ∴ u ? t ? ? u ?1? ? 0 ,所以原不等式成立,故 x1 x2 ? e 2 得证. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 分

-8-


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