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函数难题高一


1.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,函数 y= 像的交点为 A(m,3) .

9 (x>0)的图像与一次函数 y=kx-k 的图 x

3 X 3 3 3 (1)求一次函数的解析式; 3 (2)设一次函数 y=kx-k 的图像与 y 轴交于点 B,若点 P 是 x 轴上一点,且满足△PAB 3 的面积是 9,直接写出 P 点的坐标.

2.已知一次函数 y ? kx ? b 的图象经过(1,3)和(-2,0)两点,求关于 x 的方程

k b ? ? 0 的根(8 分) x ?k x ?b

3.某商场计划购进 A,B 两种新型节能台灯共 100 盏,这两种台灯的进价、售价如表所 示: 类型 价格 A型 B型 进价(元/盏) 30 50 售价(元/盏) 45 70

(1)若商场预计进货款为 3500 元,则这两种台灯各购进多少盏? (2)若商场规定 B 型台灯的进货数量不超过 A 型台灯数量的 3 倍,应怎样进货才能使商 场在销售完这批台灯时获利最多?此时利润为多少元?
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4. (本题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? 1 . (Ⅰ)若 a ? 0, 不等式 f ( x) ? 0 的解集为 A , 1? A, 2 ? A ,求 a ? b 的取值范围; (Ⅱ)若 a 为整数, b ? a ? 2 ,且函数 f ( x ) 在 (?2, ?1) 上恰有一个零点,求 a 的值; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,若函数 g ( x) ? ln x ? x ? 2 ? f / ( x) 对任意的 x∈ (1, ??) ,有

(x ? 1) g ( x) ? x 2 ? 2x ? k ? 0 恒成立,求实数 k 的最小值.

5. (本题 12 分)已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? a 满足条件 f ( x ? ) ? f ( ? x) ,且 方程 f ( x) ? 7 x ? a 有两个相等的实根,求 f ( x ) 的解析式和值域.

7 4

7 4

6. ( 本 题 满 分 13 分 ) 已 知 函 数 f ( x) 定 义 域 是 ? x x ?

? ?

? k , k ? Z , x ? R? , 且 2 ?

f ( x) ? f (2 ? x) ? 0 , f ( x ? 1) ? ?
(1)证明: f ( x) 为奇函数; (2)求 f ( x) 在 ? ? 1,?

1 1 ,当 ? x ? 1 时, f ( x) ? 3x . 2 f ( x)

? ?

1? ? 上的表达式; 2? ? ? 1 ? ,2k ? 1? 时,log3 f ( x) ? x2 ? kx ? 2k 有解, 2 ?

(3) 是否存在正整数 k , 使得 x ? ? 2k ?

若存在求出 k 的值,若不存在说明理由.

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7.对于函数 f ?x ? ,若存在 x0 ? R ,使 f ?x0 ? ? x0 成立,则称 x0 为 f ?x ? 的不动点.已 知函数 f ?x ? ? ax2 ? ?b ? 1?x ? b ? 1 ?a ? 0? . (1)当 a ? 1, b ? ?2 时,求 f ?x ? 的不动点; (2)若对于任意实数 b ,函数 f ?x ? 恒有两个相异的不动点,求 a 的取值范围.

8.对于函数 y ? f ( x) 与常数 a,b,若 f (2 x) ? af ( x) ? b 恒成立,则称(a,b)为函 数 :设函数 f ( x) 的定义域为 R ? ,且 f(1)=3. f ( x) 的一个“P 数对” (1)若(a,b)是 f ( x) 的一个“P 数对” ,且 f (2) ? 6 , f (4) ? 9 ,求常数 a,b 的 值; (2)若(1,1)是 f ( x) 的一个“P 数对” ,求 f (2 n )(n ? N *) ; (3)若( ? 2,0 )是 f ( x) 的一个“P 数对” ,且当 x ? [1,2) 时, f ( x) ? k ? | 2 x ? 3 | , 求 k 的值及 f ( x) 茌区间 [1,2)(n ? N *) 上的最大值与最小值.

9 .已知函数 f ( x ) 满足对任意实数 x, y 都有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ? 1 成立,且当

x ? 0 时,
f ( x) ? ?1 , f (1) ? 0 .
(1)求 f (5) 的值; (2)判断 f ( x ) 在 R 上的单调性,并证明; (3)若对于任意给定的正实数 ? ,总能找到一个正实数 ? ,使得当 | x ? x0 |? ? 时,

| f ( x ) ? f (x0 ) |? ? ,则称函数 f ( x) 在 x ? x0 处连续。
试证明: f ( x ) 在 x ? 0 处连续.

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10. 对于函数 f ( x) ,若存在实数对( a , b ),使得等式 f (a ? x) ? f (a ? x) ? b 对定义域中的 每一个 x 都成立,则称函数 f ( x) 是“( a , b )型函数”. (1) 判断函数 f1 ( x) ? x 是否为 “( a , b )型函数” ,并说明理由; (2) 若函数 f 2 ( x) ? 4 x 是“( a , b )型函数” ,求出满足条件的一组实数对 ( a, b) ; (3)已知函数 g ( x) 是“ ( a, b) 型函数” ,对应的实数对 ( a, b) 为 (1, 4) ,当 x ? [0,1] 时, 若当 x ? [0, 2] 时,都有 1 ? g ( x) ? 4 ,试求 m 的取值范 g ( x) ? x2 ? m( x ?1) ? 1(m ? 0) , 围.

11. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 个小题满分 8 分。 已知 f ( x) ? xn ? xn?1 ?

? x ?1( x ? (0, ??), n ? N, n ? 2) .

(1)当 n ? 2 , x ? ? 0,1? 时,若不等式 f ( x) ? kx 恒成立,求 k 的范围; (2)试证函数 f ( x ) 在 ?

?1 ? ,1? 内存在零点. ?2 ?

12.定义在[﹣1,1]上的奇函数 f(x)满足 f(1)=2,且当 a,b∈[﹣1,1],a+b≠0 时,有 .

(1)试问函数 f(x)的图象上是否存在两个不同的点 A,B,使直线 AB 恰好与 y 轴垂 直,若存在,求出 A,B 两点的坐标;若不存在,请说明理由并加以证明. (2)若 的取值范围. 对所有 x∈[﹣1,1],a∈[﹣1,1]恒成立,求实数 m

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13.已知函数 f(x)=

2 x-a 在区间[-1,1]上是增函数. x 2+2 1 的两个相异实根, 若对任意 a∈A 及 t∈[-1, 1], x

(1)求实数 a 的值组成的集合 A; (2)设 x1、 x2 是关于 x 的方程 f(x)=
2

不等式 m +tm+1≥|x1-x2|恒成立,求实数 m 的取值范围.

14.已知函数 f ? x ? ? x ? 4x ? a ? 3, g ( x) ? mx ? 5 ? 2m .
2

(1)若 y ? f ( x) 在 ??1,1? 上存在零点,求实数 a 的取值范围; (2)当 a ? 0 时,若对任意的 x1 ? ?1,4? ,总存在 x2 ??1,4? 使 f ? x1 ? ? g ( x2 ) 成立,求 实数 m 的取值范围.

?1 x, 0 ? x ? a, ? ?a 15.设函数 f(x)= ? a 为常数且 a∈(0,1). 1 ? ( 1-x),a ? x ? 1, ? ?1-a
(1)当 a=

1 ? ? 1 ?? 时,求 f ? f ? ? ? ; 2 ? ? 3 ??

(2)若 x0 满足 f[f(x0)]=x0, 但 f(x0)≠x0, 则称 x0 为 f(x)的二阶周期点. 证明函数 f(x) 有且仅有两个二阶周期点,并求二阶周期点 x1,x2; 2 (3)对于(2)中的 x1,x2,设 A(x1,f[f(x1)]),B(x2,f[f(x2)]),C(a ,0),记△ABC 的 面积为 S(a),求 S(a)在区间[

1 1 , ]上的最大值和最小值. 3 2

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16.已知函数 f ( x) ? log a

1 ? mx 是奇函数, (其中 (a ? 0且a ? 1) ) x ?1

(1)求实数 m 的值; (2)在 0 ? a ? 1 时,讨论函数 f(x)的增减性; (3)当 x ? ,求 n 与 a 的值。 (n, a ? 2 2 ) 时,f(x)的值域是(1, ? ? )

17.已知函数 f ? x ? 的自变量的取值区间为 A,若其值域区间也为 A,则称 A 为 f ? x ? 的 保值区间. (Ⅰ)求函数 f ? x ? ? x 形如 ?n, ???? n ? R ? 的保值区间;
2

(Ⅱ)函数 g ? x ? ? 1 ?

1 ? x ? 0 ? 是否存在形如 ?a, b? ? a ? b? 的保值区间?若存在,求 x

出实数 a , b 的值,若不存在,请说明理由.

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参考答案 1. (1)y=

3 3 x- ; (2)(5,0)或(-3,0) 2 2

2. x ? ?4 3.(1)A 型台灯 75 盏,B 型台灯 25 盏; (2)商场购进 A 型台灯 25 盏,B 型台灯 75 盏,销售完这批台灯时获利最多,此时利润为 1875 元. 4. (Ⅰ) (2,+∞) (Ⅱ) a ? ?1 (Ⅲ)1. 5. f ( x) ? ?2 x2 ? 7 x ? 2 ,值域为 ( ??, 6. (1) f ?x ? 2? ? f ?x ? 1 ? 1? ? ?

33 ]. 8

1 ? f ?x ? ,所以 f ?x ? 的周期为 2, f ?x ? 1?

所以 f ?x ? ? f ?2 ? x ? ? 0 ? f ?x ? ? f ?? x ? ? 0 ,所以 f ?x ? 为奇函数. (2)当 ? 1 ? x ? ?

1 时, f ( x) ? ?3? x ; 2
?

(3)不存在这样的 k ? N ,使得 x ? ? 2k ? 7. (1) x ? 3, x ? ?1; (2) 0 ? a ? 1 .

? ?

1 ? ,2k ? 1? 时, log3 f ( x) ? x2 ? kx ? 2k 有解. 2 ?

8.( 1 ) a=1,b=3;( 2 ) f (2n ) ? n ? 3 ;( 3 ) 最大值为 2n ,最小值为 ?2 n ?1 . 9. (1)4; (2)递增,证明见解析; (3)祥见解析.
a 10. (1) f1 ( x) ? x 不是“ ( a, b) 型函数” ,理由详见解析; (2) a ? 1, b ? 16 (满足 16 ? b

的实数对 ( a, b) 均是正确答案) ; (3) m 的取值范围是 (0,3] . 11. (1) k ? 1 , (2)详见解析. 12. (1)详见解析; (2) {m m ? ?2, 或m ? 2, 或m ? 0} 13. (1)A={a|-1≤a≤1}(2)(-∞,-2]∪[2,+∞) 14. (1) ? ?8,0? ; (2) ? ??, ?3? 15. (1) (2)见解析,x1=

?6, ??? .
2

2 3

a 1 1 1 ,x2= (3)最小值为 ,最大值为 2 ? a +a+1 ? a +a+1 20 33

16.(1) ?1 ;(2) (??, ?1) 与 (1, ??) 上都是增函数;(3) n ? 1, a ? 3 ? 2 . 17. (Ⅰ) ?0, ??? 或 ?1, ?? ? .(Ⅱ)不存在

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