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选修2-3 1.1计数原理同步练习及答案(4)


1.1 计数原理同步练习(4)
一、选择题 1.一个袋子里放有 6 个球,另一个袋子里放有 8 个球,每个球各不相同,从两袋子里各取一个球,不同取法 的种数为( A.182 ) B.14 C.48 D.91 )

2.从甲地到乙地一天有汽车 8 班,火车 3 班,轮船 2 班,某人从甲地到乙地,他共有不同的走法数为( A.13 种 B.16 种 C.

24 种 D.48 种 )

3.集合 A={a,b,c},B={d,e,f,g},从集合 A 到集合 B 的不同的映射个数是( A.24 B.81 C.6 D.64 )

4.5 本不同的书,全部送给 6 位学生,有多少种不同的送书方法( A.720 种 B.7776 种 C.360 种 D.3888 种

5.有四位老师在同一年级的 4 个班级中,各教一个班的数学,在数学考试时,要求每位老师均不在本班监考, 则安排监考的方法种数是( A.8 种 ) C.10 种 D.11 种

B.9 种

6 . 某 通 讯 公 司 推 出 一 组 手 机 卡 号 码 , 卡 号 的 前 七 位 数 字 固 定 , 从 “×××××××0000” 到 “×××××××9999”共 10 000 个号码,公司规定:凡卡号的后四位带有数字“4”或“7”的一律作为“优惠 卡”,则这组号码中“优惠卡”的个数为( A.2 000 B.4 096 C.5 904 ) D.8 320

7.如下图所示,小圆圈表示网络的结点,结点之间的线段表示它们有网线相连.

连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量. 现从结点 A 向结点 B 传递信息,信息可以从分开不同的路线同时传递, 则单位时间内传递的最大信息量为( A.26 B.24 C.20 ) D.19

8.某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单,开演前又增加了 2 个新节目,如果将这 2 个新节目插入原 节目单中,那么不同插法的种数为( A.42 B.30 ) C.20 D.12

9.定义集合 A 与 B 的运算 A*B 如下:A*B={(x,y)|x∈A,y∈B},若 A={a,b,c},B={a,c,d,e},则集 合 A*B 的元素个数为( A.34 ) B.43 C.12 D.24

10.某医院研究所研制了 5 种消炎药 X1、X2、X3、X4、X5 和 4 种退烧药 T1、T2、T3、T4,现从中取出两种消炎 药和一种退烧药同时使用进行疗效试验,又知 X1、X2 两种消炎药必须同时搭配使用,但 X3 和 X4 两种药不能同时使 用,则不同的试验方案有( A.16 种 二、填空题 11.用数字 0,1,2,3,4 组成没有重复数字的五位数,则其中数字 1,2 相邻的偶数有________个(用数字作答). ) C.14 种 D.13 种

B.15 种

12.三边均为整数且最大边长为 11 的三角形有________个. 13.5 名乒乓球队员中,有 2 名老队员和 3 名新队员.现从中选出 3 名队员排成 1、2、3 号参加团体比赛 ,则 入选的 3 名队员中至少有一名老队员,且 1、2 号中至少有 1 名新队员的排法有________种.(用数字作答) 14.已知下图的每个开关都有闭合与不闭合两种可能,因此 5 个开关共有 25 种可能.在这 25 种可能中,电路 从 P 到 Q 接通的情况有______种.

三、解答题 15.有不同的红球 8 个,不同的白球 7 个. (1)从中任意取出一个球,有多少种不同的取法? (2)从中任意取出两个不同颜色的球,有多少种不同的取法?

16.随着人们生活水平的提高,某城市家庭汽车拥有量迅速增长,汽车牌照号码需要扩容.交通管理部门出台 了一种汽车牌照组成办法,每一个汽车牌照都必须有 3 个不重复的英文字母和 3 个不重复的阿拉伯数字,并有 3 个 字母必须合成一组出现,3 个数字也必须合成一组出现.那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照?

17.已知集合 A={a1,a2,a3,a4},集合 B={b1,b2},其中 ai,bj(i=1,2,3,4,j=1,2)均为实数. (1)从集合 A 到集合 B 能构成多少个不同的映射? (2)能构成多少个以集合 A 为定义域,集合 B 为值域的不同函数?

答案: 1、C 2、A 3、D 4、B
5

[解析] 由分步乘法计数原理得不同取法的种数为 6×8=48,故选 C. [解析] 应用分类加法计数原理,不同走法数为 8+3+2=13(种).故选 A. [解析] 由分步乘法计数原理得 43=64,故选 D. [解析] 每本书有 6 种不同去向,5 本书全部送完,这件事情才算完成.由乘法原理知不同送书方法

有 6 =7776 种. 5、B [解析] 设四个班级分别是 A,B,C,D,它们的老师分别是 a,b,c,d,并设 a 监考的是 B,则剩

下的三个老师分别监考剩下的三个班级,共有 3 种不同的方法;同理当 a 监考 C,D 时,剩下的三个老师分别监考 剩下的三个班级也各有 3 种不同的方法. 这样, 用分类加法计数原理求解, 共有 3+3+3=9(种)不同的安排方法. 另 外,本题还可让 a 先选,可从 B,C,D 中选一个,即有 3 种选法.若选的是 B,则 b 从剩下的 3 个班级中任选一 个,也有 3 种选法,剩下的两个老师都只有一种选法,这样用分步乘法计数原理求解,共有 3×3×1×1=9(种)不 同的安排方法. 6、C [解析] 可从反面考虑,卡号后四位数不带“4”或“7”的共有 8×8×8×8=4 096 个,所以符合题

意的共有 5 904 个. 7、D [解析] 因信息可以分开沿不同的路线同时传递,由分类计数原理,完成从 A 向 B 传递有四种方法:

12→5→3,12→6→4,12→6→7,12→8→6,故单位时间内传递的最大信息量为四条不同网线上信息量的和:3+4+6 +6=19,故选 D. 8、A [解析] 将新增的 2 个节目分别插入原定的 5 个节目中,插入第 1 个有 6 种插法,插入第 2 个时有 7

个空,共 7 种插法,所以不同的插法共 6×7=42(种). 9、C [解析] 显然(a,a)、(a,c)等均为 A*B 中的元素,确定 A*B 中的元素是 A 中取一个元素来确定 x,B

中取一个元素来确定 y,由分步计数原理可知 A*B 中有 3×4=12 个元素.故选 C. 10、 C [解析] 解决这类问题应分类讨论,要做到不重不漏, 尽量做到一题多解, 从不同角度思考问题.试

验方案有:①消炎药为 X1、X2,退烧药有 4 种选法;②消炎药为 X3、X4,退烧药有 3 种选法;③消炎药为 X3、X5, 退烧药有 3 种选法;④消炎药为 X4、X5,退烧药有 4 种选法,所以符合题意的选法有 4+3+3+4=14(种). 11、24 [解析] 可以分三类情况讨论:①若末位数字为 0,则 1,2 为一组,且可以交换位置,3,4 各为 1 个

数字,共可以组成 12 个五位数;②若末位数字为 2,则 1 与它相邻,其余 3 个数字排在前 3 位,且 0 不是首位数字, 则共有 4 个五位数;③若末位数字为 4,则 1,2 为一组,且可以交换位置,3,0 各为 1 个数字,且 0 不是首位数字, 则共有 8 个五位数,所以符合要求的五位数共有 24 个. 12、36 [解析] 另两边长用 x,y 表示,且不妨设 1≤x≤y≤11.要构成三角形,需 x+y≥12.当 y=11 时,

x∈{1,2,?,11},有 11 个三角形;当 y=10 时,x∈{2,3,?,10},有 9 个三角形??当 y=6 时,x=6,有 1 个 三角形.所以满足条件的三角形有 11+9+7+5+3+1=36(个). 13、48 [解析] 本题可分为两类完成:两老一新时,有 3×2×2=12(种)排法;两新一老时,有 2×3×3×2

=36(种)排法,即共有 48 种排法 14、16 [解析] 五个开关全闭合有 1 种情况能使电路接通;四个开关闭合有 5 种情况能使电路接通;三个

开关闭合有 8 种情况能使电路接通;两个开关闭合有 2 种情况能使电路接通;所以共有 1+5+8+2=16 种情况能 使电路接通. 15、(1)由分类加法计数原理得:从中任取一个球共有 8+7=15 种; (2)由分步乘法计数原理得:从中任取两个球共有 8×7=56 种.

16、将汽车牌照分为 2 类,一类的字母组合在左,另一类的字母组合在右. 字母组合在左时,分 6 个步骤确定一个牌照的字母和数字: 第 1 步,从 26 个字母中选 1 个,放在首位,有 26 种选法; 第 2 步,从剩下的 25 个字母中选 1 个,放在第 2 位,有 25 种选法; 第 3 步,从剩下的 24 个字母中选 1 个,放在第 3 位,有 24 种选法; 第 4 步,从 10 个数字中选 1 个,放在第 4 位,有 10 种选法; 第 5 步,从剩下的 9 个数字中选 1 个,放在第 5 位,有 9 种选法; 第 6 步,从剩下的 8 个数字中选 1 个,放在第 6 位,有 8 种选法. 根据分步乘法计数原理,字母组合在左的牌照共有 26×25×24×10×9×8=11 232 000(个). 同理,字母组合在右的牌照也有 11 232 000 个. 所以,共能给 11 232 000+11 232 000=22 464 000 辆汽车上牌照. 17、 (1)因为集合 A 中的元素 ai(i=1,2,3,4)与集合 B 中元素的对应方法都有 2 种,由分步乘法计数原理,可构 成 A→B 的映射有 N=24=16 个. (2)在(1)的映射中,a1,a2,a3,a4 均对应同一元素 b1 或 b2 的情形.此时构不成以集合 A 为定义域,以集合 B 为值域的函数,这样的映射有 2 个. 所以构成以集合 A 为定义域,以集合 B 为值域的函数有 M=16-2=14 个.


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