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线面垂直(修改)


《线面垂直、面面垂直的判定定理》习题课 2013.10.23 姓名 班级

一.线面垂直、面面垂直的定义和判定定理、及性质
1 . P64 直 线 和 平 面 垂 直 的 定 义 如果直线 l 与平面 ? 内的 都垂直, 就说直线 l 与平面 ? 互相垂直, 记做 l ? ? . l 叫做垂线,? 叫 垂面,它们的交点 P 叫垂足。 2.直线和平面垂

直的判定定理 一条直线与一个平面内的 则该直线与此平面垂直。P65 画图 符号语言 都垂直,

判断线面垂直的其他方法: (1)两条平行线中的一条垂直于一个平面,则____________________________________; (2)一条直线垂直于两个平行平面中的一个,则___________________________________ 3.P68 平面和平面垂直的定义 如果两个平面 ,则这两个平面互相垂 直。 4.P69 平面和平面垂直的判定定理 ,则这两个平面垂直。 符号语言 ?

a

B
?

A
5.直线和平面垂直的性质 ⑴如果一条直线与平面垂直,则这条直线和 ; ⑵P70 如果两条直线和同一个平面垂直,则这两条直线_____________________ 画图 符号语言

6.平面和平面垂直的性质 两个平面垂直,则 画图 符号语言

与另一个平面垂直.

1

二.空间角
1.直线与平面所成的角 如图 3, 直线 PA 和平面 ? 相交但不垂直,PA 叫做平面的斜线,PA 和平面的交点 A 叫斜足; .平面的一条斜线和 所 PO ? ? , AO 叫做斜线 PA 在平面 ? 上的 成的 ,叫这条直线和平面所成的角. 直线垂直于平面,则它们所成的角是直角;直线和平面平行或在平面内,则它们所成的角 是 0 °角。 直线和平面所成的角的范围是:

P

?

A

O

图3

图4

2.二面角的平面角 如图 4 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫二面角的 棱,这两个半平面叫二面角的面。在二面角 ? ? l ? ? 的棱 l 上任取一点 O ,以点 O 为垂足, 在半平面 ? 和 ? 内分别作 棱 l 的射线 OA, OB ,则射线 OA 和 OB 构成的 ?AOB 叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫直二面角. 二面角的平面角取值范围是:

三.典型例题
例 1.如图,已知 ?ABC 中, ?ACB ? 90 , SA ? 平面ABC , AD ? SC于D 。
?

求证: AD ? 平面SBC 。 S

D A C B

例 2.在正方体 ABCD ? A?B?C?D? 中,求证: 平面ACC' A'? 平面A'BD 。

2

例 3. 如图所示, 在四棱锥 P-ABCD 中, 底面是边长为 a 的正方形, 侧棱 PD= a , PA=PC= 2 a 。 (1) 求证: PD ? 平面ABCD ; P (2) 求:直线 PB 与平面 PCD 所成的角的余弦值; (3) 求证: 平面PAC ? 平面PBD ; (4) 求:二面角 P - BC - D 的大小。 C B

D

A

3

四.作业 1.四边形 ABCD 是直角梯形,AB⊥AD,CD⊥AD, PA⊥平面 ABCD. 求证:平面 PDC⊥平面 PAD. P

A

B

D

C

2.在正方体中, O 是底面的中心, B?H ? D?O , H 为垂足,求证: B?H ? 面 AD?C .

D? A? H
D

C?

B?

C

A

O

B

3.如图,在 Rt ?BMC 中,斜边 BM ? 5 ,其射影 AB ? 4 , ?MBC ? 60 °, 求 MC 与平面 CAB 所成角的正弦值.

4

4.如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面是个矩形, AB ? 2, BC ? 2 ,侧面 PAB 是等边三角形, 且侧面 PAB 垂直于底面 ABCD . ⑴证明:侧面 PAB ? 侧面 PBC ; P ⑵求侧棱 PC 与底面 ABCD 所成的角.

A B
C

D

5.在空间四边形 SABC 中, ?ASC =90°, ?ASB ? BSC ? 60 °, SA ? SB ? SC , ⑴求证:平面 ASC ? 平面 ABC . S ⑵求二面角 S ? AB ? C 的平面角的正弦值.

A

C

B

5

6. S 为 ?ABC 所在平面外一点, SA ? 平面 ABC ,平面 SAB ? 平面 SBC , .求证: AB ? BC . S

A

C

B 7. 在四面体 ABCD 中,CB=CD, AD⊥BD,且 E、F 分别是 AB、BD 的中点, 求证:面 EFC⊥面 BCD

A

E D F B C

8.如图所示,河堤斜面与水平面所成二面角为 60 ,堤面上有一条直道 CD, 它与堤角的水平线 AB 的夹角为 30 ,沿这条直道从堤脚 C 向上行走 10m 到 达 E 处,此时人升高了多少 m?
?

?

D E A C B

6


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