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江苏省安宜高级中学11-12学年高二上学期期中考试数学试题


安宜高中2011-2012学年度第一学期期中考试 高二数学试卷
一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,计70分) 1、直线 3x ? 2 y ? 6 在 y 轴上的截距为 ▲ . ▲ .

2、过点 P(?3 ,1) 且垂直于 x 轴的直线的方程是

3、某公司生产三种型号的轿车,产量分别为A型号1200辆、B型号6000辆和C型号2000辆. 为检 验这三种型号轿车的质量,现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验,那么C型号的轿车应抽 取 ▲ 辆.

4、甲、乙两个学习小组各有10名同学,他们在一次数学测验中的成绩可用下面的茎叶图表示. 则在这次测验中成绩较好的是 5、若 ▲ 组. ▲ . ▲ .

k1 , k2 ,?, k8 的方差为4,则 3(k1 ? 2),3(k2 ? 2),?,3(k8 ? 2) 的方差为

6、已知直线

l1 :(3 ? m) x ? 4 y ? 5 ? 3m 与直线 l2 :2x ? (5 ? m) y ? 8 平行,则 m ?
▲ .

7、计算机执行如下图所示程序后,输出的结果是

8、如图是一个算法的流程图,若输出的结果是31,则判断框中的整数 M 的值是



.

9、已知A,B两点都在直线 y ? 2 x ? 1 上,且A,B两点横坐标之差为 2 ,则A,B之间的距离 为 ▲ .

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10、将一颗骰子先后抛掷2次,观察向上的点数,则点数之和是4的倍数的概率是



.

11、将一根均匀的木棒在任意点处折成两段,则“其中一段的长度大于另一段长度的2倍”的概 率 为 ▲ . 12 、 圆 心 在 x 轴 的 正 半 轴 上 , 半 径 为 ▲ .

3 且 与 直 线 3x ? 4y ? 4? 0相 切 的 圆 的 方 程 为

(x ? 1 ) 13.若直线 y ? k 与半圆 x ? y ? 1( y ? 0) 相交于P、Q两点,且∠POQ=150° (其中O
2 2

为原点) , 则k的值为
2 2



.
2 2

14 . 若 圆 x ? y ? 4 与 圆 x ? y ? 2ay ? 6 ? 0 (a ? 0) 的 公 共 弦 的 长 为 2 3 , 则 a ? ▲ .

二、解答题 (共6道题,计90分) 15、 (本题满分14分) 建立适当的坐标系,证明:等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的 高

B

C

A

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16、 (本题满分14分) 为了解某中学高二女生的身高情况,该校对高二女生的身高进行了一次随机抽样测量, 所得数据整理后列出了频率分布表如下: (单位 :cm) (1)求出表中 m、n、M 、N 所表示的数值; (2)绘制频率分布直方图; (3)估计该校女生身高小于162.5 cm的百分比. 分组 频数 频率

?150.5,154.5? ?154.5,158.5? ?158.5,162.5? ?162.5,166.5? ?166.5,170.5? ?170.5,174.5?
合计

1 4

0.02

0.08
0.40

20

15
8

0.30
0.16

m
M

n
N

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17、 (本题满分15分) (1)将一颗骰子先后抛掷2次,以分别得到的点数 m , n 作为点P的坐标 (m, n) , 求:点P落在圆 x ? y ? 18 内的概率;
2 2

(2)在区间 [1,6] 上任取两个实数 m , n ,求:使方程 x ? mx ? n ? 0 没有实数根的概率.
2 2

18、 (本题满分15分) 已知圆C在x轴上的截距为-1和3,在y轴上的一个截距为1. (1)求圆C的方程; (2)若过点 M (2, 3 ?1) 的直线l被圆C截得的弦AB的长为4,求直线l的倾斜角.

19. (本题满分16分)
2 2 已知圆 M 的方程为 x ? ( y ? 2) ? 1 ,直线 l 的方程为 x ? 2 y ? 0 ,点 P 在直线 l 上,过 P

点作圆 M 的切线 PA, PB ,切点为 A, B .
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(1)若 ?APB ? 60 ,求线段AB的长;
?

(2)当 ?APB 最大时,求点P的坐标; (3)求证:经过 A, P , M 三点的圆必过定点,并求出所有定点的坐标 .

20. (本题满分16分) 已知半径为5的动圆C的圆心在直线 l : x ? y ? 10 ? 0 上. (1) 若动圆C过点 (?5,0) ,求圆C的方程; (2) 是否存在正实数 r ,使得动圆C中与圆O: x ? y ? r 相外切的圆有且只有一个?若存
2 2 2

在,求出 r 的值;若不存在,请说明理由.

2011高二数学期中试卷参考答案
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填空题(本大题共14小题,每小题5分,计70分) 1、-3 2、 x ? 3 ? 0 3、10 4、甲 5、36

6、-7

7、5

8、4

9、 10

1 10、 4

2 11、 3

(x ?
12、

5 3?4 2 ) ? y2 ? 3 3

13、 2 ? 3

14、1

二、解答题 (共6道题,计90分) 15、 (本题满分14分) 证:如图,设△ABC是等腰三角形,以底边CA所在直线为x轴,以过顶点 CA的直线为y轴,建立直角坐标系,……………………2分 设A(a, 0) , B(0, b) , (a>0, b>0)则C(-a, 0)……………3分 直线AB的方程为 bx ? ay ? ab ? 0 直线BC的方程为 bx ? ay ? ab ? 0 ……………5分 设底边CA上任意一点P(x , 0) ( ? a ? x ? a )

y

B 且垂直于

B (0,b)
E

F

C(-a, 0) P(x, 0) O

A(a, 0)

x

PE ?
则点P到AB的距离

| bx ? ab | a ?b
2 2

?

b( a ? x ) a 2 ? b2

PF ?
点P到BC的距离

| bx ? ab | a ?b
2 2

?

b(a ? x) a 2 ? b2 ……………9分 2ab a 2 ? b2
……………11分

h?
点A到BC的距离

| ba ? ab | a 2 ? b2 b( a ? x ) a ?b
2 2

?

PE ? PF ?
所以,

?

b( a ? x ) a ?b
2 2

?

2ab a 2 ? b2

?h
……………13分 ……………14分

因此,等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高 16、 (本题满分14分) 解: (1) n ? 1 ? (0.02 ? 0.08 ? 0.4 ? 0.3 ? 0.16) ? 0.04 ,

m?2

……………2分

M=50, N=1 ……………4分 (2) 频率分布直方图请参照教材必修三第54页图2-2-4. 此项共8分。评分时注意以下几点: 横轴、纵轴的含义标示要清楚。即,身高/cm , 频率/组距, ……………6分 横轴上的区间端点值要标示清楚, ……………8分
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每一个小长方形的高要与其频率成比例。有一个不比例的扣1分,扣完4分止 …12分 (3) 从频率分布表看出,该样本中身高小于162.5 cm的频率为0.02+0.08+0.4=0.5, 故可估计该校女生身高小于162.5 cm的约占50% ……………14分 17、 (本题满分15分) 解: (1)抛掷2次骰子共包括36个基本事件,每个基本事件都是等可能的。…………1分 记“点P落在圆 x ? y ? 18 内”为事件A,
2 2

…………2分

事件A包括下列10个基本事件: (1,1) ; (1,2) ; (1,3) ; (1,4) ; (2, 1) ; (2,2) ; (2,3) ; (3,1) ; (3,2) ; (4,1) ; ……………5分

P ( A) ?
所以

10 5 ? 36 18

……………6分

5 答:点P落在圆 x ? y ? 18 内的概率为 18
2 2

……………7分

注:以上评分,要从严,以此引导学生重视概率题的答题规范。 如,未记事件A的,扣1分;不列举事件A的基本事件的,扣3分;不答的,扣1分
2 2 (2)记“方程 x ? mx ? n ? 0 没有实数根”为事件B,

……………8分

? ?1 ? m ? 6 ? ? ( m, n ) | ? ? 1? n ? 6 ? m , n [1,6] ? ? 在区间 上任取两个实数 可看作是在区域D: 内随机取一点,
每个点被取到的机会是均等的; ……………10分

? ?1 ? m ? 6 ? ? ? ? d : ?(m, n) | ?1 ? n ? 6 ? ? ? m ? 2n ? ? ? ? 而事件B发生,则视作点 (m, n) 恰好落在区域
21 所以 P( B) ? 25 21 答:使方程 x ? mx ? n ? 0 没有实数根的概率为 25
2 2

……………13分

……………14分

……………15分

18、 (本题满分15分) 解: (1)圆C在x轴上的截距为-1和3,在y轴上的一个截距为1, ∴圆C过点A(-1,0) 、B(3,0) ,C(0,1) ……………………………3分

∴圆心在线段AB的中垂线x=1上,且在AC的中垂线y= -x上,

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∴圆心为(1,-1) ∴圆C的半径r= = , 从而,圆C的方程为 (x ?1) ? ( y ? 1) ? 5
2 2

………………………………………5分

……………………………7分

(2)设直线l的斜率为 k ,则直线 l 的方程为 y ? 3 ? 1 ? k ( x ? 2) ,………………8分 ∵弦AB的长为4,圆C的半径 r ? 5 ,∴圆心(1,-1)到直线l的距离为1,

| 3?k |


1? k

2

?1
,解得

k?

3 3

………………………………………11分

另外,当直线的斜率 k 不存在时,直线 x ? 2 也满足条件, …………………14分 所以直线的倾斜角为 30 或 90
? ?

……………………………15分 ………1分 ………4分 ………2分 ………………………4分

19. (本题满分16分) 解: (1)由题意知,△PAB为等边三角形,所以线段AB的长就是切线长PA
? 法一:∵ ?APB ? 60 ,由题可知 MP ? 2 ,∴ PA ? MP ? r ? 3

2

2

法二:∵ ?APB ? 60 ,∴等腰三角形MAB中, ?AMB ? 120
?

?

而半径MA=1,∴ AB ? 2MB ? cos30 ? 3
?

(2) 记 ?APB ? 2? , 则在直角三角形MAP中,有

sin ? ?

1 MP

当 ?APB 最大时,有MP最小,此时MP垂直于直线直线 l x ? 2 y ? 0 ……………7分

m?2 2 ? ?2 m? 5 设 P(2m, m) ,∵ M (0,2) ,∴ 2m ,∴ 4 2 ( , ) ∴点 P 坐标为 5 5
(3)设 P(2m, m) , MP 的中点

………………………9分

Q ( m,

m ? 1) 2 ,因为 PA 是圆 M 的切线

所以经过 A, P , M 三点的圆是以 Q 为圆心,以 MQ 为半径的圆, ……………………11分

( x ? m) 2 ? ( y ?
故其方程为:

m m ? 1) 2 ? m2 ? ( ? 1)2 2 2

……………………………13分

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化简得: x ? y ? 2 y ? m( x ? y ? 2) ? 0 ,此式是关于 m 的恒等式,
2 2

? x 2 ? y 2 ? 2 y ? 0, ? x ? 0 ? x ? 1, ? ? ? x ? y ? 2 ? 0, y ? 2 或 ? y ? 1. 故? 解得 ?
所以经过 A, P , M 三点的圆必过定点 (0, 2) 或 (1,1) . 20. (本题满分16分) 解:(1)依题意,可设动圆C的方程为 ( x ? a) ? ( y ? b) ? 25 , ……………………2分
2 2

……………………………16分

其中圆心 ( a, b) 满足 a ? b ? 10 ? 0 . 又∵动圆过点(-5,0),故 (?5 ? a) ? (0 ? b) ? 25
2 2

解方程组

? a ? b ? 10 ? 0 ? 2 2 ?( ?5 ? a ) ? (0 ? b) ? 25
2 2

?a ? ?10 ?a ? ?5 ? ? b ? 0 或 ?b ? 5 ……………………6分 ,解得 ?
2 2

故所求的圆C方程为 ( x ? 10) ? y ? 25 或 ( x ? 5) ? ( y ? 5) ? 25

……………8分

(2)圆心O (0, 0) 到直线 l : x ? y ? 10 ? 0 的距离
2 2 2

d?

|10 | ?5 2 1?1 .

动圆C中与圆O: x ? y ? r 相外切 ? 圆心距 CO ? r ? 5 而 CO ? 5 2 , ∴ r ? 5 2 ? 5 ,
2 2

……………………10分
2

所以,当 r ? 5 2 ? 5 时,这样的动圆C始终与圆O: x ? y ? r 相离 ………12分 当 r ? 5 2 ? 5 时,只有 CO ? l 时,动圆C与圆O: x ? y ? r 相外切,其它位置
2 2 2

动圆C均与圆O: x ? y ? r 相离;此时满足题意。
2 2 2

……………15分

当 r ? 5 2 ? 5 时,满足题设条件的动圆C 有两个。 综上,存在满足条件的 r ? 5 2 ? 5 。 ……………16分

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