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组合2


1.2.2 组合

组合与组合数
通过前面的学习,我们已经知道了组合的定义, 组合数及其一些性质和组合与排列的关系。今天我 们将在此基础上,继续学习它们的一些应用

(一)组合数的 公式及其性质:

n! C ? m!(n ? m)!
m n

m A n(n ? 1)(n ?

2)? (n ? m ? 1) m n Cn ? n ? Am m!

C 组合数性质1:
m m

m n

?C

2: C n ?1 ? C n ? C n

m ?1

0 特别地: n

n? m n

C ? C ?1
n n

练习一
0 C ? C A ? __________
3 7 3 3

4 (1) 10

x (2) 10

C ?C

3 x ?2 10

1或 3 , 则x ? ________
99 100

97 (3 ) 99

C ?C ?C
98 99

5050 ? _______

例题解读: 例1.6本不同的书,按下列要求各有多少种 不同的选法: (1)分给甲、乙、丙三人,每人2本;

解:(1)根据分步计数原理得到:

C C C ? 90种
2 6 2 4 2 2

例題解读:
例1.6本不同的书,按下列要求各有多少种 不同的选法: (2)分为三份,每份2本; 2 2 2 解析:(2)分给甲、乙、丙三人,每人两本有C6 C4 C2 种
方法,这个过程可以分两步完成:第一步分为三份,每

份两本,设有x种方法;第二步再将这三份分给甲、乙、
丙三名同学有 A
2 6 2 4 2 2

3 所以. 3 种方法.根据分步计数原理 2 2 2
3 3

可得: C C C ? xA

C6 C4 C2 x? ? 15 所以. 3 A3

因此,分为三份,每份两本一共有15种方法

点评: 本题是分组中的“均匀分组”问题.
一般地:将mn个元素均匀分成n组(每组m个元 素),共有

C

m mn

?C

m mn?m

???? C
n n

m m

A

种方法

例题解读:

例1.6本不同的书,按下列要求各有多少种不同 的选法: (3)分为三份,一份1本,一份2本,一份3本; (4)分给甲、乙、丙三人,一人1本,一人2本, 一人3本; 解:(3)这是“不均匀分组”问题,一共有

C C C ? 60种方法.
1 6 2 5 3 3

(4)在(3)的基础上再进行全排列,所以一共有

C C C A ? 360 种方法.
1 6 2 5 3 3 3 3

例题解读:
例1.6本不同的书,按下列要求各有多少种不同 的选法: (5)分给甲、乙、丙三人,每人至少1本 解:(5)可以分为三类情况: ①“2、2、2型” C C C ? 90 种方法; 1 2 3 3 C6C5 C3 A3 ? 360 ②“1、2、3型” 的分配情况,有 种方法; 4 3 ③“1、1、4型”,有 C6 A3 ? 90 种方法,
2 的分配情况,有 6 2 4 2 2

所以,一共有90+360+90=540种方法.

不同元素的分组
因为每组中的元素是无序的,所以是组合 问题,但要注意重复性。 第一类:不同元素的均匀分组 例1.6本不同的书,按下列要求各有多少 2 2 2 种不同的选法: C6 C4 C2 (2)分为三份,每份2本; ? 15 3 A3 选法个数为:

注意:不同元素的均匀分组要注意 重复性

第二类:不同元素的不均匀分组 例1.6本不同的书,按下列要求各有多少 种不同的选法:(3)分为三份,一份1本, 一份2本,一份3本; C1C 2C 3 ? 60
6 5 3

若将不同元素的分组分给不同的人,则要 先分组在分配(即排列) 例1.6本不同的书,按下列要求各有多少 种不同的选法: (4)分给甲、乙、丙三人,一人1本,一 人2本,一人3本; C1C 2C 3 A3 ? 360
6 5 3 3

学生练习:有四个不同 的小球,全部 放入四个不同的盒子内 ,恰有两个盒子 不放球的放法总数为多 少?

CC 2 CC A ? A ? 84 4 2 A2
1 4 3 3 2 4

2 4

2 2

元素相同问题隔板策略
例.有10个运动员名额,再分给7个班,每 班至少一个,有多少种分配方案?

解:因为10个名额没有差别,把它们排成 一排。相邻名额之间形成9个空隙。 在9个空档中选6个位置插个隔板, 可把名额分成7份,对应地分给7个 班级,每一种插板方法对应一种分法 6 共有 ___________ 种分法。 将n个相同的元素分成 n,m为正整数),每 C9 m份( 份至少一个元素,可以用m-1块隔板,插入n个元素 排成一排的n-1个空隙中,所有分法数为

C

m ?1 n ?1

一 班

二 班

三 班

四 班

五 班

六 班

七 班

例题解读: 例2、(1)10个优秀指标分配给6个班级,每个班级至少 一个,共有多少种不同的分配方法? (2)10个优秀指标分配到1、2、 3三个班,若名 额数不少于班级序号数,共有多少种不同的分配方法?

分析:(1)这是同种元素的“不平均分组”问题.本小题可 构造数学模型 ,用5个隔板插入10个指标中的9个空隙,

既有

C 种方法。按照第一个隔板前的指标数为1班的
种分法. ? 126

5 9

指标,第一个隔板与第二个隔板之间的指标数为2班的指

标,以此类推,因此共有 C 5
9

例题解读: (2)先拿3个指标分给二班1个,三班2个, 然后,问题转化为7个优秀指标分给三个班, 2 每班至少一个.由(1)可知共有 C6 ? 15 种分法 注:第一小题也可以先给每个班一个指标, 然后,将剩余的4个指标按分给一个班、两

个班、三个班、四个班进行分类,共有
种分法.

C ? 2C ? 3C ? C ? 126
1 6 2 6 3 6 4 6

例题解读 例3.(1)四个不同的小球放入四个不同的盒中,一共 有多少种不同的放法? (2)四个不同的小球放入四个不同的盒中且恰有一个空 盒的放法有多少种? 解:(1)根据分步计数原理:一共有
2 “捆绑”在一起看成一个元素有 C 4
4

4 ? 256种方法;

(2)(捆绑法)第一步:从四个不同的小球中任取两个 种方法;第二步:从

四个不同的盒中任取三个将球放入有 一共有 C 2
4

A

3 种方法,所以, 4

A

3 =144种方法 4

例题解读:
例4.马路上有编号为1,2,3,…,10的十盏路 灯,为节约用电又不影响照明,可以把其中3盏灯 关掉,但不可以同时关掉相邻的两盏或三盏,在 两端的灯都不能关掉的情况下,有多少种不同的 关灯方法? 解:(插空法)本题等价于在7只亮着的路灯之间 的6个空档中插入3只熄掉的灯,故所求方法总数
3 6

为C

种方法 ? 20

例5、不定方程x ? y ? z ? 7( x, y, z ? N ) 的解的个数是多少?

例题解读:
例5. (辽宁卷9)一生产过程有4道工序,

每道工序需要安排一人照看.现从甲、乙、 丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序, 第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1 人,第四道工序只能从甲、丙两工人中安 排1人,则不同的安排方案共有( B ) A.24种 B.36种 C.48 D.72种

例6.(海南卷9)甲、乙、丙3位志愿者

安排在周一至周五的5天中参加某项志愿 者活动,要求每人参加一天且每天至多安 排一人,并要求甲安排在另外两位前面。 A ) 不同的安排方法共有( A. 20种 B. 30种 C. 40种 D. 60种

例7.(重庆卷16)某人有4种颜色的灯泡

(每种颜色的灯泡足够多),要在如题 (16)图所示的6个点A、B、C、A1、B1、 C1上各装一个灯泡,要求同一条线段两端 的灯泡不同色,则每种颜色的灯泡都至少 用一个的安装方法共有 216 种(用数字 作答).

课堂练习:
6.高二某班第一小组共有12位同学,现在要调换座位, 使其中有3个人都不坐自己原来的座位,其他9人的座位 3 不变,共有 C12 ? 2 ? 440 种不同的调换方法 7.某兴趣小组有4名男生,5名女生: (1)从中选派5名学生参加一次活动,要求必须有2名男 生,3名女生,且女生甲必须在内,有 36 种选派方法; (2)从中选派5名学生参加一次活动, 要求有女生但人 45 种选派方法; 数必须少于男生,有____ 280 种不同分法. (3)分成三组,每组3人,有_______

课堂练习:
8.九张卡片分别写着数字0,1,2,…,8,从中取出三 张排成一排组成一个三位数,如果6可以当作9使用,问 可以组成多少个三位数?

2 1 1 1 解:可以分为两类情况:① 若取出6,则有2( A8 ? C2 C7C7 ) 种方法; 1 2 ②若不取6,则有C7 A7 种方法,

1 2 2 1 1 1 2( A ? C C C ) 根据分类计数原理,一共有 =602 8 2 7 7 +C7 A 7 种方法

课堂小结
1.按元素的性质进行分类、按事件发生的连续过程 分步,是处理组合应用题的基本思想方法; 2.对于有限制条件的问题,要优先安排特殊元素、 特殊位置; 3.对于含“至多”、“至少”的问题,宜用排除 法或分类解决; 4.按指定的一种顺序排列的问题,实质是组合问 题.

5.需要注意的是,均匀分组(不计组的顺序)问题
不是简单的组合问题,如:将3个人分成3组,每组

一个人,显然只有1种分法,而不是 C1 ? C1 ? C1种 ?, 6
3 2 1

一般地,将m、n个不同元素均匀分成n组,有

C C

m mn

m ( n-1) m m m

??C

m 种分法; m

A


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