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201310一元二次不等式解法复习


全方位课外辅导体系 Comprehensive Tutoring Operation System

全方位教学辅导教案
学科:数学 姓 名 任课教师:蔡双利 李惠成 性 别 授课时间:2013 年 10 月 18 日 女 年 级 高二 星期六 学号:1419

第 18 次课

教 学 一元二次方程的解法 内

容 重 点 一元二次不等式解法口诀 难 点 一元二次不等式与一元二次方程及函数的关系 教 学 掌握一元二次不等式的解法及口诀使用条件,弄清三个二次之间的关系 目 标 课前 作业完成情况: 检查 与交 交流与沟通: 流
一元二次不等式: 在这里我们发现一元二次方程、一元二次不等式、二次函数三者之间有着密切的联系。 利用这种联系(集中反映在相应二次函数的图像上)我们可以快速准确地求出一元二次不等



式的解集,可见利用二次函数的图像来解一元二次不等式是个十分有效的方法。 下面我们再对一般的一元二次不等式 ax ? bx ? c ? 0 与 ax ? bx ? c ? 0 来进行讨论。
2 2

学 针 对 性 程 授

现在请同学们画出表中的二次函数图,并写出相应一元二次不等式的解集。只考虑 a ? 0

? ? b 2 ? 4ac
二次函数

??0

??0

??0



y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0)
的图像

ax2 ? bx ? c ? 0
( a ? 0 )的根

ax2 ? bx ? c ? 0
( a ? 0 )的解集

ax2 ? bx ? c ? 0
( a ? 0 )的解集

1

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上表是我们今后求解一元二次不等式的主要工具,应理解表中的结果。 求解一元二次不等式的关键就是抓住相应二次函数 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的图像。

【典例分析】
例 1、解下列不等式: (1) x ? 5 x ? 0
2

(2) ? 6 x ? x ? 2 ? 0
2

(3) 4 x ? 4 x ? ?1
2

(4) 3x ? x ? 2 ? 0
2

小结:解一元二次不等式的步骤: (1)化标准:将不等式化成标准形式(右边为 0、最高次的系数为正); (2)判Δ ,求根:计算判别式的值,若值为正,则求出相应方程的两根; (3)下结论:结果要写成集合或者区间的形式(注意结合函数图像)。 例 2、求函数 f ( x) ?

x ? 2 ? log3 (3 ? 2x ? x2 ) 的定义域

2

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【基础检测】
1、一元二次不等式 9 x ? 6 x ? 1 ? 0 的解集
2 2

。 。

2、若代数式 6 x ? x ? 2 的值恒取非负实数,则实数 x 的取值范围是 3、函数 y ?

x 2 ? 4 x ? 5 的定义域
2

。 ,b ?

4、若不等式 ax ? bx ? 2 ? 0 的解集为[-1,1],则 a ?

【能力提升】
1、解不等式: (1) ? x ? 2 x ? 8 ? 0
2

(2) 0 ? x ? x ? 2
2

2、关于 x 的一元二次方程 (m ? 1) x 2 ? 2(m ?1) x ? 3 ? 0 无实数根,求 m 的范围。

3、函数 y ? ax2 ? 4ax ?1 的值恒为负值,求 a 的取值范围。

课堂检测: 1.判断下列不等式那些是一元二次不等式: ⑴ 3x ? bx ? 6 ? 0 ;
2

⑵ ? x ? 2x ? m ? 0 ;
2

⑶ mx ? 5 ? 0;
2

⑷ mx ? nx ? 5 ? 0 ;
2

2.不等式 x?3 ? x ? ? x?x ? 2? ? 1 的解集是(

).

3

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(A) ? x x ?

? ?

? 1? ? 2?

(B) ?

(C) ? x x ? ? 或x ? 3?

? ?

1 2

? ?

(D) ? x x ?

? ?

1? ? 2?

3.不等式 6 x ? x ? 2 ? 0 的解集是(
2

). (B) ? x x ? ? 或x ?

(A) ? x ?

? ?

2 1? ?x? ? 3 2? 1? ? 2?

? ?

2 3

1? ? 2?

(C) ? x x ?

? ?

(D) ? x x ? ? ?

? ?

2? 3?
).

2 4.设集合 M ? x 0 ? x ? 2 ,集合 N ? x x ? 2 x ? 3 ? 0 ,集合 M ? N 等于(

?

?

?

?

(A) x 0 ? x ? 1 课后作业: 1.函数 y ?

?

?

(B) x 0 ? x ? 2 (C) x 0 ? x ? 1

?

?

?

?

(D) x 0 ? x ? 2

?

?

x 2 ? x ? 12 的定义域是(

). (B) x ? 4 ? x ? 3

(A) x x ? ?4或x ? 3 (C) x x ? ?4或x ? 3

? ?

?

?

? ?

?

(D) x ? 4 ? x ? 3

?

2.已知关于 x 的不等式 ax ? b ? 0 的解集是 ?1,??? ,则关于 x 的不等式 ?ax ? b??x ? 2? ? 0 的 解集是( ). (B) ?? 1,2? (C) ?1,2? (D) ?2,??? ).

(A) ?? ?,?1? ? ?2,??? 3.若 f ?x ? ?

kx 2 ? 6kx ? k ? 8 的定义域为 R,则实数 k 的取值范围是(

(A) k 0 ? k ? 1

?

?

(B) k 0 ? k或k ? 1

?

?
?

(C) k 0 ? k ? 1

?

? ?

(D) k k ? 1

?

?

2 2 4.已知集合 M ? x x ? 4 , N ? x x ? 2 x ? 3 ? 0 ,则集合 M ? N ? (

?

?
2

?

?

).

(A) x x ? ?2 (B) x x ? 3
2

?

?

?

?

(C) x ? 1 ? x ? 2 ).

?

(D) x 2 ? x ? 3

?

5.不等式 63x ? 2mx ? m (m ? 0) 的解集为( (A) ? x ?

? ?

m m? ?x? ? 9 7? m m? 或x ? ? 9 7?

(B) ? x

? m m? ?x?? ? 9? ? 7 ? ? m m? 或x ? ? ? 7 9?

(C) ? x x ? ?

? ?

(D) ? x x ?

4

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2 6.已知结合 A ? x x ? 3 x ? 10 ? 0 , B ? x m ? 1 ? x ? 2m ? 1 , 且 A ? B ? ? ,则实数 m 的

?

?

?

?

取值范围为( (A) ?? ?,2? 7.函数 y ?

). (B) ?4,??? (C) ?? ?,2? ? ?4,??? (D) ?2,4? .
2

log 0.5 4 x 2 ? 3x 的定义域是
2

?

?

8. 已 知 不 等 式 x ? ax ? b ? 0 的 解 集 为 ?2,3? , 则 不 等 式 bx ? ax ? 1 ? 0 的 解 集 为 .
2

9.用一根长为 100 m 的绳子围成一个面积大于 600m 的矩形吗?当长、宽分别为多少米时, 所围成的矩形的面积最大?

10.已知 mx ? 2mx ? 1 ? 0 恒成立,求 m 的范围.
2

11.已知不等式 ?k ? 1?x ? 2 x ? 1 ? 0 对一切 x ?R 恒成立, 则实数 k 的取值范围是
2

. .

12.若关于 x 的不等式 x ? ax ? a ? 0的解为 ?? ?, ?? ,则实数 a 的取值范围是
2

13.在 R 上定义运算 ? : x ? y ? x?1 ? y ?, 若不等式 ?x ? a ? ? ?x ? a ? ? 1对任意实数 x 均成立, 则( ). (A) ? 1 ? a ? 1 (B) 0 ? a ? 2 (D) ?
2

1 3 (C) ? ? a ? 2 2

3 1 ?a? 2 2

14. m 为何值时,关于 x 的方程 ?m ? 1?x ? 2?2m ? 1?x ? ?1 ? 3m? ? 0 有两个异号的实根.

5

全方位课外辅导体系 Comprehensive Tutoring Operation System 知识梳理: 重要不等式

基本不等式

基础练习:
a+b 1.基本不等式 ab≤ 2 (1)基本不等式成立的条件:____________. (2)等号成立的条件:当且仅当________时取等号. 2.几个重要的不等式 (1)a2+b2≥________ (a,b∈R). b a (2) + ≥____(a,b 同号). a b a+b?2 (3)ab≤? ? 2 ? (a,b∈R). a2+b2 a+b?2 (4)? ____ . 2 ? 2 ? 3.算术平均数与几何平均数 设 a>0,b>0,则 a,b 的算术平均数为________,几何平均数为________,基本不等式 可叙述为:________________________________________________. 4.利用基本不等式求最值问题 已知 x>0,y>0,则 (1)如果积 xy 是定值 p,那么当且仅当________时,x+y 有最____值是________ (简记:积定和最小). (2)如果和 x+y 是定值 p,那么当且仅当________时,xy 有最____值是__________ (简记:和定积最大).

6

全方位课外辅导体系 Comprehensive Tutoring Operation System 典型例题: 应用一 利用基本不等式求最值 例 1 求函数 y=x+
1 (x>0) x

的值域.

变式训练 1 当 x>-1 时,求 f(x)=x+

1 的最小值. x ?1

x 4 ? 3x 2 ? 3 变式训练 2 求函数 y= 的最小值. x2 ?1

1 变式训练 3 已知 0<x< ,求函数 y=x(1-3x)的最大值; 3

变式训练 4 (1)求 y ? x(4 ? x)(0 ? x ? 4) 的最大值,并求取时的 x 的值

(2)求 y ? x 4 ? x 2 (0 ? x ? 2) 的最大值,并求取最大值时 x 的值

7

全方位课外辅导体系 Comprehensive Tutoring Operation System “1”的代换问题:
1 9 例 2 已知 x>0,y>0,且 + =1,求 x+y 的最小值. x y

变式训练 已知正数 a,b,x,y 满足 a+b=10,
a b ? =1,x+y 的最小值为 18,求 a,b 的值. x y

例 3 求 f(x)=3+lgx+

4 的最小值(0<x<1). lg x

5 1 变式训练 1 已知 x< ,求函数 y=4x-2+ 的最大值. 4 4x ? 5

3 8 变式训练 2 当 x< 时,求函数 y=x+ 的最大值. 2 2x ? 3

应用二 例4

基本不等式在证明不等式中的应用 1 1 已知 a>0,b>0,a+b=1,求证:(1+ )(1+ )≥9. a b

应用三

利用基本不等式比较大小

8

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1 ? f ( x1 ) ? f ( x2 )? 例 5.已知函数 f(x)=logx(x ? R ),若 x1 , x2 ? R ,试判断 2 与
?

?

f(

x1 ? x 2 ) 2 的大小,并加以证明。

应用四

实际运用问题

例 6 如下图动物园要围成相同的长方形虎笼四间,一面可利用原有的墙,其他各 面用钢筋网围成.

(1)现有可围 36 m 长网的材料,每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使每间 虎笼面积最大? (2)若使每间虎笼面积为 24 m2,则每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使围 成四间虎笼的钢筋总长度最小?

课后作业:

a2+4 1.若 M= (a∈R,a≠0),则 M 的取值范围为( a

)

A.(-∞,-4]∪[4,+∞) B.(-∞,-4] C.[4,+∞) D.[-4,4] 2.已知 ab≠0,a,b∈R,则下列式子总能成立的是( ) b a b a A. + ≥2 B. + ≥-2 a b a b b a? b a C. + ≤-2 D.? ?a+b?≥2 a b 1 3.若函数 f(x)=x+ (x>2)在 x=a 处取最小值,则 a=( x-2 A.1+ 2 B.1+ 3 C.3 D.4

)

9

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4 4.对一切正数 m,不等式 n< +2m 恒成立,则常数 n 的取值范围为( m A.(-∞,0) B.(-∞,4 2) C.(4 2,+∞) D.[4 2,+∞) 5.设 0<a<b,则下列不等式中正确的是( ) a+b a+b A.a<b< ab< B.a< ab< <b 2 2 a+b a+b C.a< ab<b< D. ab<a< <b 2 2 6.已知 a>0,b>0,A 为 a,b 的等差中项,正数 G 为 a,b 的等比中项,则 ab 与 AG 的 大小关系是( ) A.ab=AG B.ab≥AG C.ab≤AG D.不能确定 7.某商场中秋前 30 天月饼销售总量 f(t)与时间 t(0<t≤30)的关系大致满足 f(t)=t2+10t f?10? +16,则该商场前 t 天平均售出?如前10天的平均售出为 10 ?的月饼最少为( ) ? ? A.18 B.27 C.20 D.16 1 1 1 8.设 a、b、c 都是正数,那么 a+ 、b+ 、c+ 三个数( b c a ) )

A.都不大于 2 B.都不小于 2 C.至少有一个不大于 2 D.至少有一个不小于 2 a+b? 1 9.若 a>b>1,P= lga· lgb,Q= (lga+lgb),R=lg? 2 ? 2 ?,则 P,Q,R 的大小关系为 ________. 3 1 10. 已知 2a+3b=6,且 a>0,b>0,则 + 的最小值是________. 2a b 11.下列函数中,y 的最小值为 4 的是________(写出所有符合条件的序号). 2?x2+3? 4 4 - ①y=x+ (x>0);②y= 2 ;③y=ex+4e x;④y=sinx+ . x sin x x +2 12.(13 分)若 x,y∈R,且满足(x2+y2+2)(x2+y2-1)-18≤0. (1)求 x2+y2 的取值范围; (2)求证:xy≤2.

签字 老师 课后 评价

教研组长: 下节课的计划:

教学主任:

学生:

教务老师:

家长:

学生的状况、接受情况和配合程度: 给家长的建议:

10


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