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2006--2011年六年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题及答案详解


2006 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷
2006.4.2 8:00~11:00
本试卷分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两部分,共 150 分 第Ⅰ卷(选择题 共 36 分)

一、 选择题:本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分。在每小题给出的 4 个选 项中,只有一项是符合题目要求的. 2 1. 已知数列﹛an﹜的通

项公式 an ? 2 ,则﹛an﹜的最大项是( ) n ? 4n ? 5
(A) a1 (B) 2. 函数 y ? 3
log 3 x

a2 (C ) a3 (D) a4 的图像大致是( )

y

y

1 o
(A ) 1

1 x o
(B ) 1

x

y

y

1 o
1

1 x o
1

x

(C ) (D) 2 3. 已知抛物线 y =2px,o 是坐标原点,F 是焦点,P 是抛物线上的点,使得△POF 是直角三角形,则这样的点 P 共有( ) (A)0 个 (B)2 个 (C)4 个 (D)6 个 4.设 f(x)是定义在 R 上单调递减的奇函数.若 x1+x2>O,x2+x3>O,x3 十 x1>O, 则 ( ) (A)f(x1)+f(x2)+f(x3)>0 (B)f(x1)+f(x2)+f(x3)<O (C)f(x1)+f(x2)+f(x3)=0 (D)f(x1)+f(x2)>f(x3) 5.过空间一定点 P 的直线中,与长方体 ABCD 一 A1B1C1D1 的 12 条棱所在直线成等角的直
第 1 页

线共有( ) (A)0 条

(B)1 条

(C)4 条

(D)无数多条

6.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c, tan A ? 最长的边为 1,则最短边的长为( A. ) C.

1 3 10 , cos B ? . 若△ABC 2 10

2 5 5

B.

3 5 5

4 5 5

D.

5 5

二.填空题:本大题共 6 小题,每小题 9 分,共 54 分.
7.集合 A={x∣x=3n,n∈N,0<n<10},B={y∣y=5m,m∈N,O≤m≤6}, 则集合 AUB 的所有元素之和为 8.设 COS2θ=
2 3

2 4 4 ,则 COS θ+sin θ 的值是 3
5

9.(x-3x ) 的展开式中,x 的系数为
10.已知

y ? ≥0 ? ? 3x ? y ≥0 ?x ? 3y ? 3 ? ≥0

,则 x +y 的最大值是

2

2

1 11.等比数列 { an } 的首项为 a1 ? 2020 ,公比 q ? ? .设 f (n) 表示该数列的前 n 项的积, 2

则当 n=

时, f (n) 有最大值.

12.长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,已知 AB1=4,AD1=3,则对角线 AC1 的取值范围为 三、解答题(第 13 题、14 题各 12 分,15 题 16 分,16 题 20 分)

? ? ? 2a ? ? ? ? 1? ,若 A∩B≠ ? ,求实数 a 的取值范围。 13.设集合 A= ? x log 1 (3 ? x) ? ?2 ? ,B= ? x ? ? ? x?a ? 2 ? ?

第 2 页

x2 y 2 ? ? 1的右焦点为 F,P1,P2,?,P24 为 24 个依逆时针顺序排列在椭圆上的点, 9 4 其中 P1 是椭圆的右顶点,并且∠P1FP2=∠P2FP3=∠P3FP4=?=∠P24FP1.若这 24 个点到右准线的 2 距离的倒数和为 S,求 S 的值.
14.椭圆

15. △ABC 中,AB<AC,AD,AE 分别是 BC 边上的高和中线,且∠BAD=∠EAC,证明∠BAC 是直 角.

第 3 页

16. 设 p 是质数,且 p2+71 的不同正因数的个数不超过 10 个,求 p

第 4 页

答案 1.B 2 . A 3. B 4. B 5. C 6. D 7. 225 8.

11 9. 27 18

10. 9

11. n=12 12. AC1∈(4,5)

13. a∈(-1,0)∪(0,3) 14. 180 15. 略 16. 质数 p 为 2 或 3 6.解:由 cos B ?

3 10 1 知 B 为锐角.? tan B ? 10 3

tan A ? tan B ? ?1 1 ? tan A ? tan B 由(1)知 ?C ? 135 ? ,故 c 边最长,即 c=1,又 tan A ? tan B ,故 b 边最短
故 tan C ? tan(? ? A ? B) ? ? tan(A ? B) ? ?

? sin B ?

10 2 , sin C ? 10 2

?由正弦定理 5 . 5

b c 得 ? sin B sin C

b?
11.解

c sin B 5 ? sin C 5

即最短边的长为

1 n ( n ?1) 1 an ? 2002 ? (? )n ?1 , f (n) ? 2002n ? (? ) 2 2 2 | f (n ? 1) | 2002 , ∵ ? n | f ( n) | 2

∴当 n≤10 时, | f (n ? 1) | ? 2002 >1,∴ | f(11) |>| f(10) |>…>| f(1) |; n
| f ( n) | 2

当 n≥11 时,

| f ( n ? 1) | 2002 ? n <1,∴ | | f ( n) | 2

f(11) |>| f(12) |>…

∵ f (11) ? 0 , f (10) ? 0 , f (9) ? 0 , f (12) ? 0 ,∴ f ( n) 的最大值为 f (9) 或 f (12) 中的最大者.
1 202012 ? ( )66 f (12) 1 2020 2 ∵ ? ? 20203 ? ( )30 ? ( 10 )3 ? 1 , f (9) 20209 ? ( ? 1 )36 2 2 2

1 ∴ 当 n=12 时, f ( n) 有最大值为 f (12) ? 200212 ? ( )66 . 2 2 2 16.解: 当 p=2 时,p +71=75=5 ×3,此时共有正因数(2+1)(1+1)=6 个,故 p=2 满足要求.当 p=3 时,p2+71=80=24×5,此时共有正因数(4+1)(1+1)=10 个,故 p=3 满足条件. 当 p>3 时,p2+71=p2-1+72=(p-1)(p+1)+72.质数 p 必为 3k±1 型的奇数 p-1、p+1 是相邻的两个偶数,且其中必有一个是 3 的倍数.所以,(p—1)(p+1)是 24 的倍数, 从而 p2+71 是 24 的倍数.
第 5 页

设 p2+71=24×m,m≥4. 若 m 有不同于 2、3 的质因数,则,p2+71 的正因数个数≥(3+1)(1+1)(1+1)>l0; 若 m 中含有质因数 3,则,p2+71 的正因数个数≥(3+1)(2+1)>10; 若 m 中仅含有质因数 2,则 p2+71 的正因数个数≥(5+1) (1+1)>10; 所以,p>3 不满足条件.综上所述,所求得的质数 p 是 2 或 3.

2007 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷
一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1. 已知函数 y ? sin x ,则
2

答:[ (B)有最小正周期 ? (D)无最小周期
2

]

(A)有最小正周期 2?

? (C)有最小正周期 2
2

2. 关于 x 的不等式 x ? ax ? 20a ? 0 任意两个解的差不超过 9 ,则 a 的最大值与最小值 的和是 答:[ ] (A) 2 (B) 1 (C) 0 (D) ?1 3. 已知向量 a、b,设 AB ? a ?2 b, BC ? ?5 a ?6 b, CD ? 7 a ?2 b,则一定共线的 三点是 答:[ ] (A) A 、 B 、 D (B) A 、 B 、 C (C) B 、 C 、 D (D) A 、 C 、 D 4. 设 ? 、 ? 、 ? 为平面, m 、 n 为直线,则 m ? ? 的一个充分条件是 答:[ ] (A) ? ? ? , ? ? ? ? n , m ? n (C) ? ? ? , ? ? ? , m ? ? (B) ? ? ? ? m , ? ? ? , ? ? ? (D) n ? ? , n ? ? , m ? ?

??? ?

??? ?

??? ?

, 3, 5, 7? 5. 若 m 、 n ? x x ? a2 ? 10 ? a1 ? 10 ? a0 ,其中 ai ? ?1 2,4,6, , i ? 0,2 ,并且 1,
2

?

?

答:[ ] m ? n ? 636 ,则实数对 (m, n) 表示平面上不同点的个数为 (A) 60 个 (B) 70 个 (C) 90 个 (D) 120 个 6. 已知 f ( x) ? x ? 1 ? x ? 2 ? ?? x ? 2007 ? x ? 1 ? x ? 2 ? ?? x ? 2007 ( x? R) , 且 f (a ? 3a ? 2) ? f (a ? 1), 则 a 的值有
2

答:[ (D)无数个

]

(A) 2 个

(B) 3 个

(C) 4 个

二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分)

7. 设 S n 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和,若 S5 ? 10 , S10 ? ?5 ,则公差为 8. 设 f ( x) ? log a ( x ? b) (a ? 0 且 a ? 1) 的图象经过点 (2, ,它的反函数的图象经过点 1)

.

(2, ,则 a ? b 等于 8)
9. 已知函数 y ? f ( x) 的图象如图,则满足 f (
2

.

2x ? x ?1 ) ? f (lg( x 2 ? 6 x ? 20)) ? 0 的 x2 ? 2x ? 1

x 的取值范围为

. y O 1
第 6 页

x

10. 圆锥曲线 x ? y ? 6 x ? 2 y ? 10 ? x ? y ? 3 ? 0 的离心率是
2 2

.

11. 在 ?ABC 中,已知 tan B ? 3 , sin C ? .
2

2 2 , AC ? 3 6 ,则 ?ABC 的面积为 3
2

12. 设命题 P : a ? a ,命题 Q : 对任何 x? R,都有 x ? 4ax ? 1 ? 0 . 命题 P 与 Q 中 有且仅有一个成立,则实数 a 的取值范围是 . 三、解答题(本题满分 60 分,共 4 小题,每题各 15 分) 13. 设不等式组 ?

? x ? y ? 0, 表示的平面区域为 D . 区域 D 内的动点 P 到直线 x ? y ? 0 ?x ? y ? 0

0) 和直线 x ? y ? 0 的距离之积为 2 . 记点 P 的轨迹为曲线 C . 过点 F (2 2, 的直线 l 与
曲线 C 交于 A 、 B 两点. 若以线段 AB 为直径的圆与 y 轴相切,求直线 l 的斜率.

14. 如图,斜三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,面 AA1C1C 是菱形, ?ACC1 ? 60? ,侧面

ABB1 A1 ? AA1C1C , A1B ? AB ? AC ? 1 .
求证: (1) AA1 ? BC1 ; (2)求点 A1 到平面 ABC 的距离. A

B A1

B1

15. 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an ?3

C C1 ? an ? 3 , an? 2 ? an ? 2 . 求 a2007 .

16. 已知平面上 10 个圆,任意两个都相交. 是否存在直线 l ,与每个圆都有公共点?证明 你的结论.
第 7 页

2007 年江苏省高中数学联赛初赛 试题参考答案及评分标准
一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1.已知函数 y ? sin x ,则( B ).
2

(A) 有最小正周期为 2? (C) 有最小正周期为 解: y ? sin x ?
2

? 2

(B) 有最小正周期为 ? (D) 无最小正周期

1 . (1 ? cos 2 x) ,则最小正周期 T ? ? . 故选(B) 2 2 2 2.关于 x 的不等式 x ? ax ? 20a ? 0 任意两个解的差不超过 9,则 a 的最大值与最小值
的和是( C ). (A) 2 (B) 1
2 2

(C) 0

(D) ? 1

解:方程 x ? ax ? 20a ? 0 的两根是 x1 ? ?4a , x2 ? 5a ,则由关于 x 的不等式

x 2 ? ax ? 20a 2 ? 0 任意两个解的差不超过 9 ,得 | x1 ? x2 | ? | 9a | ? 9 ,即
. ? 1 ? a ? 1 . 故选(C) ??? ? ??? ? ??? ? 3. 已知向量 a、b,设 AB ? a ?2 b, BC ? ?5 a ?6 b, CD ? 7 a ?2 b,则一定共线

??? ??? ??? ? ? ? ??? ? 解: BD ? BC ? CD ? 2 a ?4 b ? 2AB ,所以 A、B、D 三点共线. 故选(A) . 4.设 ? 、 ? 、 ? 为平面, m 、 n 为直线,则 m ? ? 的一个充分条件是( D ). (A) ? ? ? , ? ? ? ? n , m ? n (B) ? ? ? ? m , ? ? ? , ? ? ? (C) ? ? ? , ? ? ? , m ? ? (D) n ? ? , n ? ? , m ? ? 解: (A)选项缺少条件 m ? ? ; (B)选项当 ? // ? , ? ? ? 时, m // ? ; (C)选项当 , ? 、? 、? 两两垂直(看着你现在所在房间的天花板上的墙角) m ? ? ? ? 时,m ? ? ;
(D)选项同时垂直于同一条直线的两个平面平行.本选项为真命题. 故选(D) .

的三点是( A ). (A)A、B、D

(B)A、B、C

(C)B、C、D

(D)A、C、D

, 3, 5, 7? 5. 若 m 、 n ? x x ? a2 ? 10 ? a1 ? 10 ? a0 ,其中 ai ? ?1 2,4,6, , i ? 0,2 ,并且 1,
2

?

?

m ? n ? 636 ,则实数对 (m, n) 表示平面上不同点的个数为( C ) (A) 60 个 (B) 70 个 (C) 90 个 (D) 120 个 解:由 6 ? 5 ? 1 ? 4 ? 2 ? 3 ? 3 及题设知,个位数字的选择有 5 种. 因为 3 ? 2 ?1 ? ? 7 ? 6 ?10 ,故 (1) 由 3 ? 2 ? 1知,首位数字的可能选择有 2 ? 5 ? 10 种; (2) 由 3 ? 7 ? 6 ?10 及 5 ? 4 ? 1 ? 2 ? 3 知,首位数字的可能选择有 2 ? 4 ? 8 种.
第 8 页

于是,符合题设的不同点的个数为 5 ? (10 ? 8) ? 90 种. 故选(C) . 6.已知 f ( x) ? x ? 1 ? x ? 2 ? ? ? x ? 2007 ? x ? 1 ? x ? 2 ? ? ? x ? 2007 ( x? R) , 且 f (a ? 3a ? 2) ? f (a ? 1), 则 a 的值有( D ). (A)2 个 (B)3 个 (C)4 个 解:由题设知 f ( x) 为偶函数,则考虑在 ? 1 ? x ? 1 时,恒有
2

(D)无数个

f ( x) ? 2 ? (1 ? 2 ? 3 ? ? ? 2007) ? 2008 ? 2007 .
所以当 ?1 ? a ? 3a ? 2 ? 1 ,且 ?1 ? a ?1 ? 1 时,恒有 f (a ? 3a ? 2) ? f (a ? 1) .
2
2

3? 5 3? 5 ?a? ,不等式 2 2 3? 5 ? a ? 2 时,恒有 ? 1 ? a ? 1 ? 1 的解集为 0 ? a ? 2 .因此当 2 . f (a 2 ? 3a ? 2) ? f (a ? 1) . 故选(D)
由于不等式 ?1 ? a ? 3a ? 2 ? 1 的解集为
2

二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) 7.设 S n 为等差数列 ?a n ? 的前 n 项和,若 S 5 ? 10 , S10 ? ?5 ,则公差为 解:设等差数列 ?a n ? 的首项为 a1 ,公差为 d .

d ? ?1 .

?5a1 ? 10 d ? 10, ?a1 ? 2d ? 2, 即 ? 解之得 d ? ?1 . ?10 a1 ? 45 d ? ?5, ?2a1 ? 9d ? ?1, 8. 设 f ( x) ? log a ( x ? b) (a ? 0 且 a ? 1) 的图象经过点 (2, ,它的反函数的图象经过点 1) (2, ,则 a ? b 等于 4 . 8) ? log a (2 ? b) ? 1, ?(2 ? b) ? a, 解:由题设知 ? 化简得 ? 2 ? (8 ? b) ? a . ?log a (8 ? b) ? 2,
由题设得 ? 解之得 ?

? a1 ? 3, ? a2 ? ?2, (舍去). ? ? b1 ? 1; ? b2 ? ?4.

故 a ? b 等于 4. 9.已知函数 y ? f ( x) 的图象如图,则满足 f (

x 的取值范围为

x ?[? 2 1 ). ,
y O 1

2 x2 ? x ?1 ) ? f (lg( x 2 ? 6 x ? 20)) ? 0 的 2 x ? 2x ?1

x

(第 ? 3) 解: 因为 lg x ? 6 x ? 20 ? lg ( x9 题)? 11 ? lg11 ? 1 ,所以
2 2

?

?

?

?

lg ? x 2 ? 6 x ? 20 ? ? 0 . 于是,由图象可知,

1) ?2 ? x ? 1 . 故 x 的取值范围为 x ?[?2, .

2x ? 1 x?2 ? 1 ,即 ? 0 ,解得 x ?1 x ?1

第 9 页

2 2 10.圆锥曲线 x ? y ? 6 x ? 2 y ? 10 ? | x ? y ? 3 |? 0 的离心率是

2 .

解:原式变形为 ( x ? 3) ? ( y ? 1) ?| x ? y ? 3 | ,即
2 2

( x ? 3) 2 ? ( y ? 1) 2 ?

.所以动点 ( x, y ) 到定点 (?31) 的距离与它到直线 x ? y ? 3 ? 0 的距离 , 2 之比为 2 .故此动点轨迹为双曲线,离心率为 2 . 2 2 11.在 ?ABC 中,已知 tan B ? 3 , sin C ? , AC ? 3 6 ,则 ?ABC 的面积为 3 S?ABC ? 8 3 ? 6 2 . AC ? sin C 解:在 ?ABC 中,由 tan B ? 3 得 B ? 60? .由正弦定理得 AB ? ? 8. sin B 2 2 1 ? 60 ? ,所以角 C 可取锐角或钝角,从而 cos C ? ? . 因为 arcsin 3 3 2 3 .故 sin A ? sin( B ? C ) ? sin B cos C ? cos B sin C ? ? 3 6 AC ? AB S?ABC ? sin A ? 8 3 ? 6 2 . 2 2 2 12. 设命题 P : a ? a ,命题 Q : 对任何 x? R,都有 x ? 4ax ? 1 ? 0 . 命题 P 与 Q 中有 1 1 且仅有一个成立,则实数 a 的取值范围是 ? ? a ? 0 或 ? a ?1 . 2 2

2

| x ? y ?3|

解:由 a ? a 得 0 ? a ? 1 .由 x ? 4ax ? 1 ? 0 对于任何 x? R 成立,得
2 2

? ? 16 a 2 ? 4 ? 0 ,即 ?

1 1 ? a ? .因为命题 P 、 Q 有且仅有一个成立,故实数 2 2 1 1 a 的取值范围是 ? ? a ? 0 或 ? a ? 1 . 2 2
? x ? y ? 0, 表示的平面区域为 D . 区域 D 内的动点 P 到直线 x ? y ? 0 ?x ? y ? 0

三、解答题(本题满分 60 分,每小题 15 分) 13. 设不等式组 ?

0) 和直线 x ? y ? 0 的距离之积为 2 . 记点 P 的轨迹为曲线 C . 过点 F (2 2, 的直线

l 与曲线 C 交于 A 、 B 两点. 若以线段 AB 为直径的圆与 y 轴相切,求直线 l 的斜率. 解:由题意可知,平面区域 D 如图阴影所示. x? y x? y ? ? 2 ,即 设动点为 P( x, y ) ,则 y 2 2 x 2 ? y 2 ? 4 .由 P ? D 知
x ? y ? 0 ,x-y<0,即 x2-y2<0. 所以 y2-x2=4(y>0),即曲线 C 的方程为
y2 x2 - =1(y>0).????5 分 4 4 O

第 10 页

x

x1 ? x2 y1 ? y2 , ). 2 2 x ? x2 1 因为以线段 AB 为直径的圆 L 与 y 轴相切,所以半径 r ? AB ? 1 ,即 2 2 AB ? x1 ? x2 . ① ????10 分
设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则以线段 AB 为直径的圆的圆心为 Q( 因为直线 AB 过点 F(2 2,0), 当 AB ? x 轴时,不合题意. 所以设直线 AB 的方程为 y=k(x-2 2). y2 x2 代入双曲线方程 - =1(y>0)得, 4 4 2 2 2 k (x-2 2) -x =4,即(k2-1)x2-4 2k2x+(8k2-4)=0. 因为直线与双曲线交于 A,B 两点, 所以 k≠±1. 8k2-4 4 2k2 所以 x1+x2= 2 ,x1x2= 2 . k -1 k -1 所以|AB|= (x1-x2)2+(y1-y2)2= (1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]
2 2 2 ?4 2k ?2-4?8k -4]=|x +x |=|4 2k |, (1+k2)[? 2 ? 2 2 1 2 k -1 k -1 ? k -1 ? 4 2 化简得:k +2k -1=0, 解得 k2= 2-1(k2=- 2-1 不合题意,舍去) . 由△=(4 2k2)2-4(k2-1) (8k2-4) =3k2-1>0, 又由于 y>0, 3 所以-1<k<- . 3



所以 k=- 2-1 解:由题意可知,平面区域 D 如图阴影所示. |x+y| |x-y| 设动点 P(x,y),则 ? =2, 2 2 即|x2-y2|=4. 由 P∈D 知: x+y>0,x-y<0,即 x2-y2<0. 所以 y2-x2=4(y>0). y2 x2 即曲线 C 的方程为 - =1(y>0).????5 分 4 4 设 A(x1,y1),B(x2,y2), x1+x2 y1+y2 则以线段 AB 为直径的圆的圆心为 Q( , ). 2 2 因为以线段 AB 为直径的圆与 y 轴相切, x1+x2 1 ∴半径 r= |AB|=| |. 2 2 即|AB|=|x1+x2|. ① 因为直线 AB 过点 F(2 2,0), 当 AB ? x 轴时,不合题意. 所以设直线 AB 的方程为 y=k(x-2 2).
第 11 页

???????15 分

y

O

x

???????10 分

y2 x2 代入双曲线方程 - =1(y>0)得, 4 4 2 2 2 k (x-2 2) -x =4,即(k2-1)x2-4 2k2x+(8k2-4)=0. 因为直线与双曲线交于 A,B 两点, 所以 k≠±1. 8k2-4 4 2k2 所以 x1+x2= 2 ,x1x2= 2 . k -1 k -1 所以|AB|= (x1-x2)2+(y1-y2)2= (1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2] =

?4 2k ?2-4?8k -4]=|x +x |=|4 2k |, (1+k )[? 2 ? 1 2 k2-1 k2-1 ? k -1 ?
2 2 2 2

化简得:k4+2k2-1=0, 解得 k2= 2-1(k2=- 2-1 不合题意,舍去) . 2 2 2 2 2 由△=(4 2k ) -4(k -1) (8k -4) =3k -1>0, 又由于 y>0, 3 所以-1<k<- . 3 所以 k=- 2-1????????????????????????????15 分 14. 如图,斜三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,面 AA1C1C 是菱形, ?ACC1 ? 60? ,侧面

ABB1 A1 ? AA1C1C , A1B ? AB ? AC ? 1 .
求证: (1) AA1 ? BC1 ; (2)求点 A1 到平面 ABC 的距离. 证: (1)设 AA1 中点为 D ,连 C 、 D . 因为 A1 B ? AB ,所以 BD ? AA1 .因为面 A

B A1

B1

ABB1 A1 ? AA1C1C ,所以 BD ? 面 AA1C1C . C C1 又 ?ACC1 为正三角形, AC1 ? C1 A1 ,所以 C1 D ? AA1 . 从而 BC1 ? AA1 . ??????6 分 (2) 由(1) ,有 BD ? C1 D , BC1 ? CC1 , CC1 ? 面 C1 DB .设 A1 到面 ABC 的 距离为 h ,则 1 hS?ABC ? VB ?CAC1 ? VB ?CDC1 . 3 A
因为

(第 14 题)

1 VC ?C1DB ? CC1 ? S?C1DB , 3 S?C1DB 所以 h ? . S?ABC 又 C1 D ? BD ,且
2S ?C1DB ? C1 D ? BD ? BD 2 ?
设 ?ABC 的高为 AE ,则

B

E

C

3 . 4 3 5 ?1 ? , 2 2

BC 2 ? BC12 ? CC12 ? 2 BD 2 ? 1 ?
第 12 页

AE ? 1 ?
2S ?ABC ?
于是有 h ?

1 5 3 ? ? , 4 2 8
5 3 15 ? ? . 2 8 4

15 15 ,即 A1 到平面 ABC 的距离为 . ??????15 分 5 5 15 15.已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an ?3 ? an ? 3 , an ? 2 ? an ? 2 . 求 a2007 . ?
解:由题设, an ? 2 ? an ? 2 ,则

3

a2007 ? a2005 ? 2 ? a2003 ? 2 ? 2 ? ? ? a1 ? 2 ?1003 ? 2007 .
由 于是

???5 分

an? 2 ? an ? 2 ,得 an ? an? 2 ? 2 ,则 an?3 ? an ? 3 ? an? 2 ? 2 ? 3 ? an? 2 ? 1 (n ? 1) . ? ? ? a1 ? 3 ? 668 ? 1? 2 ? 2007 ,
??????10 分

a2007 ? a2006 ? 1 ? a2005 ? 1? 2 ? a2002 ? 3 ? 1? 2 ? a1999 ? 3 ? 2 ? 1? 2

所以 a2007=2007. 易知数列 a1 ? 1 , a2 ? 2 , ? , an ? n 符合本题要求. ??????15 分 注意:猜得答案 a n ? n 或 a2007 ? 2007 ,给 2 分. 16.已知平面上 10 个圆,任意两个都相交.是否存在直线 l ,与每个圆都有公共点?证 明你的结论. 解:存在直线 l ,与每个圆都有公共点. 证明如下: 如图, 先作直线 l0 , 设第 i 个圆在直线 l0 上的正投 影是线段 Ai Bi ,其中 Ai 、 Bi 分别是线段的左右 端点.

10 个圆有 10 个投影线段,有 10 个左端点,有

10






端 .

A1 A2 Ak B m B2 B1 ??????5 分 因为任意两个圆都相交,所以任意两条投影线段 10 都有重叠的部分,设 Ak 是最右边的左端点,则所有右端点都在 Ak 的右边,否则必有两条投 影线段无重叠部分,与对应的两个 圆相交矛盾. ??????10 分 再设 Bm 是最左边的右端点,同理所有左端点都在 Bm 的左边. Ak 与 Bm 不重合,线段

Ak Bm 是任意一条投影线段的一部分,过线段 Ak Bm 上某一点作直线 l0 的垂线 l ,则 l 与10
个圆都相交. ??????15 分

第 13 页

2008 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题 参考答案及评分标准
一、选择题(本题满分 30 分,每小题 6 分) 1. 如果实数 m,n,x,y 满足 m ? n ? a , x ? y ? b ,其中 a,b 为常数,那么 mx+ny
2 2
2 2

的最大值为 A. 解

答:[B] B.

a?b 2

ab

C.

a2 ? b2 2

D.

a2 ? b2 2

由柯西不等式 (mx ? ny) 2 ? (m 2 ? n 2 )( x 2 ? y 2 ) ? ab ;或三角换元即可得到

mx ? ny ? ab ,当 m ? n ? a , x ? y ? b 时, mx ? ny ? ab . 选 B.
2
2

2. 设 y ? f (x) 为指数函数 y ? a . 在 P(1,1),Q(1,2),M(2,3), N ? , ? 四点中,函数
x

?1 1? ?2 4?

y ? f (x) 与其反函数 y ? f ?1 ( x) 的图像的公共点只可能是点
A. P B. Q C. M
1

答:[D]

D. N
1

1 1 2 1 ? 1 ?4 1 解 取a ? ,把坐标代入检验,? ? ? ? ,而 ? ? ? ,∴公共点只可能是 ? ? 16 2 4 ? 16 ? ? 16 ?
点 N. 选 D. 3. 在如图的表格中,如果每格填上一个数后,每一横行成等差数列,每一纵列成等比 数列,那么 x ? y ? z 的值为 [A] A. 1 C. 3 B. 2 D. 4 1 0.5 2 1 答 :

x
y

z
第 14 页



第一、 二行后两个数分别为 2.5, 与 1.25, 第三、 五列中的 x ? 0.5 ,y ? 3 1.5; 四、

5 , 16

z?

3 ,则 x ? y ? z ? 1 . 选 A. 16

4. 如果 ?A1 B1C1 的三个内角的余弦值分别是 ?A2 B2 C2 的三个内角的正弦值,那么 答:[B] A. ?A1 B1C1 与 ?A2 B2 C2 都是锐角三角形 B. ?A1 B1C1 是锐角三角形, ?A2 B2 C2 是钝角三角形 C. ?A1 B1C1 是钝角三角形, ?A2 B2 C2 是锐角三角形 D. ?A1 B1C1 与 ?A2 B2 C2 都是钝角三角形 解 两个三角形的内角不能有直角;?A1 B1C1 的内角余弦都大于零, 所以是锐角三角形;

若 ?A2 B2 C2 是锐角三角形,则不妨设 cos A1 =sin A2 =cos ?

?? ? ?? ? ? A1 ? , cos B1 =sin B2 =cos ? ? A2 ? , ?2 ? ?2 ? ?? ? ? C1 ? . ?2 ?

cos C1 =sin C 2 =cos ?



A1 ?

?
2

? A2 , B1 ?

?
2

? B2 , C1 ?

?
2

? C2 ,



A1 ? B1 ? C1 ?

3? ? ( A2 ? B2 ? C2 ) ,矛盾. 选 B. 2

5. 设 a,b 是夹角为 30° 的异面直线,则满足条件“ a ? ? , b ? ? ,且 ? ? ? ”的 平面 ? , ? A. 不存在 C. 有且只有两对 解 B. 有且只有一对 D. 有无数对 答: [D]

任作 a 的平面 ? ,可以作无数个. 在 b 上任取一点 M,过 M 作 ? 的垂线. b 与

垂线确定的平面 ? 垂直于 ? . 选 D. 二、填空题(本题满分 50 分,每小题 10 分) 6. 设集合 A ? x x ? ?x ? ? 2 和B ? x x ? 2 ,其中符号 ?x ? 表示不大于 x 的最大整数,则
2

?

?

?

?

第 15 页

A ? B ? ? 1, 3 .
解 ∵ x ? 2 , ?x ? 的值可取 ? 2,?1,0,1 . 当[x]= ? 2 ,则 x ? 0 无解;
2

?

?

当[x]= ? 1 ,则 x ? 1 ,∴x= ? 1 ;
2 2 当[x]=1,则 x ? 3 ,∴ x ?

当[x]=0,则 x ? 2 无解;
2

3.

所以 x ? ?1或 3 . 7. 同时投掷三颗骰子, 于少有一颗骰子掷出 6 点的概率是 P ?

91 (结果要求写成既约分数) . 216

91 ?5? 解 考虑对立事件, P ? 1 ? ? ? ? . 216 ?6?
8. 已知点 O 在 ?ABC 内部, OA ? 2OB ? 2OC ? 0 . ?ABC与?OCB 的面积之比为 5:1. 解 由图, ?ABC 与 ?OCB 的底边相同,

3

A O B C

高是 5:1. 故面积比是 5:1.

2 2 9. 与圆 x ? y ? 4 x ? 0 外切,且与 y 轴相切的动圆圆心的轨迹方程为 y ? 8 x( x ? 0) 或
2

y ? 0( x ? 0) .
解 由圆锥曲线的定义,圆心可以是以(2,0)为焦点、 x ? ?2 为准线的抛物线上的点;若
2

切点是原点,则圆心在 x 轴负半轴上.所以轨迹方程为 y ? 8 x( x ? 0) ,或 y ? 0( x ? 0) .

a2 ? b2 10. 在 ?ABC 中,若 tanAtanB=tanAtanC+tanctanB,则 =3. c2
解 切割化弦,已知等式即

sin A sin B sin A sin C sin B sin C , ? ? cos A cos B cos A cosC cos B cosC

亦即

sin A sin B cosC ab cosC sin A sin B sin(A ? B) ,即 =1,即 ? ? 1. 2 sin C cosC sin C c2

a2 ? b2 ? c2 a2 ? b2 ? 1 ,故 ? 3. 所以, 2c 2 c2
三、解答题(本题满分 70 分,各小题分别为 15 分、15 分、20 分、20 分) 11. 已知函数 f ( x) ? ?2 x ? bx ? c 在 x ? 1时有最大值 1, 0 ? m ? n ,并且 x ? ?m, n? 时,
2

第 16 页

?1 1 ? f (x) 的取值范围为 ? , ? . 试求 m,n 的值. ?n m?
解 由题 f ( x) ? ?2( x ? 1) ? 1 ,
2

??5 分

? f ( x) ? 1 ,?

1 ? 1,即 m ? 1 ,? f ( x)在?m, n? 上单调减, m

? f (m) ? ?2(m ? 1) 2 ? 1 ?

1 1 且 f (n) ? ?2(n ? 1) 2 ? 1 ? . m n 1 的两个解,方程即 x

??10 分

? m ,n 是方程 f ( x) ? ?2( x ? 1) 2 ? 1 ?

( x ? 1)( 2 x 2 ? 2 x ? 1) =0,
解方程,得解为 1,

1? 3 1? 3 , . 2 2

?1 ? m ? n ,?m ? 1 , n ?
A、B 为双曲线 (Ⅰ)求证:

1? 3 . 2

??15 分

12.

x2 y2 ? ? 1 上的两个动点,满足 OA ?OB ? 0 。 4 9
1
2

?

1
2

为定值;

OA

OB

(Ⅱ)动点 P 在线段 AB 上,满足 OP ? AB ? 0 ,求证:点 P 在定圆上. 证 (Ⅰ) 设点 A 的坐标为 (r cos? , r sin? ) , 的坐标为 (r ? cos? ?, r ? sin? ?) , r ? OA , B 则

? cos2 ? sin 2 ? r ? ? OB ,A 在双曲线上,则 r 2 ? ? 4 ? 9 ?

? ? ? 1. ? ?
??5 分

1 cos2 ? sin 2 ? ? 所以 2 ? . 4 9 r
由 OA ? OB ? 0 得 OA ? OB ,所以 cos ? ? ? sin ? , cos ? ? sin ? ? .
2 2 2 2

同理,

1 cos2 ? ? sin 2 ? ? sin 2 ? cos2 ? ? ? ? ? , 4 9 4 9 r ?2
1 ? 1 | OB |2 ? 1 1 1 1 5 ? 2 ? ? ? . 2 4 9 36 r r'
第 17 页

所以

| OA | 2

??10 分

(Ⅱ)由三角形面积公式,得 OP ? AB ? OA ? OB ,所以
2 2 2 2 2 2 2 2 2 OP ? AB ? OA ? OB ,即 OP ? ? OA ? OB ? ? OA ? OB . ? ? ? ?

? ? 2 2 2 ? ? 即 OP ? ? 1 ? 1 ? ? OP ? ? 1 ? 1 ? ? OP ? ? 5 ? ? 1 . ? ? ? ? 2 2 ?4 9? ? 36 ? ? OA OB ? ? ?
于是, OP 2 ? 36 . 5 即 P 在以 O 为圆心、

6 5 为半径的定圆上. 5

??15 分

13. 如图,平面 M、N 相交于直线 l. A、D 为 l 上两点,射线 DB 在平面 M 内,射线 DC 在平面 N 内. 已知 ?BDC ? ? , ?BDA ? ? , ?CDA ? ? ,且 ? , ? , ? 都是 锐角. 求二面角 M ? l ? N 的平面角的余弦值(用 ? , ? , ? 的三角函数值表示). 解 在平面 M 中,过 A 作 DA 的垂线, 交射线 DB 于 B 点; 在平面 N 中,过 A 作 DA 的垂线, 交射线 DC 于 C 点. 设 DA=1,则
N C A D

1 , AB ? tan ? , DB ? cos ?
AC ? tan ? , DC ?

B M

1 , cos?

??5 分 ??10 分

并且 ?BAC ? ? 就是二面角 M ? l ? N 平面角. 在 ?DBC与?ABC 中,利用余弦定理,可得等式

BC 2 ?

1 1 2 ? ? cos? ? tan 2 ? ? tan 2 ? ? 2 tan ? tan ? cos? , 2 2 cos ? cos ? cos ? cos?
2 2

所以, 2 tan ? tan ? cos? ? tan ? ? tan ? ?

1 1 2 ? ? cos? 2 2 cos ? cos ? cos ? cos?
??15 分

=

2(cos? ? cos ? cos? ) , cos ? cos?
第 18 页

故得到 cos? ?

cos? ? cos ? cos? . sin ? sin ?

??20 分

14. 能否将下列数组中的数填入 3× 的方格表,每个小方格中填一个数,使得每行、每列、 3 两条对角线上的 3 个数的乘积都相等?若能,请给出一种填法;若不能,请给予证明. (Ⅰ)2,4,6,8,12,18,24,36,48; (Ⅱ)2,4,6,8,12,18,24,36,72. 解(Ⅰ)不能. 因为若每行的积都相等,则 9 个数的积是立方数. 但是 2× 6× 12× 24× 48=21+2+1+3+2+1+3+2+4× 1?1?2?1?2?1 =219·8 不是立方数,故不能. 4× 8× 18× 36× 3 3 (Ⅱ)可以. 如右表 ??5 分

36 8 6

2 12 72

24 18 4

??15 分

表中每行、每列及对角线的积都是 26·23.

??20 分

2008 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题 参考答案及评分标准
一、选择题(本题满分 30 分,每小题 6 分) 1. 如果实数 m,n,x,y 满足 m ? n ? a , x ? y ? b ,其中 a,b 为常数,那么 mx+ny
2 2
2 2

的最大值为 A. 解

答:[B] B.

a?b 2

ab

C.

a2 ? b2 2

D.

a2 ? b2 2

由柯西不等式 (mx ? ny) 2 ? (m 2 ? n 2 )( x 2 ? y 2 ) ? ab ;或三角换元即可得到
第 19 页

mx ? ny ? ab ,当 m ? n ? a , x ? y ? b 时, mx ? ny ? ab . 选 B.
2
2

2. 设 y ? f (x) 为指数函数 y ? a . 在 P(1,1),Q(1,2),M(2,3), N ? , ? 四点中,函数
x

?1 1? ?2 4?

y ? f (x) 与其反函数 y ? f ?1 ( x) 的图像的公共点只可能是点
A. P B. Q C. M
1

答:[D]

D. N
1

1 1 2 1 ? 1 ?4 1 解 取a ? ,把坐标代入检验,? ? ? ? ,而 ? ? ? ,∴公共点只可能是 ? ? 16 2 4 ? 16 ? ? 16 ?
点 N. 选 D. 3. 在如图的表格中,如果每格填上一个数后,每一横行成等差数列,每一纵列成等比 数列,那么 x ? y ? z 的值为 [A] A. 1 C. 3 B. 2 D. 4 1 0.5 2 1 答 :

x
y

z
5 , 16



第一、 二行后两个数分别为 2.5, 与 1.25, 第三、 五列中的 x ? 0.5 ,y ? 3 1.5; 四、

z?

3 ,则 x ? y ? z ? 1 . 选 A. 16

4. 如果 ?A1 B1C1 的三个内角的余弦值分别是 ?A2 B2 C2 的三个内角的正弦值,那么 答:[B] A. ?A1 B1C1 与 ?A2 B2 C2 都是锐角三角形 B. ?A1 B1C1 是锐角三角形, ?A2 B2 C2 是钝角三角形 C. ?A1 B1C1 是钝角三角形, ?A2 B2 C2 是锐角三角形 D. ?A1 B1C1 与 ?A2 B2 C2 都是钝角三角形 解 两个三角形的内角不能有直角;?A1 B1C1 的内角余弦都大于零, 所以是锐角三角形;

若 ?A2 B2 C2 是锐角三角形,则不妨设

第 20 页

cos A1 =sin A2 =cos ?

?? ? ?? ? ? A1 ? , cos B1 =sin B2 =cos ? ? A2 ? , ?2 ? ?2 ? ?? ? ? C1 ? . ?2 ?

cos C1 =sin C 2 =cos ?



A1 ?

?
2

? A2 , B1 ?

?
2

? B2 , C1 ?

?
2

? C2 ,



A1 ? B1 ? C1 ?

3? ? ( A2 ? B2 ? C2 ) ,矛盾. 选 B. 2

5. 设 a,b 是夹角为 30° 的异面直线,则满足条件“ a ? ? , b ? ? ,且 ? ? ? ”的 平面 ? , ? A. 不存在 C. 有且只有两对 解 B. 有且只有一对 D. 有无数对 答: [D]

任作 a 的平面 ? ,可以作无数个. 在 b 上任取一点 M,过 M 作 ? 的垂线. b 与

垂线确定的平面 ? 垂直于 ? . 选 D. 二、填空题(本题满分 50 分,每小题 10 分) 6. 设集合 A ? x x ? ?x ? ? 2 和B ? x x ? 2 ,其中符号 ?x ? 表示不大于 x 的最大整数,则
2

?

?

?

?

A ? B ? ? 1, 3 .
解 ∵ x ? 2 , ?x ? 的值可取 ? 2,?1,0,1 . 当[x]= ? 2 ,则 x ? 0 无解;
2

?

?

当[x]= ? 1 ,则 x ? 1 ,∴x= ? 1 ;
2
2 当[x]=1,则 x ? 3 ,∴ x ?

当[x]=0,则 x ? 2 无解;
2

3.

所以 x ? ?1或 3 . 7. 同时投掷三颗骰子, 于少有一颗骰子掷出 6 点的概率是 P ?

91 (结果要求写成既约分数) . 216



考虑对立事件, P ? 1 ? ? ? ?

?5? ?6?

3

91 . 216

8. 已知点 O 在 ?ABC 内部, OA ? 2OB ? 2OC ? 0 . ?ABC与?OCB 的面积之比为 5:1. 解 由图, ?ABC 与 ?OCB 的底边相同,

A O C

高是 5:1. 故面积比是 5:1.
第 21 页

B

2 2 9. 与圆 x ? y ? 4 x ? 0 外切,且与 y 轴相切的动圆圆心的轨迹方程为 y ? 8 x( x ? 0) 或
2

y ? 0( x ? 0) .
解 由圆锥曲线的定义,圆心可以是以(2,0)为焦点、 x ? ?2 为准线的抛物线上的点;若
2

切点是原点,则圆心在 x 轴负半轴上.所以轨迹方程为 y ? 8 x( x ? 0) ,或 y ? 0( x ? 0) . 10. 在 ?ABC 中,若 tanAtanB=tanAtanC+tanctanB,则

a2 ? b2 =3. c2



切割化弦,已知等式即

sin A sin B sin A sin C sin B sin C , ? ? cos A cos B cos A cosC cos B cosC

亦即

sin A sin B cosC ab cosC sin A sin B sin(A ? B) ,即 =1,即 ? ? 1. 2 sin C cosC sin C c2
a2 ? b2 ? c2 a2 ? b2 ? 1 ,故 ? 3. 2c 2 c2

所以,

三、解答题(本题满分 70 分,各小题分别为 15 分、15 分、20 分、20 分) 11. 已知函数 f ( x) ? ?2 x ? bx ? c 在 x ? 1时有最大值 1, 0 ? m ? n ,并且 x ? ?m, n? 时,
2

?1 1 ? f (x) 的取值范围为 ? , ? . 试求 m,n 的值. ?n m?
解 由题 f ( x) ? ?2( x ? 1) ? 1 ,
2

??5 分

? f ( x) ? 1 ,?

1 ? 1,即 m ? 1 ,? f ( x)在?m, n? 上单调减, m

? f (m) ? ?2(m ? 1) 2 ? 1 ?

1 1 2 且 f (n) ? ?2(n ? 1) ? 1 ? . m n 1 的两个解,方程即 x

??10 分

? m ,n 是方程 f ( x) ? ?2( x ? 1) 2 ? 1 ?

( x ? 1)( 2 x 2 ? 2 x ? 1) =0,
解方程,得解为 1,

1? 3 1? 3 , . 2 2
1? 3 . 2
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?1 ? m ? n ,?m ? 1 , n ?

??15 分

12.

A、B 为双曲线 (Ⅰ)求证:

x2 y2 ? ? 1 上的两个动点,满足 OA ?OB ? 0 。 4 9
1
2

?

1
2

为定值;

OA

OB

(Ⅱ)动点 P 在线段 AB 上,满足 OP ? AB ? 0 ,求证:点 P 在定圆上. 证 (Ⅰ) 设点 A 的坐标为 (r cos? , r sin? ) , 的坐标为 (r ? cos? ?, r ? sin? ?) , r ? OA , B 则

? cos2 ? sin 2 ? r ? ? OB ,A 在双曲线上,则 r 2 ? ? 4 ? 9 ?
所以

? ? ? 1. ? ?
??5 分

1 cos2 ? sin 2 ? . ? ? 4 9 r2
2 2 2 2

由 OA ? OB ? 0 得 OA ? OB ,所以 cos ? ? ? sin ? , cos ? ? sin ? ? . 同理,

1 cos2 ? ? sin 2 ? ? sin 2 ? cos2 ? ? ? ? ? , 4 9 4 9 r ?2
1
2

所以

?

1 | OB |
2

?

| OA |

1 1 1 1 5 ? 2 ? ? ? . 2 4 9 36 r r'

??10 分

(Ⅱ)由三角形面积公式,得 OP ? AB ? OA ? OB ,所以
2 2 2 2 2 2 2 2 2 OP ? AB ? OA ? OB ,即 OP ? ? OA ? OB ? ? OA ? OB . ? ? ? ?

? ? 2 2 ? 1 1 ? ?1 1? ? 5 ? 即 OP ? ? ? ? OP ? ? ? ? ? OP ? ? ? ? 1 . 2 2 ? 4 9? ? ? 36 ? ? OA OB ? ? ?
2

于是, OP 2 ? 36 . 5 即 P 在以 O 为圆心、

6 5 为半径的定圆上. 5

??15 分

13. 如图,平面 M、N 相交于直线 l. A、D 为 l 上两点,射线 DB 在平面 M 内,射线 DC 在平面 N 内. 已知 ?BDC ? ? , ?BDA ? ? , ?CDA ? ? ,且 ? , ? , ? 都是 锐角. 求二面角 M ? l ? N 的平面角的余弦值(用 ? , ? , ? 的三角函数值表示). 解 在平面 M 中,过 A 作 DA 的垂线,
第 23 页

交射线 DB 于 B 点; 在平面 N 中,过 A 作 DA 的垂线, 交射线 DC 于 C 点. 设 DA=1,则
N C A D

1 , AB ? tan ? , DB ? cos ?
AC ? tan ? , DC ?

B M

1 , cos?

??5 分 ??10 分

并且 ?BAC ? ? 就是二面角 M ? l ? N 平面角. 在 ?DBC与?ABC 中,利用余弦定理,可得等式

BC 2 ?

1 1 2 ? ? cos? ? tan 2 ? ? tan 2 ? ? 2 tan ? tan ? cos? , 2 2 cos ? cos ? cos ? cos?
2 2

所以, 2 tan ? tan ? cos? ? tan ? ? tan ? ?

1 1 2 ? ? cos? 2 2 cos ? cos ? cos ? cos?
??15 分

= 故得到 cos? ?

2(cos? ? cos ? cos? ) , cos ? cos?

cos? ? cos ? cos? . sin ? sin ?

??20 分

14. 能否将下列数组中的数填入 3× 的方格表,每个小方格中填一个数,使得每行、每列、 3 两条对角线上的 3 个数的乘积都相等?若能,请给出一种填法;若不能,请给予证明. (Ⅰ)2,4,6,8,12,18,24,36,48; (Ⅱ)2,4,6,8,12,18,24,36,72. 解(Ⅰ)不能. 因为若每行的积都相等,则 9 个数的积是立方数. 但是 2× 6× 12× 24× 48=21+2+1+3+2+1+3+2+4× 4× 8× 18× 36× 3 (Ⅱ)可以. 如右表
1?1? 2?1? 2?1

??5 分

=219·8 不是立方数,故不能. 3 ??15 分

36 8 6

2 12 72

24 18 4

表中每行、每列及对角线的积都是 26·23.
第 24 页

??20 分

2008 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题 参考答案及评分标准
一、选择题(本题满分 30 分,每小题 6 分) 1. 如果实数 m,n,x,y 满足 m ? n ? a , x ? y ? b ,其中 a,b 为常数,那么 mx+ny
2 2
2 2

的最大值为

答:[B] B.

a?b A. 2


ab

C.

a2 ? b2 2

D.

a2 ? b2 2

由柯西不等式 (mx ? ny) 2 ? (m 2 ? n 2 )( x 2 ? y 2 ) ? ab ;或三角换元即可得到

mx ? ny ? ab ,当 m ? n ? a , x ? y ? b 时, mx ? ny ? ab . 选 B.
2
2

2. 设 y ? f (x) 为指数函数 y ? a . 在 P(1,1),Q(1,2),M(2,3), N ? , ? 四点中,函数
x

?1 1? ?2 4?

y ? f (x) 与其反函数 y ? f ?1 ( x) 的图像的公共点只可能是点
A. P B. Q C. M
1

答:[D]

D. N
1

1 1 2 1 ? 1 ?4 1 解 取a ? ,把坐标代入检验,? ? ? ? ,而 ? ? ? ,∴公共点只可能是 ? ? 16 2 4 ? 16 ? ? 16 ?
点 N. 选 D. 3. 在如图的表格中,如果每格填上一个数后,每一横行成等差数列,每一纵列成等比 数列,那么 x ? y ? z 的值为 [A] 1 0.5
第 25 页

答 : 2 1

x
y

z

A. 1 C. 3

B. 2 D. 4



第一、 二行后两个数分别为 2.5, 与 1.25, 第三、 五列中的 x ? 0.5 ,y ? 3 1.5; 四、

5 , 16

z?

3 ,则 x ? y ? z ? 1 . 选 A. 16

4. 如果 ?A1 B1C1 的三个内角的余弦值分别是 ?A2 B2 C2 的三个内角的正弦值,那么 答:[B] A. ?A1 B1C1 与 ?A2 B2 C2 都是锐角三角形 B. ?A1 B1C1 是锐角三角形, ?A2 B2 C2 是钝角三角形 C. ?A1 B1C1 是钝角三角形, ?A2 B2 C2 是锐角三角形 D. ?A1 B1C1 与 ?A2 B2 C2 都是钝角三角形 解 两个三角形的内角不能有直角;?A1 B1C1 的内角余弦都大于零, 所以是锐角三角形;

若 ?A2 B2 C2 是锐角三角形,则不妨设 cos A1 =sin A2 =cos ?

?? ? ?? ? ? A1 ? , cos B1 =sin B2 =cos ? ? A2 ? , ?2 ? ?2 ?

cos C1 =sin C 2 =cos ?

?? ? ? C1 ? . ?2 ?



A1 ?

?
2

? A2 , B1 ?

?
2

? B2 , C1 ?

?
2

? C2 ,



A1 ? B1 ? C1 ?

3? ? ( A2 ? B2 ? C2 ) ,矛盾. 选 B. 2

5. 设 a,b 是夹角为 30° 的异面直线,则满足条件“ a ? ? , b ? ? ,且 ? ? ? ”的 平面 ? , ? A. 不存在 C. 有且只有两对 解 B. 有且只有一对 D. 有无数对 答: [D]

任作 a 的平面 ? ,可以作无数个. 在 b 上任取一点 M,过 M 作 ? 的垂线. b 与
第 26 页

垂线确定的平面 ? 垂直于 ? . 选 D. 二、填空题(本题满分 50 分,每小题 10 分) 6. 设集合 A ? x x ? ?x ? ? 2 和B ? x x ? 2 ,其中符号 ?x ? 表示不大于 x 的最大整数,则
2

?

?

?

?

A ? B ? ? 1, 3 .
解 ∵ x ? 2 , ?x ? 的值可取 ? 2,?1,0,1 . 当[x]= ? 2 ,则 x ? 0 无解;
2

?

?

当[x]= ? 1 ,则 x ? 1 ,∴x= ? 1 ;
2

当[x]=0,则 x ? 2 无解;
2

2 当[x]=1,则 x ? 3 ,∴ x ?

3.

所以 x ? ?1或 3 . 7. 同时投掷三颗骰子, 于少有一颗骰子掷出 6 点的概率是 P ?

91 (结果要求写成既约分数) . 216



考虑对立事件, P ? 1 ? ? ? ?

?5? ?6?

3

91 . 216

8. 已知点 O 在 ?ABC 内部, OA ? 2OB ? 2OC ? 0 . ?ABC与?OCB 的面积之比为 5:1. 解 由图, ?ABC 与 ?OCB 的底边相同,

A O B C

高是 5:1. 故面积比是 5:1.

2 2 9. 与圆 x ? y ? 4 x ? 0 外切,且与 y 轴相切的动圆圆心的轨迹方程为 y ? 8 x( x ? 0) 或
2

y ? 0( x ? 0) .
解 由圆锥曲线的定义,圆心可以是以(2,0)为焦点、 x ? ?2 为准线的抛物线上的点;若
2

切点是原点,则圆心在 x 轴负半轴上.所以轨迹方程为 y ? 8 x( x ? 0) ,或 y ? 0( x ? 0) . 10. 在 ?ABC 中,若 tanAtanB=tanAtanC+tanctanB,则

a2 ? b2 =3. c2



切割化弦,已知等式即

sin A sin B sin A sin C sin B sin C , ? ? cos A cos B cos A cosC cos B cosC

亦即

sin A sin B cosC ab cosC sin A sin B sin(A ? B) ,即 =1,即 ? ? 1. 2 sin C cosC sin C c2
第 27 页

所以,

a2 ? b2 ? c2 a2 ? b2 ? 1 ,故 ? 3. 2c 2 c2

三、解答题(本题满分 70 分,各小题分别为 15 分、15 分、20 分、20 分) 11. 已知函数 f ( x) ? ?2 x ? bx ? c 在 x ? 1时有最大值 1, 0 ? m ? n ,并且 x ? ?m, n? 时,
2

?1 1 ? f (x) 的取值范围为 ? , ? . 试求 m,n 的值. ?n m?
解 由题 f ( x) ? ?2( x ? 1) ? 1 ,
2

??5 分

? f ( x) ? 1 ,?

1 ? 1,即 m ? 1 ,? f ( x)在?m, n? 上单调减, m

? f (m) ? ?2(m ? 1) 2 ? 1 ?

1 1 2 且 f (n) ? ?2(n ? 1) ? 1 ? . m n
1 的两个解,方程即 x

??10 分

? m ,n 是方程 f ( x) ? ?2( x ? 1) 2 ? 1 ?

( x ? 1)( 2 x 2 ? 2 x ? 1) =0,
解方程,得解为 1,

1? 3 1? 3 , . 2 2 1? 3 . 2
??15 分

?1 ? m ? n ,?m ? 1 , n ?
A、B 为双曲线 (Ⅰ)求证:

12.

x2 y2 ? ? 1 上的两个动点,满足 OA ?OB ? 0 。 4 9
1
2

?

1
2

为定值;

OA

OB

(Ⅱ)动点 P 在线段 AB 上,满足 OP ? AB ? 0 ,求证:点 P 在定圆上. 证 (Ⅰ) 设点 A 的坐标为 (r cos? , r sin? ) , 的坐标为 (r ? cos? ?, r ? sin? ?) , r ? OA , B 则

? cos2 ? sin 2 ? ? ? OB ,A 在双曲线上,则 r 2 ? r ? 4 ? 9 ?
所以

? ? ? 1. ? ?
??5 分

1 cos2 ? sin 2 ? ? ? . 4 9 r2
2 2 2 2

由 OA ? OB ? 0 得 OA ? OB ,所以 cos ? ? ? sin ? , cos ? ? sin ? ? .
第 28 页

同理,

1 cos2 ? ? sin 2 ? ? sin 2 ? cos2 ? , ? ? ? ? 4 9 4 9 r ?2
1
2

所以

?

1 | OB |
2

?

| OA |

1 1 1 1 5 ? 2 ? ? ? . 2 4 9 36 r r'

??10 分

(Ⅱ)由三角形面积公式,得 OP ? AB ? OA ? OB ,所以
2 2 2 2 2 2 2 2 2 OP ? AB ? OA ? OB ,即 OP ? ? OA ? OB ? ? OA ? OB . ? ? ? ?

? ? 2 2 2 ? ? 即 OP ? ? 1 ? 1 ? ? OP ? ? 1 ? 1 ? ? OP ? ? 5 ? ? 1 . ? ? ? ? 2 2 ?4 9? ? 36 ? ? OA OB ? ? ?
于是, OP 2 ? 36 . 5 即 P 在以 O 为圆心、

6 5 为半径的定圆上. 5

??15 分

13. 如图,平面 M、N 相交于直线 l. A、D 为 l 上两点,射线 DB 在平面 M 内,射线 DC 在平面 N 内. 已知 ?BDC ? ? , ?BDA ? ? , ?CDA ? ? ,且 ? , ? , ? 都是 锐角. 求二面角 M ? l ? N 的平面角的余弦值(用 ? , ? , ? 的三角函数值表示). 解 在平面 M 中,过 A 作 DA 的垂线, 交射线 DB 于 B 点; 在平面 N 中,过 A 作 DA 的垂线, 交射线 DC 于 C 点. 设 DA=1,则
N C A D

1 , AB ? tan ? , DB ? cos ?

B M

AC ? tan ? , DC ?

1 , cos?

??5 分 ??10 分

并且 ?BAC ? ? 就是二面角 M ? l ? N 平面角. 在 ?DBC与?ABC 中,利用余弦定理,可得等式

BC 2 ?

1 1 2 ? ? cos? ? tan 2 ? ? tan 2 ? ? 2 tan ? tan ? cos? , 2 2 cos ? cos ? cos ? cos?
第 29 页

所以, 2 tan ? tan ? cos? ? tan ? ? tan ? ?
2 2

1 1 2 ? ? cos? 2 2 cos ? cos ? cos ? cos?
??15 分

= 故得到 cos? ?

2(cos? ? cos ? cos? ) , cos ? cos?

cos? ? cos ? cos? . sin ? sin ?

??20 分

14. 能否将下列数组中的数填入 3× 的方格表,每个小方格中填一个数,使得每行、每列、 3 两条对角线上的 3 个数的乘积都相等?若能,请给出一种填法;若不能,请给予证明. (Ⅰ)2,4,6,8,12,18,24,36,48; (Ⅱ)2,4,6,8,12,18,24,36,72. 解(Ⅰ)不能. 因为若每行的积都相等,则 9 个数的积是立方数. 但是 2× 6× 12× 24× 48=21+2+1+3+2+1+3+2+4× 4× 8× 18× 36× 3 (Ⅱ)可以. 如右表
1?1? 2?1? 2?1

??5 分

=219·8 不是立方数,故不能. 3 ??15 分

36 8 6

2 12 72

24 18 4

表中每行、每列及对角线的积都是 26·23.

??20 分

2009 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛 (2009 年 5 月 3 日 8∶00-10∶00) 一、填空题(每小题 7 分,共 70 分) http://www.mathedu.cn 1.已知 sinαcosβ=1,则 cos(α+β)= .

2.已知等差数列{an}的前 11 项的和为 55,去掉一项 ak 后,余下
第 30 页

10 项的算术平均值为 4.若 a1=-5,则 k= 3.设一个椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等比数列,


A

则此椭圆的离心率 e=
x


R

3 +1 1 4.已知 x = ,则实数 x= 9 -1 3-31-x


B

D

Q P C

5.如图,在四面体 ABCD 中,P、Q 分别为棱 BC 与 CD

上的点,且 BP=2PC,CQ=2QD.R 为棱 AD 的中点,则点 A、B 到平面 PQR 的距离的比值为 .

6.设 f(x)=log3x- 4-x,则满足 f(x)?0 的 x 的取值范围 是 . 7.右图是某种净水水箱结构的设计草图,其中净水器是一个宽 10cm、体积为 3000cm3 的长方体,长和高未定.净水水 箱的长、 高比净水器的长、 高分别长 20cm、 宽、 宽、 20cm、 60cm.若不计净水器中的存水,则净水水箱中最少可以 存水 cm3. .

8. 设点 O 是△ABC 的外心, AB=13, AC=12, → → 则BC· AO=

9.设数列{an}满足:an+1an=2an+1-2(n=1,2,…),a2009= 2, 则此数列的前 2009 项的和为 . .

10. a 是整数, 设 0?b<1. a2=2b(a+b), b= 若 则

二 、 解 答 题 ( 本 大 题 共 4 小 题 , 每 小 题 20 分 , 共 80 分 ) http://www.mathedu.cn
第 31 页

x2 y2 11.在直角坐标系 xOy 中,直线 x-2y+4=0 与椭圆 + =1 交 9 4 于 A,B 两点,F 是椭圆的左焦点.求以 O,F,A,B 为顶点的四边形 的面积.

12.如图,设 D、E 是△ABC 的边 AB 上的两点,
C

已知∠ACD=∠BCE,AC=14,AD=7,AB=28,CE= 12.求 BC.
A D E B

第 32 页

13.若不等式 x+ y?k 2x+y对于任意正实数 x,y 成立,求 k 的取值范围.

第 33 页

14.⑴ 写出三个不同的自然数,使得其中任意两个数的乘积与 10 的和都是完全平方数,请予以验证; ⑵ 是否存在四个不同的自然数, 使得其中任意两个数的乘积与 10 的和都是完全平方数?请证明你的结论.

第 34 页

2009 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛 (2009 年 5 月 3 日 8∶00-10∶00) 一、填空题(每小题 7 分,共 70 分) http://www.mathedu.cn 1.已知 sinαcosβ=1,则 cos(α+β)= 填 0. 解:由于|sinα|?1,|cosβ|?1,现 sinαcosβ=1,故 sinα =1,cosβ=1 或 sinα=-1,cosβ=-1, π π ∴ α=2kπ+ , β=2lπ 或 α=2kπ- , β=2lπ+π?α 2 2 π +β=2(k+l)π+ (k,l∈Z). 2 ∴ cos(α+β)=0. 2.已知等差数列{an}的前 11 项的和为 55,去掉一项 ak 后,余下 10 项的算术平均值为 4.若 a1=-5,则 k= 填 11. 解:设公差为 d,则得 1 55=-5×11+ ×11×10d?55d=110?d=2. 2 ak=55-4×10=15=-5+2(k-1)?k=11. 3.设一个椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等比数列,则此椭圆的 离心率 e= . . .

第 35 页



-1+ 5 . 2

-1+ 5 解:由(2b)2=2c×2a?a2-c2=ac?e2+e-1=0?e= . 2 3x+1 1 4.已知 x = ,则实数 x= 9 -1 3-31-x 填 1. 1 3x 解: x 即 = x ?32x-4×3x+3=0?3x=1(舍去), x=3?x 3 3 -1 3(3 -1) =1. 5.如图,在四面体 ABCD 中,P、Q 分别为棱 BC 与 CD 上的点,且 BP=2PC,CQ=2QD.R 为棱 AD 的中点,则点 A、B 到平面 PQR 的距离 的比值为 1 填 . 4 解: B 到平面 PQR 的距离分别为三棱锥 APQR 与 BPQR A、 的以三角形 PQR 为底的高.故其比值等于这两个三棱锥 的体积比. 1 1 1 1 1 1 1 VAPQR= VAPQD= × VAPCD= × × VABCD= VABCD; 2 2 3 2 3 3 18 1 2 1 4 又,SBPQ=SBCD-SBDQ-SCPQ=(1- - × )SBCD= SBCD, 3 3 3 9 4 1 4 4 VRBPQ= VRBCD= × VABCD= VABCD. 9 2 9 18
第 36 页
B A





R D Q P C

∴ A、B 到平面 PQR 的距离的比=1∶4. 又,可以求出平面 PQR 与 AB 的交点来求此比值:
N A

在面 BCD 内,延长 PQ、BD 交于点 M,则 M 为面 PQR 与棱 BD 的交点. BM DQ CP DQ 1 CP 由 Menelaus 定理知, · · =1, 而 = , = MD QC PB QC 2 PB 1 BM ,故 =4. 2 MD
B

R D M Q P C

在面 ABD 内,作射线 MR 交 AB 于点 N,则 N 为面 PQR 与 AB 的交点. BM DR AN BM DR AN 1 由 Menelaus 定理知, · · =1,而 =4, =1,故 = . MD RA NB MD RA NB 4 ∴ A、B 到平面 PQR 的距离的比=1∶4. 6.设 f(x)=log3x- 4-x,则满足 f(x)?0 的 x 的取值范围 是 填[3,4]. 解:定义域(0,4].在定义域内 f(x)单调增,且 f(3)=0.故 f(x) ?0 的 x 的取值范围为[3,4]. 7.右图是某种净水水箱结构的设计草图,其中净水器是一个宽 10cm、体积为 3000cm3 的长方体,长和高未定.净水水箱的长、宽、 高比净水器的长、宽、高分别长 20cm、20cm、60cm.若不计净水器中 的存水,则净水水箱中最少可以存水 cm3. .

第 37 页

填 78000. 解:设净水器的长、高分别为 x,ycm,则 xy=300, V=30(20+x)(60+y)=30(1200+60x+20y+xy) ?30(1200+2 60x×20y+300)=30(1500+1200) =30×2700. ∴ 至少可以存水 78000cm3. 8. 设点 O 是△ABC 的外心, AB=13, AC=12, → → 则BC· AO = 25 填- . 2 解:设|→ AO|=|→ BO|=|→ OC|=R.则 → → → → → → → → → BC· AO=(BO+OC)· AO=BO· AO+OC· AO=R2cos(π-2C)+R2cos2B 1 1 1 = R2(2sin2C - 2sin2B) = (2RsinB)2 - (2RsinC)2 = 2 2 2 25 (122-132)=- . 2 9.设数列{an}满足:an+1an=2an+1-2(n=1,2,…),a2009= 2, 则此数列的前 2009 项的和为 填 2008+ 2. 2 2 解:若 an+1≠0,则 an=2- ,故 a2008=2- 2,a2007=2- an+1 2- 2
第 38 页


O

A R R B R C



=- 2,a2006=2+ 2,a2005= 2. 2 an+1-2 一般的,若 an≠0,1,2,则 an=2- ,则 an-1= ,an-2 an+1 an+1-1 = 2 ,an-3=an+1,故 an-4=an. 2-an+1 2009 于是, Σ an=502(a1+a2+a3+a4)+a2009=502(a2005+a2006+a2007+ k=1 a2008)+a2009=2008+ 2. 10. a 是整数, 设 0?b<1. a2=2b(a+b), b= 若 则 填 0, 3-1 , 3-1. 2 .

解:若 a 为负整数,则 a2>0,2b(a+b)<0,不可能,故 a?0. 于是 a2=2b(a+b)<2(a+1)?a2-2a-2<0?0?a<1+ 3?a= 0,1,2. a=0 时,b=0; a=1 时,2b2+2b-1=0?b= 3-1 ; 2

a=2 时,b2+2b-2=0?b= 3-1. 说明:本题也可以这样说:求实数 x,使[x]2=2{x}x.

二 、 解 答 题 ( 本 大 题 共 4 小 题 , 每 小 题 20 分 , 共 80 分 ) http://www.mathedu.cn
第 39 页

x2 y2 11.在直角坐标系 xOy 中,直线 x-2y+4=0 与椭圆 + =1 交 9 4 于 A,B 两点,F 是椭圆的左焦点.求以 O,F,A,B 为顶点的四边形 的面积.
?4x2+9y2=36, 解:取方程组? 代入得,25y2- x=2y-4. ?
A y B

64y+28=0. 14 此方程的解为 y=2,y= . 25

C

F

O

x

72 14 即得 B(0,2),A(- , ),又左焦点 F1(- 5,0). 25 25 连 OA 把四边形 AFOB 分成两个三角形. 1 72 1 14 1 得,S= ×2× + × 5× = (72+7 5). 2 25 2 25 25 也可以这样计算面积: 1 1 直线与 x 轴交于点 C(-4,0).所求面积= ×4×2- ×(4- 5) 2 2 × 14 1 = (72+7 5). 25 25 也可以这样计算面积: 1 14 72 72 所求面积= (0×2-0×0+0× -(- )×2+(- )×0-(- 2 25 25 25 14 1 144 14 1 5)× +(- 5)×0-0×0)= ( + 5)= (72+7 5). 25 2 25 25 25

第 40 页

12.如图,设 D、E 是△ABC 的边 AB 上的两点, 已知∠ACD=∠BCE,AC=14,AD=7,AB=28,CE= 12.求 BC. AD AC 解: = ?△ACD∽△ABC?∠ABC=∠ACD=∠ AC AB BCE. ∴ CE=BE=12.AE=AB-BE=16. AC2+AE2-CE2 142+162-122 142+28·4 11 ∴ cosA= = = = . 2AC·AE 2·14·16 2·14·16 16 ∴ BC2 = AC2 + AB2 - 2AC·ABcosA =142 + 282 - 2·14·28· 72·9?BC=21. 13.若不等式 x+ y?k 2x+y对于任意正实数 x,y 成立,求 k 的取值范围. 解法一:显然 k>0.( x+ y)2?k2(2x+y)?(2k2-1)x-2 xy+ (k2-1)y?0 对于 x,y>0 恒成立. 令 t= >0 恒成立. 当 2k2-1?0 时,不等式不能恒成立,故 2k2-1>0. 此时当 t= 1 1 2 时,f(t)取得最小值 2 - 2 +k2 -1= 2k -1 2k -1 2k -1
2

C

A

D

E

B

11 = 16

x >0, 则得 f(t)=(2k2-1)t2-2t+(k2-1)?0 对一切 t y

第 41 页

2k4-3k2 k2(2k2-3) = . 2k2-1 2k2-1 当 2k2-1>0 且 2k2-3?0,即 k? =4y>0 时等号成立. ∴ k∈[ 6 ,+∞). 2
2

6 时,不等式恒成立,且当 x 2

( x+ y)2 x+2 xy+y 解法二: 显然 k>0, k ? 故 = . t= 令 2x+y 2x+y t2+2t+1 1 4t+1 >0,则 k ? = (1+ 2 ). 2 2t +1 2 2t +1
2

x y

u-1 8u 令 u=4t+1>1,则 t= .只要求 s(u)= 2 的最大值. 4 u -2u+9 8 s(u)= ? 9 u+ -2 2 u 3 = . 2 3 6 ∴k2? ,即 k? 时,不等式恒成立(当 x=4y>0 时等号成立). 2 2 4t+1 8t2+4-4t(4t+1) 又 : 令 s(t) = 2 , 则 s?(t) = = 2t +1 (2t2+1)2 -8t2-4t+4 1 1 ,t>0 时有驻点 t= .且在 0<t< 时,s?(t)>0,在 2 2 (2t +1) 2 2 1 1 1 t> 时,s?(t)<0,即 s(t)在 t= 时取得最大值 2,此时有 k2? (1 2 2 2 8 9 u· -2 u 1 4t+1 1 =2,于是, (1+ 2 )? (1+2) 2 2t +1 2

第 42 页

1 3 +s( ))= . 2 2 1 解法三:由 Cauchy 不等式,( x+ y)2?( +1)(2x+y). 2 即( x+ y)? 当 k< 6 2x+y对一切正实数 x,y 成立. 2

6 1 3 6 时,取 x= ,y=1,有 x+ y= ,而 k 2x+y=k < 2 4 2 2

6 6 3 × = .即不等式不能恒成立. 2 2 2 而当 k? 6 6 时, 由于对一切正实数 x, 都有 x+ y? y, 2x+y 2 2

?k 2x+y,故不等式恒成立. ∴ k∈[ 6 ,+∞). 2

14.⑴ 写出三个不同的自然数,使得其中任意两个数的乘积与 10 的和都是完全平方数,请予以验证; ⑵ 是否存在四个不同的自然数, 使得其中任意两个数的乘积与 10 的和都是完全平方数?请证明你的结论. 解:对于任意 n∈N*,n2≡0,1(mod 4). 设 a,b 是两个不同的自然数,①若 a≡0(mod 4)或 b≡0(mod 4), 或 a≡b≡2(mod 4),均有 ab≡0(mod 4),此时,ab+10≡2(mod 4), 故 ab+10 不是完全平方数;② 若 a≡b≡1(mod 4),或 a≡b≡3(mod
第 43 页

4),则 ab≡1(mod 4),此时 ab+10≡3(mod 4),故 ab+10 不是完全 平方数. 由此知,ab+10 是完全平方数的必要不充分条件是 a≡b(mod 4) / 且 a 与 b 均不能被 4 整除. ⑴ 由上可知, 满足要求的三个自然数是可以存在的, 例如取 a=2, b=3,c=13,则 2×3+10=42,2×13+10=62,3×13+10=72. 即 2,3,13 是满足题意的一组自然数. ⑵ 由上证可知不存在满足要求的四个不同自然数. 这是因为,任取 4 个不同自然数,若其中有 4 的倍数,则它与其 余任一个数的积加 10 后不是完全平方数,如果这 4 个数都不是 4 的 倍数,则它们必有两个数 mod 4 同余,这两个数的积加 10 后不是完 全平方数. 故证.

第 44 页

2010 年全国高中数学联赛江苏赛区
主讲:吴建明 一、填空题(本题满分 70 分,每小题 7 分) 1.方程 9 ? 1 ? 3 ? 5 的实数解为
x x

班级 .

姓名

2.函数 y ? sin x ? cos x (x ? R ) 的单调减区间是 3.在△ ABC 中,已知 AB ? AC ? 4 , AB ? BC ? ?12 ,则 AB = 4.函数 f ? x ? ? ? x ? 2 ?? x ? 1? 在区间 ? 0, 2 ? 上的最大值是
2

.

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

??? ?

. ,最小值是 .

5.在直角坐标系 xOy 中,已知圆心在原点 O 、半径为 R 的圆与△ ABC 的边有公共点, 其中 A ? ? 4, 0 ? 、 B ? ? 6,8 ? 、 C ? ? 2, 4 ? ,则 R 的取值范围为 6.设函数 f ? x ? 的定义域为 R,若 f ? x ? 1? 与 f ? x ? 1? 都是关于 x 的奇函数,则函数 .

y ? f ? x ? 在区间 ? 0,100 ? 上至少有

个零点.

7.从正方体的 12 条棱和 12 条面对角线中选出 n 条,使得其中任意 两条线段所在的直线都是异面直线,则 n 的最大值为 .

8.圆环形手镯上等距地镶嵌着 4 颗小珍珠,每颗珍珠镀金、银两色中的一种.其中
(第 7 题)

镀 2 金 2 银的概率是



9.在三棱锥 A ? BCD 中,已知 ?ACB ? ?CBD , ?ACD ? ?ADC ? ?BCD ? ?BDC

? ? ,且 cos ? ?

10 .已知棱 AB 的长为 6 2 ,则此棱锥的体积为 10



10.设复数列 ? xn ? 满足 xn ? a ? 1 , 0 ,且 xn ?1 ?

a xn .若对任意 n? N* 都有 xn ?3 ? xn , xn ? 1

则 a 的值是



二、解答题(本题满分 80 分,每小题 20 分)

第 45 页

x2 11.直角坐标系 xOy 中,设 A 、 B 、 M 是椭圆 C : ? y 2 ? 1 上的三点.若 4

???? 3 ??? 4 ??? ? ? ? x2 OM ? OA ? OB ,证明:线段 AB 的中点在椭圆 ? 2 y 2 ? 1 上. 2 5 5

12.已知整数列 ? an ? 满足 a3 ? ?1 , a7 ? 4 ,前 6 项依次成等差数列,从第 5 项起依次 成等比数列. (1) 求数列 ? an ? 的通项公式; (2) 求出所有的正整数 m ,使得 am ? am?1 ? am? 2 ? am am?1am? 2 .

13.如图,圆内接五边形 ABCDE 中, AD 是外接圆的直径, BE ? AD ,垂足 H .
第 46 页

过点 H 作平行于 CE 的直线,与直线 AC 、 DC 分别交于点 F 、 G . 证明: (1) 点 A 、 B 、 F 、 H 共圆; (2) 四边形 BFCG 是矩形.

E

A

H F B G C

D

14.求所有正整数 x , y ,使得 x ? 3 y 与 y ? 3 x 都是完全平方数.
2 2

第 47 页

2010 年全国高中数学联赛江苏赛区 初赛参考答案与评分细则
第 48 页

一、填空题(本题满分 70 分,每小题 7 分) 1.方程 9 ? 1 ? 3 ? 5 的实数解为
x x



提示与答案:x<0 无解; 当 x ? 0 时,原方程变形为 32x+3x-6=0,解得 3x=2,x=log32. 2.函数 y ? sin x ? cos x (x ? R ) 的单调减区间是 提示与答案:与 f(x)=y2=1+|sin2x|的单调减区间相同, [ .
k? ? k? ? ? , ? ], k ? Z. 2 4 2 2

3.在△ ABC 中,已知 AB ? AC ? 4 , AB ? BC ? ?12 ,则 AB = 提示与答案: AB ? AC ? AB ? BC ? AB ? 16 ,得 AB ? 4 . 4.函数 f ? x ? ? ? x ? 2 ?? x ? 1? 在区间 ? 0, 2 ? 上的最大值是
2

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

??? ?

.

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

??? 2 ?

??? ?

,最小值是



提示与答案:极小值-4,端点函数值 f(2)=0,f(0)=-2,最小值-4,最大值 0. 5.在直角坐标系 xOy 中,已知圆心在原点 O 、半径为 R 的圆与△ ABC 的边有公共点, 其中 A ? ? 4, 0 ? 、 B ? ? 6,8 ? 、 C ? ? 2, 4 ? ,则 R 的取值范围为 .

8 5 提示与答案:画图观察,R 最小时圆与直线段 AC 相切,R 最大时圆过点 B.[ ,10]. 5 6.设函数 f ? x ? 的定义域为 R,若 f ? x ? 1? 与 f ? x ? 1? 都是关于 x 的奇函数,则函数

y ? f ? x ? 在区间 ? 0,100 ? 上至少有

个零点.

提示与答案:f(2k-1)=0,k∈Z. 又可作一个函数 f ? x ? 满足问题中的条件,且 f ? x ? 的 一个零点恰为 x ? 2k ?1 ,k∈Z. 所以至少有 50 个零点. 7.从正方体的 12 条棱和 12 条面对角线中选出 n 条,使得其中任意 两条线段所在的直线都是异面直线,则 n 的最大值为 提示与答案:不能有公共端点,最多 4 条,图上知 4 条可以.
(第 7 题)



8.圆环形手镯上等距地镶嵌着 4 颗小珍珠,每颗珍珠镀金、银两色中的一种.其中 镀 2 金 2 银的概率是 .
第 49 页

提示与答案:穷举法,注意可翻转,有 6 种情况,2 金 2 银有两种,概率为

1 . 3

9.在三棱锥 A ? BCD 中,已知 ?ACB ? ?CBD , ?ACD ? ?ADC ? ?BCD ? ?BDC

? ? ,且 cos ? ?

10 .已知棱 AB 的长为 6 2 ,则此棱锥的体积为 10



提示与答案:4 面为全等的等腰三角形,由体积公式可求得三棱锥的体积为 144 . 10.设复数列 ? xn ? 满足 xn ? a ? 1 , 0 ,且 xn ?1 ?

a xn .若对任意 n? N* 都有 xn ?3 ? xn , xn ? 1

则 a 的值是



a 3 xn a 2 xn ?1 a xn a xn ? 2 ? xn ? 提示与答案:由 xn ?1 ? , xn ?3 ? ? xn ? 1 xn ? 2 ? 1 ? a ? 1? xn ?1 ? 1 ? a 2 ? a ? 1? xn ? 1
2 恒成立,即 a ? a ? 1 xn ? xn ? 1 ? a ? ? 0 . 因为 xn ? a ? 1 或 0 ,故 a ? a ? 1 ? 0 ,所以
2

?

?

1 3 a?? ? i. 2 2
二、解答题(本题满分 80 分,每小题 20 分) 11.直角坐标系 xOy 中,设 A 、 B 、 M 是椭圆 C :

x2 ? y 2 ? 1 上的三点.若 4

???? 3 ??? 4 ??? ? ? ? x2 OM ? OA ? OB ,证明:线段 AB 的中点在椭圆 ? 2 y 2 ? 1 上. 2 5 5
解:设 A(x1,y1),B (x2,y2),则 由 OM ? x12 x22 +y12=1, +y22=1. 4 4

???? ?

? ? 3 ??? 4 ??? 3 4 3 4 OA ? OB ,得 M(5x1+5x2,5y1+5y2). 5 5

因为 M 是椭圆 C 上一点,所以 3 4 ( x1+ x2)2 5 5 3 4 +( y1+ y2)2=1, 4 5 5 x12 3 x22 4 3 4 x1x2 即 ( +y12)( )2+( +y22)( )2+2( )( )( +y1y2)=1, 4 5 4 5 5 5 4
第 50 页

???????6 分

3 4 3 4 x1x2 得 ( )2+( )2+2( )( )( +y1y2)=1,故 5 5 5 5 4 x1x2 +y1y2=0. 4 x1+x2 y1+y2 又线段 AB 的中点的坐标为 ( , ), 2 2 x1+x2 2 ( ) 2 y1+y2 2 1 x12 1 x22 x1x2 +2( ) = ( +y12)+ ( +y22)+ +y1y2=1, 2 2 2 4 2 4 4 ??????20 分 ???????14 分

所以

x1+x2 y1+y2 x2 从而线段 AB 的中点( , )在椭圆 +2y2=1 上. 2 2 2

12.已知整数列 ? an ? 满足 a3 ? ?1 , a7 ? 4 ,前 6 项依次成等差数列,从第 5 项起依次 成等比数列. (1) 求数列 ? an ? 的通项公式; (2) 求出所有的正整数 m ,使得 am ? am?1 ? am? 2 ? am am?1am? 2 . 解:(1) 设数列前 6 项的公差为 d,则 a5=-1+2d,a6=-1+3d,d 为整数. 又 a5,a6,a7 成等比数列,所以(3d-1)2=4(2d-1), 即 9d2-14d+5=0,得 d =1. 当 n≤6 时,an =n-4, 由此 a5=1,a6=2,数列从第 5 项起构成的等比数列的公比为 2, 所以,当 n≥5 时,an =2n-5.
?n-4,n≤4, ? 故 an =? n-5 ? ?2 , n≥5.

???????6 分

???????10 分

(2) 由(1)知,数列 ? an ? 为:-3,-2,-1,0,1,2,4,8,16,? 当 m=1 时等式成立,即 -3-2-1=―6=(-3)(-2)(-1); 当 m=3 时等式成立,即 -1+0+1=0; 当 m=2、4 时等式不成立;
3

???????15 分

当 m≥5 时,amam+1am+2 =23m-12, am +am+1+am+2=2m-5(2 -1)=7×2m-5, 7×2m-5≠23m-12, 所以 am +am+1+am+2≠amam+1am+2 .
第 51 页

故所求 m= 1,或 m=3.

???????20 分

13.如图,圆内接五边形 ABCDE 中, AD 是外接圆的直径, BE ? AD ,垂足 H . 过点 H 作平行于 CE 的直线,与直线 AC 、 DC 分别交于点 F 、 G . 证明: (1) 点 A 、 B 、 F 、 H 共圆; (2) 四边形 BFCG 是矩形. 证明:(1) 由 HG∥CE,得∠BHF=∠BEC, 又同弧的圆周角 ∠BAF=∠BEC, ∴ ∠BAF=∠BHF, ∴ 点 A、B、F、H 共圆; ???????8 分 (2) 由(1)的结论,得 ∠BHA=∠BFA, B G ∵ BE⊥AD, ∴ BF⊥AC, 又 AD 是圆的直径,∴ CG⊥AC, 由 A、B、C、D 共圆及 A、B、F、H 共圆, ∴∠BFG =∠DAB =∠BCG, ∴ ∠BGC=∠AFB=900, ∴ 所以四边形 BFCG 是矩形.
2 2

E

A

H F C

D

???????14 分

∴ B、G、C、F 共圆. ∴ BG⊥GC, ???????20 分

14.求所有正整数 x , y ,使得 x ? 3 y 与 y ? 3 x 都是完全平方数. 解:若 x=y,则 x2+3x 是完全平方数. ∵ x2<x2+3x<x2+4x+4= (x+2)2, ∴ x2+3x= (x+1)2,∴ x=y =1. 若 x>y,则 x2<x2+3y<x2+3x<x2+4x+4= (x+2)2. ∵ x2+3y 是完全平方数, ∴ x2+3y= (x+1)2,得 3y = 2x+1,由此可知 y 是奇数,设 y = 2k+1,则 x=3k+1,k 是正整数. 又 y2+3x= 4k2+4k+1+9k+3=4k2+13k+4 是完全平方数,且 (2k+2)2=4k2+8k+4<4k2+13k+4<4k2+16k+16= (2k+4)2, ∴ y2+3x=4k2+13k+4=(2k+3)2,
第 52 页

??????5 分

得 k=5,从而求得 x=16,y=11. 若 x<y,同 x>y 情形可求得 x=11,y=16. 综上所述,(x,y)= (1,1), (11,16), (16,11).

???????15 分

???????20 分

第 53 页

2011 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛题
一、填空题(本题共 10 小题,满分 70 分,每小题 7 分.要求直接将答案写在横线上) 1. 复数 (1 ? i)4 ? (1 ? i)4 ? .

2. 已知直线 x ? my ? 1 ? 0 是圆 C : x2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 5 ? 0 的一条对称轴,则实数

m?

.

3. 某班共有 30 名学生,若随机抽查两位学生的作业,则班长或团支书的作业被抽中的概 率 是 (结果用最简分数表示) .
1 4. 已知 cos 4? ? ,则 sin 4 ? ? cos4 ? ? 5



5. 已知向量 a,b 满足 a ? b ? 2, ? a, b ?? 为邻边的平行四边形的面积为

π ,则以向量 2a ? b 与 3a ? b 表示的有向线段 3



6. 设数列{an}的前 n 项和为 Sn.若{Sn}是首项及公比都为 2 的等比数列,则数列{an3}的前 n 项和等于 . 7. 设函数 f ( x) ? x 2 ? 2 .若 f(a)=f(b),且 0<a<b,则 ab 的取值范围是 8. 设 f(m)为数列{an}中小于 m 的项的个数,其中 an ? n2 , n ? N * , 则 f [ f (2011)] ? . 9. 一个等腰直角三角形的顶点分别在底边长为 4 的正三棱柱的三条侧棱上,则此直角三角 形的斜边长是 . 10.已知 m 是正整数,且方程 2 x ? m 10 ? x ? m ? 10 ? 0 有整数解,则 m 所有可能的值 是 .



第 54 页

二、解答题(本大题共 4 小题,每小题 20 分,共 80 分) 11.已知圆 x2 ? y 2 ? 1 与抛物线 y ? x 2 ? h 有公共点,求实数 h 的取值范围.

12.设 f ( x) ? x 2 ? bx ? c(b, c ? R) .若 x ≥ 2 时, f ( x) ≥ 0 ,且 f ( x) 在区间 ? 2,3? 上的最大值 为 1,求 b2 ? c2 的最大值和最小值.

13.如图,P 是 ? ABC 内一点.
1 (1)若 P 是 ? ABC 的内心,证明: ?BPC ? 90? ? ?BAC ; 2 1 1 (2)若 ?BPC ? 90? ? ?BAC 且 ?APC ? 90? ? ?ABC ,证明:P 是 ? ABC 的内心. 2 2

A

P

B

C

第 55 页

14.已知 ? 是实数,且存在正整数 n0,使得 n0 ? ? 为正有理数. 证明:存在无穷多个正整数 n,使得 n ? ? 为有理数.

2011 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛题 答案及点评
一、填空题(本题共 10 小题,满分 70 分,每小题 7 分.要求直接将答案写在横线上) 1. 复数 (1 ? i)4 ? (1 ? i)4 ? 答案:-8 基础题,送分题,高考难度 2. 已知直线 x ? my ? 1 ? 0 是圆 C : x2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 5 ? 0 的一条对称轴,则实数 .

m?
答案: ?
3 2

.

基础题,送分题,高考难度 3. 某班共有 30 名学生,若随机抽查两位学生的作业,则班长或团支书的作业被抽中的概 率 是 (结果用最简分数表示) . 答案:
19 145

基础题,送分题,高考难度,但需要认真审题,否则很容易有错
1 4. 已知 cos 4? ? ,则 sin 4 ? ? cos4 ? ? 5



答案:

4 5 π ,则以向量 2a ? b 与 3a ? b 表示的有向线段 3

计算量挺大的,要注重计算的方法,对于打酱油的同学有一定难度 5. 已知向量 a,b 满足 a ? b ? 2, ? a, b ?? 为邻边的平行四边形的面积为 答案: 10 3
第 56 页



可以用特殊法,把向量放在直角坐标系中,很容易可以得出答案 6. 设数列{an}的前 n 项和为 Sn.若{Sn}是首项及公比都为 2 的等比数列,则数列{an3}的前 n 项和等于 .
1 答案: (8n ? 48) 7 高考难度级别,基础好的同学可以做出来

7. 设函数 f ( x) ? x 2 ? 2 .若 f(a)=f(b),且 0<a<b,则 ab 的取值范围是 答案:(0,2) 这是一道高考题 8. 设 f(m)为数列{an}中小于 m 的项的个数,其中 an ? n2 , n ? N * , 则 f [ f (2011)] ? .



答案:6 这也是一道高考题 9. 一个等腰直角三角形的顶点分别在底边长为 4 的正三棱柱的三条侧棱上,则此直角三角 形的斜边长是 . 答案:4 3 还是一道高考题 10.已知 m 是正整数,且方程 2 x ? m 10 ? x ? m ? 10 ? 0 有整数解,则 m 所有可能的值 是 . 答案:3,14,30 这是 2011 年苏州市一模的第十四题。 二、解答题(本大题共 4 小题,每小题 20 分,共 80 分) 11.已知圆 x2 ? y 2 ? 1 与抛物线 y ? x 2 ? h 有公共点,求实数 h 的取值范围. 解:设公共点(cosθ,sinθ) ,代入抛物线方程,
1 5 得 h ? sin ? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? sin ? ? 1 ? (sin ? ? )2 ? 2 4 ? 5 ? 因为 sin ? ? ? ?1,1? ,所以 h ? ?? ,1? ? 4 ?

简单,很简单 12.设 f ( x) ? x 2 ? bx ? c(b, c ? R) .若 x ≥ 2 时, f ( x) ≥ 0 ,且 f ( x) 在区间 ? 2,3? 上的最大值 为 1,求 b2 ? c2 的最大值和最小值. 解:由题意函数图象为开口向上的抛物线,且 f ( x) 在区间 ? 2,3? 上的最大值只能在闭端点取 得, 故有 f (2) ≤ f (3) ? 1,从而 b ≥ ?5 且 c ? ?3b ? 8 .
第 57 页

若 f ( x) ? 0 有实根,则 ? ? b2 ? 4c ≥ 0 ,
4 ? ? ?b ≤ ? 5 , ? f ( ?2) ≥ 0, ?4 ? 2b ? c ≥ 0, ? ? ? 在区间 ? ?2, 2? 有 ? f (2) ≥ 0, 即 ?4 ? 2b ? c ≥ 0, 消去 c,解出 ?b ≤ ?4, ? ??4 ≤ b ≤ 4, ??4 ≤ b ≤ 4, b ? ?2 ≤ ≤ 2, ? ? ? 2 ?

即 b ? ?4 ,这时 c ? 4 ,且 ? ? 0 . 若 f ( x) ? 0 无实根,则 ? ? b2 ? 4c ? 0 ,将 c ? ?3b ? 8 代入解得 ?8 ? b ? ?4 . 综上 ?5 ≤ b ≤ ?4 . 所以 b2 ? c2 ? b2 ? (?3b ? 8)2 ? 10b2 ? 48b ? 64 ,单调递减 故 (b2 ? c 2 )min ? 32,(b2 ? c 2 )max ? 74 . 注重分类讨论 13.如图,P 是 ? ABC 内一点.
1 (1)若 P 是 ? ABC 的内心,证明: ?BPC ? 90? ? ?BAC ; 2 1 1 (2)若 ?BPC ? 90? ? ?BAC 且 ?APC ? 90? ? ?ABC ,证明:P 是 ? ABC 的内心. 2 2

1 1 1 证明: (1) ?BPC ? 180? ? (?ABC ? ?ACB) ? 180? ? (180? ? ?BAC ) ? 90? ? ?BAC 2 2 2

A

P

B

C

第 58 页

这其实是平面几何一个很重要的结论,在一般的平面几何的参考书上都有 14.已知 ? 是实数,且存在正整数 n0,使得 n0 ? ? 为正有理数. 证明:存在无穷多个正整数 n,使得 n ? ? 为有理数. 证明:设 n0 ? ? ?
q2 q ,其中 p,q 为互质的正整数,则 n0 ? ? ? 2 . p p

设 k 为任意的正整数,构造 n ? p 2 k 2 ? 2qk ? n0 , 则 n ?? ?
p 2 k 2 ? 2qk ? n0 ? ? ? p 2 k 2 ? 2qk ? q2 q ? pk ? ? Q . p2 p

非常非常常规的一道数论题,不需要数论的预备知识 总结:这张试卷大约 90 分以上应该可以出线了。一般说来,出线并不算太难,只要平 时基础好,不粗心,填空题应该可以做满分(笔者错了一个) ,对于没有进行过竞赛辅导的 同学来说,大题的 1、2 两题还是可以做做的。 尤其提醒一点,大题目不管会不会做,一定要写写,写写总是有份的,而且分很多。比 如最后一题,只要把他设出来,就有 8 分。

第 59 页


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