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第5课时三角函数的 值域和最值


第5课时 三角函数的值域和最值
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?误

解 分 析

要点·疑点·考点

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1.正弦函数 y=sinx定义域是R,值域是[-1,1],在x=2kπ-π/2(k∈Z)时取

最小值-1,在x=2kπ+π/2(k∈Z)时,取最大值1 . 2.余弦函数 y=cosx定义域是R,值域是[-1,1],在x=2kπ(k∈Z)时,取 最大值1,在x=2kπ+π(k∈Z)时,取最小值-1 3.正切函数 y=tanx定义域是(kπ-π/2,kπ+π/2)(k∈Z),值域是R,无最 值. 4. asinx+bcosx型函数

a sin x ? b cos x ? a 2 ? b2 sin?x ? ? ? (其中φ由 tan ? ?
确定,φ角所在象限是由点P(a,b)所在象限确定)

b a

课前热身
1.若sinx≥1/2,则x的范围是____________________________;若 2kπ+π/6≤x≤2kπ+5π/6,k∈Z 2kπ+5π/6<x<2kπ+7π/6,k∈Z ; √3+2cosx<0,则x的范围是 若tanx≤1,则x的范围是________________________;若sin2x> kπ-π/2<x≤kπ+π/4,k∈Z cos2x,则x的范围是__________________________ kπ+π/4<x<kπ+3π/4,k∈Z

2.函数y=√3sinx+cosx,x∈[-π/6,π6]的值域是(
(A)[-√3,3] (B)[-2,2] (C)[0,2]

) D
(D)[0,√3]

3.函数y=2sinx(sinx+cosx)的最大值为( A ) (A)1+√2 (B)√2-1 (C)2 (D)2

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4.设 sin ? ? cos? ? t,且sin 3 ? ? cos3 ? ? 0 ,则t的取值 范围是( B ) 0 (A) ? 3, ? 3, ? (B) ? 2, 0 ? (C) ??1 0? ? 1 3 (D) ? 3,3 , ,

?

? ? ? ? ?

? ?

?

?

5.函数f(x)=Msin(ωx+φ)(ω>0)在区间[a,b]上是增函数, 且 f(a)=-M,f(b)=M, 则 函 数 g(x)=Mcos(ωx+φ) 在 [ a,b] 上 ( B ) (A)是增函数 (B)可以取得最大值M (C)是减函数 (D)可以取得最小值-M

能力·思维·方法
?? ? 1.已知△ABC中, tan? A ? ? ? ?2 ? 3 ,求使 y ? 4? ? ?? ? 2 2 sin B ? sin ? 2 B ? ? 取最大值时∠C的大小. 6? ?
【解题回顾】形如y=acos2x+bcosxsinx+csin2x+d(a、b、c、 d为常数)的式子,都能仿照上例变形为形如y=Acos(2x+φ)

+B的式子,从而有关问题可在变形式的基础上求解?另外,
求最值时不能忽视对定义域的思考

2.试求函数y=sinx+cosx+2sinxcosx+2的最大值和最小值. 又若x∈[0,π/2]呢? 【解题回顾】此为sinx+cosx与sinx· cosx型.(注意与上例形 式的不一样),一般地,含有sinx+cosx,sinx-cosx,sinx· cosx 的三角函数都可以采用换元法转化为t的二次函数去解.但 必须注意换元的取值范围.

2 cos x ? 1 3.求函数 y ? 的值域 2 cos x ? 1

a sin x ? b 【解题回顾】此为 y ? 型三角函数(分子、分母的 c sin x ? d 三角函数同角同名)这类函数,一般用拆分法及三角函数 2 sin x ? 1 的有界性去解.思考如何求 y ? 的值域呢? 2 cos x ? 1

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4.已知函数f(x)=-sin2x-asinx+b+1的最大值为0,最小值为 -4,若实数a>0,求a,b的值

【解题回顾】上述两题为y=asin2x+bsinx+c型的三角函数. 此类函数求最值,可转化为二次函数y=at2+bt+c在闭区间 [-1,1]上的最值问题解决.

延伸·拓展

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5.在Rt△ABC内有一内接正方形,它的一条边在斜边BC 上. (1)设AB=a,∠ABC=θ,求△ABC的面积P与正方形面积Q (2)当θ变化时求P/Q的最小值.

a 【解题回顾】此题为sin x ? 型三角函数.当sinx>0且 sin x a>1时,不能用均值不等式求最值,往往用函数单调性

求解

误解分析

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1.在课前热身2中,当 y ? cos x ? 2 sin x ? 5 sin ?x ? ? ?时,若
? ?? 限制 x ? ?0, ? ,则 y 的范围要根据单调性得出,不再是 ? 4?

??

5,5

?

2.在能力· 思维· 方法2中,换元后,要研究定义域的变化, 脱离定义域研究函数是没有意义的.


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