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7导数练习1


江苏省运河中学 2015 届高二数学寒假作业

7 导数(1)
一、填空题 1.已知曲线 y ? 2 x ? 1 在点 M 处的瞬时变化率为-4,则点 M 的坐标是
2

2.在曲线 y ? x 上切线倾斜角为
2

? 的点是_____________ 4

3.曲线

y ? 2 x ? 1 在点 P(-1,3)处的切线方程是____________
2

4.曲线 y ? x ? x ? 2 在 P 点处的切线平行于直线 y ? 4 x ? 1 ,则此切线方程是_________
3

5.函数 y ? x tan x 的导数是_______________________. 6.已知曲线 C1 : y ? x 与C 2 : y ? ?( x ? 2) , 直线 l 与 C1 , C 2 都相切,直线 l 的方程 _______________________.
2 2

7.函数 y ? x ? ax ? 8 的单调减区间是(-5,5),则此函数的单调增区间是 _________________________.
3

8.如图,水波的半径以 50cm/s 的速度向外扩张,当半径为 250cm 时,圆面积的膨胀率 _______________________. 9.(2009·江苏高考)在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 在曲线 C:y=x
3

-10x+3 上,

且在第二象限内,已知曲线 C 在点 P 处的切线的斜率为 2,则点 P 的坐标为________. 10.(2010·江苏高考)函数 y=x (x>0)的图象在点(
2

ak,a2 k)处的切线与 x 轴交点的横

坐标为 ak+1,k 为正整数,a1=16,则 a1+a3+a5=________. 11.(2010·江苏高考)将边长为 1 m 的正三角形薄片,沿一条平行于底边的直线剪成两块, (梯形的周长) 其中一块是梯形,记 S= ,则 S 的最小值是________. 梯形的面积 12.(2011·江苏高考)在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 P 是函数 f(x)=e
x
2

(x>0)的

图象上的动点,该图象在 P 处的切线 l 交 y 轴于点 M,过点 P 作 l 的垂线交 y 轴于点 N,设 线段 MN 的中点的纵坐标为 t,则 t 的最大值是________. 二、解答题 13.(2012·江苏高考)若函数 y=f(x)在 x=x0 处取得极大值或极小值,则称 x0 为函 数 y=f(x)的极值点.已知 a,b 是实数,1 和-1 是函数 f(x)=x 的两个极值点. (1)求 a 和 b 的值; (2)设函数 g(x)的导函数 g′(x)=f(x)+2,求 g(x)的极值点;
1
3

+ax +bx

2

江苏省运河中学 2015 届高二数学寒假作业 14.已知函数 f(x)=ax +bx -3x(a,b∈R)在点(1,f(1))处的切线方程为 y+2=0. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)若对于区间[-2,2]上任意两个自变量的值 x1,x2 都有|f(x1)-f(x2)|≤c,求实数 c 的最小值; (3)若过点 M(2,m)(m≠2)可作曲线 y=f(x)的三条切线,求实数 m 的取值范围.
3 2

15.设 a≥0,f(x)=x-1-ln

2

x+2aln x(x>0).

(1)令 F(x)=xf′(x),讨论 F(x)在(0,+∞)内的单调性并求极值; (2)求证:当 x>1 时,恒有 x>ln
2

x-2aln x+1.

16.甲方 是一农场,乙方是一工厂.由于乙方生产须占用甲方的资源,因此甲方有权向乙 方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入,在乙方不赔付甲方的情况下,乙方的年利润 x (元)与年产量 t (吨)满足函数关系 x ? 2000 t .若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方 s 元(以下称 s 为赔付价格) (1)将乙方的年利润 w (元)表示为年产量 t (吨)的函数,并求出乙方获得最大利润的 年产量; (2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额 y ? 0.002t (元),在乙方按照获得最大利 润的产量进行生产的前提下,甲方要在索赔中获得最大净收入,应向乙方要求的赔付价格 s 是多少?
2

2

江苏省运河中学 2015 届高二数学寒假作业

7 导数(1)参考答案
一.填空题 1、(-1,3) 2、_ ( , )

1 1 2 4

3、 y ? ?4 x ? 1

4、 y ? 4 x或y ? 4 x ? 4

5、

sin x cos x ? x cos2 x

6、 y ? 0, y ? 4 x ? 4 32 11. 3 .

7、(5,15)

8.25000?cm /s

3

9.(-2,15)

10.21

3

1? 1? 12. ?e+ ? 2? e?

二.解答题

13.[解]

(1)由题设知 f′(x)=3x +2ax+b,且

2

f′(-1)=3-2a+b=0,f′(1)=3+2a+b=0,
解得 a=0,b=-3. (2)由(1)知 f(x)=x -3x. 因为 f(x)+2=(x-1) (x+2),所以 g′(x)=0 的根为 x1=x2=1,x3=-2.于是函数
2 3

g(x)的极值点只可能是 1 或-2.
当 x<-2 时,g′(x)<0;当-2<x<1 时,g′(x)>0,故-2 是 g(x)的极值点. 当-2<x<1 或 x>1 时,g′(x)>0, 故 1 不是 g(x)的极值点. 所以 g(x)的极值点为-2. 14.解:(1)f′(x)=3ax +2bx-3. 根据题意,得?
?a=1, ? ? ?b=0. ? ?f(1)=-2, ?f′(1)=0, ?
3 2

即?

? ?a+b-3=-2, ?3a+2b-3=0, ?

解得?

所以 f(x)=x -3x.
2

(2)令 f′(x)=0,即 3x -3=0,得 x=±1.

x f′(x) f(x)

-2

(-2,-1) +

-1 0 极大值

(-1,1) - ?

1 0 极小值

(1,2) + ?

2

-2

?

2

因为 f(-1)=2,f(1)=-2, 所以当 x∈[-2,2]时,f(x)max=2,f(x)min=-2.
3

江苏省运河中学 2015 届高二数学寒假作业 则对于区间 [ - 2,2] 上任意两个自变量的值 x1 , x2 ,都有 |f(x1) - f(x2)| ≤ |f(x)max -

f(x)min|=4,所以 c≥4,
即 c 的最小值为 4. (3)因为点 M(2,m)(m≠2)不在曲线 y=f(x)上,所以可设切点为(x0,y0).因为 f′(x0) =3x0-3,所以切线的斜率为 3x0-3.
2 2

x3 0-3x0-m 3 2 则 3x -3= ,即 2x0-6x0+6+m=0. x0-2
2 0

因为过点 M(2,m)(m≠2)可作曲线 y=f(x)的三条切线,所以方程 2x0-6x0+6+m=0 有三个不同的实数解. 所以函数 g(x)=2x -6x +6+m 有三个 不同的零点. 则 g′(x)=6x -12x.令 g′(x)=0,则 x=0 或 x=2.
2 3 2

3

2

x g′(x) g(x)

(-∞,0) + ?

0 0 极大值

(0,2) - ?

2 0 极小值

(2,+∞) + ?

则?

? ?g(0)>0, ?g(2)<0, ?

? ?6+m>0, 即? ?-2+m<0, ?

解得-6<m<2.

所以 m 的取值范围为(-6,2). 2ln x 2a 15.解:(1)根据求导法则有 f′(x)=1- + ,x>0,故 F(x)=xf′(x)=x-2ln

x

x

x+2a,x>0,
2 x-2 于是 F′(x)=1- = ,x>0.

x

x

列表如下:

x F′(x) F(x)

(0,2) - ?

2 0 极小值 F(2)

(2,+∞) + ?

故知 F(x)在(0,2)内是减函数,在(2,+∞)内是增函数,所以在 x=2 处取得极小值

F(2)=2-2ln 2+2a.
(2)证明:由 a≥0 知,F(x)的极小值

F(2)=2-2ln 2+2a>0.
于是由上表知,对一切 x∈(0,+∞),恒有 F(x)=xf′(x)>0.从而当 x>0 时,恒有

f′(x)>0,
故 f(x)在( 0,+∞)内单调递增.
4

江苏省运河中学 2015 届高二数学寒假作业 所以当 x>1 时,f(x)>f(1)=0, 即 x-1-ln x+2aln x>0. 故当 x>1 时,恒有 x>ln x-2aln x+1. 16.解:(1)因为赔付价格为 s 元/吨,所以乙方的实际年利润为 w ? 2000 t ? st . 由 w? ?
2 2

1000 1000 ? s t ?s ? , t t
2

? 1000 ? 令 w? ? 0 ,得 t ? t0 ? ? ? . ? s ?
当 t ? t0 时, w? ? 0 ;当 t ? t0 时, w? ? 0 , 所以 t ? t0 时, w 取得最大值.

? 1000 ? 因此乙方取得最大年利润的年产量 t 0 为 ? ? (吨); ? s ?
(2)设甲方净收入为 v 元,则 v ? st ? 0.002t .
2

2

? 1000 ? 将t ? ? ? 代入上式, ? s ?
得到甲方净收入 v 与赔付价格 s 之间的函数关系式 v ?

2

106 2 ? 4 ?109 . s s

又 v? ?

106 ? (8000 ? s 3 ) , s5

令 v? ? 0 ,得 s ? 20 . 当 s ? 20 时, v? ? 0 ;当 s ? 20 时, v? ? 0 , 所以 s ? 20 时, v 取得最大值. 因此甲方应向乙方要求赔付价格 s ? 20 (元/吨)时,获最大净收入.

5


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