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对数函数测试题及答案


对数与对数函数测试题
一、选择题。 1.

log8 9 的值是 log 2 3
A.





3 D.2 2 2.若 log2 [log 1 (log 2 x)] ? log 3 [log 1 (log 3 y)] ? log 5 [log 1 (log 5 z )] =0,则 x、y、z 的大小
B.1 C.
2 3 5

2 3

关系是 A.z<x<y B.x<y<z
3

( C.y<z<x D.z<y<x ( C.0 D.



3.已知 x= 2 +1,则 log4(x -x-6)等于 A.



3 2

B.

5 4

1 2
( )

4.已知 lg2=a,lg3=b,则

lg 12 等于 lg 15

A.

2a ? b 1? a ? b

B.

a ? 2b 1? a ? b

C.

2a ? b 1? a ? b

D.

a ? 2b 1? a ? b
( )

5.已知 2lg(x-2y)=lgx+lgy,则 x 的值为 y A.1 B.4 C.1 或 4 D.4 或 16

6.函数 y = log 1 (2 x ? 1) 的定义域为
2

( C.(



A.(

1 ,+∞) 2
2

B. [1,+∞ )

1 ,1 ] 2

D.(-∞,1) ( )

7.已知函数 y=log 1 (ax +2x+1)的值域为 R,则实数 a 的取值范围是
2

A.a>1
x

B.0≤a<1

C.0<a<1

D.0≤a≤1 ( )

8.已知 f(e )=x,则 f(5)等于 A.e
5

B.5

e

C.ln5

D.log5e ( )

9.若 f ( x) ? log a x(a ? 0且a ? 1), 且f ?1 (2) ? 1, 则f ( x) 的图像是

y x

y x
C
1

y x O

y x

O
A

O
B

O
D

10.若 y ? ? log 2 ( x ? ax ? a) 在区间 (??,1 ? 3) 上是增函数,则 a 的取值范围是(
2



A. [2 ? 2 3, 2]
2

B. ? 2 ? 2 3, 2

?

?

C. 2 ? 2 3, 2 ?

?

?

D. 2 ? 2 3, 2

?

?
( )

11.设集合 A ? {x | x ? 1 ? 0}, B ? {x | log 2 x ? 0 |}, 则A ? B 等于 A. {x | x ? 1} C. {x | x ? ?1} 12.函数 y ? ln A. y ? B. {x | x ? 0} D. {x | x ? ?1或x ? 1}

x ?1 , x ? (1,??) 的反函数为 x ?1
B. y ?





ex ?1 , x ? (0,??) ex ?1 ex ?1 , x ? (??,0) ex ?1

ex ?1 , x ? (0,??) ex ?1 ex ?1 , x ? (??,0) ex ?1

C. y ? 二、填空题.

D. y ?

13.计算:log2.56.25+lg
2

1 1?log2 3 +ln e + 2 =. 100
0.9 0.8

14.函数 y=log4(x-1) (x<1=的反函数为 __________. 15.已知 m>1,试比较(lgm) 与(lgm) 的大小. 16.函数 y=(log 1 x) -log 1 x +5 在 2≤x≤4 时的值域为______.
4 4
2 2

三、解答题. 17.已知 y=loga(2-ax)在区间{0,1}上是 x 的减函数,求 a 的取值范围.

2

18.已知函数 f(x)=lg[(a -1) x +(a+1)x+1],若 f(x)的定义域为 R 求实数 a 的取值范围.

2

2

19.已知 f(x)=x +(lga+2)x+lgb,f(-1)=-2,当 x∈R 时 f(x)≥2x 恒成立,求实数 a 的值,并求此时 f(x)的最小值?

2

20.设 0<x<1,a>0 且 a≠1,试比较|loga(1-x)|与|loga(1+x)|的大小.

3

21.已知函数 f(x)=loga(a-a )且 a>1, (1)求函数的定义域和值域; (2)讨论 f(x)在其定义域上的单调性; (3)证明函数图象关于 y=x 对称.

x

22.在对数函数 y=log2x 的图象上(如图),有 A、B、C 三点,它们的横坐标依次为 a、a+1、

a+2,其中 a≥1,求△ABC 面积的最大值.

4

对数与对数函数测试题
参考答案 一、选择题:ADBCB 二、填空题:13. 三、解答题: 17.解析:先求函数定义域:由 2-ax>0 ,得 ax<2 又 a 是对数的底数, ∴a>0 且 a≠1,∴x< CDCBA AB

25 13 x 0.9 0.8 ,14.y=1-2 (x∈R),15.(lgm) ≤(lgm) ,16. ? y?8 2 4

2 a 2 >1,∴a<2 a

由递减区间[0, 1]应在定义域内可得 又 2-ax 在 x ∈[0,1]是减函数

∴y=loga(2-ax)在区间[0,1]也是减函数,由复合函数单调性可知:a>1 ∴1<a<2 18、解:依题意(a -1)x +(a+1)x+1>0 对一切 x∈R 恒成立. 当 a -1≠0 时,其充要条件是:
2 2 2

?a 2 ? 1 ? 0 5 ? 解得 a<-1 或 a> ? 2 2 3 ?? ? (a ? 1) ? 4(a ? 1) ? 0 ?
又 a=-1,f(x)=0 满足题意,a=1,不合题意. 所以 a 的取值范围是:(-∞,-1]∪(

5 ,+∞) 3

19、解析:由 f(-1)=-2,得:f(-1)=1-(lga+2)+lgb=-2,解之 lga-lgb=1, ∴

a =10,a=10b. b
2 2

又由 x∈ R,f(x)≥2x 恒成立.知:x +(lga+2)x+lgb≥2x,即 x +xlga+lgb≥0, 对 x∈R 恒成立, 由 Δ =lg a-4lgb≤0,整理得(1+lgb) -4lgb≤0 即(lgb-1) ≤0,只有 lgb=1,不等式成立. 即 b=10,∴a=100. ∴f(x)=x +4x+1=(2+x) -3 当 x=-2 时,f(x)min=-3.
2 2 2 2 2

5

20.解法一:作差法 |loga(1-x)|-|loga(1+x)|=| +x)|) ∵0<x<1,∴0<1-x<1<1+x ∴上式=-

lg(1 ? x) lg(1 ? x) 1 |-| |= (|lg(1-x)|-|lg(1 lg a lg a | lg a |

1 1 2 [(lg(1-x)+lg(1+x)]=- ·lg(1-x )[来源:Zxxk.Com] | lg a | | lg a |
2

由 0<x<1,得,lg(1-x )<0,∴- ∴|loga(1-x)|>|loga(1+x)| 解法二:作商法

1 2 ·lg(1-x )>0, | lg a |

| log a (1 ? x) | =|log(1-x)(1+x)| | log a (1 ? x) |
∵0<x<1,∴0<1-x<1+x,∴|log(1-x)(1+x)|=-log(1-x)(1+x)=log(1-x) 由 0<x<1,∴1+x>1,0<1-x <1 ∴0<(1-x)(1+x)<1,∴ ∴0<log(1-x)
2

1 1? x

1 >1-x>0 1? x

1 <log(1-x)(1-x)=1 1? x

∴|loga(1-x)|>|loga(1+x )| 解法三:平方后比较大小 ∵loga (1-x)-loga (1+x)=[loga (1-x)+loga(1+x)][loga(1-x)-loga(1+x)] =loga(1-x )·loga
2 2 2

1 1? x 1? x 2 = ·lg(1-x )·lg 2 1? x 1 ? x | lg a |
2

∵0<x<1,∴0<1-x <1,0< ∴lg(1-x )<0,lg
2 2

1? x <0 1? x
2

1? x <1 1? x

∴loga (1-x)>loga (1+x),即|loga(1-x)|>|loga(1+x)| 解法四:分类讨论去掉绝对值 当 a>1 时,|loga(1-x)|-|loga(1+x)|=-loga(1-x)-loga(1+x)=-loga(1-x ) ∵0<1-x<1<1+x,∴0<1-x <1
6
2 2

∴loga(1-x )<0,∴-loga(1-x )>0 当 0<a<1 时,由 0<x<1,则有 loga(1-x)>0,loga(1+x)<0 ∴|loga(1-x)|-|loga(1+x)|=|loga(1-x)+loga(1+x)|=loga(1-x )>0 ∴当 a>0 且 a≠1 时,总有|loga(1-x)|>|loga(1+x)| 21.解 析:(1)定义域为(-∞,1),值域为(-∞,1) (2)设 1>x2>x1 ∵a>1,∴ a
x2
2

2

2

? a x1 ,于是 a- a x2 <a- a x1
x

则 loga(a-a a x2 )<loga(a- a 1 ) 即 f(x2)<f(x1) ∴f(x)在定义域(-∞,1)上是减函数 (3)证明:令 y=loga(a-a )(x<1),则 a-a =a ,x=loga(a-a ) ∴f (x)=loga(a-a )(x<1) 故 f(x)的反函数是其自身,得函数 f(x)=loga(a-a )(x<1=图象关于 y=x 对称. 22. 解析:根据已知条件,A、B、C 三点坐标分别为(a,log2a),(a+1,log2(a+1)),(a +2,log2(a+2)),则△ABC 的面积 S=
x
-1

x

x

y

y

x

[log 2 a ? log 2 (a ? 1)] [log 2 (a ? 1) ? log 2 (a ? 2)] ? ? [log 2 a ? log 2 (a ? 2)] 2 2

1 a(a ? 2)( a ? 1) 2 1 (a ? 1) 2 ? log 2 ? log 2 2 [a(a ? 2)]2 2 a ( a ? 2)

1 a 2 ? 2a ? 1 1 1 ? log 2 2 ? log 2 (1 ? 2 ) 2 a ? 2a 2 a ? 2a
因为 a ? 1 ,所以 S max ?

1 1 1 4 log 2 (1 ? ) ? log 2 2 3 2 3

7


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