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高二数学上学期12月第二次月考试题 文


唐山一中 2013—2014 学年度第一学期月考 高二年级数学试卷(文)
说明: 1.考试时间 120 分钟,满分 150 分。2.将卷Ⅰ答案用 2B 铅笔涂在答题卡上,卷Ⅱ用蓝黑钢 笔或圆珠笔答在试卷上.。3.Ⅱ卷卷头和答题卡均填涂本次考试的考号,不要误填学号,答 题卡占后5位。 卷Ⅰ(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60

分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.下列说法中错误的是( ) A.如果 平面? ? 平面? ,那么平面 ? 内一定存在直线平行于平面 ? B.如果平面 ? 不垂直于平面 ? ,那么平面 ? 内一定不存在直线垂直于平面 ? C.如果 平面? ? 平面? , 平面? ? 平面? , ? ? ? ? l ,那么 l ? 平面? D.如果 平面? ? 平面? ,那么平面 ? 内所有直线都垂直于平面 ?

2.某几何体的三视图如图所示,则它的体积是( )

8?
A.

2? 3

8?
B.

?
3
C. 8 ? 2?

2? D. 3

3. 已知直二面角 ? - l ? ? ,点 A∈α ,AC⊥ l ,C 为垂足,B∈β ,BD⊥ l ,D 为垂足.若 AB=2, AC=BD=1,则 D 到平面 ABC 的距离等于( )

2 A. 3

3 B. 3

6 C. 3

D.1 )

4.如图,四棱锥 S—ABCD 的底面为正方形,SD ? 底面 ABCD,则下列结论中不正确的是( (A)AC⊥SB (B)AB∥平面 SCD

-1-

(C)SA 与平面 SBD 所成的角等于 SC 与平面 SBD 所成的角 (D)AB 与 SC 所成的角等于 DC 与 SA 所成的角 5. 正四棱 柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中 , AA1 ? 2 AB , 则 CD 与平面 BDC 所 成角 的正 弦值为 1 ( A. )

2 3


B.

3 3

C.

2 3

D.

1 3

6.已知棱长为 1 的正方体的俯视图是一个面积为 1 的正方形,则该正方体的正视图的面积不可 .. 能等于 ( . A. 1

B. 2
0

C.

2-1 2

D.

2+1 2
0

7.已知异面直线 a 和 b 所成的角 ? ? 60 ,P 为空间一点,过 P 与 a 和 b 所成的角均为 60 的 直线有( A.一条 ) B.两条 C. 三条 D.四条 )

8.若圆锥的侧面积为 2? ,底面积为 ? ,则该圆锥的体积为 (

A.

2? 3

B.

3? 3

C. 3?
0

D.

? 3

9.正三棱锥 P-ABC 的高为 2,侧棱与底面所成的角为 45 ,则点 A 到侧面 PBC 的距离是( ) A. 5 B. 2 2 C. 2 D.

6 5 5

10.半径为 5 的球 O 中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时,求球的表面积与该圆柱的侧面 积之差是( ) A. 50? B. 25? C. 100? D. 75? 2 11.对于一个底边在 x 轴上的三角形,采用斜二测画法作出其直观图, 其直观图面积是原三角形面积的( ) 45 2 2 1 0 3 A. 2 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍 2 4 2 12.如图,在长方形 ABCD 中,AB= 3 ,BC=1,E 为线段 DC 上一动点,现将 ? AED 沿 AE 折起, 使点 D 在面 ABC 上的射影 K 在直线 AE 上,当 E 从 D 运动到 C,则 K 所形成轨迹的长度为( )

-2-

A.

3 2

B.

2 3 3

C.

? 2

D.

? 3

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. ) 13.三棱锥 P-ABC 中,PA⊥底面 ABC,PA=3,底面 ABC 是边长为 2 的正三角形,则三棱锥 P-ABC 的体积等于______.

14. 一个空间几何体的三视图如右图所示, 则该几何体的表面积为 .

15.如图,在三棱柱 A1 B1C1 ? ABC 中, D,E,F 分别是

C1 B1

AB,AC,AA1 的中点,设三棱锥 F ? ADE 的体积为 V1 ,
三棱柱 A1 B1C1 ? ABC 的体积为 V 2 ,

A1

F
则 V1 :V2 ? ____________.

C

E
A D

B

16.如图,正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 1,P 为 BC 的中点,Q 为线段 CC1 上的动点,过点 A,P,Q 的平面截该正方体所得的截面记为 S.则下列命题正确的是____(写出所有正确命题 的编号).

①当 0 ? CQ ?

1 1 3 时,S 为四边形;②当 CQ ? 时,S 为等腰梯形;③当 CQ ? 时,S 与 C1 D1 的 2 2 4

-3-

交点 R 满足 C1 R1 ?

1 3 ;④当 ? CQ ? 1 时,S 为六边形; 3 4
6 . 2

⑤当 CQ ? 1 时,S 的面积为

三. 解答题(本大题共 6 小题,共 70 分;解答写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, 平面 PAD⊥平面 ABCD, AB=AD, BAD=60°,E、F 分别是 AP、AD 的中点 求证: (1)直线 EF∥平面 PCD; (2)平面 BEF⊥平面 PAD ∠

17 题图 18. 如 图 , 在 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , PA ? 平 面 A B C D 底 面 ABCD 是 菱 形 , ,

AB ? 2, ?BAD ? 60? .
(1)求证: BD ? 平面 PAC; (2)若 PA ? AB, 求 PB 与 AC 所成角的余弦值;

(18 题图) 19、如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=2,AD=1,A1A=1,证明:直线 BC1 平行于平面 D1AC,并求直 线 BC1 到平面 D1AC 的距离.

D A D1 B

C

C1 B1

A1

20、如图,AB 是圆的直径,PA 垂直圆所在的平面,C 是圆上的点. (1)求证: 平面PAC ? 平面PBC; (2)若 AB=2,AC=1,PA=1,求证:二面角 C-PB-A 的余弦值。

-4-

21. 如下图,四棱锥 P ? ABCD 中,侧面 PDC 是边长为 2 的正三角形,且与底面垂直,底 面 ABCD 是 ?ADC ? 60? 的菱形,M 为 PB 的中点。 (1)求 PA 与底面 ABCD 所成角的大小; P (2)求证: PA ? 平面 CDM

.M D A C B

22.如图,在在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥ABCD,AB=BC=2,AD=CD= 7,PA= 3,∠ABC=120°, G 为线段 PC 上的点. (1)证明:BD⊥面 PAC ; PG (2)若 G 满足 PC⊥面 BGD,求 的值. GC

-5-

唐山一中 2013—2014 学年度第一学期月考 高二年级数学试卷(文)参考答案 说明: 1.考试时间 120 分钟,满分 150 分。2.将卷Ⅰ答案用 2B 铅笔涂在答题卡上,卷Ⅱ用蓝黑钢 笔或圆珠笔答在试卷上.。3.Ⅱ卷卷头和答题卡均填涂本次考试的考号,不要误填学号,答 题卡占后5位。 卷Ⅰ(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.下列说法中错误的是( ) A.如果 平面? ? 平面? ,那么平面 ? 内一定存在直线平行于平面 ? B.如果平面 ? 不垂直于平面 ? ,那么平面 ? 内一定不存在直线垂直于平面 ?

-6-

C.如果 平面? ? 平面? , 平面? ? 平面? , ? ? ? ? l ,那么 l ? 平面? D.如果 平面? ? 平面? ,那么平面 ? 内所有直线都垂直于平面 ? 【答案】D 2.某几何体的三视图如图所示,则它的体积是( )

8?
A.

2? 3

8?
B.

?
3
C. 8 ? 2?

2? D. 3

【答案】A 3. 已知直二面角 ? - l ? ? ,点 A∈α ,AC⊥ l ,C 为垂足,B∈β ,BD⊥ l ,D 为垂足.若 AB=2, AC=BD=1,则 D 到平面 ABC 的距离等于( )

2 A. 3
【答案】C

3 B. 3

6 C. 3

D.1 列

4.如图,四棱锥 S—ABCD 的底面为正方形,SD ? 底面 ABCD,则下 结论中不正确的是( ) (A)AC⊥SB (B)AB∥平面 SCD (C)SA 与平面 SBD 所成的角等于 SC 平面 SBD 所成的角 (D)AB 与 SC 所成的角等于 DC 与 SA 所成的角 【答案】D



5. 正四棱 柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中 , AA1 ? 2 AB , 则 CD 与平面 BDC1 所 成角 的正 弦值为 ( A. )

2 3

B.

3 3

C.

2 3

D.

1 3

【答案】A 6.已知棱长为 1 的正方体的俯视图是一个面积为 1 的正方形,则该正方体的正视图的面积不可 .. 能等于 ( . A. 1 【答案】C 7.已知异面直线 a 和 b 所成的角 ? ? 60 ,P 为空间一点,过 P 与 a 和 b 所成的角均为 60 的
0 0

) B. 2 C.

2-1 2

D.

2+1 2

直线有( A.一条

) B.两条 C. 三条 D.四条
-7-

【答案】C 8.若圆锥的侧面积为 2? ,底面积为 ? ,则该圆锥的体积为 ( )

A.

2? 3

B.

3? 3

C. 3?

D.

? 3

【答案】B 0 9.正三棱锥 P-ABC 的高为 2,侧棱与底面所成的角为 45 ,则点 A 到侧面 PBC 的距离是( ) A. 5 B. 2 2 C. 2 D.

6 5 5

【答案】D 10.半径为 5 的球 O 中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时,求球的表面积与该圆柱的侧面 积之差是( ) A. 50? B. 25? C. 100? D. 75? 2 【答案】A 11.对于一个底边在 x 轴上的三角形,采用斜二测画法作出其直观图, 45 其直观图面积是原三角形面积的( ) 0 3 2 2 1 A. 2 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍 2 4 2 【答案】C 12.如图,在长方形 ABCD 中,AB= 3 ,BC=1,E 为线段 DC 上一动点,现将 ? AED 沿 AE 折起, 使点 D 在面 ABC 上的射影 K 在直线 AE 上,当 E 从 D 运动到 C,则 K 所形成轨迹的长度为( )

第 12 题 A.

3 2

B.

2 3 3

C.

? 2

D.

? 3

【答案】D 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. ) 13.三棱锥 P-ABC 中,PA⊥底面 ABC,PA=3,底面 ABC 是边长为 2 的正三角形,则三棱锥 P-ABC 的体积等于______.

【答案】 3
-8-

14. 一个空间几何体的三视图如右图所示, 则该几何体的表面积为 .

50 ? 50 3
15.如图,在三棱柱 A1 B1C1 ? ABC 中, D,E,F 分别是

C1

B1 A1

AB,AC,AA1 的中点,设三棱锥 F ? ADE 的体积为 V1 ,
三棱柱 A1 B1C1 ? ABC 的体积为 V 2 , 则 V1 :V2 ? ____________. 【答案】 1: 24

F E

C

B D

A

16.如图,正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 1,P 为 BC 的中点,Q 为线段 CC1 上的动点,过点 A,P,Q 的平面截该正方体所得的截面记为 S.则下列命题正确的是____(写出所有正确命题 的编号).

1 1 3 时,S 为四边形;②当 CQ ? 时,S 为等腰梯形;③当 CQ ? 时,S 与 C1 D1 的 2 2 4 1 3 交点 R 满足 C1 R1 ? ;④当 ? CQ ? 1 时,S 为六边形; 3 4
①当 0 ? CQ ? ⑤当 CQ ? 1 时,S 的面积为 【答案】①②③⑤

6 . 2
1 ,S 等腰梯形,②正确,图如下: 2

【解析】 (1) CQ ?

-9-

(2) CQ ? 1 ,S 是菱形,面积为 2 ?

3 6 ? ,⑤正确,图如下: 2 2

(3) CQ ?

3 1 ,画图如下: C1 R ? ,③正确 4 3

(4)

3 ? CQ ? 1 ,如图是五边形,④不正确; 4

- 10 -

(5) 0 ? CQ ?

1 ,如下图,是四边形,故①正确 2

【考点定位】考查立体几何中关于切割的问题,以及如何确定平面。 三. 解答题(本大题共 6 小题,共 70 分;解答写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, 平面 PAD⊥平面 ABCD, AB=AD, BAD=60°,E、F 分别是 AP、AD 的中点 求证: (1)直线 EF∥平面 PCD; (2)平面 BEF⊥平面 PAD ∠

证明: (1)在△PAD 中,因为 E、F 分别为 AP,AD 的中点,所以 EF//PD.

又因为 EF ? 平面 PCD,PD ? 平面 PCD, 所以直线 EF//平面 PCD. (2)连结 DB,因为 AB=AD,∠BAD=60°, 所以△ABD 为正三角形,因为 F 是 AD 的 中点,所以 BF⊥AD.因为平面 PAD⊥平面

- 11 -

ABCD,BF ? 平面 ABCD,平面 PAD ? 平面 ABCD=AD,所以 BF⊥平面 PAD。又因为 BF ? 平面 BEF, 所以平面 BEF⊥平面 PAD.

18. 如 图 , 在 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , PA ? 平 面 A B C D 底 面 ABCD 是 菱 形 , ,

AB ? 2, ?BAD ? 60? .
(1)求证: BD ? 平面 PAC; (2)若 PA ? AB, 求 PB 与 AC 所成角的余弦值; 证明: (Ⅰ)因为四边形 ABCD 是菱形, 所以 AC⊥BD. 又因为 PA⊥平面 ABCD. 所以 PA⊥BD. 所以 BD⊥平面 PAC. (Ⅱ)设 AC∩BD=O. 因为∠BAD=60°,PA=PB=2, 所以 BO=1,AO=CO= 3 . 如图,以 O 为坐标原点,建立空间直角坐标系 O—xyz,则 P(0,— 3 ,2) ,A(0,— 3 ,0) ,B(1,0,0) ,C(0, 3 ,0). 所以 PB ? (1, 3 ,?2), AC ? (0,2 3 ,0). 设 PB 与 AC 所成角为 ? ,则

cos?

PB ? AC | PB | ?| AC |

?

6 2 2?2 3

?

6 4

.

(18 题图) 19、如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=2,AD=1,A1A=1,证明:直线 BC1 平行于平面 D1AC,并求直 线 BC1 到平面 D1AC 的距离.

- 12 -

D A D1 B

C

C1 B1

A1

因为 ABCD-A1B1C1D1 为长方体,故 AB // C1D1 , AB ? C1D1 , 故 ABC1D1 为平行四边形,故 BC1 // AD1 ,显然 B 不在平面 D1AC 上,于是直线 BC1 平行于平面 DA1C; 直线 BC1 到平面 D1AC 的距离即为点 B 到平面 D1AC 的距离设为 h

1 1 1 ? ( ?1? 2) ?1 ? 3 2 3 3 而 ?AD1C 中, AC ? D1C ? 5, AD1 ? 2 ,故 S?AD1C ? 2 1 3 1 2 2 所以, V ? ? ? h ? ? h ? ,即直线 BC1 到平面 D1AC 的距离为 . 3 2 3 3 3
考虑三棱锥 ABCD1 的体积,以 ABC 为底面,可得 V ? 20、如图,AB 是圆的直径,PA 垂直圆所在的平面,C 是圆上的点. (1)求证: 平面PAC ? 平面PBC; (2)若 AB=2,AC=1,PA=1,求证:二面角 C-PB-A 的余弦值。

- 13 -

21. 如下图,四棱锥 P ? ABCD 中,侧面 PDC 是边长为 2 的正三角形,且与底面垂直,底 面 ABCD 是 ?ADC ? 60? 的菱形,M 为 PB 的中点。 (1)求 PA 与底面 ABCD 所成角的大小; P (2)求证: PA ? 平面 CDM
- 14 -

.M D C

(1)45

0

(2)延展平面 CDM 交 PA 于 N,则 N 为 PA 的中点

PA ? DN , PA ? CD (CD ? 平面 PAO)O 为 CD 中点

22.如图,在在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥ABCD,AB=BC=2,AD=CD= 7,PA= 3,∠ABC=120°, G 为线段 PC 上的点. (1)证明:BD⊥面 PAC ; PG (2)若 G 满足 PC⊥面 BGD,求 的值. GC

【 答 案 】 解 : 证 明 :(Ⅰ) 由 已 知 得 三 角 形

ABC 是 等 腰 三 角 形 , 且 底 角 等 于

30°, 且

AB ? CB ? ? AD ? CD ? ? ?ABD ? ?CBD ? ?ABD ? ?CBD ? 60? 且?BAC ? 30? BD ? DB ? ?
以;、 BD ?

, 所

AC ,又因为

PA ? ABCD ? BD ? PA? ? ? BD ? PAC ; BD ? AC ?
PC ? PA2 ? AC 2 ? 3 ? 12 ? 15
, 因 为

(Ⅲ) 由 已 知 得 到 :

- 15 -

PC ? BGD ? PC ? GD
中, PD ?

,



?PDC

3 ? 7 ? 10, CD ? 7, PC ? 15 ,设
3 2 PG 3 15, GC ? 15 ? ? 5 5 GC 2

PG ? x ? CG ? 15 ? x ?10 ? x 2 ? 7 ? ( 15 ? x) 2 ? PG ? x ?

- 16 -

21. 如下图,四棱锥 P ? ABCD 中,侧面 PDC 是边长为 2 的正三角形,且与底面垂直,底 面 ABCD 是 ?ADC ? 60? 的菱形,M 为 PB 的中点。 (1)求 PA 与底面 ABCD 所成角的大小; P (2)求证: PA ? 平面 CDM
- 17 -

.M D C

(1)45

0

(2)延展平面 CDM 交 PA 于 N,则 N 为 PA 的中点

PA ? DN , PA ? CD (CD ? 平面 PAO)O 为 CD 中点

22.如图,在在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥ABCD,AB=BC=2,AD=CD= 7,PA= 3,∠ABC=120°, G 为线段 PC 上的点. (1)证明:BD⊥面 PAC ; PG (2)若 G 满足 PC⊥面 BGD,求 的值. GC

【 答 案 】 解 : 证 明 :(Ⅰ) 由 已 知 得 三 角 形

ABC 是 等 腰 三 角 形 , 且 底 角 等 于

30°, 且

AB ? CB ? ? AD ? CD ? ? ?ABD ? ?CBD ? ?ABD ? ?CBD ? 60? 且?BAC ? 30? BD ? DB ? ?
以;、 BD ?

, 所

AC ,又因为

PA ? ABCD ? BD ? PA? ? ? BD ? PAC ; BD ? AC ?
PC ? PA2 ? AC 2 ? 3 ? 12 ? 15
, 因 为

(Ⅲ) 由 已 知 得 到 :

- 18 -

PC ? BGD ? PC ? GD
中, PD ?

,



?PDC

3 ? 7 ? 10, CD ? 7, PC ? 15 ,设
3 2 PG 3 15, GC ? 15 ? ? 5 5 GC 2

PG ? x ? CG ? 15 ? x ?10 ? x 2 ? 7 ? ( 15 ? x) 2 ? PG ? x ?

- 19 -


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