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第一讲2011届高中数学立体几何复习6:空间向量的坐标运算(学生)


高中数学立体几何复习 6:空间向量的坐标运算
高考要求 要使学生理解空间向量、空间点的坐标的意义,掌握向量加法、减法、数乘、点乘的坐标表示以及两点间的距 离、夹角公式通过解题,会应用空间向量的坐标运算解决立体几何中有关平行、垂直、夹角、距离等问题 知识点归纳 1 空间直角坐标系: (1)若空间的一个基底的三个基向量互相垂直,且长为1 ,这个基底叫单位正交基底,用 {i, j, k} 表示; (2) 在空间选定一点 O 和一个单位正交基底 {i, j, k} , 以点 O 为原点, 分别以 i, j , k 的方向为正方向建立三条数轴:

?? ?

?? ?

?? ?

?? ? x 轴、 y 轴、 z 轴,它们都叫坐标轴.我们称建立了一个空间直角坐标系 O ? xyz ,点 O 叫原点,向量 i, j , k 都叫 坐标向量.通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面,分别称为 xOy 平面, yOz 平面, zOx 平面;
2.空间直角坐标系中的坐标: 在空间直角坐标系 O ? xyz 中,对空间任一点 A ,存在唯一的有序实数组 ( x, y, z ) ,使 OA ? xi ? yj ? zk ,有 序实数组 ( x, y, z ) 叫作向量 A 在空间直角坐标系 O ? xyz 中的坐标,记作 A( x, y, z ) , x 叫横坐标, y 叫纵坐标, z 叫竖坐标. 3.空间向量的直角坐标运算律: (1)若 a ? (a1, a2 , a3 ) , b ? (b1, b2 , b3 ) , 则 a ? b ? (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ,

??? ?

?

?

?

?

? ?

? ? a ? b ? (a1 ? b1, a2 ? b2 , a3 ? b3 ) , ? ? a ? (?a1, ?a2 , ?a3 )(? ? R) , ? ? ? ? a ? b ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 , a // b ? a1 ? ?b1, a2 ? ?b2 , a3 ? ?b3 (? ? R) , ? ? a ? b ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? 0 . ??? ? (2)若 A( x1, y1, z1 ) , B( x2 , y2 , z2 ) ,则 AB ? ( x2 ? x1, y2 ? y1, z2 ? z1 ) .
一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 4 模长公式:若 a ? (a1 , a2 , a3 ) , b ? (b1, b2 , b3 ) , 则 | a |?

?

?

? ? ? ? ? 2 2 2 a ? a ? a12 ? a2 2 ? a32 , | b |? b ? b ? b1 ? b2 ? b3 . ? ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 a ?b ? ? ? ? 5.夹角公式: cos a ? b ? ? . | a |?|b | a12 ? a2 2 ? a32 b12 ? b2 2 ? b32
?
6.两点间的距离公式:若 A( x1 , y1 , z1 ) , B( x2 , y2 , z2 ) , 则 | AB |? 或 d A, B ? 题型讲解

??? ?

??? ?2 AB ? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2 ? ( z2 ? z1 )2 ,

( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 ? ( z2 ? z1 ) 2
??? ?

例 1 已知 AB =(2,2,1) , AC =(4,5,3) ,求平面 ABC 的单位法向量

????

1

例 2 已知 A(3,2,1) 、B(1,0,4) ,求: (1)线段 AB 的中点坐标和长度; (2)到 A、B 两点距离相等的点 P(x,y,z)的坐标满足的条件

例 3 棱长为 a 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,在棱 DD1 上是否存在点 P 使 B1D⊥面 PAC?

z
D1 A1 B1 P D C B C1

y

x

A

例 4 在三棱锥 S—ABC 中,∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°,AC=2,BC= 13 ,SB= 29 (1)求证:SC⊥BC; (2)求 SC 与 AB 所成角的余弦值

S

A
D

B C

2

例 5 如图,直棱柱 ABC—A1B1C1 的底面△ABC 中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱 AA1=2,M、N 分别是 A1B1、 A1A 的中点

???? ???? (2)求 cos〈 BA1 , CB1 〉的值;
(3)求证:A1B⊥C1M

(1)求 BN 的长;

????

z
C1 A1 N C B
M

B1

y

x

A

例 6 如图,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F 分别是 BB1、CD 的中点 (1)证明 AD⊥D1F; (2)求 AE 与 D1F 所成的角; (3)证明面 AED⊥面 A1D1F

z
D1 A1 D B1 E F B C C1

y

x

A

3

例7 如图,正三棱柱 ABC-A1B1C1 的底边长为 a,侧棱长为 2 a 建立适当的坐标系,⑴写出 A,B,A1,B1 的坐标;⑵求 AC1 与侧面 ABB1A1 所成的角 分析:(1)所谓“建立适当的坐标系”,一般应使尽量多的点在数轴上或便于计算,(2)首先要找出所求 的角,或找出平面的法向量与直线所成的角,然后再求之

z
A1
M

C1 B1 C

x

A

B

y

例 8 棱长为 2 的正方体 A1B1C1D1-ABCD 中, E、 F 分别是 C1C 和 D1A1 的中点, (1) 求 EF 长度; (2) 求< AB, EF >; 3)求点 A 到 EF 的距离

??? ? ??? ?

z
A1 D1 F C1 B1 E D C B

y

x

A

4

例 9 平面 ABCD⊥平面 ABEF,ABCD 是正方形,ABEF 是矩形,且 AF ? (1)求证平面 AGC⊥平面 BGC; (2)求 GB 与平面 AGC 所成角正弦值; (3)求二面角 B—AC—G 的大小

1 AD ? a, G 是 EF 的中点, 2

z
D

C

A F

B G E

y

x

小结: 1 运用空间向量的坐标运算解决几何问题时,首先要恰当建立空间直角坐标系,计算出相关点的坐标,进而写 出向量的坐标,再结合公式进行论证、计算,最后转化为几何结论 2 本节知识是代数化方法研究几何问题的基础,向量运算分为向量法与坐标法两类,以通过向量运算推理,去 研究几何元素的位置关系为重点利用两个向量(非零)垂直 ? 数量积为零,可证明空间直线垂直;利用数量积可 计算两异面直线的夹角,可求线段的长度;运用共面向量定理可证点共面、线面平行等;利用向量的射影、平面的 法向量,可求点面距、线面角、异面直线的距离等

5

学生练习

1 若 a =(2x,1,3) , b =(1,-2y,9) ,如果 a 与 b 为共线向量,则 Ax=1,y=1 Bx=

?

?

?

?

1 1 ,y=- 2 2

Cx=

1 3 ,y=- 6 2

Dx=-

1 3 ,y= 6 2

2 在空间直角坐标系中,已知点 P(x,y,z) ,下列叙述中正确的个数是①点 P 关于 x 轴对称点的坐标是 P1(x, -y,z) ②点 P 关于 yOz 平面对称点的坐标是 P2(x,-y,-z) ③点 P 关于 y 轴对称点的坐标是 P3(x,-y, z) ④点 P 关于原点对称的点的坐标是 P4(-x,-y,-z) A3 B2 C1 D0

3 已知向量 a =(1,1,0) , b =(-1,0,2) ,且 k a + b 与 2 a - b 互相垂直,则 k 值是 A1 B

?

?

?

?

?

?

1 5

C

3 5

D

7 5

4 设 OABC 是四面体,G1 是△ABC 的重心,G 是 OG1 上一点,且 OG=3GG1,若 OG =x OA +y OB +z OC ,则 (x,y,z)为

????

??? ?

??? ?

????

1 1 1 , , ) 4 4 4 1 1 1 C( , , ) 3 3 3
A( 为 Aarccos

3 3 3 , , ) 4 4 4 2 2 2 D( , , ) 3 3 3
B(

5 在棱长为 1 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M、N 分别为 A1B1 和 BB1 的中点,那么直线 AM 与 CN 所成的角

3 2

Barccos

10 10

Carccos

3 5

Darccos

2 5

6 已知空间三点 A(1,1,1) 、B(-1,0,4) 、C(2,-2,3) ,则 AB 与 CA 的夹角θ 的大小是_________

??? ?

??? ?

7 已知点 A(1,2,1) 、B(-1,3,4) 、D(1,1,1) ,若 AP =2 PB ,则| PD |的值是__________

??? ?

??? ?

??? ?

8 设点 C(2a+1,a+1,2)在点 P(2,0,0) 、A(1,-3,2) 、B(8,-1,4)确定的平面上,求 a 的值

9 已知正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 2,P、Q 分别是 BC、CD 上的动点,且|PQ|= 2 ,建立坐标系,把 D 点视作原点 O,分别沿 DA 、 DC 、 DD1 方向为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向, (1)确定 P、Q 的位置,使得 B1Q⊥D1P;

??? ?

????

???? ?

6

10 已知三角形的顶点是 A(1,-1,1) ,B(2,1,-1) ,C(-1,-1,-2)试求这个三角形的面积

z
B A

O

x

C

y

7


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