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2014届高三数学辅导精讲精练29


2014 届高三数学辅导精讲精练 29
1.若 a+b+c=0,则 a、b、c A.都是非零向量时也可能无法构成一个三角形 B.一定不可能构成三角形 C.都是非零向量时能构成三角形 D.一定可构成三角形 答案 解析 A 易知 A 正确. ) ( )

2. a 是任一向量, 是单位向量, a∥e, 设 e 且 则下列表示形式中正确的是( a A.e=|a| C.a=-|a|e 答案 解析 D a 对于 A,当 a=0 时,|a|没有意义,错误; B.a=|a|e D.a=± |a|e

对于 B、C、D 当 a=0 时,选项 B、C、D 都对; 当 a≠0 时,由 a∥e 可知,a 与 e 同向或反向,选 D. 3.若 A、B、C、D 是平面内任意四点,给出下列式子: → → → → → → → → → → → → ①AB+CD=BC+DA;②AC+BD=BC+AD;③AC-BD=DC+AB.其中正 确的有 A.0 个 C.2 个 答案 解析 C → → → → → → → → → ②AC-BC=AD-BD?AC+CB=AB=AD+DB,正确; B.1 个 D.3 个 ( )

→ → → → → → ③AC-AB=BD+DC?BC=BC.正确. 故 C 选项正确. → → → 4.设 P 是△ABC 所在平面内的一点,BC+BA=2BP,则 → → A.PA+PB=0 → → B.PC+PA=0 ( )

→ → C.PB+PC=0 答案 解析 B 画图可知 B 正确.

→ → → D.PA+PB+PC=0

→ → 5.已知 O、A、B 是平面上的三个点,直线 AB 上有一点 C,满足 2AC+CB → =0,则OC= → → A.2OA-OB 2→ 1→ C.3OA-3OB 答案 解析 A → → → → → → AC=OC-OA,CB=OB-OC. → → B.-OA+2OB 1→ 2→ D.-3OA+3OB ( )

→ → ∵2AC+CB=0, → → → → ∴2OC-2OA+OB-OC=0. → → → ∴OC=2OA-OB.故 A 正确. → → → 1→ → 6.在△ABC 中,已知 D 是 AB 边上一点,若AD=2DB,CD=3CA+λCB, 则 λ 等于 2 A.3 1 C.-3 答案 解析 A → → → → → → → → ∵AD=CD-CA,DB=CB-CD,AD=2DB, 1 B.3 2 D.-3 ( )

→ → → → → 1→ 2→ ∴CD-CA=2CB-2CD,CD=3CA+3CB. 2 ∴λ=3,故 A 正确. → 4→ → → → → 7.如图所示,已知AP=3AB,用OA、OB表示OP,则OP等于 ( )

1→ 4→ A.-3OA+3OB 1→ 4→ C.3OA-3OB 答案 解析 A

1→ 4→ B.3OA+3OB 1→ 4→ D.-3OA-3OB

→ → → → 4→ → 4 → → 1→ 4→ OP=OA+AP=OA+3AB=OA+3(OB-OA)=-3OA+3OB.

→ 2→ 1→ 8.在△ABC 中,点 P 是 AB 上一点,且CP=3CA+3CB,Q 是 BC 的中点, → → AQ 与 CP 的交点为 M,又CM=tCP,则 t= ( )

1 A.2 3 C.4 答案 解析 C

2 B.3 4 D.5

→ 2→ 1→ → → → → 2 → ∵CP=3CA+3CB, 为 BC 中点, Q ∴CB=2CQ.∴CM=tCP=3tCA+

1 → 2 → 2 → 3tCB=3tCQ+3tCA. 2 2 3 ∵A、M、Q 三点共线,∴3t+3t=1,∴t=4.故 C 正确. → → → 9.设 a、b 为不共线的非零向量,AB=2a+3b,BC=-8a-2b,CD=-6a -4b,那么 → → → → A.AD与BC同向,且|AD|>|BC| → → → → B.AD与BC同向,且|AD|<|BC| → → → → C.AD与BC反向,且|AD|>|BC| ( )

→ → D.AD∥BD 答案 解析 A → → → → AD=AB+BC+CD=2a+3b+(-8a-2b)+(-6a-4b)=-12a-3b,

→ BC=-8a-2b, → 3→ ∴AD=2BC. → → → 3→ ∴AD与BC同向,且|AD|=2|BC|. → → ∴|AD|>|BC|.故选 A. → → → → 10. 已知 P, B, 是平面内四点, A, C 且PA+PB+PC=AC, 那么一定有( → → A.PB=2CP → → C.AP=2PB 答案 解析 D → → → → → → → → 由题意得PA+PB+PC=PC-PA,即PB=-2PA=2AP,选 D. → → D.PB=2AP → → B.CP=2PB )

→ → → 11.在四边形 ABCD 中,AB=a+2b,BC=-4a-b,CD=-5a-3b,则四 边形 ABCD 的形状是 A.矩形 C.梯形 答案 解析 C → → → → 由已知AD=AB+BC+CD=-8a-2b B.平行四边形 D.以上都不对 ( )

→ =2(-4a-b)=2BC. → → → → ∴AD∥BC,又AB与CD不平行,∴四边形 ABCD 是梯形. 12.已知四边形 ABCD 是菱形,点 P 在对角线 AC 上(不包括端点 A,C)的 → → → 充要条件是AP=λ(AB+AD),则 λ 的取值范围是 A.λ∈(0,1) B.λ∈(-1,0) ( )

2 C.λ∈(0, 2 ) 答案 A

2 D.λ∈(- 2 ,0)

解析

如图,∵点 P 在对角线 AC 上(不包括端点 A,C),

→ → → → → → ∴AP=λAC=λ(AB+AD),由AP与AC同向知,λ>0. → → 又|AP|<|AC|, → |AP| ∴ =λ<1,∴λ∈(0,1).反之亦然. → |AC| → → → 13.已知 O 为△ABC 内一点,且OA+OC+2OB=0,则△AOC 与△ABC 的 面积之比是________. 答案 解析 1?2

如图,取 AC 中点 D. → → → ∴OA+OC=2OD. → → ∴OD=BO. ∴O 为 BD 中点,∴面积比为高之比. → → 14.已知 a,b 是不共线的向量,若AB=λ1a+b,AC=a+λ2b(λ1,λ2∈R), 则 A、B、C 三点共线的充要条件为________. 答案 解析 λ1λ2-1=0 → → A、B、C 三点共线?AB∥AC?λ1λ2-1×1=0?λ1λ2=1.

→ → → → → 15.已知△ABC 中,点 D 在 BC 边上,且CD=2DB,CD=rAB+sAC,则 r +s 的值是________.

答案 解析

0

→ → → → → → CD=AD-AC,DB=AB-AD. → → → → → 1→ → ∴CD=AB-DB-AC=AB-2CD-AC. 3→ → → ∴2CD=AB-AC. → 2→ 2→ ∴CD=3AB-3AC. → → → 2 2 又CD=rAB+sAC,∴r=3,s=-3. ∴r+s=0. → 16.已知任意四边形 ABCD 中,E、F 分别是 AD、BC 的中点,求证:EF= 1 → → 2(AB+DC). 答案 略

证明 0.

→ → → → 如图所示,∵E、F 是 AD 与 BC 的中点,∴EA+ED=0,FB+FC=

→ → → → 又∵AB+BF+FE+EA=0, → → → → ∴EF=AB+BF+EA.① 同理 → → → → EF=ED+DC+CF.②

→ → → → → → → → → 由①+②,得 2EF=AB+DC+(EA+ED)+(BF+CF)=AB+DC.

→ 1 → → ∴EF=2(AB+DC). 17.已知点 G 是△ABO 的重心,M 是 AB 边的中点. → → → (1)求GA+GB+GO; → → → → (2)若 PQ 过△ABO 的重心 G,且OA=a,OB=b,OP=ma,OQ=nb,求证: 1 1 m+n=3. 答案 解析 (1)0 (1)解 (2)略 → → → → → ∵GA+GB=2GM,又 2GM=-GO,

→ → → → → ∴GA+GB+GO=-GO+GO=0. (2)证明 → 1 显然OM=2(a+b).

因为 G 是△ABO 的重心, → 2→ 1 所以OG=3OM=3(a+b). → → 由 P、G、Q 三点共线,得PG∥GQ. → → 所以,有且只有一个实数 λ,使PG=λGQ. → → → 1 1 1 而PG=OG-OP=3(a+b)-ma=(3-m)a+3b, → → → 1 1 1 GQ=OQ-OG=nb-3(a+b)=-3a+(n-3)b, 1 1 1 1 所以(3-m)a+3b=λ[-3a+(n-3)b]. 又因为 a、b 不共线,

?1-m=-1λ, ?3 3 所以? 1 1 ?3=λ?n-3?, ?
1 1 故m+n=3.

消去 λ,整理得 3mn=m+n.

→ 1.如图所示,D 是△ABC 的边 AB 上的中点,则向量CD等于

(

)

→ 1→ A.-BC+2BA → 1→ C.BC- BA 2 答案 解析 A

→ 1→ B.-BC-2BA → 1→ D.BC+ BA 2

→ 1→ ∵D 是 AB 的中点,∴BD=2BA.

→ → → → 1→ ∴CD=CB+BD=-BC+2BA. → 2.(2011· 上海文)设 A1,A2,A3,A4 是平面上给定的 4 个不同点,则使MA1+ → → → MA2+MA3+MA4=0 成立的点 M 的个数为 A.0 C.2 答案 B ) B.1 D.4 ( )

→ → → → → 3.在△ABC 中,AB=c,AC=b,若点 D 满足BD=2DC,则AD=( 2 1 A.3b+3c 2 1 C.3b-3c 答案 解析 A 5 2 B.3c-3b 1 2 D.3b+3c

→ → → 2→ → → 2 → → 由BD=2DC, 知BD=3BC.又∵BC=b-c, ∴BD=3(b-c), ∴AD=AB

→ 2 2 1 +BD=c+3(b-c)=3b+3c. → → → 4.已知向量 a,b,且AB=a+2b,BC=-5a+6b,CD=7a-2b,则一定

共线的三点是 A.A、B、D C.B、C、D 答案 解析 A → → → BD=BC+CD=(-5a+6b)+(7a-2b) B.A、B、C D.A、C、D

(

)

→ =2a+4b=2(a+2b)=2AB, → → ∴BD与AB共线.又∵有公共点 B,∴A、B、D 三点共线. → → → 5.(2011· 四川理)如图,正六边形 ABCDEF 中,BA+CD+EF= ( )

A.0 → C.AD 答案 解析 D

→ B.BE → D.CF

→ → → → → → → → → 由于BA=DE,故BA+CD+EF=CD+DE+EF=CF.

→ → → → → 6. e 是与向量AB共线的单位向量, =3e, 设 AB 又向量BC=-5e, 若AB=λAC, 则 λ=________. 答案 解析 3 -2 → → → AC=AB+BC=3e-5e=-2e.

→ → 3 由AB=λ· ,得 3e=λ· AC (-2)· e,∴λ=-2. → → → → → 7.在△ABC 中,点 D 满足AD=3DC,BD=λBA+μBC,则 λμ=________. 答案 解析 3 16 → → → → → → AD=BD-BA,DC=BC-BD.

→ → → → → → → → → → 3→ 1→ ∵AD=3DC,∴BD-BA=3BC-3BD,∴4BD=3BC+BA,BD=4BC+4BA,∴ 1 3 3 λ=4,μ=4,故 λμ=16.


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