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2016年高考理科数学新课标I试卷及其解析


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绝密★启封并使用完毕前 试题类型:A

2016 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学
注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷 1 至 3 页, 第Ⅱ卷 3 至 5 页. 2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效. 4.考试结束后,将本试题和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷
一. 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
(1)设集合 A ? {x | x ? 4x ? 3 ? 0} , B ? {x | 2 x ? 3 ? 0} ,则 A ? B ?
2

(A) ( ?3, ? )

3 2

(B) ( ?3, )

3 2

(C) (1, )

3 2

(D) ( ,3)

3 2

(2)设 (1 ? i) x ? 1 ? yi ,其中 x,y 是实数,则 x ? yi = (A)1 (B) 2 (C) 3 (D)2

(3)已知等差数列 {an } 前 9 项的和为 27, a10 =8 ,则 a100 = (A)100 (B)99 (C)98 (D)97

(4) 某公司的班车在 7:00, 8:00, 8:30 发车, 小明在 7:50 至 8:30 之间到达发车站乘坐班车, 且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过 10 分钟的概率是
(A)

1 3

(B)

1 2

(C)

2 3

(D)

3 4

2

(5)已知方程 取值范围是

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为 4,则 n 的 m2 ? n 3m2 ? n
(B)(–1, 3) (C)(0,3) (D)(0, 3)

(A)(–1,3)

(6)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆 中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是 面积是( ) (A)17π (C)20π

28? , 则它的表 3

(B)18π (D)28π

(7)函数 y ? 2 x 2 ? e| x| 在[–2,2]的图像大致为

(A)

(B)

(C)

(D)

0 ? c ? 1 ,则 (8)若 a ? b ? 1,
c c (A) a ? b c c (B) ab ? ba

(C) a logb c ? b loga c (9)执行右面的程序图,如果输入的

(D) loga c ? logb c

x ? 0,y ? 1,n ? 1 ,则输出 x,y 的值满
(A) y ? 2 x (C) y ? 4 x (B) y ? 3x (D) y ? 5 x

3

(10) 以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A、B 两点,交 C 的准线于 D、E 两点.已知 |AB|= 4 2 ,|DE|= 2 5 ,则 C 的焦点到准线的距离为 (A)2 (C)6 (B)4 (D)8

(11)平面 a 过正方体 ABCD-A1B1C1D1 的顶点 A,a//平面 CB1D1, a ?平面 ABCD=m, a ? 平 面 ABA1B1=n,则 m、n 所成角的正弦值为 (A)

3 2

(B)

2 2

(C)

3 3

(D)

1 3

n x+ ( ? 12. 已 知 函 数 f ( x )? s i ?

?)? ( , ?0 ?

?
2

x ?)? ,

?
4

为 f ( x) 的 零 点 , x ?

?
4



? ? 5? ? y ? f ( x) 图像的对称轴,且 f ( x) 在 ? , ? 单调,则 ? 的最大值为 ? 18 36 ?
(A)11 (B)9 (C)7 (D)5

第 II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题,每个试 题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共 3 小题,每小题 5 分
(13)设向量 a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则 m=_________。 (14) (2 x ? (用数字填写答案) x )5 的展开式中,x3 的系数是_________。 满足 a1+a3=10,a2+a4=5,则 a1a2…an 的最大值为___________。

(15)设等比数列

(16)某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料。生产一件产品 A 需要 甲材料 1.5kg,乙材料 1kg,用 5 个工时;生产一件产品 B 需要甲材料 0.5kg,乙材料 0.3kg, 用 3 个工时,生产一件产品 A 的利润为 2100 元,生产一件产品 B 的利润为 900 元。该企业 现有甲材料 150kg,乙材料 90kg,则在不超过 600 个工时的条件下,生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为_________元。

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
(17) (本题满分为 12 分)

?ABC 的内角 A,B,C 的对边分别别为 a,b,c,已知 2cos C (a cos B+b cos A) ? c.
(I)求 C;

4

(II)若 c ? 7,? ABC 的面积为

3 3 ,求 ?ABC 的周长. 2

(18) (本题满分为 12 分) 如图,在以 A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中,面 ABEF 为正方形,AF=2FD, 且二面角 D-AF-E 与二面角 C-BE-F 都 ?AFD ? 90? , 是 60? . (I)证明平面 ABEF ? EFDC; (II)求二面角 E-BC-A 的余弦值.

(19) (本小题满分 12 分) 某公司计划购买 2 台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进 机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个 200 元.在机器使用期间, 如果备件不足再购买, 则每个 500 元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件, 为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更 换的易损零件数,得下面柱状图: 以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机 器更换的易损零件数发生的概率,记 X 表示 2 台机器 三年内共需更换的易损零件数, n 表示购买 2 台机器 的同时购买的易损零件数. (I)求 X 的分布列; (II)若要求 P( X ? n) ? 0.5 ,确定 n 的最小值; (III)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在 n ? 19 与 n ? 20 之中选其一,应 选用哪个?

20(本小题满分 12 分) 设圆 x ? y ? 2x ?15 ? 0 的圆心为 A,直线 l 过点 B(1,0)且与 x 轴不重合,l 交圆 A
2 2

于 C,D 两点,过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E. (I)证明 EA ? EB 为定值,并写出点 E 的轨迹方程; (II)设点 E 的轨迹为曲线 C1,直线 l 交 C1 于 M,N 两点,过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交 于 P,Q 两点,求四边形 MPNQ 面积的取值范围.

(21) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ( x ? 2)e ? a( x ? 1) 有两个零点.
x 2

5

(I) 求 a 的取值范围; (II) 设 x1 , x 2 是 f ( x) 的两个零点,证明: x1 ? x2 ? 2

请考生在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分 , 做答时请写清题号
(22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, △OAB 是等腰三角形, ∠AOB=120°.以⊙O 为 圆心, OA 为半径作圆. (I)证明:直线 AB 与 O 相切; (II)点 C,D 在⊙O 上,且 A,B,C,D 四点共圆,证明:AB ∥CD.

(23) (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在直线坐标系 xoy 中,曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? a cost (t 为参数,a>0) ? y ? 1 ? a sin t

。在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2: ? ? 4 cos? (I)说明 C1 是哪种曲线,并将 C1 的方程化为极坐标方程; (II)直线 C3 的极坐标方程为 ? ? ? 0 ,其中 ? 0 满足 tan? 0 ? 2 ,若曲线 C1 与 C2 的公共点 都在 C3 上,求 a

(24) (本小题满分 10 分) ,选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? 1 | ? | 2 x ? 3 | (I)在答题卡第(24)题图中画出 y ? f ( x) 的图像; (II)求不等式 | f ( x) |? 1 的解集。

6

2016 年新课标 I 高考数学(理科)答案与解析
(答案仅供参考)
? 1. A ? x x2 ? 4 x ? 3 ? 0 ? ?x 1 ? x ? 3? , B ? ? x 2 x ? 3 ? 0? ? ? x x ? ? ? 3 ? 故 A ? B ? ? x ? x ? 3? . ? 2 ?

?

?

3? ?. 2?

故选 D.

?x ? 1 ?x ? 1 2. 由 ?1 ? i ? x ? 1 ? yi 可知: x ? xi ? 1 ? yi ,故 ? ,解得: ? . ?y ?1 ?x ? y

所以, x ? yi ? x2 ? y2 ? 2 . 故选 B.
9 ? a1 ? a9 ? 2 9 ? 2a5 ? 9a5 ? 27 ,故 a5 ? 3 , 2

3. 由等差数列性质可知: S9 ? 而 a10 ? 8 ,因此公差 d ? ∴ a100 ? a10 ? 90d ? 98 . 故选 C. 4. 如图所示,画出时间轴:

?

a10 ? a5 ?1 10 ? 5

7:30

7:40

7:50 A

8:00 C

8:10

8:20 D

8:30 B

小明到达的时间会随机的落在图中线段 AB 中,而当他的到达时间落在线段 AC 或 DB 时,才能保证他等车的时间不超过 10 分钟 根据几何概型,所求概率 P ? 故选 B.
x2 y2 ? ? 1 表示双曲线,则 m2 ? n 3m2 ? n ? 0 2 2 m ? n 3m ? n ∴ ?m2 ? n ? 3m2

10 ? 10 1 ? . 40 2

5.

?

??

?

7

由双曲线性质知: c2 ? m2 ? n ? 3m2 ? n ? 4m2 ,其中 c 是半焦距 ∴焦距 2c ? 2 ? 2 m ? 4 ,解得 m ? 1 ∴ ?1 ? n ? 3 故选 A. 6. 原立体图如图所示:

?

? ?

?

1 是一个球被切掉左上角的 后的三视图 8 7 表面积是 的球面面积和三个扇形面积之和 8 7 1 S = ? 4? ? 22 +3 ? ? ? 22 =17? 8 4 故选 A.
7. f ? 2? ? 8 ? e2 ? 8 ? 2.82 ? 0 ,排除 A

f ? 2? ? 8 ? e2 ? 8 ? 2.72 ? 1 ,排除 B
x ? 0 时, f ? x ? ? 2x2 ? e x

1 ? 1? f ? ? x ? ? 4x ? e x ,当 x ? ? 0, ? 时, f ? ? x ? ? ? 4 ? e0 ? 0 4 ? 4?
? 1? 因此 f ? x ? 在 ? 0, ? 单调递减,排除 C ? 4?

故选 D.

8. 对 A: 由于 0 ? c ? 1 ,∴函数 y ? x c 在 R 上单调递增,因此 a ? b ? 1 ? ac ? bc ,A 错误 对 B: 由于 ?1 ? c ? 1 ? 0 ,∴函数 y ? xc ?1 在 ?1, ?? ? 上单调递减, ∴ a ? b ? 1 ? ac ?1 ? bc ?1 ? bac ? abc ,B 错误

8

对 C: 要比较 a logb c 和 b log a c ,只需比较 需 b ln b 和 a ln a

a ln c b ln c ln c ln c 和 ,只需比较 和 ,只 ln a b ln b a ln a ln b

构造函数 f ? x ? ? x ln x ? x ? 1? ,则 f ' ? x? ? ln x ? 1 ? 1 ? 0 , f ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调 递增,因此 f ? a ? ? f ? b ? ? 0 ? a ln a ? b ln b ? 0 ? 又由 0 ? c ? 1 得 ln c ? 0 ,∴

1 1 ? a ln a b ln b

ln c ln c ? ? b loga c ? a logb c ,C 正确 a ln a b ln b ln c ln c 对 D: 要比较 log a c 和 log b c ,只需比较 和 ln a ln b 1 1 而函数 y ? ln x 在 ?1, ?? ? 上单调递增,故 a ? b ? 1 ? ln a ? ln b ? 0 ? ? ln a ln b ln c ln c 又由 0 ? c ? 1 得 ln c ? 0 ,∴ ? ? loga c ? logb c ,D 错误 ln a ln b
故选 C. 9. 如下表: 循环节运 行次数 运行前 第一次 第二次 第三次 输出 x ?
n ?1? ? x? x ? x ? ? 2 ? ?

y ? y ? ny ?
1

判断

x ? y ? 36
2 2

是否 输出 / 否 否 是

n ? n ? n ? 1?
1

0 0

/ 否 否 是

1 2
6

2
3

1 2

3 2

3 , y ? 6 ,满足 y ? 4 x 2 故选 C.
10.以开口向右的抛物线为例来解答,其他开口同理 设抛物线为 y 2 ? 2 px ? p ? 0 ? ,设圆的方程为 x2 ? y 2 ? r 2 ,题目条件翻译如图:

F

9

? p ? 设 A x0 , 2 2 , D ? ? , 5 ? , ? 2 ?

? ? 点 A ? x , 2 2 ? 在抛物线 y
0

2

? 2 px 上,∴ 8 ? 2 px0 ……①
2

? p ? ? p? 点 D ? ? , 5 ? 在圆 x2 ? y 2 ? r 2 上,∴ 5 ? ? ? ? r 2 ……② ? 2 ? ?2?
2 点 A x0 , 2 2 在圆 x2 ? y 2 ? r 2 上,∴ x0 ? 8 ? r 2 ……③

?

?

联立①②③解得: p ? 4 ,焦点到准线的距离为 p ? 4 . 故选 B. 11. 如图所示:
D α A B C

D1 A1 B1

C1

∵ ?∥平面CB1 D1 ,∴若设平面 CB1 D1 ? 平面 ABCD ? m1 ,则 m1∥m 又∵平面 ABCD ∥平面 A1 B1C1 D1 ,结合平面 B1 D1C ? 平面 A1 B1C1 D1 ? B1 D1 ∴ B1 D1∥m1 ,故 B1 D1∥m 同理可得: CD1∥n 故 m 、 n 的所成角的大小与 B1 D1 、 CD1 所成角的大小相等,即 ?CD1 B1 的大小. 而 B1C ? B1 D1 ? CD1 (均为面对交线) ,因此 ?CD1 B1 ? 故选 A. 12.由题意知:

?
3

,即 sin ?CD1 B1 ?

3 . 2

? π ? ? +? ? k1 π ? ? 4 ? ? π ? +? ? k π+ π 2 ? ?4 2
则 ? ? 2 k ? 1 ,其中 k ? Z

5? ? π T ? π 5π ? ? f ( x) 在 ? , ? 单调,? ? ? ? , ? ? 12 18 36 36 18 12 2 ? ?
接下来用排除法

10

π? π ? ? π 3π ? ? 3π 5 π ? 若 ? ? 11,? ? ? ,此时 f ( x) ? sin ?11x ? ? , f ( x) 在 ? , ? 递增,在 ? , ? 递减, 4? 4 ? ? 18 44 ? ? 44 36 ? ? π 5π ? 不满足 f ( x) 在 ? , ? 单调 ? 18 36 ?

若 ? ? 9,? ? 故选 B.

π ? ,此时 f ( x) ? sin ? 9 x ? 4 ?

π? ? π 5π ? ? ,满足 f ( x) 在 ? , ? 单调递减 4? ? 18 36 ?

? ? 13.由已知得: a ? b ? ? m ? 1,3?

? ?2 ?2 ?2 2 ∴ a ? b ? a ? b ? ? m ? 1? ? 32 ? m2 ? 12 ? 12 ? 22 ,解得 m ? ?2 .

14.设展开式的第 k ? 1 项为 Tk ?1 , k ??0,1,2,3,4,5?
k ∴ Tk ?1 ? C5 ? 2x ? 5? k

? ?
x

k

k 5? k ? C5 2 x

5?

k 2


4

5? k 4 5? 4 2 x 2 ? 10 x3 ? 3 时, k ? 4 ,即 T5 ? C5 2 故答案为 10.

当5?

15.由于 ?an ? 是等比数列,设 an ? a1qn?1 ,其中 a1 是首项, q 是公比.

?a1 ? 8 ?a1 ? a1q2 ? 10 ?a1 ? a3 ? 10 ? ? ∴? ,解得: ? ?? 1. 3 q? ? ?a2 ? a4 ? 5 ? ?a1q ? a1q ? 5 ? 2
?1? 故 an ? ? ? ?2?
n?4

?1? ,∴ a1 ? a2 ? ... ? an ? ? ? ?2?

? ?3? ? ? ?2 ? ?...? ? n ? 4 ?

?1? ?? ? ?2?

1 n? n ? 7 ? 2

?1? ?? ? ?2?
1 ??

2 1 ?? 7 ? 49 ? ?? n ? ? ? ? 2? 2 4? ? ? ? ?

?? n ? ? 2 ?? 2 ? ? 1 ?2? 1 ?? 7 ? 49 ? 当 n ? 3 或 4 时, ?? n ? ? ? ? 取到最小值 ?6 ,此时 ? ? 2? 2? 4? ?2? ?? ?

7?

2

?

49 ? ? 4? ?

取到最大值 2 6 .

所以 a1 ? a2 ? ... ? an 的最大值为 64.

16.设生产 A 产品 x 件,B 产品 y 件,根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件, 构造线性规则约束为

11

?1.5 x ? 0.5 y ≤ 150 ? ? x ? 0.3 y ≤ 90 ?5 x ? 3 y ≤ 600 ? ? ?x ≥ 0 ?y≥0 ? ?x ? N * ? * ? ?y? N

目标函数 z ? 2100 x ? 900 y 作出可行域为图中的四边形,包括边界,顶点为 (60,100) (0, 200) (0, 0) (90,0)

在 (60,100) 处取得最大值, z ? 2100 ? 60 ? 900 ? 100 ? 216000

17.⑴ 2cos C ? a cos B ? b cos A? ? c 由正弦定理得: 2cos C ? sin A ? cos B ? sin B ? cos A? ? sin C

2cos C ? sin ? A ? B ? ? sin C
∵ A ? B ? C ? π , A 、B 、C ? ? 0 ,π ? ∴ sin ? A ? B ? ? sin C ? 0 ∴ 2cos C ? 1 , cos C ? ∵ C ? ? 0 ,π ? ∴C ?

1 2

π 3 1 2

⑵ 由余弦定理得: c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab ? cos C

7 ? a2 ? b2 ? 2ab ?

12

? a ? b?
S?

2

? 3ab ? 7

1 3 3 3 ab ? sin C ? ab ? 2 4 2

∴ ab ? 6 ∴ ? a ? b ? ? 18 ? 7
2

a?b?5

∴ △ ABC 周长为 a ? b ? c ? 5 ? 7 18.⑴ ∵ ABEF 为正方形 ∴ AF ? EF ∵ ?AFD ? 90? ∴ AF ? DF ∵ DF ? EF =F ∴ AF ? 面 EFDC

AF ? 面 ABEF

∴平面 ABEF ? 平面 EFDC

⑵ 由⑴知 ?DFE ? ?CEF ? 60? ∵ AB ∥EF
AB ? 平面 EFDC

EF ? 平面 EFDC
∴ AB ∥平面 ABCD

AB ? 平面 ABCD ∵面 ABCD ? 面 EFDC ? CD
∴ AB ∥ CD ∴ CD ∥ EF ∴四边形 EFDC 为等腰梯形 以 E 为原点,如图建立坐标系,设 FD ? a

13

E ?0 , 0, 0?

B ?0 , 2a , 0?

?a 3 ? C? 0, a? ?2, 2 ? ? ?

A? 2 a, 2 a , ?0

??? ? ?a ??? ? ? 3 ? ??? , , ? 2 a , a EB ? ? 0 , 2a , 0? , BC ? ? AB ? ? ?2a , 0, 0? ? ?2 2 ? ? ?
?? 设面 BEC 法向量为 m ? ? x ,y ,z ? .

?? ??? ? ?2a ? y1 ? 0 ? ? ?m ? EB ? 0 ,即 ? a ? ? ?? ??? 3 a ? z1 ? 0 ? ? x1 ? 2ay1 ? ? ?m ? BC ? 0 ?2 2

x1 ? 3 ,y1 ? 0 ,z1 ? ?1
?? m?

?

3 ,0 ,? 1

?

? 设面 ABC 法向量为 n ? ? x2 ,y2 ,z2 ?

? ??? ? ?a 3 ? az2 ? 0 ? x2 ? 2ay2 ? ?n ? BC =0 . 即 ? ??? ? ?2 2 ? ?2ax ? 0 ? ?n ? AB ? 0 ? 2

x2 ? 0 ,y2 ? 3 ,z2 ? 4
? n ? 0 , 3 ,4

?

?

设二面角 E ? BC ? A 的大小为 ? . ?? ? m?n ?4 2 19 cos? ? ?? ? ? ?? 19 3 ? 1 ? 3 ? 16 m?n

∴二面角 E ? BC ? A 的余弦值为 ?

2 19 19

19.⑴ 每台机器更换的易损零件数为 8,9,10,11 记事件 Ai 为第一台机器 3 年内换掉 i ? 7 个零件 ?i ? 1,2,3,4? 记事件 Bi 为第二台机器 3 年内换掉 i ? 7 个零件 ?i ? 1,2,3,4? 由题知 P ? A1 ? ? P ? A3 ? ? P ? A4 ? ? P ? B1 ? ? P ? B3 ? ? P ? B4 ? ? 0.2 , P ? A2 ? ? P ? B2 ? ? 0.4 设 2 台机器共需更换的易损零件数的随机变量为 X ,则 X 的可能的取值为 16,17, 18,19,20,21,22

P ? X ? 16? ? P ? A1 ? P ? B1 ? ? 0.2 ? 0.2 ? 0.04 P ? X ? 17 ? ? P ? A1 ? P ? B2 ? ? P ? A2 ? P ? B1 ? ? 0.2 ? 0.4 ? 0.4 ? 0.2 ? 0.16 P ? X ? 19? ? P ? A1 ? P ? B4 ? ? P ? A2 ? P ? B3 ? ? P ? A3 ? P ? B2 ? ? P ? A4 ? P ? B1 ? ? 0.2 ? 0.2 ? 0.2 ? 0.2 ? 0.4 ? 0.2
P ? X ? 18? ? P ? A1 ? P ? B3 ? ? P ? A2 ? P ? B2 ? ? P ? A3 ? P ? B1 ? ? 0.2 ? 0.2 ? 0.2 ? 0.2 ? 0.4 ? 0.4 ? 0.24

14

?0.2 ? 0.4 ? 0.24

P ? x ? 21? ? P ? A3 ? P ? B4 ? ? P ? A4 ? P ? B3 ? ? 0.2 ? 0.2 ? 0.2 ? 0.2 ? 0.08
P ? x ? 22? ? P ? A4 ? P ? B4 ? ? 0.2 ? 0.2 ? 0.04

P ? X ? 20? ? P ? A2 ? P ? B4 ? ? P ? A3 ? P ? B3 ? ? P ? A4 ? P ? B2 ? ? 0.4 ? 0.2 ? 0.2 ? 0.4 ? 0.2 ? 0.2 ? 0.2

X P

16 0.04

17 0.16

18 0.24

19 0.24

20 0.2

21 0.08

22 0.04

⑵ 要令 P ? x ≤ n ? ≥ 0.5 ,? 0.04 ? 0.16 ? 0.24 ? 0.5 , 0.04 ? 0.16 ? 0.24 ? 0.24 ≥ 0.5 则 n 的最小值为 19 ⑶ 购买零件所需费用含两部分,一部分为购买机器时购买零件的费用,另一部分为备 件不足时额外购买的费用 当 n ? 19 时,费用的期望为 19 ? 200 ? 500 ? 0.2 ? 1000 ? 0.08 ? 1500 ? 0.04 ? 4040 当 n ? 20 时,费用的期望为 20 ? 200 ? 500 ? 0.08 ? 1000 ? 0.04 ? 4080 所以应选用 n ? 19

20.⑴ 圆 A 整理为 ? x ? 1? ? y2 ? 16 ,A 坐标 ? ?1,0? ,如图,
2
5

y

4

3

2

C
x

1

A
12 10 8 6 4 2

B
1

2

4

E

2

3

D
4

? BE∥AC ,则 ∠C ? ∠EBD ,由 AC ? AD, 则∠D ? ∠C ,
?∠EBD ? ∠D, 则 EB ? ED

?AE ? EB ? AE ? ED ? AD ? 4
所以 E 的轨迹为一个椭圆,方程为 ⑵ C1 :
x2 y 2 ? ? 1 ;设 l : x ? my ? 1 , 4 3
x2 y 2 ? ? 1 ,( y ? 0 ); 4 3

因为 PQ⊥l ,设 PQ : y ? ?m ? x ? 1? ,联立 l与椭圆C1
? x ? my ? 1 ? 2 得 3m2 ? 4 y2 ? 6my ? 9 ? 0 ; ?x y2 ? ? 1 ? 3 ?4

?

?

15

则 | MN |? 1 ? m | yM ? yN |? 1 ? m
2
y
5

2

36m2 ? 36 ? 3m2 ? 4 ? 3m2 ? 4

?

12 ? m2 ? 1? 3m2 ? 4



P

4

3

2

1

N
x

A
12 10 8 6 4 2

B
1

2

4

M

Q
2 3

4

圆心 A 到 PQ 距离 d ?

| ?m ? ?1 ? 1? | 1? m
2

?

| 2m | 1 ? m2



所以 | PQ |? 2 | AQ |2 ?d 2 ? 2 16 ?

4m2 4 3m2 ? 4 , ? 1 ? m2 1 ? m2

? S MPNQ ?

2 1 1 12 ? m ? 1? 4 3m 2 ? 4 24 m 2 ? 1 1 | MN | ? | PQ |? ? ? ? ? 24 ?? 2 ?12,8 3 2 2 1 2 2 3m ? 4 1? m 3m ? 4 3? 2 m ?1

?

21.⑴ 由已知得: f ' ? x ? ? ? x ? 1? ex ? 2a ? x ? 1? ? ? x ? 1? ex ? 2a

?

?

① 若 a ? 0 ,那么 f ? x? ? 0 ? ? x ? 2? ex ? 0 ? x ? 2 , f ? x ? 只有唯一的零点 x ? 2 , 不合题意; ② 若 a ? 0 ,那么 e x ? 2a ? e x ? 0 , 所以当 x ? 1 时, f ' ? x ? ? 0 , f ? x ? 单调递增 当 x ? 1 时, f ' ? x ? ? 0 , f ? x ? 单调递减 即:
x

? ??,1?
?

1
0

?1, ?? ?
?

f '? x?

f ? x?



极小值



故 f ? x ? 在 ?1, ?? ? 上至多一个零点,在 ? ??,1? 上至多一个零点

16

由于 f ? 2? ? a ? 0 , f ?1? ? ?e ? 0 ,则 f ? 2 ? f ?1? ? 0 , 根据零点存在性定理, f ? x ? 在 ?1, 2 ? 上有且仅有一个零点. 而当 x ? 1 时, e x ? e , x ? 2 ? ?1 ? 0 , 故 f ? x ? ? ? x ? 2? ex ? a ? x ? 1? ? e ? x ? 2? ? a ? x ? 1? ? a ? x ? 1? ? e ? x ? 1? ? e
2 2 2

则 f ? x ? ? 0 的两根 t1 ?

?e ? e2 ? 4ae ?e ? e2 ? 4ae ? 1 , t2 ? ? 1 , t1 ? t2 ,因为 2a 2a
2

a ? 0 ,故当 x ? t1 或 x ? t2 时, a ? x ? 1? ? e ? x ? 1? ? e ? 0

因此,当 x ? 1 且 x ? t1 时, f ? x ? ? 0 又 f ?1? ? ?e ? 0 ,根据零点存在性定理, f ? x ? 在 ? ??,1? 有且只有一个零点. 此时, f ? x ? 在 R 上有且只有两个零点,满足题意.

e ③ 若 ? ? a ? 0 ,则 ln ? ?2a ? ? ln e ? 1 , 2
当 x ? ln ? ?2a ? 时, x ? 1 ? ln ? ?2a ? ? 1 ? 0 , e x ? 2a ? e 即 f ' ? x ? ? ? x ? 1? ex ? 2a ? 0 , f ? x ? 单调递增; 当
ln ? ?2 a ?

? 2a ? 0 ,

?

?

ln ? ?2a ? ? x ? 1





x ?1 ? 0



e x ? 2a ? e

ln ? ?2 a ?

? 2a ? 0





f '?

?? ?x

? ?x ?1 x

? 2 , fa ? 0? 单调递减; ?x ?e
ln ? ?2 a ?

当 x ? 1 时, x ? 1 ? 0 , e x ? 2a ? e 即:
x

? 2a ? 0 ,即 f ' ? x ? ? 0 , f ? x ? 单调递增.

? ??,ln ? ?2a ??
+ ↑

ln ? ?2a ?
0 极大值

? ln ? ?2a ? ,1?


1
0 极小值

?1, ?? ?
+ ↑

f '? x?
f ? x?
而极大值

f? ?ln ? ?2a ?? ? ? ?2a ? ?ln ? ?2a ? ? 2? ? ? a? ?ln ? ?2a ? ? 1? ? ?a ? ?ln ? ?2a ? ? 2? ? ?1 ? 0
2 2

?

?

故 当 x≤1 时 , f ? x ? 在 x ? ln ? ?2a ? 处 取 到 最 大 值 f ? 2?? ?? a ?l n ? ,那么
f

?x ?≤

f ? x ? ? 0 无解 fl n a? 恒成立,即 0 ? ? ? 2?? ? ?

17

而当 x ? 1 时, f ? x ? 单调递增,至多一个零点 此时 f ? x ? 在 R 上至多一个零点,不合题意.

e ④ 若 a ? ? ,那么 ln ? ?2a ? ? 1 2
当 x ? 1 ? ln ? ?2a ? 时, x ? 1 ? 0 , e x ? 2a ? e
ln ? ?2 a ?

? 2a ? 0 ,即 f ' ? x ? ? 0 ,

f ? x ? 单调递增
当 x ? 1 ? ln ? ?2a ? 时, x ? 1 ? 0 , e x ? 2a ? e
ln ? ?2 a ?

? 2a ? 0 ,即 f ' ? x ? ? 0 ,

f ? x ? 单调递增
又 f ? x ? 在 x ? 1 处有意义,故 f ? x ? 在 R 上单调递增,此时至多一个零点,不合题 意.

e ⑤ 若 a ? ? ,则 ln ? ?2a ? ? 1 2
当 x ? 1 时, x ? 1 ? 0 , e x ? 2a ? e1 ? 2a ? e
ln ? ?2 a ?

? 2a ? 0 ,即 f ' ? x ? ? 0 ,

f ? x ? 单调递增
当 1 ? x ? ln ? ?2a ? 时, x ? 1 ? 0 , e x ? 2a ? e
ln ? ?2 a ?

? 2a ? 0 ,即 f ' ? x ? ? 0 ,

f ? x ? 单调递减
当 x ? ln ? ?2a ? 时, x ? 1 ? ln ? ?2a ? ?1 ? 0 , e x ? 2a ? e
ln ? ?2 a ?

? 2a ? 0 ,即 f ' ? x ? ? 0 ,

f ? x ? 单调递增
即:
x

? ??,1?
+ ↑

1
0 极大值

?1,ln ? ?2a ??


ln ? ?2a ?
0 极小值

?ln ? ?2a? , ???
+ ↑

f '? x?
f ? x?

故当 x≤ln ? ?2a ? 时, f ? x ? 在 x ? 1 处取到最大值 f ?1? ? ?e , 那么 f ? x ?≤ ? e ? 0 恒 成立,即 f ? x ? ? 0 无解 当 x ? ln ? ?2a ? 时, f ? x ? 单调递增,至多一个零点

18

此时 f ? x ? 在 R 上至多一个零点,不合题意. 综上所述,当且仅当 a ? 0 时符合题意,即 a 的取值范围为 ? 0, ?? ? .

⑵ 由已知得: f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 0 ,不难发现 x1 ? 1 , x2 ? 1 , 故可整理得: ?a ?

? x1 ? 2? e x 2 ? x1 ? 1?

1

?

? x2 ? 2? e x 2 ? x2 ? 1?

2

设 g ? x? ?

? x ? 2? ex ,则 g ? x1 ? ? g ? x2 ? 2 ? x ? 1?
? x ? 2? ? 1 x ,当 x ? 1 时, g ' x ? 0 , g x 单调递减;当 x ? 1 时, e ? ? ? ? 3 ? x ? 1?
2

那么 g ' ? x ? ?

g ' ? x ? ? 0 , g ? x ? 单调递增.
设 m ? 0 ,构造代数式:
g ?1 ? m ? ? g ?1 ? m ? ? m ? 1 1? m ?m ? 1 1? m 1 ? m 1? m ? m ? 1 2 m ? e ? e ? 2 e ? e ? 1? m2 m2 m ? m ?1 ?

设 h ? m? ? 则 h ' ? m? ?

m ? 1 2m e ? 1, m ? 0 m ?1
2m2

? m ? 1?

2

e2m ? 0 ,故 h ? m ? 单调递增,有 h ? m? ? h ? 0? ? 0 .

因此,对于任意的 m ? 0 , g ?1 ? m ? ? g ?1 ? m ? . 由 g ? x1 ? ? g ? x2 ? 可知 x1 、 x 2 不可能在 g ? x ? 的同一个单调区间上,不妨设 x1 ? x2 ,则 必有 x1 ? 1 ? x2 令 m ? 1 ? x1 ? 0 ,则有 g ? ?1 ? ?1 ? x1 ?? ? ? g? ?1 ? ?1 ? x1 ?? ? ? g ? 2 ? x1 ? ? g ? x1 ? ? g ? x2 ?

x2 ? 1 , g ? 2 ? x1 ? ? g ? x2 ? ? 2 ? x1 ? x2 g ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调递增, 而 2 ? x1 ? 1 , 因此:
整理得: x1 ? x2 ? 2 .

22.⑴ 设圆的半径为 r ,作 OK ? AB 于 K
?AOB ? 120? ∵ OA ? OB ,

∴ OK ? AB , ?A ? 30? , OK ? OA ? sin30? ?

OA ?r 2

19

∴ AB 与 ⊙O 相切 ⑵ 方法一: 假设 CD 与 AB 不平行
CD 与 AB 交于 F

FK 2 ? FC ? FD ①
∵ A 、B 、C 、D 四点共圆 ∴ FC ? FD ? FA ? FB ? ? FK ? AK ?? FK ? BK ? ∵ AK ? BK ∴ FC ? FD ? ? FK ? AK ?? FK ? AK ? ? FK 2 ? AK 2 ② 由①②可知矛盾 ∴ AB ∥ CD

方法二: 因为 A, B, C , D四点共圆,不妨设圆心为 T , 因为 OA ? OB, TA ? TB, 所以 O, T 为 AB 的 中垂线上,同理 OC ? OD, TC ? TD, 所以 OT 为CD 的中垂线,所以 AB∥CD .

? x ? a cos t 23.⑴ ? ( t 均为参数) ? y ? 1 ? a sin t

∴ x2 ? ? y ? 1? ? a2 ①
2

1? 为圆心, a 为半径的圆.方程为 x2 ? y 2 ? 2 y ? 1 ? a2 ? 0 ∴ C1 为以 ? 0 ,
∵ x2 ? y 2 ? ? 2 ,y ? ? sin ? ∴ ? 2 ? 2? sin ? ? 1 ? a2 ? 0 ⑵ C2 :? ? 4cos ? 即为 C1 的极坐标方程

20

两边同乘 ? 得 ? 2 ? 4? cos? ? ? 2 ? x2 ? y 2 ,? cos? ? x

? x2 ? y 2 ? 4 x
即 ? x ? 2? ? y 2 ? 4 ②
2

C3 :化为普通方程为 y ? 2 x
由题意: C1 和 C2 的公共方程所在直线即为 C3 ①—②得: 4 x ? 2 y ? 1 ? a2 ? 0 ,即为 C3 ∴ 1 ? a2 ? 0 ∴a ?1 24.⑴ 如图所示:

? ? x ? 4 ,x ≤ ?1 ? 3 ? ⑵ f ? x ? ? ?3x ? 2 ,? 1 ? x ? 2 ? 3 ? 4 ? x ,x ≥ ? ? 2
f ? x? ? 1

当 x ≤ ?1 , x ? 4 ? 1 ,解得 x ? 5 或 x ? 3
∴ x ≤ ?1

3 1 , 3x ? 2 ? 1,解得 x ? 1 或 x ? 2 3 1 3 ∴?1 ? x ? 或 1 ? x ? 3 2 3 当 x ≥ , 4 ? x ? 1 ,解得 x ? 5 或 x ? 3 2 3 ∴ ≤ x ? 3或 x ? 5 2
当 ?1 ? x ?

21

1 综上, x ? 或 1 ? x ? 3 或 x ? 5 3
1? ? ∴ f ? x ? ? 1 ,解集为 ? ?? , ? ? ?1 ,3? ? ? 5 ,? ? ? 3? ?


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