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【创新设计】2011届高三数学一轮复习 第8单元 8.9 直线与圆锥曲线的位置关系课件 理 新人教A版


8.9

直线与圆锥曲线的位置关系

(能用坐标法解决简单的直线与椭圆、抛物线的位置 能用坐标法解决简单的直线与椭圆、 能用坐标法解决简单的直线与椭圆

关系等问题) 关系等问题

1.直线与圆锥曲线的位置关系主要是指直线和圆锥曲 直线与圆锥曲线的位置关系主要是指直线和圆锥曲 线 相交、相切、 相交、相切、相离 解决的方法是转化为直线方 ,

程与圆锥曲线方程组成的方程组 解的个数 ,进而转 化为一元(一次或二次)方程解的情况去研究. 化为一元(一次或二次)方程解的情况去研究 设直线l的方程为 设直线 的方程为Ax+By+C=0, 的方程为 圆锥曲线方程为f(x,y)=0. 圆锥曲线方程为 .



{f(x,y)=0

Ax+By+C=0

消元( 或 ) 消元(x或y)

若消去y后得 若消去 后得ax2+bx+c=0. 后得 (1)若a=0,此时圆锥曲线不会是 椭圆 .当圆锥曲线 ) , 当圆锥曲线 为双曲线时,直线l与双曲线的渐近线 为双曲线时,直线 与双曲线的渐近线 平行或重合 .当 当 圆锥曲线是抛物线时,直线 与抛物线的对称 圆锥曲线是抛物线时,直线l与抛物线的对称 . 轴 平行或重合 (2)若a≠0,设?=b2-4ac. ) , ①?>0时,直线与圆锥曲线相交于 两个点 ; 时 ②?=0时,直线与圆锥曲线 时 ③?<0时,直线与圆锥曲线 时 相切 ; 相离 .

2.直线与圆锥曲线相交的弦长计算 2.直线与圆锥曲线相交的弦长计算
(1)当弦的两端点的坐标易求时,可直接求出交 )当弦的两端点的坐标易求时, 点坐标, 点坐标,再用 两点间的距离公式 求弦长. 求弦长

(2)解由直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组, )解由直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组, 得到关于x(或y)的一元二次方程 的一元二次方程, 得到关于x(或y)的一元二次方程,设直线与圆锥曲 两点, 线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,直线斜率为 ,则弦 两点 直线斜率为k, 线交于 长公式为|AB|= 长公式为 |AB|= 或 ?(x1 + x2)2-4x1x2 ? (1+k ) ? ?
2

. 1 2 (1+ 2 ) (y1 +y2 ) - 4y1y2 k

[

]

解决直线与圆锥曲线的问题时,一定要注意过三关: 解决直线与圆锥曲线的问题时,一定要注意过三关: 一是斜率关,即设直线的斜率时, 一是斜率关,即设直线的斜率时,一定要注意斜率 是否一定存在, 是否一定存在,若不一定要分类讨论 二是二次项系数关,即联立直线与曲线方程,并将 二是二次项系数关,即联立直线与曲线方程, 其化为一元方程后地看二次系数是否含参数 三是判别式关。 三是判别式关。

三、弦的中点问题

设A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆 , 是椭圆 两点, 的中点, 两点,且x1≠x2,x1+x2≠0,M(x0,y0)为AB的中点,则 , 为 的中点 ? x12 y12 ? 2 + 2 =1 ?a b ? 2 x2 y2 2 ? + 2 =1 2 ?a b ? b2x0 y1 ? y2 y1 + y2 b2 =? 2 ,即 AB =? 2 k 两式相减: 两式相减: x ? x2 x1 + x2 a a y0 1 类比推出:已知抛物线 的弦AB的中 类比推出:已知抛物线y2=2px(p>0)的弦 的中 ( 的弦 点M(x0,y0),则 , p

x y + 2 =1 2 上不同的 a b

2

2

kAB =

y0

考题深度分析
? 3? (2009·辽宁 本小题满分 分)已知椭圆 经过点 ? 1, ? , 两 辽宁)(本小题满分 经过点A 辽宁 本小题满分12分 已知椭圆C经过点 ? 2?
个焦点为(- , 、 个焦点为 -1,0)、(1,0). . (1)求椭圆 的方程; 求椭圆C的方程 求椭圆 的方程; (2)E、F是椭圆 上的两个动点,如果直线AE的斜率与直线 (2)E、F是椭圆C上的两个动点,如果直线AE的斜率与直线AF 是椭圆C上的两个动点 的斜率与直线AF 的斜率互为相反数,证明:直线 的斜率为定值 的斜率为定值, 的斜率互为相反数,证明:直线EF的斜率为定值,并求出这 个定值. 个定值.

【考卷实录 考卷实录】 考卷实录

【答题模板】 答题模板】
(1)由已知条件c=1,2a= 由已知条件 = = =3.因此所求椭圆方程为 因此所求椭圆方程为 (2)设AE直线方程为 - 设 直线方程为 直线方程为y- =1. =k(x-1),即y=kx+ - , = + -k代入 =4,即a=2,则b2=a2-c2 , = ,

整理得:(4k2+3)x2+4k(3-2k)x+(3-2k)2-12=0.设E(x1,y1),F(x2,y2). 整理得: k k - k + - k = 设 , . 则x1= 将k换为-k可得x2= 换为- 可得 y1-y2= =k(x1+x2)-2k, - k

【分析点评】 分析点评】
2009年辽宁考查的直线与圆锥曲线的位置关系问题是大家所熟知的问题:直线 年辽宁考查的直线与圆锥曲线的位置关系问题是大家所熟知的问题: 年辽宁考查的直线与圆锥曲线的位置关系问题是大家所熟知的问题 EF的斜率应该等于椭圆 的斜率应该等于椭圆 在A 处切线斜率的相反数, 处切线斜率的相反数,解决问题的

方法不外乎三种,考卷实录中提供的方法是设出直线 的方程 解决直线EF与 的方程, 方法不外乎三种,考卷实录中提供的方法是设出直线EF的方程,解决直线 与 椭圆 的位置关系问题,运算技巧较高,再就是设出E(x1,y1),F(x2, 的位置关系问题,运算技巧较高,再就是设出 ,

y2)用点差法,此方法值得大家探讨,再就是参考答案中提供的解法,孰优孰劣 用点差法, 用点差法 此方法值得大家探讨,再就是参考答案中提供的解法, 比较自明,如将题目中的椭圆换成抛物线三种方法皆都是可行的. 比较自明,如将题目中的椭圆换成抛物线三种方法皆都是可行的.


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