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抛物线的标准方程


抛物线及其标准 方程

生活中存在着各种形式的抛物线

抛物线的生活实例 探照灯的灯面

简单实验

抛物线的定义
平面内到一个定点F和一条定直线 L l(F不在l上)的距离相等的点的 轨迹叫做抛物线。 N 定点F叫做抛物线的焦点 定直线l叫做抛物线的准线。

M



· F ·

即:

MF ︳ ︳ 若 ? 1, 则点 M的轨迹是抛物线。 ︳ MN ︳

抛物线标准方程的推导
l N
K

M

· · F

试 一 试 ?

设焦点到准线的距离为常数P(P>0) 如何建立坐标系,求出抛物线的标 准方程呢?

抛物线标准方程的推导
解:如图,取过焦点F且垂直于准线L的直线 y 为x轴,垂足为K,线段KF的中垂线为y轴 l 设︱KF︱= p ( p> 0) M p p N 则F( 2 ,0),L:x = - 2 设动点M的坐标为(x,y) K o 由抛物线的定义可知, F │MF│=│MN│

· ·

x

p2 2 p (x ? ) ? y ? x ? 2 2
化简得

y2 = 2px(p>0)

抛物线的标准方程
方程 y2

= 2px(p>0)叫做

抛物线的标准方程
其中 p 为正常数,它的几何意义是:

焦点到准线的距离

抛物线的标准方程
抛物线的标 准方程还有 哪些形式?

想 一 想 ?

其它形式的 抛物线的焦 点与准线呢?

﹒ ﹒ ﹒
y

图象

开口方向

标准方程

焦点

准线

o

x

向右

y

o

x 向左

y

o

x

向上


o

y

向下

x

抛物线的标准方程
抛 物 线 方 程

左右 型

标准方程为

开口向右:

y2 =+ 2px
(p>0)

y2 =2px(x≥ 0)
开口向左:

y2 = -2px(x≤ 0)
开口向上:

上下 型

标准方程为

x2 =+ 2py
(p>0)

x2 =2py (y≥ 0)
开口向下:

x2 = -2py (y≤0)

课堂练习
例1:求下列抛物线的焦点坐标和准线方程:
(1)y2 = 20x (3)2y2 +5x =0 (2)y=2x2
注意:求抛物线的焦点 一定要先把抛物线化为 (4)x2 +8y =0 标准形式 准线方程

焦点坐标 ( 1)

( 5, 0 )
1 (0,—) 8 5 ( - —, 0 ) 8

x= -5
1 y= - — 8 5 x= — 8

( 2)
( 3) ( 4)

(0,-2)

y= 2

课堂练习
例2:根据下列条件,写出抛物线的标准方程:
(1)焦点是F(3,0)

解:y2 =12x 解:y2 =x 解:y2 =4x或y2 = -4x 或x2 =4y或x2 = -4y

1 (2)准线方程 是x = ? 4
(3)焦点到准线的距离是2

课堂练习
1、求过点A(-2,4)的抛物线的 标准方程。
解:1)设抛物线的标准方程为 x2 =2py,把A(-2,4)代入, A 得p= 1
2)设抛物线的标准方程为 y2 = -2px,把A(-2,-4)代入, 得p=



y

2

O

x

4

2 ∴抛物线的标准方程为x =

2 y或 y

=- 8 x



课堂练习

2、已知抛物线方程为x=ay2(a≠0),讨论 抛物线的开口方向、焦点坐标和准线方程? 1 1 2 解:抛物线的方程化为:y = a x 即2p= a
①当a>0时,
p 2

=
1 4a

1 4a

,抛物线的开口向右
1 4a

∴焦点坐标是( ,0),准线方程是: x= p 1 ②当a<0时, 2 = 4a ,抛物线的开口向左 ∴焦点坐标是(
1 4a

,0),准线方程是: x= ,0),准线方程是:
1 x= 4a

1 4a

所以不论a>0,还是a<0,都有
1 ∴焦点坐标是(4a

课堂小结
1、抛物线的定义

2、抛物线的标准方程与其焦点、准线
3、抛物线的标准方程类型与图象特征的 对应关系及判断方法

4、注重数形结合的思想 5、注重分类讨论的思想


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