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【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教A版)选修2-1练习:1.4.1全称量词与存在量词]


第一章

1.4

第 1 课时

一、选择题 1.下列命题中全称命题的个数为( )

①平行四边形的对角线互相平分;②梯形有两边平行;③存在一个菱形,它的四条边不 相等. A.0 C.2 [答案] C [解析] ①②是全称命题,③是特称命题. 2.下列特称命题中真命题的个数是( ) B .1 D.3

①?x∈R,x≤0;②至少有一个角,它既不是锐角,也不是钝角;③?x∈{x|x 是整数}, x2 是整数. A.0 C.2 [答案] D [解析] ①②③都是真命题. 3.下列命题中,是真命题且是全称命题的是( ) B .1 D.3

A.对任意的 a,b∈R,都有 a2+b2-2a-2b+2<0 B.菱形的两条对角线相等 C.?x∈R, x2=x D.对数函数在定义域上是单调函数 [答案] D [解析] A 中含有全称量词“任意的”, 因为 a2+b2-2a-2b+2=(a-1)2+(b-1)2≥0; 故是假命题.B、D 在叙述上没有全称量词,但实际上是指“所有的”,菱形的对角线不一 定相等,所以 B 是假命题,C 是特称命题,故选 D. 4.下列命题中,真命题是( A.?x∈R,2x>1 C.?x∈R,lgx>0 [答案] A 1 1 [解析] 对于选项 B,x2-x+1>0,错误;对于选项 C,当 x= 时,lg =-1<0,错 10 10 误;对于选项 D,当 x=2 时,(x-2)2=0,错误.故选 A. ) B.?x∈R,x2-x+1≤0 D.?x∈N*,(x-2)2>0

5.下列命题中,真命题是(

)

A.?m∈R,使函数 f(x)=x2+mx(x∈R)是偶函数 B.?m∈R,使函数 f(x)=x2+mx(x∈R)是奇函数 C.?m∈R,使函数 f(x)=x2+mx(x∈R)是偶函数 D.?m∈R,使函数 f(x)=x2+mx(x∈R)是奇函数 [答案] A [解析] 显然当 m=0 时,f(x)=x2 为偶函数,故选 A. 6.下列命题中,既是真命题又是特称命题的是( A.存在一个角 α,使得 tan(90° -α)=tanα π B.存在实数 x0,使得 sinx0= 2 C.对一切 α,sin(180° -α)=sinα D.sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ [答案] A [解析] ∵α=45° 时,tan(90° -45° )=tan45° ,∴A 为真命题,且为特称命题,故选 A.B π 中对?x∈R,有 sinx≤1< ;C、D 都是全称命题. 2 二、填空题 7.(2014· 高州四中质量检测)已知函数 f(x)=x2+mx+1,若命题“?x0>0,f(x0)<0”为 真,则 m 的取值范围是________. [答案] (-∞,-2) m ? ?- 2 >0, [解析] 由条件知? ∴m<-2. 2 ? ?m -4>0, 8.四个命题:①?x∈R,x2-3x+2>0 恒成立;②?x∈Q,x2=2;③?x∈R,x2+1 =0;④?x∈R,4x2>2x-1+3x2.其中真命题的个数为________. [答案] 0 [解析] x2-3x+2>0,Δ=(-3)2-4×2>0,∴当 x>2 或 x<1 时,x2-3x+2>0 才成立, ∴①为假命题. 当且仅当 x=± 2时,x2=2,∴不存在 x∈Q,使得 x2=2,∴②为假命题, 对?x∈R,x2+1≠0,∴③为假命题, 4x2-(2x-1+3x2)=x2-2x+1=(x-1)2≥0, 即当 x=1 时,4x2=2x-1+3x2 成立, ∴④为假命题. ∴①②③④均为假命题. )

9.在 R 上定义运算⊙:x⊙y=x(1-y).若对任意 x∈R,不等式(x-a)⊙(x+a)<1 恒成 立,则实数 a 的取值范围是________. 1 3 [答案] (- , ) 2 2 [解析] 由 x⊙y=x(1-y), 得(x-a)⊙(x+a)=(x-a)(1-x-a)=-(x-a)[x-(1-a)]<1, 1 整理得 x2-x-a2+a+1>0 恒成立,则 Δ=1-4(-a2+a+1)=4a2-4a-3<0,解得- 2 3 <a< . 2 三、解答题 10.判断下列命题是否为全称命题或特称命题,若是,用符号表示,并判断其真假. (1)对任意实数 α,有 sin2α+cos2α=1; (2)存在一条直线,其斜率不存在; (3)对所有的实数 a,b,方程 ax+b=0 都有唯一解; 1 (4)存在实数 x0,使得 2 =2. x0-x0+1 [解析] (1)是全称命题,用符号表示为“?α∈R,sin2x+cos2α=1”,是真命题. (2)是特称命题,用符号表示为“?直线 l,l 的斜率不存在”,是真命题. (3)是全称命题,用符号表示为“?a,b∈R,方程 ax+b=0 都有唯一解”,是假命题. 1 (4)是特称命题,用符号表示为“?x0∈R, 2 =2”,是假命题. x0-x0+1

一、选择题
? ?x+y≥1 11.(2014· 新课标Ⅰ理,9)不等式组? 的解集记为 D.有下面四个命题: ?x-2y≤4 ?

p1:?(x,y)∈D,x+2y≥-2,p2:?(x,y)∈D,x+2y≥2, p3:?(x,y)∈D,x+2y≤3,p4:?(x,y)∈D,x+2y≤-1. 其中真命题是( A.p2,p3 C.p1,p2 [答案] C
? ?x+y≥1 [解析] 不等式组? 表示的平面区域如图所示. ?x-2y≤4 ?

) B.p1,p4 D.p1,p3

?x+y=1, ? 由? 得交点 A(2,-1), ?x-2y=4, ?

1 1 ∵目标函数 u=x+2y 的斜率 k=- ,-1<- <4, 2 2 ∴当直线 x+2y=u 过 A 时,u 取最小值 0. 故选项 p1,p2 正确,所以选 C. 12.已知 a,b 是两个互相垂直的单位向量,且 c· a=c· b=1,则对任意的正实数 t,|c 1 +ta+ b|的最小值是( t A.2 C.4 [答案] A [解析] ∵|a|=|b|=1,a· b=0,a· c=b· c=1,∴c· (a-b)=0,由 a· c=|a|· |c|· cos45° = 2 2 ) B .2 2 D.4 2

1 1 2 1 |c|=1 得|c|= 2,∵U=(|c+ta+ b|)2=|c|2+t2|a|2+ 2|b|2+2ta· c+ b· c+2a· b=2+t2+ 2+2t t t t t 2 1 1 1 + =(t+ )2+2(t+ ),令 x=t+ ,∵t>0,∴x≥2,∴U=x2+2x(x≥2),∴当 x=2 时,U t t t t 取最小值 4,∴选 A. 13.(2013· 唐山高二检测)下列命题中,真命题是( A.?x∈R,x2≥x B.命题“若 x=1,则 x2=1”的逆命题
2 C.?x0∈R,x0 ≥x0

)

D.命题“若 x≠y,则 sinx≠siny”的逆否命题 [答案] C
2 [解析] ∵x2-x≥0 的解为 x≤0 或 x≥1,∴存在 x0∈{x|x≤0 或 x≥1},使 x0 ≥x0,故 C

为真命题. 14.下列命题中的假命题是( )

A.存在实数 α 和 β,使 cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ B.不存在无穷多个 α 和 β,使 cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ C.对任意 α 和 β,使 cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ

D.不存在这样的 α 和 β,使 cos(α+β)≠cosαcosβ-sinαsinβ [答案] B [解析] cos(α+β)=cosα· cosβ-sinα· sinβ,显然 C、D 为真;sinα· sinβ=0 时,A 为真; B 为假.故选 B. 二、填空题 15.下列特称命题是真命题的序号是________. ①有些不相似的三角形面积相等; ②存在一实数 x0,使 x2 0+x0+1<0; ③存在实数 a,使函数 y=ax+b 的值随 x 的增大而增大; ④有一个实数的倒数是它本身. [答案] ①③④ [解析] ①为真命题,只要找出等底等高的两个三角形,面积就相等,但不一定相似; 1 3 ②中对任意 x∈R,x2+x+1=(x+ )2+ >0,所以不存在实数 x0,使 x2 0+x0+1<0,故②为假 2 4 命题; ③中当实数 a 大于 0 时,结论成立,为真命题;④中如 1 的倒数是它本身,为真命题, 故选①③④. 16.下列语句:①能被 7 整除的数都是奇数;②|x-1|<2;③存在实数 a 使方程 x2-ax +1=0 成立;④等腰梯形对角线相等且不互相平分.其中是全称命题且为真命题的序号是 ________. [答案] ④ [解析] ①是全称命题,但为假命题,②不是命题,③是特称命题. 三、解答题 17.判断下列命题的真假: (1)若 a>0,且 a≠1,则对任意实数 x,ax>0; (2)?T0∈R,使|sin(x+T0)|=|sinx|; (3)?x0∈R,x2 0+1<0. [解析] 命题(1)为全称命题,根据指数函数的性质可知,该命题为真命题. 命题(2)是特称命题,存在 T0=π,使|sin(x+T0)|=|sinx|,故该命题为真命题. 命题(3)是特称命题,因为对任意的 x∈R,都有 x2+1>0,故该命题为假命题. 18.若 x∈[-2,2],不等式 x2+ax+3≥a 恒成立,求 a 的取值范围. [解析] 设 f(x)=x2+ax+3-a,则问题转化为当 x∈[-2,2]时,[f(x)]min≥0 即可. a 7 ①当- <-2, 即 a>4 时, f(x)在[-2,2]上单调递增, f(x)min=f(-2)=7-3a≥0, 解得 a≤ , 2 3 又 a>4,所以 a 不存在.

a ②当-2≤- ≤2,即-4≤a≤4 时, 2
2 a 12-4a-a f(x)min=f(- )= ≥0,解得-6≤a≤2. 2 4

又-4≤a≤4,所以-4≤a≤2. a ③当- >2,即 a<-4 时,f(x)在[-2,2]上单调递减,f(x)min=f(2)=7+a≥0,解得 a≥- 2 7, 又 a<-4,所以-7≤a<4. 综上所述,a 的取值范围是{a|-7≤a≤2}.


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