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第6课时 简单的三角恒等变换


6.简单的三角恒等变换

想一想:若tan α=2,则sin 2α-cos 2α=

.

预学4:三角应用问题解答的一般步骤 (1)分析:审读题意,分清已知与未知,理解数学关系,画出示意图. (2)建模:根据已知条件与求解目标,设角建立三角函数关系式,选 择适当三角函数模型. (3)求解:利用三角变换,对所建立的三角函数模型进行分析研究 得到数学结论,即求得数学模型的解. (4)检验:检验上述所求的解是否符合实际意义,把数学结论还原 为实际问题的解答,从而得出实际问题的解.

A B

2.恒等式的证明 例2已知5sinα=3sin(α-2β),求证:tan(α-β)+4tanβ=0. 【解析】因为5sin α=3sin(α-2β),所以5sin[(α-β)+β]=3sin[(α-β)-β], 所以5sin(α-β)cos β+5cos(α-β)sin β=3sin(α-β)cos β-3cos(α-β)sin β, 所以2sin(α-β)cos β+8cos(α-β)sin β=0, 即tan(α-β)+4tan β=0.

3.三角函数在实际中的应用 例3如图所示,要把半径为R的半圆形木料截成长方形,应怎样截 取才能使△OAB的周长最长?

变式训练3某工人要从一块圆心角为45°的扇形木板中割出一 块一边在半径上的内接长方形桌面,若扇形的半径长为1 m,求割 出的长方形桌面的最大面积(如图所示).

B D

4.有一块以O为圆心的半圆形空地,要在这块空地上划出一个内 接矩形ABCD建绿地,使其一边AD落在圆的直径上,另外两点 B,C落在半圆的圆周上,已知半圆的半径长为a,如何选择关于点 O对称的点A,D的位置,可以使矩形ABCD的面积最大?

B B 6

B A 8.点P在直径为AB=1的半圆上移动,过点P作 圆的切线PT,且PT=1,∠PAB=α,则当α为何值时, 四边形ABTP的面积最大? 【解析】如图,连接PB,∵AB为直径,∴∠APB=90°. ∵∠PAB=α,AB=1,∴PB=sin α,PA=cos α. 又PT切圆于点P,则∠TPB=∠PAB=α.

10.已知sinθ+cosθ=2sinα, sinθcosθ=sin2β, 求证:2cos 2α=cos 2β. 【解析】(法一)因为cos 2α=1-2sin2α, 所以2cos 2α=2(1-2sin2α)=2-4sin2α. 因为sin θ+cos θ=2sin α,所以2cos 2α=2-(sin θ+cos θ)2=2-(sin2 θ+2sin θcos θ+cos2θ)=1-2sin θcos θ. 又因为sin θcos θ=sin2β, 所以2cos 2α=1-2sin2β=cos 2β.


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