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高中一元二次不等式详细解法及其应用


一元二次不等式解法 【基础知识精讲】
1.一元二次不等式 (1)一元二次不等式经过变形,可以化成如下标准形式: ①ax +bx+c>0(a>0);②ax +bx+c<0(a>0). 2.一元二次函数的图像、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集对比表 二次函数 y=ax +bx+c(a>0)
2 2 2

△情况 △= b -4ac

/>2

一元二次方程
2

一元二次不等式
2 2

ax +bx+c=0(a> ax +bx+c>0(a> ax +bx+c< 0) 0) 不等式解集为 x1= {x|x<x1 或 x >x2= 0(a>0) 不等式解集 为{x|x1<x <x2=

图 像 与 解

△>0

x2= △=0 x1=x2=x0= 不等式解集{x| x≠x0,x∈R}

解集为

△<0

方程无解

不等式解集为 R(一切实数)

解集为

a<0 的情况自己完成 3.一元 n 次不等式 (x-a1)(x-a2)?(x-an)>0, (x-a1)(x-a2)?(x-an)<0,
— 1 —

其中 a1<a2<?<an. 把 a1,a2,?an 按大小顺序标在数轴上,则不等式的解的区间如图所示:

4.分式不等式

(

,bj 互不相等)

把 a1,a2,?an 和 b1,b2,?,bm 按照从小到大的顺序标在数轴上,该分式不等式的解的区间的情 况与(3)中所述类似,分 n+m 为奇数或偶数在数轴上表示. 综合可知,一元二次不等式的解法充分运用了“函数与方程”,“数形结合”及“化归”的 数学思想,一元二次方程 ax +bx+c=0 的根就是使二次函数 y=ax +bx+c 的函数值为零时对应的 x 值,一元二次不等式 ax +bx+c>0,ax +bx+c<0 的解就是使二次函数 y=ax +bx+c 的函数值 大于零或小于零时 x 的取值范围,因此解一元二次方程 ax +bx+c>0,ax +bx+c<0 一般要画 与之对应的二次函数 y=ax +bx+c 的图像.
2 2 2 2 2 2 2 2

【重点难点解析】
本小节重点是一元二次不等式的解法,难点是一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的 关系及运用一元二次不等式解决某些应用问题。 例1 解下列关于 x 的不等式:
2

(1)2x+3-x >0; (2)x(x+2)-1≥x(3-x); (3)x -2
2 2

x+3>0;

(4)x +6(x+3)>3; 分析 解一元二次不等式一般步骤是:①化为标准形式;②确定判别式△=b -4ac 的符号;③
2

若△≥0,则求出该不等式对应的二次方程的根;若△<0,则对应二次方程无根;④联系二 次函数的图像得出不等式的解集.
— 2 —

特别地,若一元二次不等式的左边的二次三项式能分解因式,则可立即写出不等式的解集(在 两根之内或两根之外). 解:(1)原不等式可化为 x -2x-3<0, (x-3)(x+1)<0. ∴ 不等式的解集为{x|-1<x<3}.
2

(2)原不等式可化为 2x -x-2≥0, (2x+1)(x-1)≥0.
2



不等式的解集为{x|x≤-

,或 x≥1}.

(3)原不等式可化为 (x∴ 不等式的解集为{x|x∈R 且 x≠ }. ) >0.
2

(4)原不等式可化为 x +6x+15>0. ∵ ∴ 评析 △<0,方程 x +6x+15=0 无实根, 不等式的解集为 R. 熟练掌握一元二次方程、二次函数、一元二次不等式三者之间的关系,再加上熟练地
2 2

分解因式、配方技能,解一元二次不等式就能得心应手.

例2

解不等式

≥2.

解:原不等式可化为

-2≥0,



3



即为

≥0, 分子、 分母必须同号, 即可化为



于-2x -x-1 恒为负值, 不等式除以(-2x -x-1)得 <0. 解之得-3<x<1. 原不等式的解集为{x|-3<x<1}.

2

2

即 x +2x-3<0, 即(x+3)(x-1)

2

遇到分式不等式,一般应化为右边为零的形式,即化为

≥0,然后转化为

(当分式不等式的分母恒为正(或为负)时,可以去分母,如 0 例3 是( x-1>0 且 )
2



若函数 f(x)=ax +bx+c(a>0)对任意的实数 t,都有 f(2+t)=f(2-t),下列不等式成立的 ) B.f(2)<f(1)<f(4) D.f(4)<f(2)<f(1)

A.f(1)<f(2)<f(4) C.f(2)<f(4)<f(1) 分析 评析

由条件知 x=2 为对称轴,f(2)最小,f(1)=f(3),函数在(2,+∞)上为增函数,故选 B. 熟记结论:对 f(x)若恒有 f(a+x)=f(a-x)成立,则函数的图像关于直线 x=a 对称.

例4

已知不等式 ax +bx+2>0 的解为-

2

<x<

,求 a,b 值.

解:方法一:显然 a<0,由(x+
2 2

)(x-

)<0,

得 6x +x-1<0,变形得-12x -2x+2>0, 故 a=-12,b=-2.

方法二:x=-

与 x=

是 ax +bx+2=0 的两根,故有
— 4 —

2

解得

评析

这里应注意韦达定理的应用.

【难解巧解点拨】

例1 分析



x +qx+q>0 的解集是{x|2<x<4},求实数 p、q 的值.

2

在本题中,已知不等式的解集,要求确定其系数,这和解不等式的问题(已知系数求其

解集)正好是互为逆向的两类问题. 这类问题可以用下面的方法来解. ①先作出一个解集符合要求的不等式; ②根据不等式同解的要求,确定其系数的数值. 解:不等式(x-2)(x-4)<0 ①的解集为{x|2<x<4}. ①即为 x -6x+8<0.
2

即-x +6x-8>0.

2

这与题中要求的不等式

x +qx+p>0 是同解且同向的二次不等式.

2

∴其对应的系数成比例,且比值为正数(即二次项系数之值同号).

∴ 说明

=

=

>0 解得 p=-2

,q=

.

利用上法确定不等式系数时,必须注意:①将两不等式化为同向不等式②同向二次不

等式的二次项系数同号,否则就会产生错误. 例2 设 A={x|-2<x<-1,或 x>1},B={x|x +ax+b≤0},已知 A∪B={x|x>-2},
2

A∩B={x|1<x≤3},试求 a,b 的值. 分析 在本题求解时要正确利用图形进行分析.

解:如图所示,设 B={x|α ≤x≤β } 设想集合 B 所表示的范围在数轴上移动,显然当且仅当 B“覆盖”住集合{x|-1≤x≤3}, 才能使 A∩B={x|1<x≤3}
— 5 —

∴“α ≤-1 且 β ≥1”, 并且 α ≥-1 及 β =3.∴α =-1,β =3. 因此 B={x|-1≤x≤3},根据二次不等式与二次方程的关系,可知-1 与 3 是方程 x +ax+b=0 的两根. ∴a=-(-1+3)=-2,b=(-1)×3=-3. 说明 例3 类似问题一定要借助数轴上的区间来考虑.同时要认真考查端点情况. 已知 f(x)=x +2(a-2)x+4.
2 2

(1)如果对一切 x∈R,f(x)>0 恒成立,求实数 a 的取值范围. (2)如果对 x∈〔-3,1〕,f(x)>0 成立,求实数 a 的取值范围. 解:f(x)的图像开口向上. (1)对一切实数 x,f(x)>0,则△<0,即(a-2) -4<0, ∴0<a<4; (2)当 x∈〔-3,1〕时,f(x)>0,对称轴 2-a 可在区间内,也可在区间外,
2







解得评析

<a<4 函数 f(x)在给定区间上 f(x)>0(或 f(x)<0) f(x)在该区间上的最小(或最大)值大

于(或小于)零.只有深刻理解了二次函数在给定区间上的最值意义,才能正确处理函数的局部 性质与整体性质的关系.

【课本难题解答】
课本第 22 页 习题 1.5 第 8 题

①解:原不等式可化为(3x-4)(2x+5)>0 ∴x<-

或 x>

所以解集为{x|x<-

或 x>
— 6 —

②解:原不等式可化为(2x-15)(5x+2)<0 或 x=



-

<x<

或 x=

即-

<x≤

所以解集为{x|-

<x≤

【命题趋势分析】
一元一次不等式, 一元二次不等式是最简单的不等式.历年高考中, 都涉及到解不等式的题目, 对解有理不等式、无理不等式,解指数和对数不等式,解绝对值不等式都进行了考查,而解 这些类型的不等式最终都要转化成一元一次不等式(组)或一元二次不等式(组)来解. 平时要求学生熟练掌握一元二次不等式(组)的解,并能灵活应用.

【典型热点考题】

例1 分析

不等式

>1 解集是

.

解不等式一般将一边变为零再处理

解:将

>1 变形为

-1>0,

通分得

>0

即解:(x-4)(x+3)>0

解得 x<-3 或 x>4 ∴应填:x<-3 或 x>4

注意

本题属

>0 型不等式,解此类问题一般是运用等价转化的思想将其转化为一元

二次不等式来解或一元一次不等式组来解. 例2 ( ) B.A∪CRB=R


设全集为 R,A={x|x -5x-6>0},B={x||x-5|<a}(a 是常数),且 11∈B,则

2

A.CRA∪B=R

C.CRA∪CRB=R
7 —

D.A∪B=R

分析

本题考查二次不等式和绝对值不等式的解法,集合间的关系,先需分别解出集合 A、B,

再根据 11∈B 这一条件确定 a 值范围,最后在数轴上判断集合间并集结果。 解:A={x|x -5x-6>0}={x|(x-6)(x+1)>0}={x|x<-1 或 x>6} B={x|x-5|<a}={x|-a<x-5<a}={x|5-a<x<5+a}. ∵11∈B ∴5+a>11 ∴a>6 从而 5-a<-1. 由数轴图可看出,A∪B=R. ∴应选 D.
2

注意 集).

(1)本题主要考查一元二次不等式,含绝对值不等式的解法,以及集合关系(并集、补

(2)作出数轴图,将抽象的字母和数字在数轴上表示出来,进行比较,由此判定出结果,是我 们解此类问题常采用的方法. 例3 不等式|x -3x|>4 的解集是
2 2

.

解:∵|x -3x|>4 ∴x -3x<-4 或 x -3x>4 即 x -3x+4<0 或① x -3x-4>0②
2 2 2 2

由①可化为(x-

)+

2

<0,显然解为

.

由②可化为(x+1)(x-4)>0,得解为 x<-1 或 x>4. ∴应填:{x|x<-1 或 x>4}. 注意 (1)本题主要考查含有绝对值不等式和一元二次不等式的解法.(2)将含有绝对值不等

式转化为一元二次不等式来解,是解好本题的关键. 例4 公园要建造一个圆形喷水池.在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子 OA,O 恰在水

面中心,OA=1.25 米,安置在柱子顶端 A 处的喷头向外喷水,水流在各个方向上沿形状相同的 抛物线路径落下,且在过 OA 的任一平面上抛物线路径如下左图所示.为使水流形状较为漂亮, 设计成水流在到 OA 距离为 1 米处达到距水平最大高度为 2.25 米,如果不计其他因素,那么 水池半径至少要多少米,才能使喷出的水流不致落到池外?
— 8 —

分析

由题意可知,本题可借助抛物线这一数学模型求解.关键是要根据题设条件求出所需的

具体抛物线方程.为此,以 O 为原点,以 OA 所在直线为 y 轴,水面中垂直 OA 的直线为 x 轴建 立直角坐标系,如上右图所示,则水流所呈现的抛物线方程为 y=a(x-1) +2.25. 由题意,点 A 的坐标为(0,1.25),把 x=0,y=1.25 代入方程解得 a=-1,于是抛物线方程为 y=-(x-1) +2.25. 令 y=0,得-(x-1) +2.25=0,解得 x1=2.5,x2=-0.5(不合题意,舍去). 所以水池半径至少要 2.5 米,才能使水流不落到池外. 说明 本例在已知解题数学模型(抛物线)的前提下,分析题设的一些数量关系,然后确定解
2 2 2

题所需的具体的数学模型(即抛物线方程).

【同步达纲练习】
一、选择题 1.已知集合 A= {x|x -2x-3<0 A.0<a≤1;
2 2

, B= {x||x|<a

, 若B

A, 则实数 a 的取值范围是( D.a<1.

)

B.a≤1;

C.-1<a≤3;
2

2.集合 A={x|x -3x-10≤0,x∈Z},B={x|2x -x-6>0,x∈Z},则 A∩B 的子集的个数为 ( ) B.8; C.15; D.7.

A.16;

3.不等式

≥0 的解集是(

) B.{x|x≤-1,或 x>3} D.{x|-1≤x<3}
2

A.{x|-1≤x≤3} C.{x|x≤-1,或 x≥3}

4.若对于任何实数,二次函数 y=ax -x+c 的值恒为负,那么 a、c 应满足(
— 9 —

)

A.a>0 且 ac≤

B.a<0 且 ac<

C.a<0 且 ac>

D.a<0 且 ac<0

5.考察下列集合:(1){x||x-1|<1

;(2){x|x -3x+2≤0};(3){x|

2

≤0};

(4){x| A.1 个

≥0},其中是集合 A={x|1<x≤2 B.2 个 C.3 个 )

的子集的有(

) D.4 个

6.在下列各不等式(组)中,解集为空集的是(

A.x +x+1≤

2



B.|x-1|+|x-2|≤1;

C. 二、填空题

(其中 0<a<1 ;

D.x -(a+

2

)x+1≤0(其中 a>0).

1.使函数 y=

+

有意义的 x 的取值范围是

.

2.不等式 ax +bx+2>0 的解集是{x|-

2

<x<

,则 a+b=

.

3.不等式
2

≤1 的解集是

. .
2

4.不等式-4≤x -3x<18 的整数解为
2

5.已知关于 x 的方程 ax +bx+c<0 的解集为{x|x<-1 或 x>2}.则不等式 ax -bx+c>0 的解 集为 三、解答题 1.求不等式 x -2x+2m-m >0 的解集.
— 10 —
2 2

.

2.求 m,使不等式| 3.关于 x 的不等式

|<3 恒成立.

它的解集为{x|x1≤x≤x2},且 1≤|x1-x2|≤3,(m-2)x -mx-1≥0,求实数 m 的取值范围.

2

4.已知 a>1 解关于 x 的不等式组 5.解不等式

【素质优化训练】
1.解关于 x 的不等式 x -x-a +a>0 2.已知函数 y=(k +4k-5)x +4(1-k)x+3 的图像都在 x 轴上方,求实数 k 的取值范围. 3.已知 A={x|x -3x+2≤0},B={x|x -(a+1)x+a≤0}. (1)若 A (2)若 B B,求 a 的取值范围; A,求 a 的取值范围;
2 2 2 2 2 2

(3)若 A∩B 为仅含有一个元素的集合,求 a 的值.

【生活实际运用】
1.如下图,铁路线上 AB 段长 100 千米,工厂 C 到铁路的距离 CA 为 20 千 米.现要在 AB 上某一点 D 处向 C 修一条公路, 已知铁路每吨千米的运费与 公路每吨千米的运费之比为 3∶5.为了使原料从供应站 B 运到工厂 C 的运 费最少,D 点应选在何处?

2.要在墙上开一个上半部为半圆形,下部为矩形的窗户(如下图所示),在 窗框为定长的条件下,要使窗户能够透过最多的光线,窗户应设计成怎样 的尺寸?



11



参考答案:
【同步达纲练习】 一、1.B 2.A 3.D 4.C 5.A 6.C 二、1.{x|-3<x≤-1} 2,3,4,5} 2.a+b=-14 3.{x|x≤-1 或 x>0} 4.{-2,-1,0,1,

5.{x|-2<x<1} R|x≠1};当 m

三、1.当 m>1 时,解集为{x|x<2-m,或 x>m};当 m=1 时,解集为{x

<1 时,解集为{x|x<m,或 x>2-m

.

2.m

{m|-5<m<1

.

3.m

{m|

≤m



}.

4.{x|x>a}.

5.{x|x<-4 或-1<x<1 或 x>4}.

【素质优化训练】 1.解:∵方程 x -x-a +a=0 的两个根为 a 和 1-a,
2 2

∴当 a≥1-a,即 a≥

时,不等式的解集为{x|x<1-a,或 x>a



当 a<1-a,即 a<
2

时,不等式的解集为{x|x<a 或 x>1-a}

2.解:(1)当 k +4k-5=0 时,k=-5 或 k=1. 若 k=-5,则 y=24x+3 的图像不可能都在 x 轴上方,故 k≠-5. 若 k=1,则 y=3 的图像都在 x 轴上方. (2)若 k +4k-5≠0,则所给函数为二次函数,应有{k +4k-5>0 △<0,即{(k+5)(k-1)> 0 (k-1)(k-19)<0 解得 1<k<19 由(1)、(2)得 1≤k<19.
2 2

3.解:A={x|1≤x≤2},B={x|(x-1)(x-a)≤0} (1)若 A B(图甲),应有 a>2. (2)若 B A(图乙),必有 1≤a≤2.



12



(3)若 A∩B 为仅含一个元素的集合(图丙),必有 a≤1.

【生活实际运用】 1.讲解 据题设知,单位距离的公路运费大于铁路运费,又知|BD|+|DC|≤|BA|+| AC|,因此只有点 D 选在线段 BA 上某一适当位置,才能使总运费最省.若设 D 点距 A 点 x 千 米,从 B 到 C 的总动费为 y,建立 y 与 x 的函数,则通过函数 y=f(x)的最小值,可确定点 D 的 位置. 设|DA|=x(千米),铁路吨千米运费 3a,公路吨千米运费 5a,从 B 到 C 的总费用为 y,则依 题意,得 y=3a(100-x)+5a ,x (0,100),



=5

-3x.

令 t=

,则有 t+3x=5
2 2

.

平方、整理,得 16x -6tx+10000-t =0.① 由①36t -4×16(10000-t )≥0,得|t|≥80. ∵t>0,∴t≥80. 将 t=80 代入方程①,得 x=15,这时 t 最小,y 也最小. 即当 D 点选在距 A 点 15 千米处时,总运费最省.
2 2

2.当窗户中的半圆的直径为

,矩形的高为

,窗户透过的光最多.



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