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【优教通,同步备课】高中数学(北师大版)选修2-2课件:第4章 定积分的背景——曲边梯形的面积 参考课件


定积分的背景 ——曲边梯形的面积

一、教学目标: 理解求曲边图形面积的过程:分割、以直代曲、 逼近,感受在其过程中渗透的思想方法。 二、教学重难点: 重点:掌握过程步骤:分割、以直代曲、求和、 逼近(取极限) 难点:对过程中所包含的基本的微积分 “以直 代曲”的思想的理解 三、教学方法:探析归纳,讲练结合

曲边梯形的面积


y

o

x

我们学过如何求正方形、长方形、三角形等 的面积,这些图形都是由直线段围成的。那么, 如何求曲线围成的平面图形的面积呢?这就是定 积分要解决的问题。 定积分在科学研究和实际生活中都有非常广 泛的应用。本节我们将学习定积分的基本概念以 及定积分的简单应用,初步体会定积分的思想及 其应用价值。

问题:如图,阴影部分类似于一个梯形,但有一 边是曲线 y ? f ( x) 的一段,我们把由直线 x ? a , x ? b (a ? b) , y ? 0 和曲线 y ? f ( x) 所围成的图形称 为曲边梯形.如何计算这个曲边梯形的面积?

y = f ( x)

y

的 如 面 何 积 求 曲 边 梯 形
O a

A1 b x

用一个矩形的面积A1近似代替曲边梯形的面 积A,得 A ? A1.

y = f ( x) y

的 如 面 何 积 求 曲 边 梯 形
O
a

A1

A2 b x

用两个矩形的面积近似代替曲边梯形的面积A,得

A ? A 1+ A 2

y = f ( x) y

的 如 面 何 积 求 曲 边 梯 形
O a

A1

A2

A3

A4 b x

用四个矩形的面积近似代替曲边梯形的面积A,得 A ? A 1+ A 2+ A 3+ A 4

y = f ( x) y

的 如 面 何 积 求 曲 边 梯 形
O

A1

Ai

An

a

b x

将曲边梯形分成 n个小曲边梯形,并用小矩阵形的面积代替 小曲边梯形的面积,于是曲边梯形的面积A近似为

A ? A 1+ A 2 + ? ? ? + A n
—— 以直代曲,无限逼近

曲边梯形的面积

—— 分成很窄的小曲边梯形,
然后用矩形面积代替后求和。 分割越细,面积的近似值就越精确。当分割无限

变细时,这个近似值就无限逼近所求曲边梯形的面积 S。
“以直代曲”的具体操作过程

y
例 1. 求抛物线 y=x2 、直线 x=1和x轴所围成的曲边梯形的

y ? x2

面积。
⑴分割 ⑵近似代替 第i个小区间 O
i -1 i 1 n n 1 区间长度:△x= n ? i ?1? 区间高:h= f ? n ? ? ? ? i ?1? 1 ? ? 小矩形面积:△S= f ? ? n ? n

x

⑶求和
⑷取极限

例 1.求抛物线 y=x2 、直线 x=1和 x轴所围成的曲边梯形的面积。 解把底边[0,1]分成n等份,然后在每个分点作底边的垂线, 这样 曲边三角形被分成n个窄条, 用矩形来近似代替,然后把这些小矩 形的面积加起来, 得到一个近似值: n n n 因此, 我们有理由相信, i ?1 i ?1 2 1 ' S ? ? S ? f ( ) ? x ? ( ) ? ? ? y 这个曲边三角形的面积为: n i n n n i ?1 i ?1 i ?1

S ? lim Sn ?
n ??

1 ? 1 ?? 1 ? lim ?1 ? ?? 2 ? ? n ?? 6 ? n ?? n ? 1 ? . 3 y ? x2

O

1 n

2 n

k n

n n

x

1 ?1? 1 ?2? 1 ? n ?1 ? 1 ? 0 ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? n ?n? n ?n? n ? n ? n 1 ? 3 (12 ? 22 ? ? (n ? 1)2 ) n 1 (n ? 1)n(2n ? 1) ? 3? n 6 1 ? 1 ?? 1 ? ? ?1 ? ?? 2 ? ? . 6 ? n ?? n ?

2

2

2

y

y
y ? x2

y ? x2

O

1 n

2 n

k n

n n

x

O

1 n

2 n

k n

n n

x

小结:
求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法 (1)分割 (2)近似代替 (3)求面积的和 y (4)取极限 n ? ? 把这些矩形面积相加作 为整个曲边形面积S的近似值。

有理由相信,分点越来 越密时,即分割越来越细时, 矩形面积和的极限即为曲边 形的面积。

o

x


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