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2015-2016学年高中数学 1.3.1.1函数的单调性课件 新人教A版必修1


第一章

集合与函数概念

1.3 函数的基本性质

1.3.1 单调性与最大(小)值

第一课时

函数的单调性

课前预习目标

课堂互动探究

课前预习目标
梳理知识 夯实基础

> 学习目标 1.理解单调函数的定义,理解增函数、减函数的定义. 2.掌握定义法证明函数单调性的步骤. 3.掌握求函数单调区间的方法(定义法、图象法).

课前热身 一般地,设函数f(x)的定义域为I;如果对于定义域I内某个 区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当________时,都有 ________,那么就说函数f(x)在区间D上是________;当x1<x2 时,都有________,那么就说f(x)在区间D上是减函数;其中区 间D称为f(x)的________.

自 我 x1<x2 f(x1)<f(x2) 增函数

校 f(x1)>f(x2) 单调区间 对

思考探究

在增函数和减函数定义中,能否把“任意x1,

x2∈D”改为“存在x1,x2∈D”? 提示 不能.如函数y=x2,虽然f(2)>f(-1),但函数y=x2 在定义域上不是增函数.

名师点拨 1.单调性定义 函数的单调性是对于函数定义域内的某个子集而言的,有 些函数在整个定义域内可能是单调的,如一次函数;有些函数 在定义域内的部分区间上是增函数,而在另一部分区间上可能 是减函数,如二次函数;还有的函数是非单调的,如函数y=1. 若一个函数在定义区间上既有增区间又有减区间,则这个函数 在定义域内不存在单调性.

函数单调性定义中的x1,x2,有三个特征,一是同属一个 单调区间;二是任意性,即“任意取x1,x2”,“任意”二字 决不能丢掉,证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换;三 是有大小,通常规定x1<x2;三者缺一不可.

2.函数单调性可以从三个方面理解 (1)图形刻画 对于给定区间上的函数f(x),函数图象如从左向右连续上 升,则称函数在该区间上单调递增,如下图①;函数图象如从 左向右连续下降,则称函数在该区间上单调递减,如下图②.

(2)定性刻画 对于给定区间上的函数f(x),如果函数值随自变量增大而 增大,则称函数在该区间上单调递增,如果函数值随自变量增 大而减小,则称函数在该区间上单调递减. (3)定量刻画,即定义 上述三方面是我们研究函数单调性的基本途径.

3.基本初等函数的单调性 (1)一次函数y=ax+b(a≠0) 当a>0时,在(-∞,+∞)上是增函数,当a<0时,在(- ∞,+∞)上是减函数. k (2)反比例函数y=x(k≠0) 当k>0时,在(-∞,0)和(0,+∞)上均为减函数; 当k<0时,在(-∞,0)和(0,+∞)上均为增函数.

(3)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)
? b? 当a>0时,在?-∞,-2a?上是减函数, ? ? ? ? b 在?-2a,+∞?上是增函数; ? ? ? b? 当a<0时,在?-∞,-2a?上是增函数, ? ? ? ? b 在?-2a,+∞?上是减函数. ? ?

4.判断函数单调性的常用方法 (1)定义法:这是证明或判断函数单调性的常用方法. (2)图象法:根据函数图象的升、降情况进行判断. (3)在解答选择题或填空题时,也可用以下结论: ①函数y=f(x)与y=-f(x)单调性相反; ②若函数f(x)恒正或恒负时,函数y=f(x)与y= 反; 1 单调性相 f?x?

③在公共定义域内,增函数+增函数=增函数,增函数- 减函数=增函数.

课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通

典例剖析



函数单调性的判定或证明
1 证明f(x)=x+ 在(0,1)上是减函数. x

【例1】

【证明】

设x1,x2∈(0,1),且x1<x2,则

1 1 f(x1)-f(x2)=x1+ -(x2+ ) x1 x2 1 1 =x1-x2+ - x1 x2
? 1 ? =(x1-x2)?1-x x ?. ? 1 2?

∵0<x1<x2<1,

1 1 ∴x1-x2<0,0<x1x2<1,∴x x >1,1-x x <0, 1 2 1 2 ∴f(x1)-f(x2)>0, 即f(x1)>f(x2). ∴f(x)在(0,1)上为减函数.

规律技巧 在用定义判断?或证明?函数的单调性时,其方 法步骤是:①在定义域区间内任取两个值x1,x2,不妨设 x1<x2;②作差f?x1?-f?x2?,变形?配方、因式分解或通分等?确 定符号,当符号不易确定时,要分情况讨论;③写出结论.

变式训练1

1 判断函数f(x)=x+x 在(1,+∞)上的单调性.



设x1,x2∈(1,+∞),且x1<x2,

1? 1 ? 则f(x1)-f(x2)=x1+x -?x2+x ? ? 2? 1 1 1 =x1-x2+x -x 1 2
? 1 ? =(x1-x2)?1-x x ?. ? 1 2?

∵x2>x1>1,

1 ∴x1-x2<0,x1x2>1,∴0<x x <1, 1 2 1 ∴1-x x >0. 1 2 ∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2). 1 ∴f(x)=x+x 在(1,+∞)上是增函数.



利用函数的图象求单调区间
画出函数y=-x2+2|x|+3的图象,并写出函数

【例2】 的单调区间. 【分析】

先化简函数解析式,再画出函数的图象,根据

图象确定单调区间.

【解】

y=-x2+2|x|+3= ?x≥0?, 函数图象如图所示. ?x<0?.

2 ? ?-?x-1? +4 ? 2 ? ?-?x+1? +4

函数在(-∞,-1],[0,1]上是增函数, 函数在[-1,0],[1,+∞)上是减函数. ∴函数的单调增区间是(-∞,-1]和[0,1],单调减区间是 [-1,0]和[1,+∞).

误区警示

(1)一个函数出现两个或两个以上单调区间

时,不能用符号“∪”连接,而应该用“和”来连接. (2)在定义域内求单调区间,单调区间应是定义域的子 集.

变式训练2

已知函数f(x)=3|x|,求f(x)的单调区间.



? ?3x ?x≥0?, f(x)=3|x|=? ? ?-3x ?x<0?.

如下图所示:

由图象可知,f(x)的递增区间为[0,+∞),减区间为(- ∞,0].



函数单调性的应用

【例3】

已知函数f(x)=x2+2(a-1)x+2,在下列条件

下,分别求实数a的取值范围. (1)f(x)在区间(-∞,4]上是减函数; (2)f(x)的增区间为[4,+∞). 【分析】 函数f(x)是二次函数,其图象是开口向上的抛

物线,在对称轴左侧为减函数,在对称轴右侧是增函数,因此 本题找出对称轴,便可作答.

【解】 +2,

(1)f(x)=x2+2(a-1)x+2=[x+(a-1)]2-(a-1)2

∴二次函数图象的对称轴为x=1-a,要使f(x)在(-∞,4] 上是减函数,只要1-a≥4,∴a≤-3. (2)要使f(x)的增区间为[4,+∞),只有对称轴x=1-a= 4,∴a=-3.

规律技巧

注意本题(1)与(2)的不同之处,(1)只要对称轴

在x=4的右侧或与其重合,而(2)中对称轴必须与x=4重合.对 于此类题目,可以画图分析作答.

变式训练3 若函数f(x)=x2-2mx+3在(-∞,2)上是减函 数,则实数m的取值范围是( A.m>2 C.m≥2 ) B.m<2 D.m≤2

解析 函数f(x)的图象是开口向上的抛物线,要使在(- ∞,2)上是减函数,只要对称轴x=m≥2.

答案 C

易错探究 【例4】 设(a,b),(c,d)都是函数y=f(x)的单调增区间, 且x1∈(a,b),x2∈(c,d),x1<x2,则f(x1)与f(x2)的大小关系是 ( ) A.f(x1)<f(x2) C.f(x1)=f(x2) 【错解】 A B.f(x1)>f(x2) D.不能确定

【错因分析】

函数y=f(x)在(a,b)和(c,d)上都是增函

数,但在(a,b)∪(c,d)上不一定是增函数,如图所示.因为 x1,x2取自两个不同的单调区间,所以f(x1)与f(x2)大小不能确 定.

【正解】 D

当堂检测 1.下列四个函数中,在(0,+∞)上为增函数的是( A.f(x)=3-x C.f(x)=-|x| B.f(x)=x2-3x 3 D.f(x)=- x+2 )

解析 函数f(x)=3-x在(0,+∞)上为减函数; 函数f(x)=x -3x在 为增函数; 函数f(x)=-|x|在(-∞,0)上为增函数,在(0,+∞)上为 减函数; 函数f(x)=- ∞)上为增函数. 3 在(-∞,-2)上为增函数,在(-2,+ x+2
2

? ?3 ? 3? ?-∞, ? 上为减函数,在 ? ,+∞? 上 2? ? ?2 ?

答案

D

2.已知函数f(x)=4x2-mx+5在区间[-2,+∞)上是增函 数,在区间(-∞,-2]上是减函数,则f(1)等于( A.-7 C.17 B.1 D.25 )

解析 由题意知函数f(x)=4x2-mx+5的对称轴为x=-2. -m 由x=- =-2,得m=-16,即f(x)=4x2+16x+5.所 2×4 以f(1)=4+16+5=25.

答案

D

2 ? ?-x +2ax-2a,x≥1, 3.若函数f(x)= ? ? ?ax+1,x<1

是(-∞,+∞)

上的减函数,则实数a的取值范围是( A.(-2,0) C.(-∞,1] B.[-2,0) D.(-∞,0)

)

解析 由x≥1时, f(x)=-x2+2ax-2a是减函数, 得a≤1, 由x<1时,函数f(x)=ax+1是减函数, 得a<0, 分段点1处的值应满足-12+2a×1-2a≤1×a+1, 解得a≥-2, ∴-2≤a<0.

答案

B

4.f(x)是定义在[0,+∞)上的减函数,则不等式f(x)<f(- 2x+8)的解集是________.

解析 由f(x)在[0,+∞)上为减函数且有f(x)<f(-2x+8), ?x≥0, ? 所以有?-2x+8≥0, ?x>-2x+8, ? ? ?x≥0, ?x≤4, 整理得? ? 8 x> , ? ? 3
? ? ?. ? ?

8 解得 <x≤4. 3

? ? ?8 所以不等式的解集为?x?3<x≤4 ? ? ?

答案

? ? ?8 ?x? <x≤4 ? ? ?3

? ? ? ? ?

ax 5.判断函数f(x)= 2 (a≠0)在区间(-1,1)上的单调性. x -1
解 设-1<x1<x2<1,

ax1 ax2 则f(x1)-f(x2)= 2 - x1-1 x2 2-1 a?x1x2+1??x2-x1? = , 2 ?x2 - 1 ?? x - 1 ? 1 2
2 2 ∵x1 -1<0,x2 -1<0,x1x2+1>0,x2-x1>0,

?x1x2+1??x2-x1? ∴ 2 >0, 2 ?x1-1??x2-1?

∴当a>0时,f(x1)-f(x2)>0,函数y=f(x)在(-1,1)上是减函 数;当a<0时,f(x1)-f(x2)<0,函数y=f(x)在(-1,1)上是增函 数.


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